高等數(shù)學(xué)競賽輔導(dǎo)綜合題匯總

1、高等數(shù)學(xué)比賽指導(dǎo)綜合題匯總高等數(shù)學(xué)比賽指導(dǎo)綜合題匯總22/22高等數(shù)學(xué)比賽指導(dǎo)綜合題匯總高等數(shù)學(xué)綜合練習(xí)題1、設(shè)，xn滿足：證明：xn收斂，并求limxn。分析：用數(shù)列通項(xiàng)表示的這各樣類題目，常常要用單一有界必有極限這個定理來解決，所以先要用不等式技術(shù)證明xn單一且有界。證明:（1）證明：易見，則，從而有：，2xn2xn故xn單一減少，且有下界。所以xn收斂。（2）設(shè)，在兩邊同時取極限得2xn解之得，即。、設(shè)f(x)在的鄰域擁有二階導(dǎo)數(shù)，且，試求f(0)，及分析：這各樣類的題目，先要取對數(shù)將指數(shù)去掉化成分式。再依據(jù)分式極限為常數(shù)而分母極限為零，獲取分子極限為零。其他求一點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)常常要用定義。得

2、解由li，因?yàn)榉帜笜O限為零，從而分子極限為零，即limln1f(x)，能夠獲取limf(x)，相同，我們有，由導(dǎo)數(shù)的定義得。因?yàn)閒(x)在的鄰域擁有二階導(dǎo)數(shù)，由泰勒公式得）兩邊取極限得10(x2，故。3、設(shè)，且f(x)在滿足：，有（為常數(shù)）。證明：f(x)x在有界。證明：由條件知，有，則，從而故、設(shè)函數(shù)且，x|x|x|xxaf(x)在存在,試確立常數(shù)a,b,c.有界。x分析：這是一個分段函數(shù)，分段函數(shù)在分段點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)要用定義求。解：由條件可知函數(shù)f(x)在處連續(xù),故。由條件可知在處連續(xù),且故。所以從而，故，則25、設(shè)當(dāng)時,可微函數(shù)，試證:當(dāng)時,有f(x)滿足條件成立，且分析：這是一個積分微分方程

3、，能夠經(jīng)過兩邊求導(dǎo)變?yōu)橐粋€微分方程，而后求解。證明:設(shè)由題設(shè)知則所給方程可變形為兩頭對x求導(dǎo)并整理得，這是一個可降階的二階微分方程,可用分別變量法求得而可見f(x)單減.由所以當(dāng)時得。在0,x長進(jìn)行積分得對-x6、計(jì)算三重積分Vx2y2z2abcx2y2z2此中V是橢球體。abc分析：計(jì)算二重積分和三重積分是數(shù)學(xué)比賽和考研的基本內(nèi)容，這類題目都是將重積分化成累次積分，而累次積分的要點(diǎn)是要確立出每個積分的限，確立積分的限必定要依據(jù)所給積分的圖形地區(qū)，所以正確畫出圖形或許是想象出圖形是解決問題的要點(diǎn)。解：因?yàn)閂x2Vy2Vz2c2此中Vx2x2dydz，Da這里D表示橢球面y2z2x2bca或y2

4、x22az2x22a。它的面積為x2x2x2aaa于是2215aa2同理可得，15b2。所以7、談?wù)摲e分。155的斂散性。分析：積分?jǐn)可⑿缘恼務(wù)撌菙?shù)學(xué)中的一個難點(diǎn)，要用不等式技術(shù)和一些重要結(jié)論，此中Cauchy收斂準(zhǔn)則起作很大的作用。解：第一注意到，從而當(dāng)。x充分大時，函數(shù)若，則當(dāng)x充分大時，是遞減的，且這時。又因若（對任何），故，則恒有，故函數(shù)在收斂。上是遞加的。于是，正整數(shù)n，有44常數(shù)，故不滿足Cauchy收斂準(zhǔn)則，所以8、設(shè)f(x)在上二階可導(dǎo)，求證：使發(fā)散。分析：羅爾定理、拉格朗日定理和柯西中值定理是高等數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容，常常也是研究生考試和數(shù)學(xué)比賽的命題的要點(diǎn)。平常練習(xí)時，采納多種方

