課件現(xiàn)代控制線性系統(tǒng)3

1、3.3 線性定常連續(xù)系統(tǒng)的可觀測(cè)性判據(jù)考慮輸入u=0時(shí)系統(tǒng)的狀態(tài)方程和輸出方程為：& Axt0yCx1.矩陣判據(jù).2.秩判據(jù).線性定常系統(tǒng)完全可觀測(cè)的充分必要條件為:定理CCA nrMn1 CA或:A TTCT(TA2LTrCA)C(以上均為系統(tǒng)可觀測(cè)性矩陣.例:判斷下列系統(tǒng)的可觀測(cè)性& AxxBuyCx1)A 20 31C 0(n B2)01 1 2)A 11 B 21C 10 (n 2)111011解：1）TTCTrVrAC12 r0 1 20故系統(tǒng)不完全可觀測(cè)。2)TTCT1rVrAC10 r 2112系統(tǒng)完全可觀測(cè)。對(duì)偶原理：研究由下列方程描述的系統(tǒng) & AxCxxBuS1 : yn1

2、AS1為：ABB式中的狀態(tài)可L其可觀測(cè)陣為：C TATCTL(A如果另有一個(gè)系統(tǒng) S 2，它的動(dòng)態(tài)方程為：Z&ATCT ZTBZ它的狀態(tài)可為：L(AC TATCTn1A 而可觀測(cè)陣B 為 AB那B么系L統(tǒng) S 2就稱為系統(tǒng)S1 的對(duì)偶系統(tǒng)。原系統(tǒng) S1的可控性陣與對(duì)偶系統(tǒng)S 2的可觀測(cè)陣相同，原系統(tǒng) S1 的可觀測(cè)陣又與對(duì)偶系統(tǒng)的可相同，這就是對(duì)偶原理。利用對(duì)偶原理，一個(gè)給定系統(tǒng)的可觀測(cè)性，可用其對(duì)偶系統(tǒng)的可控性來(lái)校驗(yàn)，曾經(jīng)學(xué)過(guò)的可觀測(cè)：0 a00 a10 a2M01001000LL L0A 1 M0MO1 an 1 000C 0 10L即是可控的對(duì)偶系統(tǒng)。 將可觀測(cè)系統(tǒng)化為可觀測(cè)若n維單輸入

3、-單輸出的線性系統(tǒng)& Axxbu可觀測(cè)，yCx M：則一定能找到一個(gè)線性變換Mx，x可將系統(tǒng)方程轉(zhuǎn)換為可觀測(cè)Axxxbu Cy而 A1MAM M 1bCbCM利用對(duì)偶原理，構(gòu)造原系統(tǒng)的對(duì)偶系統(tǒng)：& AZ T CTZbTWZ則本系統(tǒng)的可觀測(cè)性陣C TTCTVAL (C即為對(duì)偶系統(tǒng)的可控性矩陣，這樣，步驟與可控的算法相同。V TV T n1TnTT則P陣為： VTAVV 12 M MT 1n VnTV n (A )經(jīng)過(guò)P1變換，可將對(duì)偶系統(tǒng)化為可控其矩陣之間的變換關(guān)系是：1PcAbTTAPPCc又因?yàn)榭捎^測(cè)與可控之間有下 述關(guān)系A(chǔ) ：( ACTT)()bccP1 T)PT PA(TTAAPC(PA

4、1MCA而MCM M PTM PT 就可將系統(tǒng)方程化為可觀測(cè)例：設(shè)系統(tǒng)動(dòng)態(tài)方程：1 x&1 11x1ux& 11x 1 2 2 xy 111x 2 試將系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)方程化為可觀測(cè)，并 求出變換矩陣。解：先判定系統(tǒng)的可觀測(cè)性CTV2 21TATVC10r n系統(tǒng)可觀測(cè)，一定能化成可觀測(cè) 01V 1V T1212 11 n 22 則 11 V TP 2n2 TT10 V( A)n112M PT 即為所求變換矩陣012 211 11 22 10012A M 1AM 011112 1 12C CM 11 010123.PBH秩判據(jù)。線性定常系統(tǒng)：& AxyCx完全可觀測(cè)的充要條件是：對(duì)矩陣A的所有ii1

