2021年隨機(jī)變量及其分布列經(jīng)典例題

1、*歐陽(yáng)光明*創(chuàng)編2021.03.07隨機(jī)變量及其分布列典型例題歐陽(yáng)光明（2021.03.07）【知識(shí)梳理】一離散型隨機(jī)變量的定義1定義：在隨機(jī)試驗(yàn)中，確定一個(gè)對(duì)應(yīng)關(guān)系，使得每一個(gè)試驗(yàn)結(jié)果都用一個(gè)確定的數(shù)字表示在這個(gè)對(duì)應(yīng)關(guān)系下，數(shù)字隨著試驗(yàn)結(jié)果變化而變化的變量稱(chēng)為隨機(jī)變量隨機(jī)變量是一種對(duì)應(yīng)關(guān)系；實(shí)驗(yàn)結(jié)果必須與數(shù)字對(duì)應(yīng)；數(shù)字會(huì)隨著實(shí)驗(yàn)結(jié)果的變化而變化.2.表示：隨機(jī)變量常用字母X，Y，表示3.所有取值可以一一列出的隨機(jī)變量，稱(chēng)為離散型隨機(jī)變量(discreterandomvariable).二離散型隨機(jī)變量的分布列1.一般地，若離散型隨機(jī)變量X可能取的不同值為x1，x2，xi，xn,X取每一個(gè)值x

2、i(i=1,2，n)的概率P(X=xi)=pi，則稱(chēng)表：Xx1x2xixnp1p2pipnP為離散型隨機(jī)變量X的概率分布列，簡(jiǎn)稱(chēng)為X的分布列用等式可表示為P(X=xi)=pi，i=1,2，n,也可以用圖象來(lái)表示X的分布列2.離散型隨機(jī)變量的分布列的性質(zhì)npi0，i=1,2，n；i1三兩個(gè)特殊分布1.兩點(diǎn)分布XB(1,P)p1iX01*歐陽(yáng)光明*創(chuàng)編2021.03.07*歐陽(yáng)光明*創(chuàng)編2021.03.07P1-pp若隨機(jī)變量X的分布列具有上表形式，則稱(chēng)X服從兩點(diǎn)分布，并稱(chēng)p=P(X=1)為成功概率2.超幾何分布XH(N,M,n)一般地，在含有M件次品的N件產(chǎn)品中，任取n件，其中恰有Xknk件次品

3、，則P(X=k)=CMCNM，k=0,1,2，m，其中m=minM,n，CnN且nN，MN，n，M，NN*.CCCXP0C0Cn0MNMnN1C1Cn1MNMnNmCmCnmMNMnN如果隨機(jī)變量X的分布列具有上表形式，則稱(chēng)隨機(jī)變量X服從超幾何分布三二項(xiàng)分布一般地，在n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中，用X表示事件A發(fā)生的次數(shù)，設(shè)k每次試驗(yàn)中事件A發(fā)生的概率為p，則P(X=k)=Cnpk(1p)nk，k=0,1,2，n.此時(shí)稱(chēng)隨機(jī)變量X服從二項(xiàng)分布，記作XB(n，p)，并稱(chēng)p為成功概率易得二項(xiàng)分布的分布列如下;X01knPC0p0(1p)nn【典型例題】C1p(1p)n1nCkpk(1p)nknpn題型一、隨

4、機(jī)變量分布列的性質(zhì)【例1】設(shè)隨機(jī)變量X的分布列為P(Xi)a(2)i,i1,2,3,，則a的值為3_.【例2】隨機(jī)變量的分布列如下P-1a0b1c_其中a、b、c成等差數(shù)列,則P(|=1)=，公差d的取值范圍是_.題型二、隨機(jī)變量的分布列*歐陽(yáng)光明*創(chuàng)編2021.03.07*歐陽(yáng)光明*創(chuàng)編2021.03.07【例3】口袋中有6個(gè)同樣大小的黑球，編號(hào)為1,2,3,4,5,6，現(xiàn)從中隨機(jī)取出3個(gè)球，用X表示取出的最大號(hào)碼，求X的分布列【例4】安排5個(gè)大學(xué)生到A，B，C三所學(xué)校支教，設(shè)每個(gè)大學(xué)生去任何一所學(xué)校是等可能的（1）求5個(gè)大學(xué)生中恰有2個(gè)人去A校支教的概率；（2）設(shè)有大學(xué)生去支教的學(xué)校的個(gè)數(shù)

5、為，求的分布列【例5】一個(gè)口袋中裝有大小相同的3個(gè)白球和1個(gè)紅球，從中有放回地摸球，每次摸出一個(gè)，若有3次摸到紅球即停止（1）求恰好摸4次停止的概率；（2）記4次之內(nèi)（含4次）摸到紅球的次數(shù)為X，求隨機(jī)變量X的分布列【例6】從6名男生和4名女生中任選4人參加比賽，設(shè)被選中女生的人數(shù)為隨機(jī)變量，求：（1）的分布列；（2）所選女生不少于2人的概率【例7】甲、乙兩人參加某種選拔測(cè)試在備選的10道題中，甲答對(duì)其中每道題的概率都是，乙能答對(duì)其中的5道題規(guī)定每次考試都從備選的10道題中隨機(jī)抽出3道題進(jìn)行測(cè)試，答對(duì)一題加10分，答錯(cuò)一題（不答視為答錯(cuò)）減5分，至少得15分才能入選（）求乙得分的分布列；（）求

6、甲、乙兩人中至少有一人入選的概率【例8】某儀器經(jīng)過(guò)檢驗(yàn)合格才能出廠(chǎng)，初檢合格率為：若初檢不合格，則需要進(jìn)行調(diào)試，經(jīng)調(diào)試后再次對(duì)其進(jìn)行檢驗(yàn)；若仍不合格，作為廢品處理，再檢合格率為每臺(tái)儀器各項(xiàng)費(fèi)用如表：項(xiàng)目生產(chǎn)成本檢驗(yàn)費(fèi)/次調(diào)試費(fèi)出廠(chǎng)價(jià)*歐陽(yáng)光明*創(chuàng)編2021.03.07*歐陽(yáng)光明*創(chuàng)編2021.03.07金額（元）10001002003000（）求每臺(tái)儀器能出廠(chǎng)的概率；（）假設(shè)每臺(tái)儀器是否合格相互獨(dú)立，記X為生產(chǎn)兩臺(tái)儀器所獲得的利潤(rùn)，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望【例9】某超市在節(jié)日期間進(jìn)行有獎(jiǎng)促銷(xiāo)，凡在該超市購(gòu)物滿(mǎn)300元的顧客，將獲得一次摸獎(jiǎng)機(jī)會(huì)，規(guī)則如下：獎(jiǎng)盒中放有除顏色外完全相同的1個(gè)紅球，1個(gè)黃球，1個(gè)白球和1個(gè)黑球.顧客不放回地每次摸出1個(gè)球，若摸到黑球則停止摸獎(jiǎng)，否則就要將獎(jiǎng)盒中的球全部摸出才停止.規(guī)定摸