高考數(shù)列專題題型講解及答案

1、數(shù)列題型一、數(shù)列的綜合問題3一【例11已知首項(xiàng)為2的等比數(shù)列an不是遞減數(shù)列，其前n項(xiàng)和為Sn（n N ）,且Sa+as, Se+as, S4 + a4成等差數(shù)列.求數(shù)列an的通項(xiàng)公式；設(shè)Tn=Sn Sn（nC N*）,求數(shù)歹ITn的最大項(xiàng)的值與最小項(xiàng)的值.解（1）設(shè)等比數(shù)列an的公比為q,S3+ as, Ss+as, S4+a4成等差數(shù)列，所以S5+asS3 as=S4+a4Ss%,即 4a5 = as,1=1.于是又an不是遞減數(shù)列且ai = 3,所以q= 1.r a3 4 3 13故等比數(shù)列an的通項(xiàng)公式為an=|x=(1)n 132n.11 1甲11 +王，n為奇數(shù), 由（1）得 $=

2、1 （5）=11下，n為偶數(shù),當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，Sn隨n的增大而減小，3所以 1Sn&S = 2，故0VSSb S 3-2= 6當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，Sn隨n的增大而增大,一.3 一 一所以 4= 28n1，綜上，對于nC N ,總有一亮&Sn/&. 12Sn 6 一57所以數(shù)列Tn最大項(xiàng)的值為6,最小項(xiàng)的值為12.【分析】解決等差數(shù)列與等比數(shù)列的綜合問題，既要善于綜合運(yùn)用等差數(shù)列與等 比數(shù)列的相關(guān)知識求解，更要善于根據(jù)具體問題情境具體分析，尋找解題的突破 口.【即時(shí)應(yīng)用】已知數(shù)列an是公差不為零的等差數(shù)列，其前 n項(xiàng)和為Sn,滿足S -2a2 = 25,且ai, a% a13恰為等比數(shù)列bn的前三項(xiàng).(

3、1)求數(shù)列 an , bn的通項(xiàng)公式；設(shè)Tn是數(shù)列q5二珀前n項(xiàng)和，是否存在kC N*,使得等式12Tk=5成立？ 若存在，求出k的值；若不存在，請說明理由.解(1)設(shè)等差數(shù)列an的公差為d(dw0),5(5X4一3 5ai+ 2d !2 (ai + d) = 25,I (ai + 3d) 2 = ai (ai + 12d),解得 ai = 3, d = 2,an = 2n+ 1. bi = ai = 3, b2=a4 = 9,.等比數(shù)歹Ibn的公比q = 3, .bn=3n.不存在.理由如下：anl+i = (2n+1) 1(2n+3) =2 n+1 - 2n + 3 JT11Tn-2 愷

4、5 廣(5 7 廣 +5+1 2n+ 3 力23 2n+3211-2Tk= 3+2k73(kCN ),易知數(shù)列2k+3為單調(diào)遞減數(shù)列，ti-2Tk不存在k N*,使得等式1 2Tk= (成立.題型二、數(shù)列的通項(xiàng)、求和求和要善于分析通項(xiàng)的結(jié)構(gòu)特征，選擇合適的求和方法 .常用求和方法有：錯位相 減法、裂項(xiàng)相消法、分組求和法等.【例2】設(shè)等差數(shù)列an的公差為d,前n項(xiàng)和為Sn,等比數(shù)列bn的公比為q, 已知 bi = ai, b2 = 2, q = d, Sic)=100.(1)求數(shù)列 an , bn的通項(xiàng)公式；an當(dāng)d1時(shí)，記Cn=b，求數(shù)歹UCn的刖n項(xiàng)和Tn.10ai +45d =100,解由

