不等精度直接測量不確定度的評定

1、不等精度直接測量不確定度的評定國家質(zhì)檢總局福州培訓(xùn)中心彭靖一、問題的提出在不等精度直接測量時，由各測量值xi及其標(biāo)準(zhǔn)差計算加權(quán)算術(shù)平均值的標(biāo)準(zhǔn)差時，有兩個計算公式”話淖負(fù)訓(xùn)式中:p.各測量值的權(quán)；各測量值的標(biāo)準(zhǔn)差；單位權(quán)標(biāo)準(zhǔn)差；加權(quán)算術(shù)平均值的標(biāo)準(zhǔn)差。但這兩個公式的計算結(jié)果有時會相差很大。那么，在這種情況下，采用哪個公式更為合理呢？本文對此從公式的推導(dǎo)到公式的選用進(jìn)行探討，并給出了一般性的原則。二、公式的數(shù)學(xué)推導(dǎo)在不等精度測量時，各測量值的權(quán)的定義式為:測量結(jié)果的最佳估計值為:則測量結(jié)果的不確定度評定為B對式(5)求方差有設(shè)各測量值x勺方差都存在，且已知分別為，即D(x.)=.由(4)式有汀=

2、ff2/p.又因為D(jc)(I)從公式的推導(dǎo)，我們可以看出，此時各測量值的方差(或標(biāo)準(zhǔn)差)必須是已知的。而在實際測量中，常常各測量值的方差;或標(biāo)準(zhǔn)差)是未知的，無法直接應(yīng)用公式(1)進(jìn)行不確定度評定。是，從分析來看，如果能由各測量值的殘差(其權(quán)等于測量值的權(quán))求出單位權(quán)標(biāo)準(zhǔn)差的估計值，并將其代入公式(1)中，就可計算出加權(quán)算術(shù)平均值標(biāo)準(zhǔn)差的估計值。為此，作如下推導(dǎo):由殘差v：=xi=1，2，n對Vj單位權(quán)化Jp3=#喬二皿Jp艸卡如莎h辰Pn*由于Vj的權(quán)都相等，因而可設(shè)為1,故用vi代替貝塞爾公式中的Vj可得單位權(quán)標(biāo)準(zhǔn)差的估計值將此式代入公式(1),即得到加權(quán)算術(shù)平均值標(biāo)準(zhǔn)差的估計值(2)

3、円I口席嚴(yán):皿-門PivZ從上面的推導(dǎo)我們可以看出，公式(1)是在各測量值的標(biāo)準(zhǔn)差已知時計算出的不等精度測量結(jié)果的不確定度的準(zhǔn)確值；而公式(2)是在各測量值的標(biāo)準(zhǔn)差未知時計算出的不等精度測量結(jié)果不確定度的估計值。從概率論與數(shù)理統(tǒng)計知識可知，只有在n時，其單位權(quán)標(biāo)準(zhǔn)差的估計值才能等于單位權(quán)的標(biāo)準(zhǔn)差,而由于測量次數(shù)的有限性和隨機抽樣取值的分散性，這兩者是不相等的，所以由公式和公式(2)確定的不確定度的值是也不相同的。三、公式選用的一般原則筆者用了較大的篇幅來進(jìn)行公式的數(shù)學(xué)推導(dǎo)，主要是為了說明這兩個公式推導(dǎo)的前提是不一樣的，其應(yīng)用當(dāng)然也就不同。我們分兩種情況來進(jìn)行討論。各測量值的標(biāo)準(zhǔn)差未知時不確定顯