5、法去解決，能有效地提升解題能力。這類題目難點(diǎn)是結(jié)構(gòu)出一個適合的函數(shù)。證1令則由洛爾定理知由洛爾定理知證2令由拉格朗日定理知由洛爾定理知3在睜開為一階泰勒公式證因故1證4令證5令9、設(shè)f在a,b上可微，且（1）用兩次洛爾定理。2用一次洛爾定理。a與b同號，證明：存在；，使（2）證：（1）令，明顯f,g在a,b上滿足Cauchy中值定理的條件，所以，即（2）令，明顯f,g在a,b上滿足Cauchy中值定理的條件，所以，即10、設(shè)二階可微，證明：令Rolle定理的條件，從而是在使，即存在11、設(shè)f(x)是定義在，證明：存在，則。明顯，使又上滿足Rolle定理的條件，故，使上的函數(shù)，使F(x)在0,1

6、上滿足，于，且證明：f在上可導(dǎo)，且是一個很廣的條件，分析：因?yàn)橐阎獥l件：要充分利用它；其他要用導(dǎo)數(shù)的定義。證明：由已知條件得因?yàn)?。所以f(x)在12、設(shè)上可導(dǎo)，且，且，證明：分析：從結(jié)論能夠看出，絕對值里面恰好是，所以簡單想到先求f(x)的導(dǎo)數(shù)。再用導(dǎo)數(shù)的定義。證明：因?yàn)?，所以又，所以即?3、設(shè)f在a,b上二階可微，則方程在(a,b)內(nèi)最罕有一個根.分析；方程在一個區(qū)間有根的問題常常要用零點(diǎn)存在定理去判斷，所以考證該方程在兩頭點(diǎn)值的符號是解決問題的要點(diǎn)。證明：因?yàn)椋蝗缭O(shè)，因，故，使，從而，使f(x。因，故，使，從而，使得。又因f(x)在a,b上可微，所以f(x)在x1,x2上連續(xù)，由零點(diǎn)存

7、在定理知，使于是在a,x0及x0,b上分別利用Rolle定理得，存在，使得，再在上用Rolle定理得，使即方程在(a,b)內(nèi)最罕有一個根.14、（浙江師范大學(xué)2004）設(shè)f(x)在0,1上擁有二階導(dǎo)數(shù)，且滿足條件，此中a,b都是非負(fù)常數(shù)，證明，c是(0,1)內(nèi)的任一點(diǎn)，b。2分析：假如函數(shù)高階可導(dǎo)，并給定了函數(shù)的導(dǎo)數(shù)或函數(shù)的值，要求預(yù)計(jì)一個函數(shù)的界，常常要用Taylor睜開式。證明：因f(x)在0,1上擁有二階導(dǎo)數(shù)，故存在使得同理存在使得將上邊的兩個等式兩邊分別作差，得即所以而，故b。2、設(shè)證明：，使證明：將f(x)在點(diǎn)處睜開泰勒公式，得（在x與之間）22222262212令得22令得因?yàn)?，?/p>

8、以令，則，24代入，得16、（2003高數(shù)一）將函數(shù)2x睜開成x的冪級數(shù)，并求級數(shù)的和分析：給定的函數(shù)是一個反正切函數(shù)不可以直接睜開，因?yàn)樗膶?dǎo)數(shù)是一個分式函數(shù)，能夠睜開，所以能夠考慮先求導(dǎo)數(shù)。解：因?yàn)橛?,所以2n因?yàn)榧墧?shù)收斂，函數(shù)f(x)在處連續(xù)，所以令2，得再由f(1，得17、（2003高數(shù)一）設(shè)函數(shù)f(x)連續(xù)且恒大于零，f(t)，此中，(1)談?wù)揊(t)在區(qū)間內(nèi)的單一性.(2)證明當(dāng)t0時，分析：要判斷一個函數(shù)的單一性，常常要求它的導(dǎo)數(shù)。這是一個變限的積分，可以利用變限積分的求導(dǎo)法例。因?yàn)槭且粋€重積分，所以先要計(jì)算重積分。解：(1)因?yàn)?f(r)rdr2所以在，上，故F(t)在內(nèi)單一

