北京八中第一學(xué)期高三期中考試數(shù)學(xué)(理科)試題(解析版)

1、號(hào)場(chǎng)考 不號(hào)證考準(zhǔn)裝 只名姓級(jí)班北京八中第一學(xué)期高三期中考試數(shù)學(xué)(理科)試題數(shù)學(xué)注意事項(xiàng)：.答題前，先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫在試題卷和答題卡上，并將準(zhǔn)考證號(hào)條形碼粘 貼在答題卡上的指定位置。.選擇題的作答：每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑，寫在試題卷、草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無效。.非選擇題的作答：用簽字筆直接答在答題卡上對(duì)應(yīng)的答題區(qū)域內(nèi)。寫在試題卷、草稿紙 和答題卡上的非答題區(qū)域均無效。.考試結(jié)束后，請(qǐng)將本試題卷和答題卡一并上交。一、單選題.已知 m,n R,集合 A = 2, log 7m,集合 B =m, n,5 APB =0, 則 m +n =A.

2、 0 B. 1 C. 7 D. 8.已知拋物線？ ？子=?他焦點(diǎn)為？準(zhǔn)線與？軸的交點(diǎn)為？點(diǎn)？在？江且|?= V?|?| 則？?積為A. 4 B. 8 C. 16 D . 32. ？?是?+ ?的A .充分不必要條件B .必要不充分條件C.充分必要條件D .既不充分也不必要條件4,函數(shù)？= (?- ?)? ? W?W ?但？?w ?的圖象可能為5 .在AABC中，M是BC的中點(diǎn)，AM = 3,點(diǎn)P在AM上，且滿足電?= ?則蛾?(?+ ?值為A. 4 B. 2 C. - 2 D. - 46 .如圖，點(diǎn)？效坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn) ？(?*?)若函數(shù)？?= ? (? ?且？?w ? 及？?= ? (?且？?w

3、 ?的圖象與線段？?？別交于點(diǎn)？，？且？?，？裕好是線段？?兩個(gè)三等分點(diǎn)，則?摘足XA . ? ? ? B. ? ? ? ? D. ? ? ?7 .已知？?(?= ?- ? ?2,若函數(shù)？?(?= ?(?) ?如有一個(gè)零點(diǎn)，則 ？?勺取值范圍 ? ? ?,A . (- oo,-?) U (?+ oo)B. (-?, ?) C, ?,? D , (- oo,-? U ?,?設(shè)?(?= ?+? ? ? ? ?若？(？衿 ?| 對(duì)一切？e ?赳成立，則下列結(jié)論正確的是I?=?函數(shù)？?= ?(?寫不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù)；？?(?)單調(diào)遞增區(qū)間是?R ?, ?+,？ (? ?)存在經(jīng)過點(diǎn)(?？,?的直線

4、與函數(shù)？?(?)圖象不相交.A. B.C. D.？(？?- ?+：；(?e(?+8)？(？= ?(?)(?若函數(shù)?(?= ?性質(zhì)？則實(shí)數(shù)？的取值范圍是三、解答題二、填空題9.在極坐標(biāo)系中，圓？?= ?的圓心到直線？?左的動(dòng)點(diǎn)的距離的最小值為15 .某中學(xué)高一年級(jí)共 8個(gè)班，現(xiàn)從高一年級(jí)選 10名同學(xué)組成社區(qū)服務(wù)小組，其中高一(1)班選取3名同學(xué)，其它各班各選取 1名同學(xué).現(xiàn)從這10名同學(xué)中隨機(jī)選取 3名同學(xué)，到社區(qū)老年中心參加“尊老愛老”活動(dòng)(每位同學(xué)被選到的可能性相同).(1)求選出的3名同學(xué)來自不同班級(jí)的概率；.若雙曲線?+ ?= ?的一條漸近線的傾斜角為？?，?則？ =L.已知直線?+

