2022九年級數(shù)學(xué)上冊第1章圖形的相似1.3相似三角形的性質(zhì)同步課件新版青島版

1、1.3相似三角形的性質(zhì)1.明確相似三角形中對應(yīng)線段與相似比的關(guān)系.（重點）2.能熟練運用相似三角形的性質(zhì)解決實際問題（難點）3.理解并初步掌握相似三角形周長的比等于相似比，面積的比等于相似比的平方.（重點）4.掌握相似三角形的周長比、面積比在實際中的應(yīng)用.（難點）學(xué)習(xí)目標(biāo)ACBA1C1B1問題： ABC與A1B1C1相似嗎？導(dǎo)入新課ACBA1C1B1相似三角形對應(yīng)角相等、對應(yīng)邊成比例.ABC A1B1C1思考：三角形中，除了角度和邊長外，還有哪些幾何量？高、角平分線、中線的長度，周長、面積等高角平分線中線量一量，猜一猜D1A1C1B1ACBD ABC A1B1C1, ,CD和C1D1分別是它們

2、的高, 你知道 等于多少嗎？ 如圖，ABC ABC，相似比為k，它們對應(yīng)高的比各是多少？ABCABC合作探究相似三角形對應(yīng)高的比等于相似比知識點講授新課ABC ABC，BB ，解：如圖，分別作出 ABC 和 A B C 的高 AD 和 A D 則ADB =A D B=90. ABD A B D .ABCABCDD由此得到：相似三角形對應(yīng)高的比等于相似比類似的，我們可以得到其余兩組對應(yīng)邊上的高的比也等于相似比 歸納總結(jié)ABC A1B1C1 ，BD和B1D1是它們的中線， 已知 ,B1D1 =4cm，則BD= cm.62.ABC A1B1C1, AD和A1D1是對應(yīng)角平分 線，已知AD=8cm，

3、A1D1=3cm ,則 ABC與 A1B1C1的對應(yīng)高之比為 .8:3練一練3.如圖，電燈P在橫桿AB的正上方，AB在燈光下的影子為CD，ABCD，AB=2 m，CD=4 m，點P到CD的距離是3 m，則P到AB的距離是 m. PADBC241.5 例：如圖，AD是ABC的高，點P，Q在BC邊上，點R在AC邊上，點S在AB邊上，BC=60 cm，AD= 40 cm，四邊形PQRS是正方形.(1)AE是 ASR的高嗎？為什么？(2) ASR與ABC相似嗎？為什么？(3)求正方形PQRS的邊長.SRQPEDCBA典例精析（1）AE是ASR的高嗎？為什么？解： AE是ASR的高. 理由： AD是AB

4、C的高, ADC=90. 四邊形PQRS是正方形, SRBC. AER=ADC=90. AE是ASR的高.SRQPEDCBA（2） ASR與ABC相似嗎？為什么？ 解： ASR與ABC相似. 理由: SRBC, ASR=B, ARS=C. ASR與ABC相似.SRQPEDCBA（3）求正方形PQRS的邊長.是方程思想哦！解： ASR ABC, AE,AD分別是ASR 和ABC 對應(yīng)邊上的高, . 設(shè)正方形PQRS的邊長為 x cm, 則SR=DE=x cm,AE=(40-x)cm. 解得x=24. 正方形PQRS的邊長為24 cm.SRQPEDCBA變式：如圖，AD是ABC的高，點P，Q在BC

5、邊上，點R在AC邊上，點S在AB邊上，BC=5cm，AD=10cm，若矩形PQRS的長是寬的2倍，你能求出這個矩形的面積嗎？SRQPEDCBA如圖，AD是ABC的高，BC=5cm，AD=10cm.設(shè)SP=x cm，則SR=2x cm. 得到： 所以 x=2, 2x=4. S矩形PQRS= 24=8 cm2 .SRQPEDCBA分析：情況一：SR=2SP.設(shè)SR=x cm，則SP=2x cm. 得到： . 所以 x=2.5, 2x=5.S矩形PQRS=2.55=12.5 cm2 .原來是分類思想呀！SRQPEDCBA分析：情況二：SP=2SR.如圖，AD是ABC的高，BC=5 cm，AD=10