9、增添.（2）因20t，20f(r)dr2要證明t0時t，只要證明t0時，即令則因?yàn)間(t)在t=0處連續(xù)，所以當(dāng)，000t22t2t，故g(t)在t0時，有g(shù)(t)g(0).內(nèi)單一增添.0t又g(0)=0,故當(dāng)t0時，g(t)0,所以，當(dāng)t0時，18、（2004年上海交通大學(xué)）設(shè)證明收斂,且f(x)在上一致連續(xù)，分析：這是一個綜合性的題目，第一要搞清楚一致連續(xù)的看法，能夠結(jié)構(gòu)一個級12數(shù)，經(jīng)過結(jié)構(gòu)的級數(shù)的收斂性獲取通項(xiàng)趨近于零，而后轉(zhuǎn)變?yōu)楹瘮?shù)趨近于零。證：因f(x)在上一致連續(xù)，故，使適合且時，有。令，則由積分第一中值定理得，使得因af(x)dx收斂，故級數(shù)收斂，從而，即，也即，故對上述的，存

10、在，使適合時，2.取，則當(dāng)時，因故存在唯一的，使得，易見，且，從而19、（2004年上海交通大學(xué)）計(jì)算下述積分：，此中D是矩形地區(qū)，。分析：被積函數(shù)帶有絕對值的定積分的計(jì)算要點(diǎn)在于去掉絕對值，要去掉絕對值就要將積分地區(qū)分塊。解：記，cos4tdt(這里20、求曲線積分，此中a與b為正常數(shù)，L為從點(diǎn)A(2a,0)沿曲線到點(diǎn)O(0,0)的弧。分析：沿曲線積分的要點(diǎn)在于將全部變量都轉(zhuǎn)變?yōu)槟骋蛔兞?，所以將曲線寫成參數(shù)方程就能夠了。也可利用格林公式來解。解：因exsi故而L的參數(shù)方程為所以所以21、設(shè)函數(shù)f擁有一階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，f(0)存在，且，（1）確立a，使g(x)到處連續(xù)；（2）對以上所確立的a，證明

11、g(x)擁有一階連續(xù)導(dǎo)數(shù).分析：分段函數(shù)的連續(xù)和導(dǎo)數(shù)，在分段點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)一般用定義來求若g(x)到處連續(xù)，則g(x)在處連續(xù).于是，且.解：（1）因?yàn)椋?）因f(x)2于是明顯，當(dāng)時，g(x)連續(xù)，當(dāng)時，因?yàn)樗詆(x)在22、設(shè)冪級數(shù)處連續(xù)，故當(dāng)g(x)擁有一階連續(xù)導(dǎo)數(shù)時.，且（1）求冪級數(shù)的和函數(shù)S(x)；（2）乞降函數(shù)S(x)的極值.分析：注意到與an的關(guān)系，簡單想到要對級數(shù)求兩次導(dǎo)。解（1）令則，由，求得（2）由得又為極小值S(ln).的和函數(shù)，并指出它們的定義域。23、求冪級數(shù)分析：求收斂域是比較簡單的。因?yàn)榧墧?shù)求導(dǎo)后變?yōu)榱四軌蛑苯訉懗鼋Y(jié)果的級數(shù)，所以能夠先求導(dǎo)，再積分。解：因?yàn)閮缂墧?shù)，

12、且時與都是發(fā)散級數(shù)，所以此冪級數(shù)的收斂域?yàn)?。設(shè)其和為f(x)，于是當(dāng)時，逐項(xiàng)求導(dǎo)得：，所以。證明：，并求其值。24、設(shè)，證明：設(shè)3它們都是0,上的連續(xù)函數(shù)，且有2。2423明顯為收斂級數(shù)。43故由優(yōu)級數(shù)鑒別法知為0上一致收斂。2n3從而該級數(shù)的和函數(shù)s(x)在0上連續(xù)。2。于是有，且、（2003高數(shù)一）某建筑工程打地基時，需用汽錘將樁打進(jìn)土層.汽錘每次擊打，都將戰(zhàn)勝土層對樁的阻力而作功.設(shè)土層對樁的阻力的大小與樁被打進(jìn)地下的深度成正比（比率系數(shù)為k,k0）.汽錘第一次擊打?qū)洞蜻M(jìn)地下am.依據(jù)設(shè)計(jì)方案，要求汽錘每次擊打樁時所作的功與前一次擊打時所作的功之比為常數(shù)r(0r1).問汽錘擊打樁3次后

