數(shù)理方程的應用舉例-熱傳導

1、數(shù)理方程的應用舉例2 將板坯熱軋成鋼板或鋼帶時，決定鋼中溫度分布的工藝流程如下圖所示，這個問題十分重要，因為在控制軋制程序中，必須使軋制溫度保證鋼板在通過各機架時成單相的奧氏體或是雙相組織，為達到這一目的，數(shù)學模型是一種非常有效的工具。數(shù)學物理方程 一 熱軋鋼坯中溫度分布問題的數(shù)學建模 現(xiàn)有體密度為 、熱傳導系數(shù)為 k、厚度為 Z 的均質(zhì)鋼坯。由于板坯寬度方向傳熱均勻，橫向熱流不重要，這樣就把問題簡化為二維的縱向傳熱問題。 取板坯中的體積元作熱衡算： （體積元表面的輸入）（體積元表面的輸出） + （體積單元的生成率）（體積單元的消耗率） = （體積單元內(nèi)凈積累率）數(shù)學物理方程 考慮到傳熱機理，

2、在 y 方向是熱傳導和體積對流傳熱，在 z 方向是傳導傳熱。熱衡算各項表示如下： 熱收入速率：其中 ，表示 y , z 方向的傳導熱流；H 為鋼的單位質(zhì)量的熱焓； 為軋壓過程中同一截面上 y 軸方向上的鋼坯伸長速率，可看為一常數(shù)。 熱支出速率： 熱產(chǎn)生速率： 熱消耗速率： 熱積累速率： 數(shù)學物理方程 匯集熱平衡式中的各項可得+ =上式兩邊同除以當 時，對上式取極限可得數(shù)學物理方程 由于 H 是供給到體積元的熱焓或是恒壓下的熱，所以有其中 為比熱容， 為在 y = r 處 t = 0 時刻的熱焓，傳導熱流與溫度梯度關(guān)系由傅里葉定律表示因此有數(shù)學物理方程 根據(jù)以下假定，把上述方程進一步簡化。 （1

3、） y 方向溫度梯度小，可忽略該方向傳熱， 所以上述方程中的 可以忽略； （2）在軋制過程中板坯內(nèi)部無熱的消耗，因此上述方程中 ； （3）對于固定的觀察者來說，軋制過程是以穩(wěn)定態(tài)操作，所以上述方程中的 。數(shù)學物理方程 根據(jù)以上假設，上述方程可變?yōu)槿粲^察者隨板坯一起運動，就可把上述方程轉(zhuǎn)換為非穩(wěn)定態(tài)形式。把關(guān)系式 代入上述方程，整理后可得數(shù)學物理方程 初始條件：設從加熱爐出來的板坯溫度分布作為初始條件，并認為板坯溫度是均勻的，即 。 邊界條件：在板坯表面（板坯頂面）有熱流此外，板坯上下表面熱流幾乎一樣，則板坯的溫度場沿中心線對稱，該邊界條件可寫為 從而熱軋鋼坯中溫度分布問題的數(shù)學模型為數(shù)學物理方程 從而熱軋鋼坯中溫度分布問題的數(shù)學模型為數(shù)學物理方程 二模型的求解與數(shù)值模擬 將熱軋鋼坯中溫度分布問題的數(shù)學模型簡寫為 （）其中 。 首先將邊界條件齊次化，令數(shù)學物理方程從而有為書寫方便，記利用分離變量法可求得其解為數(shù)學物理方程其中所以定解問題（）解為數(shù)學物理方程 選取利用Mathematica數(shù)學軟件