5、題意有,c ad=2,2a1 + 9d=20, 即ad=2,解得a=1或FTd=&故an=2n 1,瓦=2n 11 ，一 一、an=9 (2n + 79), 或9. 12Tl1bn=9 9解由d1,n- 1知 an = 2n 1, bn = 2,故 On：2,于是 Tn=1+2+:+-+為+ 23J，1 1 3 _5 Z 92n-1 小2Tn = 2 + 22+ 23 + 24 + 25+2n .可得11 11 2n 12Tn = 2 +2 +22+ 21-2 - 2n=3 2n 32n+ 3故 Tn = 6- 2n-1 .【分析】用錯位相減法解決數(shù)列求和的模板第一步：(判斷結(jié)構(gòu))若數(shù)列& b

6、n是由等差數(shù)列an與等比數(shù)列bn(公比q)的對應(yīng)項(xiàng)之積構(gòu)成的， 則可用此法求和.第二步：(乘公比)設(shè)an bn的前n項(xiàng)和為Tn,然后兩邊同乘以q.第三步：(錯位相減)乘以公比q后，向后錯開一位，使含有 qk(k N*)的項(xiàng)對應(yīng)，然后兩邊同時(shí)作差.第四步：(求和)將作差后的結(jié)果求和，從而表示出 Tn.【即時(shí)應(yīng)用】 設(shè)數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn,已知ai=1, a2=2,且an+2 = 36 Sn + i + 3, nCN*.(1)證明：an+2 = 3an；(2)求 S2n.(1)證明 由條件，對任息nCN ,有an + 2= 3SnS1+1 +3,因而對任思 nCN , n2,有 an+1 =

7、3Sn1一 Sn + 3.兩式相減，得 an+2an+1 = 3an an+1,即 an+2 = 3an, 口2.又21 = 1, a2=2,所以 a3 3S1 S2+3= 3a1(a1+a2) + 3 = 3a1， *-故對一切 nCN , an+2=3an.解 由(1)知，an*0,所以乎 = 3.于是數(shù)列a2n-1是首項(xiàng) a1 = 1,公比為3的 an等比數(shù)列；數(shù)列a2n是首項(xiàng)a2=2,公比為3的等比數(shù)列.因止匕 a2n 1 = 3n 1 , a2n = 2 x 3n 1.于是 S2n= a1 + a2+ + a2n=(a1 + a3+ + a2n-1)+ (a2 + a4+ + a2n

8、)= (1 + 3+ 3n 1) + 2(1 + 3+ - + 3n1)= 3(1 + 3+ 3n 2n+1-n-2所以，Tn=22n 熱點(diǎn)3.2數(shù)列與不等式的綜合問題【例4】 在等差數(shù)列an中，a2=6, a3+a6 = 27.)=刎1).題型三、數(shù)列的綜合應(yīng)用3.1數(shù)列與函數(shù)的綜合問題【例3】設(shè)等差數(shù)列an的公差為d,點(diǎn)(an, bn)在函數(shù)*乂) = 2、的圖象上(nC N ). (1)若a1= 2,點(diǎn)(a8, 4b7)在函數(shù)f(x)的圖象上，求數(shù)列an的前n項(xiàng)和Sn；1,、(2)若a1=1,函數(shù)f(x)的圖象在點(diǎn)(a2, b2)處的切線在x軸上的截距為2記一萬，求數(shù)列置汨勺前n項(xiàng)和Tn

9、.bn解(1)由已知，b7=2a7, b8 = 2a8 = 4b7,有 2a8=4X 2a7 = 2今+2,解得 d = a8a7 = 2. TOC o 1-5 h z nn (n-1) .-,、2 c所以，Sn = na1+2d= 2n+n(n1)= n 3n.(2)函數(shù) 僅)=2、在口2, b2)處的切線方程為 y 2a2=(2a21n 2)(x-a2),一，1它在x軸上的截距為a2六.11由就思知，a2m2=2m2,解得a2=2.所以，d = a2 a1=1.從而 an=n, bn=2n,123 n-1n所以 Tn=2+22+23+-+ 2n1 +方，1 2 3 n2Tn= 1 + 2+ 2