4、然，在這種情況下，由于其測量值的權(quán)是由其他方法得到的，而各測量值的標(biāo)準(zhǔn)差未知，無法應(yīng)用公式(1)來進(jìn)行評定，而只能用公式(2)。各測量值的標(biāo)準(zhǔn)差已知時當(dāng)已知測量值X.和其標(biāo)準(zhǔn)差6.時，有兩種方法計算：的標(biāo)準(zhǔn)差孔：第一種方法是用公式(1)進(jìn)行計算，第二種方法是用公式(2)進(jìn)行計算。前面已述這兩種方法在理論上是不相等的。兩種方法的區(qū)別是:第一種方法是根據(jù)已知的6.計算億，沒有用到測量數(shù)據(jù)X.。而第二種方法既用到了6(確定權(quán))，也用到了測量數(shù)據(jù)xQ十算殘差)。公式(2)是一個統(tǒng)計學(xué)公式，與觀測次數(shù)n有關(guān)，只有n足夠大，即觀測數(shù)據(jù)足夠多時，該公式才具有實際意義。所以，根據(jù)前面的推導(dǎo)分析，當(dāng)測量次數(shù)較少

5、時，考慮到隨機抽樣取值的分散性，建議采用公式(1)進(jìn)行不確定度評定，當(dāng)測量次數(shù)較多時，采用公式(2)評定一組數(shù)據(jù)的不確定度更能真實地反映出這I不確定度值，它包含了由隨機效應(yīng)引起的不確定度也包含了由系統(tǒng)效應(yīng)引起的不確定度，因而更具有實驗性質(zhì)?，F(xiàn)在的問題是，測量次數(shù)究竟為多少時才是較少或較多呢？根據(jù)概率論與數(shù)理統(tǒng)計知識，單次測量的標(biāo)準(zhǔn)差與平均值的標(biāo)準(zhǔn)差的關(guān)系為叮聰，!，當(dāng)6一定時，n10以后，?。阂褱p少得非常緩慢。所以常把n=10作為一個臨界值。綜上所述，當(dāng)測量次數(shù)n10時，用公式(1)進(jìn)行計算效果較好；當(dāng)測量次數(shù)n10時,采用公式(2)來評定不確定度會更客觀一些。另外，還有一個問題值得注意:不等

6、精度測量本來就是改變了測量條件的復(fù)現(xiàn)性測量，這些改變了的測量條件有可能帶來系統(tǒng)誤差。當(dāng)n足夠大時且本次測量條件與以前的測量條件變化不大時，兩個公式計算的結(jié)果應(yīng)近似相等。否則本次測量數(shù)據(jù)可能存在系統(tǒng)誤差。四、實例實例1用國家基準(zhǔn)器在相同的條件下連續(xù)3天檢定某一基準(zhǔn)米尺，檢定的結(jié)果為999.9425mm(3次測量取平均值)，999.9416mm(2次測量取平均值.雪，999.9419mm(5次測量取平均值)，試求最終的檢定結(jié)果。解由于測量條件相同，3天里的10次測量是等精度的。3個檢定結(jié)果所以精度不等，是因為每天測量的次數(shù)不同，所以其權(quán)為：p1：p2：p3=o2/n1：2/n2：o2/n3=3:2

7、:5所以，加權(quán)算術(shù)平均值為：3+2+5.9425+2x999,94J6+5X999.?4J9.=999.5420mm因各測量值的標(biāo)準(zhǔn)差未知，故J應(yīng)按公式估算，所以x0(XX)24Him實例2對某物理量進(jìn)行9次直接測量，數(shù)據(jù)見下表，評定測量結(jié)果的不確定度序號I2345&78955047342844647941S約528465505050361429243023解計算各測量值的權(quán)：由式(4)知p=2/5令單位權(quán)標(biāo)準(zhǔn)差o=50，則各測量值的權(quán)為:P1：P2：P3：P4：P5：P6：P7：P8：P9=1:1:1:1.93:12.8:2.97:4.34:2.78:4.73(2)計算最佳估計值二:詳=472.7mVFa1-1(3)計算工的標(biāo)準(zhǔn)差:第一種方法；用公式(1)計算8.77mV第二種方法:用公式(2)計算=IO-29mV(-i/；從本例看，兩種方法計算的結(jié)果相差較大。依據(jù)第三節(jié)的原則，該例采用第一種方法計算的結(jié)果為好。從對觀測列的分析來看，xmax-xmin=132，取值很分散，似有系統(tǒng)誤