2012屆高三數(shù)學一輪復(fù)習 7.1 函數(shù)與方程思想學案

1、PAGE PAGE - 17 -用心 愛心 專心專題七：思想方法專題 第一講 函數(shù)與方程思想【思想方法詮釋】函數(shù)與方程都是中學數(shù)學中最為重要的內(nèi)容。而函數(shù)與方程思想更是中學數(shù)學的一種基本思想，幾乎滲透到中學數(shù)學的各個領(lǐng)域，在解題中有著廣泛的應(yīng)用，是歷年來高考考查的重點。1函數(shù)的思想函數(shù)的思想，是用運動和變化的觀點，分析和研究數(shù)學中的數(shù)量關(guān)系，建立函數(shù)關(guān)系或構(gòu)造函數(shù)，運用函數(shù)的圖象和性質(zhì)去分析問題、轉(zhuǎn)化問題，從而使問題獲得解決。函數(shù)思想是對函數(shù)概念的本質(zhì)認識，用于指導解題就是善于利用函數(shù)知識或函數(shù)觀點觀察、分析和解決問題。經(jīng)常利用的性質(zhì)是單調(diào)性、奇偶性、周期性、最大值和最小值、圖象變換等。2方程

2、的思想方程的思想，就是分析數(shù)學問題中變量間的等量關(guān)系，建立方程或方程組，或者構(gòu)造方程，通過解方程或方程組，或者運用方程的性質(zhì)去分析、轉(zhuǎn)化問題，使問題獲得解決。方程的教學是對方程概念的本質(zhì)認識，用于指導解題就是善于利用方程或方程組的觀點觀察處理問題，方程思想是動中求靜，研究運動中的等量關(guān)系。3函數(shù)思想與方程思想的聯(lián)系函數(shù)思想與方程思想是密切相關(guān)的，如函數(shù)問題可以轉(zhuǎn)化為方程問題來龍去脈解決；方程問題也可以轉(zhuǎn)化為函數(shù)問題加以解決，如解方程f(x)=0，就是求函數(shù)y=f(x)的零點，解不等式f(x)0(或f(x)0)，就是求函數(shù)y=f(x)的正負區(qū)間，再如方程f(x)=g(x)的交點問題，也可以轉(zhuǎn)化為

3、函數(shù)y=f(x)-g(x)與x軸交點問題，方程f(x)=a有解，當且公當a屬于函數(shù)f(x)的值域，函數(shù)與方程的這種相互轉(zhuǎn)化關(guān)系十分重要。4函數(shù)與方程思想解決的相關(guān)問題（1）函數(shù)思想在解題中的應(yīng)用主要表現(xiàn)在兩個方面：借助有關(guān)初等函數(shù)的性質(zhì)，解有關(guān)求值、解（證）不等式、解方程以及討論參數(shù)的取值范圍等問題；在問題研究中通過建立函數(shù)關(guān)系式或構(gòu)造中間函數(shù)；把研究的問題化為討論函數(shù)的有關(guān)性質(zhì)，達到化難為易，化繁為簡的目的。（2）方程思想在解題中的應(yīng)用主要表現(xiàn)在四個方面：解方程或解不等式；帶參變數(shù)的方程或不等式的討論，常涉及一元二次方程的判別式、根與系數(shù)的關(guān)系、區(qū)間根、區(qū)間上恒成立等知識應(yīng)用；需要轉(zhuǎn)化為方程

4、的討論，如曲線的位置關(guān)系；構(gòu)造方程或不等式求解問題。【核心要點突破】要點考向1：運用函數(shù)與方程的思想解決字母或式子的求值或取值范圍問題例1：若a、b是正數(shù)，且滿足ab=a+b+3，求ab的取值范圍。思路精析：用a表示b根據(jù)b0，求a的范圍把ab看作a的函數(shù)求此函數(shù)的值域。解析：方法一：（看成函數(shù)的值域）即a1或a-3.又a0,a1,故a-10。當且僅當a-1=，即a=3時取等號.又a3時, a-1+5是關(guān)于a的單調(diào)增函數(shù),ab的取值范圍是9,+).方法二(看成不等式的解集)a,b為正數(shù), a+b2,又ab= a+b+3, ab2+3.即解得方法三:若設(shè)ab=t,則a+b=t-3, a,b可看成