5、(?+ ?)?+ ?= ? ?+ ?+ ?= ?若？?，？?？則實(shí)數(shù)？酌值是.7A?+ ?- ? ?.若直線？?= ?存在點(diǎn)(?？?滿足約束條件? ? ? ?圍.如圖，線段？?？ ？點(diǎn)？ ？紛另J在？軸和？軸的非負(fù)半軸上運(yùn)動(dòng)，以 ？?？一邊，在第象限內(nèi)作矩形？?？ ?設(shè)？然原點(diǎn)，則？?？?取值范圍是.對(duì)于函數(shù)？?= ?(?)若在其定義域內(nèi)存在 ？?，使得？?(?)= ?城立，則稱函數(shù)？?(?津有 性質(zhì)？?.(?下列函數(shù)中具有性質(zhì) ？勺有？?(?= -?+ ?/?？?(?= ? ?M?t)(2)設(shè)X為選出同學(xué)中高一(1 )班同學(xué)的人數(shù)，求隨機(jī)變量X的分布列和數(shù)學(xué)期望.?.函數(shù)f(x) =cos(

6、兀x+()(? ? f (x);(出)若 x 1(0, 1), x2 (1, + 8)，且 f (xi ) = f (x2),求證：x1 + x2 2.? ? .-.已知橢圓？沏+討?= ?(? ? ?出的點(diǎn)到它的兩個(gè)焦的距離之和為？以橢圓？的短軸為直徑的圓？繪過這兩個(gè)焦點(diǎn)，點(diǎn)？ ？吩別是橢圓？的左、右頂點(diǎn).(?求圓？質(zhì)口橢圓？的方程.(?已知？ ？吩別是橢圓？和圓？?的動(dòng)點(diǎn)(？ ？址于？軸兩側(cè))，且直線？?宵？軸平行， 直線？?？?分別與？軸交于點(diǎn)？，？?.求證：/?為定值.將所有平面向量組成的集合記作？，？ ？是從？?用/的映射，記作？?= ?或(?)=?(?,其中？初？?？?,?？?都是

7、實(shí)數(shù).定義映射？的模為：在|郢=?的條彳下|?的最大值，記做II ? II 若存在非零向量? ?夕？及實(shí)數(shù)？使得？?= ?則稱？為？的一個(gè)/I征值.?(I)若？?(?)= (?,求 II ? II(n)如果？?(？?？?？ = (?+ ?% ?)，計(jì)算？?勺特征值，并求相應(yīng)的？(出)試找出一個(gè)映射 ？滿足以下兩個(gè)條件：有唯一白特征值？II ? |?.|(不需證明)北京八中第一學(xué)期點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了拋物線的簡(jiǎn)單性質(zhì).考查了學(xué)生對(duì)拋物線基礎(chǔ)知識(shí)的熟練掌握.3. C?高三期中考試數(shù)學(xué)(理科)試題數(shù)學(xué)答案參考答案. B【解析】【分析】根據(jù)A AB=0,得出log 7 m=0 ,求出m的值，從而得出n

8、的值，再求出 m+n的值.【詳解】根據(jù) A=2 , log 7 m , B=m , n,且 ACB=0,得 log 7m=0 ,解得 m=1 ;. .n=0 ,-m+n=1+0=1.故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查了集合交集的定義與應(yīng)用問題，是基礎(chǔ)題目. B【解析】試題分析：解：F (2, 0) K (-2, 0),過 A 作 AM，準(zhǔn)線，則 |AM|=|AF|,|AK|= v?AM|，必FK 的高等于 |AM| ,設(shè) A (m2, 23m) (m0)則FK 的面積=4 X一 ?2 v?m ?=4 V?m又由|AK|= v?AF| ,過A作準(zhǔn)線的垂線，垂足為 P,三角形APK為等腰直角三, 一一 一

9、一 ，一?角形，所以 m= v?.逸FK的面積=4 X2 V?m ?=8故答案為B考點(diǎn)：拋物線的簡(jiǎn)單性質(zhì) 二 _ 令?(?= ?+ ? ?(?)= ?+ ? ?.,.?(?學(xué)調(diào)遞增,且?(?= ? ?是 ？?+ ?的必要條件.故選 C.?(_?) = (_? + -)?(-?=) -(? - _)?=?(?).? n所以函數(shù)？?(?保奇函數(shù)，所以函數(shù) ？?(?)圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，故排除？?？當(dāng)？?= ?寸,?(?= (?-芻？?=?；- ?32= - 4.【點(diǎn)睛】本題考查了數(shù)量積運(yùn)算性質(zhì)、向量的平行四邊形法則、向量共線定理，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題.6. A11?11?11?對(duì)于,