13、，可將樁打進(jìn)地下多深？若擊打次數(shù)不限，汽錘至多能將樁打進(jìn)地下多深？（注：m表示長度單位米.）解：(1)設(shè)第n次擊打后，樁被打進(jìn)地下xn，第n次擊打時，汽錘所作的功為由題設(shè)，當(dāng)樁被打進(jìn)地下的深度為x時，土層對樁的阻力的大小為kx，所以Wx1kkWx2k2由可得x2即x22232由可得x22，從而，即汽錘擊打3次后，可將樁打進(jìn)地下（2）由概括法，設(shè)，則x2(x22因?yàn)?，故得從而于是limx1，即若擊打次數(shù)不限，汽錘至多能將樁打進(jìn)地下126、設(shè)f(x)在0，1上擁有二階導(dǎo)數(shù)，且1分析：考慮到題目波及f(x)、f()與，求證：的關(guān)系，第一聯(lián)想到利用泰勒公式.2證一將f(x)在處睜開為一階泰勒公式（在x

14、與之間）22222，2121)(這一步也可由凹函數(shù)的性質(zhì)直接2獲取)由定積分的性質(zhì)得分析：考慮到題目波及定積分，還可對f(x)的原函數(shù)利用泰勒公式.證二令0f(t)dt，則，1將F(x)在處睜開為二階泰勒公式111111111（在x與之間）22222262212利用公式簡單得證.011分析：所證不等式的幾何意義是高為f()、寬為1的矩形面積不小于以為曲邊（）的曲邊梯形的面積，矩形能夠以為是由曲邊梯形增添一部分與減少一部分獲取，而增添的一部分面積大于減少的一部分面積；為了證明這一點(diǎn)，可從的左右對稱點(diǎn)出發(fā)來研究.21212證三，有，在0，1上，即，（令）219故1120112f(x12011121

15、1分析：證明數(shù)字不等式常常是先想法轉(zhuǎn)變?yōu)楹瘮?shù)不等式，再利用函數(shù)的單一性加以證明；轉(zhuǎn)變的方法是將結(jié)論中的積分上限（或積分下限）換成x，式中相同的字母也換成x，移項(xiàng)使不等式一端為零，則另一端的表達(dá)式即為需作的協(xié)助函x數(shù)。f()前面乘以x是由不等式的幾何意義想到的.2證四設(shè)協(xié)助函數(shù)，。xx2xxxx（對f(x)在，x上用Lagrange定理）2222xxxxxx對用Lagrange定理)222222xxx在0，1單一減少，即，00221分析：利用分部積分法可將被積函數(shù)求導(dǎo)，兩次使用分部積分法即可獲取二階導(dǎo)數(shù)，從而能夠利用已知條件加以證明.證五112120111222111202同理可證211111兩

16、式相加得證.228227、設(shè)且，求證：級數(shù)條件收斂.分析：先要判斷不是絕對收斂的，再判斷是收斂的。另一方面，由已知條件能夠看出需要對所判斷的級數(shù)進(jìn)行變形。解級數(shù)不停對收斂。故級數(shù)收斂且為條件收斂。u1且滿足求、設(shè)函數(shù)f(x,y)可微，f(x,y).分析：利用重要極限公式求出已知極限的左側(cè)，再與右側(cè)進(jìn)行比較獲取一個微分方程，求此微分方程。解：fy(0,y)，對y積分得代入得，又已知，故29、以以下圖，設(shè)河寬為a，一條船從岸邊一點(diǎn)O出發(fā)駛向?qū)Π?，船頭老是指向?qū)Π杜c點(diǎn)O相對的一點(diǎn)B。假定在靜水中船速為常數(shù)V1，河流中水的流速為常數(shù)V2，試求船過河所走的路線(曲線方程)；并談?wù)撛谑裁礂l件下（1）船能抵達(dá)對岸；（2）船能抵達(dá)點(diǎn)B.分析：利用物理學(xué)知識簡單成立運(yùn)動軌跡的數(shù)學(xué)模型，該模型是微分方程，求解微分方程，對字母進(jìn)行談?wù)?。解：以以下圖，設(shè)P(x,y)為船在要時刻的地點(diǎn)此時兩個分速度為dtdt2消去t得，x又則,代入得dy路線滿足的微分方程)令，則有積分由得化簡得2aa談?wù)摚毫⒖虝r,則可到點(diǎn)B(0,a);立刻時,則可達(dá)對岸點(diǎn)(,a)a2a2當(dāng)即時,limx不不可以對達(dá)對岸.30、已知，13x1，13xn，.求證：（1）數(shù)列xn收斂；（2）xn的極限值a是