5、方程的兩個正根.從而有,即解得t9,即ab9.注(1)求字母(或式子)的值問題往往要根據(jù)題設(shè)條件構(gòu)建以待求字母(式子)為元的方程 (組),然后由方程 (組)求得.(2)求參數(shù)的取值范圍是函數(shù)、方程、不等式、數(shù)列、解析幾何等知識中的重要問題。解決這類問題一般有兩條途徑，其一，充分挖掘題設(shè)條件中的不等關(guān)系，構(gòu)建以待求字母為元的不等式（組）求解；其二，充分應(yīng)用題設(shè)是的等量關(guān)系，將待求參數(shù)表示成其他變量的函數(shù)，然后，應(yīng)用函數(shù)知識求值域.(3)當問題中出現(xiàn)兩數(shù)積與這兩數(shù)和時，是構(gòu)建一元二次方程的明顯信號，構(gòu)造方程后再利用方程知識可使問題巧妙解決.(4)當問題中出現(xiàn)多個變量時,往往要利用等量關(guān)系去減少變量

6、的個數(shù),如最后能把其中一個變量表示成關(guān)于另一個變量的表達式,那么就可用研究函數(shù)的方法將問題解決.要點考向2：運用函數(shù)與方程思想解決方程問題例2：已知函數(shù)或與的圖象在內(nèi)至少有一個公共點，試求的取值范圍。思路精析：化簡的解析式令=分離求函數(shù)的值域確定的范圍解析：與的圖象在內(nèi)至少有一個公共點，即有解，即令=，當且僅當，即cosx=0時“=”成立。當a2時，與所組成的方程組在內(nèi)有解，即與的圖象至少有一個公共點。注：（1）本例中把兩函數(shù)圖象至少有一個公共點問題轉(zhuǎn)化為方程有解問題即把函數(shù)問題用方程的思想去解決（2）與本例相反的一類問題是已知方程的解的情問題，求參數(shù)的取值范圍研究此類含參數(shù)的三角、指數(shù)、對數(shù)

7、等復(fù)雜方程解的問題的，通常有兩種處理思路：一是分離參數(shù)構(gòu)建函數(shù)，將方程有解轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的值域；二是換元，將復(fù)雜方程問題轉(zhuǎn)化為熟悉的二次方程；進而利用二次方程解的分布情況構(gòu)建不等式（組）或構(gòu)造函數(shù)加以解決要點考向3：運用函數(shù)與方程思想解決不等式問題例3：（1）已知且那么（）（2）設(shè)不等式對滿足m-2，2的一切實數(shù)m都成立，求x的取值范圍思路精析：（1）先把它變成等價形式再構(gòu)造輔助函數(shù)利用函數(shù)單調(diào)性比較（2）此問題常因為思維定勢，易把它看成關(guān)于x的不等式討論，若變換一個角度，以m為變量，使f(m)= ，則問題轉(zhuǎn)化為求一次函數(shù)（或常函數(shù)）f(m)的值在-2，2內(nèi)恒負時，參數(shù)x應(yīng)滿足的條件解析：（1）

8、選B設(shè)因為均為R上的增函數(shù)，所以是R上的增函數(shù)又由，即，即x+y0(2)設(shè)f(m)= ，則不等式2x-1m 恒成立恒成立在時， 即解得，故x的取值范圍是注：1在解決值的大小比較問題時，通過構(gòu)造適當?shù)暮瘮?shù)，利用函數(shù)的單調(diào)性或圖象解決是一種重要思想方法；2在解決不等式恒成立問題時，一種最重要的思想方法就是構(gòu)造適當?shù)暮瘮?shù)利用函數(shù)的圖象和性質(zhì)解決問題同時要注意在一個含多個變量的數(shù)學問題中，需要確定合適的變量和參數(shù)，從而揭示函數(shù)關(guān)系，使問題更明朗化，一般地，已知存在范圍的量為變量而待求范圍的量為參數(shù)要點考向3：運用函數(shù)與方程思想解決最優(yōu)化問題例4：圖1是某種稱為“凹槽”的機械部件的示意圖，圖2是凹槽的橫

9、截面（陰影部分）示意圖，其中四邊形ABCD是矩形，弧CmD是半圓，凹槽的橫截面的周長為4.已知凹槽的強度與橫截面的面積成正比，比例系數(shù)為,設(shè)AB=2x,BC=y.（）寫出y關(guān)于x函數(shù)表達式，并指出x的取值范圍；（）求當x取何值時，凹槽的強度最大. 解析：（）易知半圓CmD的半徑為x，故半圓CmD的弧長為. 所以 ，得 4分 依題意知： 得所以，（）. 6分（）依題意，設(shè)凹槽的強度為T，橫截面的面積為S，則有 8分 . 11分因為,所以，當時，凹槽的強度最大. 答: 當時，凹槽的強度最大. 13分注：解析幾何、立體幾何及實際應(yīng)用問題中的最優(yōu)化問題，一般是利用函數(shù)的思想解決，思路是先選擇恰當?shù)淖兞?/p>