10、 sin(2 *_12_ + _6) = sin2?= 0,. ？%) = ，2? ?sin(2+-)=0,故正確；對(duì)于，根據(jù)函數(shù)的表達(dá)式，得 ？(-?) w ?(?)故？?= ?(?禪不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù)，故正確；由圖象可以知道，函數(shù)均為減函數(shù),所以 0 ? 1 , 0 ? 0,且？W 0)的圖象經(jīng)過點(diǎn)?,根據(jù)對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)可知:?，?+ ?,平方得? ?+ ?矛盾，故假設(shè)不成立，所以經(jīng)過點(diǎn)? ? 1 .故選 A .7. D試題分析：.函數(shù)?(?= ?(?)?-? ?如有一個(gè)交點(diǎn)，圖象如圖所示，k的取值范圍是? ?艮有一個(gè)零點(diǎn)，？?=?(?與？?=(-8,-1) U0,1.(?的所有

11、直線均與函數(shù)？?= ?(?)圖象相交，故不正確.考點(diǎn)：三角函數(shù)的圖象變換、兩角和與差的正弦函數(shù).9. C.百【解析】解：在極坐標(biāo)系中，圓 ？?= 2 ? ?+ ?3- 4的圓心(0,0)到直線？?cos? ?sin?- 2即為x+y=2的距離為工10. -3【解析】由題意可知雙曲線的漸近線方程為？?= V?,.其中一條漸近線的傾斜是 60,a7?7 =西，故？ = -3 .考點(diǎn)：函數(shù)零點(diǎn)問題.8. A試題分析：由題意得:試題分析：?(?= ?sin2? ?cos2?，?？+ ?sin(2?+ ?)考點(diǎn)：直線位置關(guān)系?八中角,滿足 cos，.-，？?_?7 , sin.=，？?+?7, 一？，一

12、 八、:？(?戶 |?(?| 對(duì)一切？e ?才旦成立,?(? =，?+ ?或-，？ + ?,得 2 X?+?=?-+ ? ?e ?因止匕?=?-+ ? ?e ?61o?(?= V ?+ ?sin(2? + 6 +o?八o?= ，？?+ ?sin(2?+ 6)或-，？+ ?sin(2?+?6)，12. (- 8,1【解析】 ?= 2?試題分析：由題意，由?+? 2?= 0 ,可求得交點(diǎn)坐標(biāo)為(1,2),要使直線？?= 2?比存在點(diǎn)?+? 3 0,(?滿足約束條件? 2?- 3 ?,一國考點(diǎn)：線性規(guī)劃.1,3【解析】解：如圖令 ZOAB = ?由于 AB = 2 故 0A = 2cos? OB =

13、 2sin?如圖 /DAX = ?- ? BC = 1,故xd = 2cos?+ cos (?-? = 2cos?+ sin?22，yD = sin (2 - ? = cos?故O? = (2cos?+ sin? cos?同理可求得 C (sin? cos?+ 2sin?,即 OC = (sin? cos?+ 2sin?, .O?OC = (cos?+ 2sin? cos? ? (sin? 2cos?+ sin? = 2 + sin2?.OSO? = (cos?+ 2sin? cos? ? (sin? 2cos?+ sin? = 2 + sin2?O? OC的最大值是3,最小值是1,故答案是：

14、1, 3.(1)(2) ? 0 或?W -?【解析】試題分析：(1)在xwO時(shí)，f (x) =*解，即函數(shù)具有性質(zhì)P,令-2x+2 v2 =即-2?2+ 23？ 1 = 0=8-8=0,故方程有一個(gè)非 0實(shí)根，故f (x) =-2x+2v2具有性質(zhì)P;1f (x) =sinx (xC0, 2 nt1的圖象與 y=?父點(diǎn)，故 sinx=?聲解，故 f (x) =sinx (xC0, 2nt具有性質(zhì) P;令x+?=1?此方程無解，故 f (x) =x+? (xC (0, +8)不具有性質(zhì) P；綜上所述，具有性質(zhì) P的函數(shù)有：，?0123?72421407401120隨機(jī)變量？?勺數(shù)學(xué)期望1 .f

15、(x) =alnx具有性質(zhì)P,顯然aw。方程xlnx聲根，. g (x) =xlnx 的值域-2+)- ?解之可得：a0或ave.考點(diǎn)：本題考查方程和函數(shù)的綜合點(diǎn)評(píng)：解決本題的關(guān)鍵是審清題意，把方程的解轉(zhuǎn)化為兩個(gè)圖象有交點(diǎn)，本題考查的是方程的根，新定義，函數(shù)的值域，是方程和函數(shù)的綜合應(yīng)用，難度比較大.49(1)-60； (2)詳見解析.【解析】試題分析：(1 )求得所有基本事件的種數(shù)以及符合題意的基本事件種數(shù)，利用古典概型從而求解；(2)求得？?= 0, 1, 3時(shí)的概率，得到分布列后即可求解期望.試題解析：(1)設(shè) 選出的3名同學(xué)來自不同班級(jí)”為事件？則？?(?=生繆?3 = _49, .選