6、cm.相似三角形對應(yīng)角平分線的比、對應(yīng)中線的比都等于相似比 問題：把上圖中的高改為中線、角平分線，那么它們對應(yīng)中線的比，對應(yīng)角平分線的比等于多少？ 圖中ABC和ABC相似，AD,AD分別為對應(yīng)邊上的中線，BE,BE分別為對應(yīng)角的角平分線，那么它們之間有什么關(guān)系呢？ABCDEABDCE知識點已知：ABCABC，相似比為k， 求證：證明： ABCABC. B= B, 又AD,AD分別為對應(yīng)邊的中線, ABDABD.ABDCEABCDE驗證猜想1由此得到： 相似三角形對應(yīng)的中線的比也等于相似比同學(xué)們可以試著自己用同樣的方法求證三角形對應(yīng)邊上的角平分中線的比等于相似比歸納總結(jié)已知：ABCABC，相似比

7、為k，即 求證：證明： ABCABC， B= B, BAC= BAC 又AD,AD分別為對應(yīng)角的平分線， ABDABD.ABDCEABCDE驗證猜想2相似三角形對應(yīng)高的比、對應(yīng)角平分線的比、對應(yīng)中線的比都等于相似比，即相似三角形對應(yīng)線段的比等于相似比歸納總結(jié)例：兩個相似三角形的兩條對應(yīng)邊的長分別是6cm和8cm，如果它們對應(yīng)的兩條角平分線的和為42cm，那么這兩條角平分線的長分別是多少？解：設(shè)較短的角平分線長為xcm，則由相似性質(zhì)有 .解得x18.較長的角平分線長為24cm.故這兩條角平分線的長分別為18cm，24cm.問題：我們知道，如果兩個三角形相似，它們對應(yīng)高的比、對應(yīng)中線的比和對應(yīng)角平

8、分線的比都等于相似比.那么它們周長的比之間有什么關(guān)系？也等于相似比嗎？面積之比呢？ABCA1B1C1問題：圖中(1)(2)(3)分別是邊長為1，2，3的等邊三角形,它們都相似嗎？(1)(2)(3)123(1)與(2)的相似比=_,(1)與(2)的周長比=_，(1)與(3)的相似比=_,(1)與(3)的周長比=_.1 2結(jié)論： 相似三角形的周長比等于_相似比（都相似）1 31 21 3有什么規(guī)律嗎？相似三角形周長比等于相似比知識點講授新課證明：設(shè)ABCA1B1C1，相似比為k，求證：相似三角形的周長比等于相似比.ABCA1B1C1想一想：怎么證明這一結(jié)論呢？相似三角形周長的比等于相似比.歸納總結(jié)

9、(1)與(2)的相似比=_,(1)與(2)的面積比=_(1)與(3)的相似比=_,(1)與(3)的面積比=_123 1 2（1）（2）（3）1 4 1 31 9問題：圖中(1)(2)(3)分別是邊長為1，2，3的等邊三角形,回答以下問題：結(jié)論： 相似三角形的面積比等于_相似比的平方相似三角形面積的比等于相似比的平方知識點證明：設(shè)ABCABC，相似比為k, 如圖，分別作出ABC和ABC的高AD和AD.ABC和ABC都是直角三角形，并且B=B，ABDABD.ABCABCDD想一想：怎么證明這一結(jié)論呢？ABCABC.相似三角形面積的比等于相似比的平方.歸納總結(jié)1.已知ABC與ABC的相似比為2：3，

10、則對 應(yīng)邊上中線之比 ，面積之比為 . 2. 如果兩個相似三角形的面積之比為1:9， 周長的比為_ . 1:32:34:9練一練例：將ABC沿BC方向平移得到DEF，ABC與DEF重疊部分的面積是ABC的面積的一半.已知BC=2，求ABC平移的距離. 解：根據(jù)題意，可知EGAB. GEC=B,EGC=A. GECABC. 即ABC平移的距離為 解：在 ABC 和 DEF 中， AB=2DE，AC=2DF，又 D=A， DEF ABC ，相似比為 1 : 2.ABCDEF例 如圖，在 ABC 和 DEF 中，AB = 2 DE ，AC = 2 DF，A = D. 若 ABC 的邊 BC 上的高為

11、 6，面積為 ，求 DEF 的邊 EF 上的高和面積.ABCDEFABC 的邊 BC 上的高為 6，面積為 ，DEF 的邊 EF 上的高為 6 = 3，面積為 如果兩個相似三角形的面積之比為 2 : 7，較大三角形一邊上的高為 7，則較小三角形對應(yīng)邊上的高為_. 練一練例 如圖，D，E 分別是 AC，AB 上的點，已知ABC 的面積為100 cm2，且 ，求四邊形 BCDE 的面積. ADE ABC. 它們的相似比為 3 : 5， 面積比為 9 : 25.BCADE解： BAC = DAE，且 又 ABC 的面積為 100 cm2， ADE 的面積為 36 cm2 . 四邊形 BCDE 的面積

