8-1信號(hào)與系統(tǒng)課程講義

1、第八章 Z變換、Z域分析Z變換及逆Z變換Z變換基本性質(zhì)Z變換與拉氏變換關(guān)系及Z變換的應(yīng)用DTFT、頻響特性 8.1 Z變換及逆Z變換一、Z變換的定義1.抽樣信號(hào)的拉氏變換Z變換設(shè)令引入新的復(fù)變量2.單邊Z變換3.雙邊Z變換 物理意義：將離散信號(hào)分解為不同頻率復(fù)指數(shù)esTn的線性組合二、典型序列的Z變換（可取任意點(diǎn)值，收斂域?yàn)檎麄€(gè)Z平面） 1.單位樣值序列2.單位階躍序列收斂域?yàn)椋?.斜變序列 4.指數(shù)序列 若 ,則5.正弦、余弦序列令， 則 令 ，則根據(jù)，可以得出可以得出：根據(jù) , 收斂域的形式為：收斂域形式為：三、Z變換的收斂域1.收斂域的定義：使Z變換定義式級(jí)數(shù)收斂的所有z值的集合。2.單

2、邊Z變換：序列與變換式唯一對(duì)應(yīng)，具有唯一的收斂域。雙邊Z變換：不同序列在不同收斂域條件下，可以對(duì)應(yīng)同一個(gè)變換式。例1：求下列兩式的Z變換，并注明其收斂域。解： 3.Z變換在收斂域內(nèi)的各點(diǎn)處處解析。4.收斂域的求法收斂域的充分條件為正項(xiàng)級(jí)數(shù)判定正項(xiàng)級(jí)數(shù)是否收斂？比值判別法：收斂不一定發(fā)散根式判別法：收斂不一定發(fā)散0有限長(zhǎng)序列的收斂域分以下幾種情況：，只在上有值。5.有限長(zhǎng)序列它的收斂域：至少為時(shí)，序列的收斂域?yàn)椋?，包括點(diǎn)；時(shí)，序列的收斂域?yàn)椋?，不包括點(diǎn)； 時(shí)，序列的收斂域?yàn)椋?. 右邊序列的Z變換收斂域至少為：定義在上。 時(shí)，序列的收斂域?yàn)椋?，根?jù)正項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂的判別方法可知：時(shí)，序列為因果序列

3、，其收斂域形式為：值不同，可分為以下兩種情況：根據(jù)7左邊序列的Z變換的收斂域至少為：定義在上。 時(shí)，序列的收斂域?yàn)椋?，根?jù)級(jí)數(shù)收斂的判別方法，時(shí)，序列為反因果序列，收斂域的形式為：值不同，可分為以下兩種情況：根據(jù)8 雙邊序列的Z變換收斂域其中式的收斂條件為：式的收斂條件為：定義在上雙邊序列若，則序列的收斂域?yàn)椋悍駝t無(wú)收斂域例2：求下列各式的Z變換，并注明其收斂域。 解：，收斂域?yàn)榻猓菏諗坑驗(yàn)槔?：求下列各式的Z變換，并注明其收斂域。 解：收斂域?yàn)?解：收斂域?yàn)槔?：求下列各式的Z變換，并注明其收斂域。 收斂域?yàn)樗摹⒛鎆變換的定義，定義的逆Z變換為：，C是包圍 極點(diǎn)的逆時(shí)針閉合曲線。的Z變換為1

4、.序列如下圖所示：常取在X(z)收斂域內(nèi)以原點(diǎn)為中心的圓。積分路徑C2.定義的推導(dǎo)等式兩邊同乘兩邊同時(shí)在曲線C上取積分根據(jù)根據(jù)可知五、留數(shù)法求逆Z變換1.在C內(nèi)極點(diǎn)的留數(shù)在z=zm處 有s階極點(diǎn)，則若s=1，則2.3. 求留數(shù)時(shí)應(yīng)注意的取值范圍：4.求留數(shù)的三種類(lèi)型留數(shù)輔助定理：如果圍線積分的被積函數(shù)F(z)在整個(gè)z平面上除有限個(gè)極點(diǎn)外都是解析的，且當(dāng)z趨于無(wú)窮大時(shí)， F(z)以不低于二階無(wú)窮小的速度趨于零，則當(dāng)圍線C的半徑趨于無(wú)窮大時(shí)，圍線積分 以不低于二階無(wú)窮小的速度趨于零即或全部極點(diǎn)=0,在C外極點(diǎn)的留數(shù)因果序列右邊序列反因果序列左邊序列雙邊序列例3：求的所有可能收斂域及其逆變換。的極點(diǎn)

5、為及 ，故收斂域有三種情況：解： 時(shí)，序列為反因果序列，分兩種情況討論：在處有階級(jí)點(diǎn)。也即，時(shí)，i) 當(dāng)極點(diǎn)，根據(jù)留數(shù)的性質(zhì)可知：此時(shí)積分曲線C僅包圍ii) 當(dāng)時(shí)，在處無(wú)極點(diǎn)。綜合i)和ii)可知：此時(shí)積分曲線C沒(méi)有包圍任何極點(diǎn)。所以， ，序列為雙邊序列。分兩種情況討論：i) 當(dāng)時(shí)，在處有階級(jí)點(diǎn)。及兩個(gè)極點(diǎn)。此時(shí)積分曲線C包圍根據(jù)留數(shù)的性質(zhì)可知：ii) 當(dāng)時(shí)，綜合起來(lái)，一個(gè)極點(diǎn)，那么此時(shí)積分曲線僅包圍在處無(wú)極點(diǎn)。 當(dāng),時(shí)，序列為因果序列。分兩種情況討論：在處有階級(jí)點(diǎn)。ii) 當(dāng)時(shí)，在處無(wú)極點(diǎn)。綜合起來(lái)，時(shí)，i) 當(dāng)此時(shí)積分曲線C包圍所有的極點(diǎn)。根據(jù)留數(shù)的性質(zhì)可知兩個(gè)極點(diǎn)。此時(shí)積分曲線C包圍2.

6、 對(duì)于的左邊序列和的反因果序列，按z升冪排列；六、冪級(jí)數(shù)展開(kāi)法（長(zhǎng)除法）使用冪級(jí)數(shù)展開(kāi)法應(yīng)注意以下幾點(diǎn)：1.只適用于左邊序列（包括反因果序列）和右邊序列（包括因果序列）；的因果序列和的右邊序列，按z降冪排列。3. 對(duì)于例4：求的逆變換。的序列的序列解: (1)按z降冪排列(2)按z升冪排列 七、部分分式法 1.基本公式2.基本原理如果X(z)含有M個(gè)一階極點(diǎn)和一個(gè)s階極點(diǎn)zi，則例5：求 可能的收斂域及對(duì)應(yīng)的逆變換。那么故：設(shè) 解：3.積分曲線內(nèi)極點(diǎn)對(duì)應(yīng)右邊序列，積分曲線外極點(diǎn)對(duì)應(yīng)左邊序列。 當(dāng)時(shí)，序列為反因果序列； 當(dāng)時(shí)，序列為雙邊序列； 當(dāng)時(shí)，序列為因果序列。作業(yè) 8-1(2)(4)(6)(8); 8-2; 8-4(1)(3)(5)(6); 8-5(2)(4); 8-6; 8-10(2); 8-12Review1. Z變換（1）定義（2）典型序