16、 TOC o 1-5 h z ? 1060出的3名同學(xué)來自班級(jí)的概率為 言；(2)隨機(jī)變量？?勺所有可能值為0, 1,2, 3,則?0 ?7 7?1?亨 21 ?7?(?= 0)=素，；？?(?=片-二茄；？?(?= 2)=專，；?(?= 3)= 等=喘，隨機(jī)變量？?勺分布列是?(?)= 0 X + 1 X? + 2 X + 3 X=. 24494012010考點(diǎn)：1.隨機(jī)變量的概率分布及其期望；2.古典概型.(1) ?=字；？=：； (2)見解析 63【解析】試題分析：(1)將點(diǎn)(0, 33)代入，由已給條件可求得 ?=由cos (超？+ J =?并結(jié)合圖象可求得？ = 5. 3(2)由(1

17、)可得到?(?+ ?：?+ 1) = v3cos (兀?+ 3，由？?C - 1，得-超?+332 3633則|FA|+|FB|的取值范圍可求.可得在 7?+ - = 0 和 71?+ -= 33,函數(shù)？?(?9別取得最大值和最小值?！驹斀狻?1)如圖，當(dāng)直線l的斜率為0時(shí)，直線l的方程為y=0;試題解析：(I) .圖象過點(diǎn)(0,斗，.一cos?=搟當(dāng)直線l的斜率不為0時(shí)，設(shè)直線方程為y=k (x+2),又0 ? 2，.?= 6c,?= ?(?+ 2) r聯(lián)立.？ )4?丁，得 k，2+ (44)x+4k 2=0由 cos(冠？+ 6) = J,得？= 2?或?= - 3+ 2? ?e ?由

18、二 (4k2-4) 2T6k4=-32k2+16=0,解得k=.直線方程為 y= (?+ 2).又？?(?)周期為2,結(jié)合圖象知0 ? 0,得一當(dāng) 7?+ 3 = 0,即34-4? 2 ?+?= -?t當(dāng)超?+ 3= 2,即？?= 1時(shí)，？(?鰥得最小值-?|FA|=?+ - = ? + 1?|FB|=? + - = ? +點(diǎn)睛：三角函數(shù)式的化簡(jiǎn)要遵循 三看”原則則 |FA|+|FB|= ?+ ? +2 = 4-4?2 + 2 = 2(1)一看角”，這是最重要的一環(huán)，通過看角之間的區(qū)別和聯(lián)系，把角進(jìn)行合理的拆分，從.。?6.而正確使用公式;(2)而看函數(shù)名稱”看函數(shù)名稱之間的差異，從而確定使用

19、公式，常見的有切化弦”；(3)三看結(jié)構(gòu)特征”,分析結(jié)構(gòu)特征，可以幫助我們找到變形的方向，如遇到分式通分”等17. (1)v2y + 2 = 0(2) (6, + -【解析】【分析】(1)當(dāng)直線l的斜率為。時(shí)，直線l的方程為y=0 ;當(dāng)直線l的斜率不為0時(shí)，設(shè)直線方程為y=k (x+2),聯(lián)立直線方程與拋物線方程,化為關(guān)于x的次方程，利用判別式為 0求得k. |FA|+|FB| 的取值范圍是(6, +8).值，則直線方程可求.本題考查拋物線的簡(jiǎn)單性質(zhì)，考查直線與拋物線位置關(guān)系的應(yīng)用，是中檔題.?= ?(? 2)(2)聯(lián)立聯(lián)立 ?=(4?)，得k2x2+ (4k2-4) x+4k2=0,利用判別式

