天津科技大學(xué)第二學(xué)期高等數(shù)學(xué)(一二)期末試卷A 答案

1、(A)y*=(ax+b)e4x；(b)y*=x(ax+b)e4x；得分1.函數(shù)z二f(x,y)在點(diǎn)P(x,y)處的兩個(gè)偏導(dǎo)數(shù)f(x,y)及000 xf(x,y)存在是函數(shù)z二f(x,y)可微的(B)條件.y(A)充分；(B)必要；(C)充分且必要；(D)即非充分又非必要.2.曲線積分I(1+xy2)dx+yf(x)dy與積分路徑無關(guān)，且f(0)二1，則可微函數(shù)Lf(x)二(B).(A)2x+1；(B)x2+1；(C)2xy+1；3.已知區(qū)域D=x,y):x2+y2o,(D)x2y+1.則用極坐標(biāo)化二重積分f(x,y)dxdy為二次積分是(C).D(A)(C)J2Kdof1f(rcos0,rsi

2、n0)rdr；0卜dof1f(rcos0,rsin0)rdr；00(B)(D)JdOJ1f(rcos0rsino)dr；00J2doJ1f(rcoso,rsino)dr.004.下列級數(shù)中，絕對收斂的是(D(A)藝巳nn=1(B)藝爭(C)n=1(1)n-1”=Jn(n+1)(D)(-1)n-15.微分方程y-8y+16y=(1一x)e4x的特解形式是(C)(C)y*=x2(ax+b)e4x；(d)y*=(ax2+bx+c)e4x.得分二、填空題（每小題3分,共15分）1.設(shè)函數(shù)z=xsiny,貝J=xcosy.oy2.z=4x2-y2在點(diǎn)(0,0)取到極大值.已知曲線L:x2+y2=1，則曲

3、線積分J4ds=8兀.口已知級數(shù)工axn在x=3收斂，那么級數(shù)工a2n絕對收斂.（填“收斂“絕nnn=0n=0對收斂”“發(fā)散”“不確定”）微分方程FC,（y）2,y4）=0的通解中含有2個(gè)獨(dú)立任意常數(shù).得分三、多元函數(shù)微分學(xué)計(jì)算題（每小題6分,共12分）oz1.若函數(shù)z=z(x，y)由方程x2+2y+z2=z確定求ox-解：方程兩端同時(shí)對x求偏導(dǎo)（2分）得2x+2z暮甘，（5分）普=呂（6分）oxoxox12z2若函數(shù)z=f（x，y）有一階偏導(dǎo)數(shù)設(shè)z=/（xy，x2+y2），求0-解：竺=fxOy1(3分)+2y(6分)得分多元積分學(xué)計(jì)算題（每小題7分,共14分）1.計(jì)算二重積分IJJydxd

4、y其中區(qū)域D由y=x2及y=1圍成.D解：區(qū)域D:-1x1,x2y1（2分）所以I=JJydxdyJ1dxJ1ydy4分）6分）（7分）=J1（1-x4）dx2-1=4=52.計(jì)算I=JJxy2dydz+x2ydzdx+x2dxdy，其中S是立體QQ=x,y,z）：x2+y2z1的整個(gè)表面外側(cè).八QP八QQ廠OR八TOC o 1-5 h z解：P=xy2,=y2，Q=x2y,=x2，R=x2,=0OxOyOz3分）Q:002兀,0r1,r2z1由高斯公式，I=JJJ（x2+y2）dxdydz=J2兀d0J1rdrJ1r2dz（5分）00r2Q7分）得分微分方程計(jì)算題（每小題8分,共16分）1.

5、當(dāng)|x1時(shí)，求微分方程（1-x2）y-xy=0的通解.解：設(shè)y=P，則y=P（3分）原方程變?yōu)椋?-x2）-xp=0,于是塑=dxp1-x2（4分）y=p=C16分）n=1n=1TOC o 1-5 h z/.y=Carcsinx+C（8分）122求微分方程y4y+3y=0滿足初始條件y（0）=1,y（0）=3的特解.解：特征方程是r2-4r+3=0所以ri=1，r2=3（3分） HYPERLINK l bookmark10 o Current Document 通解是Y=Ciex+qe3x（4分）YCex+3Ce3x，12C+C1帶入初始條件得J1山進(jìn)而C0,C1（7分）C+3C31212所求

6、特解是Ye3x.（8分）得分六、無窮級數(shù)（每個(gè)7分，共21分）1.判別級數(shù)藝Sinn的斂散性，若收斂，指出是絕對收斂還是條件收斂.n2n=1解：對于牙sinnn2n=1sinn由于n2n22分）級數(shù)n=11n2收斂，從而由比較法知級數(shù)n=1sinn收斂6分）Esinn絕對收斂。（7分）n2n=12.求級數(shù)nx-的收斂半徑和收斂區(qū)間.2n解：n22n+lR=limn2(n+1)24分)TOC o 1-5 h z收斂區(qū)間是(-2,2)。(7分)3.將函數(shù)f(x)=丄展為x的幕級數(shù)，并指出收斂區(qū)間.x-3解：f(x)=-(2分)x-33-x111弋1=乙Xn31X33n1n=03的15分)(4分)=-LXn3n+1n=0 x得分由31=|x3知收斂區(qū)間是(3,3)。(7分)七、(7分)計(jì)算曲線積分I=f申(y)cosx兀ydx+0(y)sinx兀dy其中AMBAMB連接A(兀,2)與B(3k,4)的線段AB下方的任意分段光滑的簡單閉曲線，且該曲線與AB所圍區(qū)域D面積為2.解：補(bǔ)BA，(1分)已知P=9(y)cosx兀y，Q=0(y)sinx兀，由格林公式得fPdx+Qdy=aMBadff匹apQxSydxdy=kffdxdy=2