5、 ,特征值(2L, n，均)有：CAni1 ,r2L,nIi價(jià)地表示為： nCrSIAPBH特征向量判據(jù)。線性定常系統(tǒng)：& AxyCx完全可觀測(cè)的充要條件是：A沒(méi)有與C的所有行相正交的非零右特征向量。即為A的任一特征值(使)同時(shí)滿足0的特征向量 0A i,C 5.約當(dāng)規(guī)范型判據(jù).線性定常連續(xù)系統(tǒng)：& AxyCx完全可觀測(cè)的充要條件分為兩種情況：1 , 2 L n 當(dāng)矩陣A的特征值兩兩相異時(shí)，經(jīng)過(guò)線性變換，線性定常連續(xù)系統(tǒng)可化成對(duì)角線規(guī)范型。1x x 2y CxO n 式中 C不包含元素全為0的列。 當(dāng)矩陣A的特征值為1 ( 1重)， 2 ( 2重)L l ( l重)1 2 L l n且時(shí)，經(jīng)過(guò)

6、線性變換線性定常連續(xù)系統(tǒng)可化成約當(dāng)規(guī)范型。 x例如：x& 502040001y 07 x230211011121021 1, 2 2, 3 5這里特征值第一列所組成的矩陣均為列線性無(wú)關(guān)。則：2001000矩陣1列線性無(wú)關(guān)。0310矩陣220列線性無(wú)關(guān)。3107矩陣3元素不全為0，則系統(tǒng)為完全可觀測(cè)。 0例：已知線性定常系統(tǒng)的對(duì)角線規(guī)范型為：80 01 010 02x& 00 xy x0302試判定系統(tǒng)的可觀測(cè)性。C中不包含元素全為0的列，故解：顯然，系統(tǒng)為完全可觀測(cè)。下列系統(tǒng)是能觀測(cè)的：10 x,3 xx&1y 1xx& 0 2x 2 x&0 x2x1201201 y3000 x& 01 x,

7、x x&2x01202 02 y42 x 3x&x,x1 0 x&xx 20 x0 y1111101x& 0 0 x y3x&1x0 x 0 2 30 x& 3x4 x5 下列系統(tǒng)是不完全可觀測(cè)的：xxx10&11y 0 1,1xx& 0 2x 2 2 2 x&1 20 x3x120120 y012x& 01 x,x y0,0402xxx&x&1 2x1 012x 2x&200 y1111100 x&3 0 0 x y30 x x&401 2 304 3x5 x&56. 用傳遞函數(shù)矩陣表達(dá)的能觀測(cè)性條件類似地，能觀測(cè)性條件也可用傳遞函數(shù)或傳遞函數(shù)矩陣表達(dá)。此時(shí)能觀測(cè)性的充要條件是：在傳遞函數(shù)或

8、傳遞函數(shù)矩陣中不發(fā)生相約現(xiàn)象。如果存在相約，則約去的模態(tài)其輸出就不能觀測(cè)了。(s 1)(s 4)例：傳遞函數(shù)為 Y (s)(s 1)(s 2)(s 3)U (s)顯然，分子、分母多項(xiàng)式中的因子（s+1）可以約去。這意味著，該系統(tǒng)是不完全可觀測(cè)的。(s 1)(s 4) 5s 4s2Y (s) (s 1)(s 2)(s 3) 6s2 11s 6s3U (s) & AxxBu化為狀態(tài)空間表達(dá)式為：yCx式中x1 0 001011x x,A 0 1, B,0C4512 6 1 x3 6由于能觀測(cè)性矩陣67 14 T 6CO 5 C1 R TTTTT2SMAC( M6) A5 167 1455 0 1nr3注意到1即或者rSO 2，故該系統(tǒng)是不完全可觀測(cè)的。非奇異線性變換中的不變特性.已經(jīng)學(xué)過(guò):把A陣對(duì)角化或化A陣為約當(dāng)陣,則: P 11APAP:PJ化可控系