20、大于 0求得k的范1(1)在(-8J)內(nèi)是增函數(shù)，在(1,+8)內(nèi)是減函數(shù).在?= 1處取得極大值？?(1汨?(1)=-?(2)見解析(3)見解析圍，再由拋物線的焦半徑公式及根與系數(shù)的關(guān)系可得？+?= 等?= ?彳 +著=2-？(4-2?(2)?-2?2=0,【解析】【分析】(I)直接利用函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，求出極值點(diǎn)，判斷導(dǎo)函數(shù)的符號(hào)，即可求函數(shù)f (x)的單調(diào)區(qū)間及極值；(n )令 g (x) =f (x) - f (2 - x)求出 g (x) = (x-1) ( e2x 2- 1) e x,通過 x1,判斷 g (x)在1 , +8)上是增函數(shù)，即可證明當(dāng) x 1時(shí)，f (x) f (2- x

21、);(m)因?yàn)閤i, x2分別在(0, 1)和(1, +8)利用函數(shù)的關(guān)系式，證明xi+x22.【詳解】解：？(=?)1-x) e x令? (?)0,則 x=1當(dāng)x變化時(shí)，？(?f (x)的變化情況如下表：x(-0, 1 )1(1, +)? (?)+0一f (x)極大值，f (x)在(-1)上是增函數(shù)，在(1, +OO)上是減函數(shù) 1，f (x)在x=1處取得極大值-?(n)證明：令 g (x) =f (x) - f (2 - x)貝U g (x) =xe x- (2x) ex 2，g (x) = (xT) (e2x 2T) e x,當(dāng) 0 ? 1 時(shí)，2? 2 0,從而？2?-2 - 1 0

22、所以？(皆)0,從而函數(shù)?(?9(0,1)是增函數(shù). e x0,g (x) 0, . . g (x)在1, +8) 上是增函數(shù)又g (1) =0 1- 0 x1 時(shí),g (x) g (1) =0即當(dāng) 0 x1 時(shí)，f (x) f (2-x)(m)證明：。 ? 1由(n)得:?(？) ?(2- ?)?(? = ?(殳？?(? 2- ?即？ + ? 2【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用，函數(shù)的單調(diào)性的判斷極值的求法，考查分析問題解決問題的 能力.( 1) ?+ ?2 = 2;/ + 玄=1; (2)見解析.【解析】試題分析：(1)根據(jù)橢圓定義知2?= 4,又？?= ?因此易求得？?？得橢圓方程，

23、從而也得到圓的方 程；(2)設(shè)出？?(?？)，？?(?,？?)，分別代入橢圓方程和圓的方程得到兩個(gè)關(guān)系式，寫出直線 AP 的方程，求出M點(diǎn)坐標(biāo)，同理寫出BP方程，求出N點(diǎn)坐標(biāo)，再求得向量？?？并計(jì)算數(shù)量積 ?結(jié)果為 0,可得 /? 90 .試題解析：2?= 4_(1 )依題意?= ?,得？?= 2, ?= ?=技，?=?+ ?圓方程？ + ? = 2,橢圓？歷程】+1=1 .(2)設(shè)？(?？?)，?(? ?), TOC o 1-5 h z ./ + = 1, ?+?= 2, ? W0, ?2?. ?程?=年(?+ 2),令？?= 0時(shí)，?(0,奉), 、-？/-2?n?程為？?=白(?- 2)

24、,令？?= 0得？?(0,斐)， 0 N, 0 .?(-?1，施-?)，然?(-?1錄-?)，? 90.點(diǎn)睛：設(shè)而不求”是解題過程中根據(jù)需要設(shè)郵變量，但并不直接求出其具體值，而是利用某種關(guān)系(如和、差、積)來表示變量之間的聯(lián)系，在解決圓錐曲線的有關(guān)問題時(shí)能夠達(dá)到種化難為易、化繁為簡(jiǎn)”的效果，在直線與圓錐曲線的位置關(guān)系問題中，步驟一般如下：(1)設(shè)直線方程？?= ? ?芍橢圓為?+ ?= 1的兩個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)為 ？?(?？?),？?(?？?)；(2)聯(lián)立直線與橢圓的方程組成方程組，消元得一元二次方程；（3）利用韋達(dá)定理得？+ ?,?, ?+ ?,?,然后再求弦長(zhǎng)以及面積，或求其他量（如本題向量的數(shù)量積）20. ( 1) 1 (2) ?= v2 ,?= ?(v2 + 1,1), ?= - v2, ?= ?(1 - v2,1) (3)見解析.【解析】【分析】本題考查新定義，考查學(xué)生的計(jì)算能力，考查學(xué)生分析解決問題的能力，正確運(yùn)用新定義是關(guān)