12、為10036 = 64 (cm2).BCADE 如圖，ABC 中，點 D、E、F 分別在 AB，AC，BC 上，且 DEBC，EFAB. 當(dāng) D 點為 AB 中點時，求 S四邊形BFED : SABC 的值.ABCDFE練一練解： DEBC，D 為 AB 中點， ADE ABC ， 相似比為 1 : 2， 面積比為 1 : 4. ABCDFE又 EFAB， EFC ABC ，相似比為 1 : 2，面積比為 1 : 4.設(shè) SABC = 4，則 SADE = 1，SEFC = 1，S四邊形BFED = SABCSADESEFC = 411 = 2， S四邊形BFED : SABC = 2 : 4

13、 =3兩個相似三角形對應(yīng)中線的比為 ，則對應(yīng)高的比為_ .2.相似三角形對應(yīng)邊的比為23,那么對應(yīng)角的角平分線的比為_.2 31兩個相似三角形的相似比為 , 則對應(yīng)高的比為_, 則對應(yīng)中線的比為_.隨堂練習(xí)解： ABCDEF， 解得,EH3.2(cm).答：EH的長為3.2cm.AGBCDEFH4.已知ABCDEF，BG，EH分ABC和DEF的角平分線，BC=6cm,EF=4cm,BG=4.8cm.求EH的長.5.如圖，AD是ABC的高，AD=h, 點R在AC邊上，點S在AB邊上，SRAD，垂足為E.當(dāng) 時，求DE的長.如果 呢？ ASRABC (兩角分別相等的兩個三角形相似).解：SRAD，

14、BCAD， BAERCDSSRBC. ASR=B,ARS=C. (相似三角形對應(yīng)高的比等于相似比)，當(dāng) 時，得 解得 BAERCDS當(dāng) 時，得 解得 選做題： 6. 一塊直角三角形木板的一條直角邊AB長為1.5m，面積為1.5m2,要把它加工成一個面積盡可能大的正方形桌面，甲乙兩位同學(xué)的加工方法如圖（1）、（2)所示，請你用學(xué)過的知識說明哪位同學(xué)的加工方法更好.（加工損耗忽略不計，計算結(jié)果中的分數(shù)可保留）FABCDE（1）FGBACED（2）相信自己是最棒的！SRQPEDCBA7.AD是ABC的高，BC=60cm，AD=40cm，求圖中小正方形的邊長.ACBD(6)ACBD(5)DCBA(4)

15、ACBD(3)DCBA(1)ACBD(2)8. 判斷： (1) 一個三角形的各邊長擴大為原來的 5 倍，這個 三角形的周長也擴大為原來的 5 倍 ( ) (2) 一個四邊形的各邊長擴大為原來的 9 倍，這個 四邊形的面積也擴大為原來的 9 倍 ( )10. 連接三角形兩邊中點的線段把三角形截成的一個小三角形與原三角形的周長比等于_，面積 比等于_.1 : 21 : 49. 在 ABC 和 DEF 中，AB2 DE，AC2 DF， AD，AP，DQ 是中線，若 AP2，則 DQ 的值為 ( ) A2 B4 C1 D.C11. 兩個相似三角形對應(yīng)的中線長分別是 6 cm 和 18 cm，若較大三角

16、形的周長是 42 cm，面積是 12 cm2，則較小三角形的周長_cm，面積為_cm2.1412. 如圖，這是圓桌正上方的燈泡 (點A) 發(fā)出的光線照 射桌面形成陰影的示意圖，已知桌面的直徑為 1.2 米，桌面距離地面為 1 米，若燈泡距離地面 3 米， 則地面上陰影部分的面積約為多少 (結(jié)果保留兩位 小數(shù))？ADEFCBH解： FH = 1 米，AH = 3 米， 桌面的直徑為 1.2 米， AF = AHFH = 2 (米)， DF = 1.22 = 0.6 (米). DFCH， ADF ACH，ADEFCBH 即解得 CH = 0.9米. 陰影部分的面積為：(平方米).答：地面上陰影部分的面積為 2.54 平方米.13. ABC 中，DEBC，EFAB，已知 ADE 和 EFC 的面積分別為 4 和 9，求 ABC 的面積.ABCDFE解： DEBC，EFAB， ADE ABC，ADE =EFC，A =CEF，ADE EFC.又SADE : SEFC = 4 : 9， AE : EC=2:3，則 AE : AC =2 : 5， SAD