10、建立目標函數(shù)，然后再利用有關(guān)知識，求函數(shù)的最值?！靖櫮M訓練】一、選擇題（每小題6分，共36分）1.已知正數(shù)x,y滿足xy=x+9y+7，則xy的最小值為( )(A)32(B)43(C)49(D)602方程有解，則m的最大值為（ ）(A)1(B)0(C)-1(D)-23.一個高為h0，滿缸水量為V0的魚缸的軸截面如圖所示，其底部有一個小洞，滿缸水從洞中流出，當魚缸口高出水面的高度為h時，魚缸內(nèi)剩余水的體積為V,則函數(shù)V=f(h)的大致圖象可能是（ ）4.對任意a-1,1，函數(shù)f(x)=x2+(a-4)x+4-2a的值總大于零，則x的取值范圍是( )(A)1x3(B)x3(C)1x2(D)x2

11、5.若正實數(shù)a,b滿足ab=ba，且ab(B)ab(C)a=b(D)不能確定a,b的大小6已知圓上任意一點P(x,y)都使不等式恒成立，則m的取值范圍是（ ）二、填空題（每小題6分，共18分）7的定義域和值域都是1，k，則k= 8已知數(shù)列中，若數(shù)列的前30項中最大項是，最小項是，則m= ,n= 9.設(shè)f(x)，g(x)分別是定義在R上的奇函數(shù)和偶函數(shù),當x0,且g(-3)=0,則不等式f(x)g(x)0的解集是_.三、解答題(10、11題每題15分，12題16分，共46分)10.已知二次函數(shù)f(x)=ax2+bx(a,b為常數(shù)，且a0)滿足條件:f(x-1)=f(3-x)且方程f(x)=2x有

12、相等實根.(1)求函數(shù)f(x)的解析式;(2)是否存在實數(shù)m,n(m0得a(x-2)+x2-4x+40，令g(a)=a(x-2)+x2-4x+4，由不等式f(x)0恒成立,即g(a)0在-1,1上恒成立.56789【解析】令F(x)=f(x)g(x)，由f(x)，g(x)分別是定義在R上的奇函數(shù)和偶函數(shù)，得F(x)是奇函數(shù).又當x0，x0時，F(xiàn)(x)為增函數(shù).又F(x)為奇函數(shù)，故F(x)在0，+）也是增函數(shù).F(-3)=f(-3)g(-3)=0=-F(3)，F(xiàn)(x)0的解集是(-,-3)(0,3)，如圖.答案：（-,-3）（0，3）10【解析】(1)方程ax2+bx-2x=0有相等實根,=(

13、b-2)2=0,得b=2,由f(x-1)=f(3-x)知此函數(shù)圖象的對稱軸方程為x=1,得a=-1.故f(x)=-x2+2x.11【解析】以點O為原點，OA所在的直線為x軸，建立直角坐標系，設(shè)拋物線的方程為x2=2py，由C(2,4)代入得:p=，所以曲線段OC的方程為:y=x2(x0,2).A(-2,0)，B(-2,4),設(shè)P(x,x2)(x0,2)，過P作PQAB于Q，PNBC于N,故PQ=2+x,PN=4-x2，則矩形商業(yè)樓區(qū)的面積S=(2+x)(4-x2)(x0,2).S=-x3-2x2+4x+8，12【備課資源】1.已知拋物線y2=4x上一點A(x0,y0)，F(xiàn)是其焦點，若y01,2

14、，則|AF|的范圍是( )(A),1(B) ,2(C)1,2(D)2，3【解析】選B.拋物線準線方程為x=-1,則|AF|=x0+1,4.已知命題p：“對xR，mR，使4x+2xm+1=0”，若命題p是假命題，則實數(shù)m的取值范圍是( )(A)-2m2(B)m2(C)m-2(D)m-2或m2【解析】選C.由已知：命題p為真命題,即方程4x+2xm+1=0有解,-m=2x+2-x2，即m-2.6.已知函數(shù)f(x)=ln(2x)和g(x)=2ln(2x+m-2)，mR的圖象在x=2處的切線互相平行.(1)求m的值；(2)設(shè)F(x)=g(x)-f(x).當x1,4時,F(x)2tln4恒成立,求t的取值范圍.所以當1x2時，G(x)0，當20.故G(x)在1,2)是單調(diào)減函數(shù),在(2,4是單調(diào)增函數(shù).所以G(x)min=G(2)=16，G(x)max=G(1)=G(4)=18.因為當x1,4時，F(xiàn)(x)2tln4恒成立,所以F(x)min2tln4.即ln162tln4，解得t1.綜上所述,滿足條件的t的取值范