控制工程-3系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型

1、主要內(nèi)容：（1）數(shù)學(xué)模型概念；（2）簡單機(jī)電元件及系統(tǒng)微分方程的列寫；（3）傳遞函數(shù)的定義、性質(zhì)、求法;（4）典型環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)及瞬態(tài)(動態(tài))特性；（5）控制系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖的繪制方法與簡化；（6）環(huán)節(jié)的串并聯(lián)、帶反饋環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)；（7）相似原理與相似系統(tǒng)系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型基本要求：（1）了解數(shù)學(xué)模型基本概念；（2）掌握簡單機(jī)、電元件及系統(tǒng)微分方程式的列寫；（3）掌握傳遞函數(shù)的概念、定義、性質(zhì)及求取；（4）掌握典型環(huán)節(jié)傳遞函數(shù)及其瞬態(tài)特性；（5）掌握串聯(lián)、并聯(lián)、反饋連接等效傳遞函數(shù)的求法；結(jié)構(gòu)圖等效變換原則，能用結(jié)構(gòu)圖簡化方法求系統(tǒng)的傳遞函數(shù)；（6）理解控制系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)、閉環(huán)傳遞函數(shù)、誤差傳遞函數(shù)的

2、意義。 系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型重點：（1）建立簡單機(jī)、電元件及系統(tǒng)的微分方程式（2）傳遞函數(shù)概念、典型環(huán)節(jié)傳遞函數(shù)。（3）簡單機(jī)、電系統(tǒng)傳遞函數(shù)求取方法。（4）結(jié)構(gòu)圖的繪制，結(jié)構(gòu)圖化簡。難點：（1）列寫微分方程式，綜合運用機(jī)、電基礎(chǔ)知識列寫機(jī)械和電路方程。（2）繪制系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖并化簡，得到系統(tǒng)傳遞函數(shù)。系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型數(shù)學(xué)模型能夠用來表達(dá)一個系統(tǒng)的動態(tài)性能、揭示系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)、參數(shù)與動態(tài)性能之間的關(guān)系的數(shù)學(xué)表達(dá)式系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型線性系統(tǒng)的概念及其特性線性系統(tǒng)能用線性微分方程描述的系統(tǒng)線性系統(tǒng)的特性頻率保持特性疊加性微積分性一、 微分方程列寫列寫微分方程的目的：確定輸出與輸入或擾動之間的函數(shù)關(guān)系列寫的一般步

3、驟如下：分析系統(tǒng)和元件的工作原理，找出各物理量之間的關(guān)系，確定輸出量及輸入量。設(shè)中間變量，依據(jù)物理、化學(xué)等定律忽略次要因素列寫微分方程式。消去中間變量并整理，降階排列，輸出方程左邊，輸入在方程右邊，即得系統(tǒng)或元件的微分方程式或數(shù)學(xué)模型。 系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型例：列寫圖示RC無源網(wǎng)絡(luò)的微分方程 解：1.確定輸入與輸出 輸入為ui(t),輸出為uo(t) 2.選電流i(t)為中間變量 列方程：3.消去中間變量并整理可得微分方程為：由此可知，RC無源網(wǎng)絡(luò)的瞬態(tài)數(shù)學(xué)模型是一階常系數(shù)線性微分方程ui(t)RCuo(t)系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型i(t)方法？列寫下面RC濾波網(wǎng)絡(luò)的微分方程微分方程的列寫過程請看教材P 27該網(wǎng)

4、絡(luò)微方程為：uiuoR1R2C1C2系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型例：一彈簧-質(zhì)量-阻尼機(jī)械系統(tǒng)受外力f(t)作用產(chǎn)生位移y(t)，試列寫該系統(tǒng)微分方程 解：對m受力分析 依牛頓定律列方程： 而f(Kt)=Ky(t) f(t)=Bdy(t)/dt 代入方程可得：可見，該系統(tǒng)的瞬態(tài)數(shù)學(xué)模型是用二階常系數(shù)微分方程來描述的mf(t)mf(t)KBy(t)fK(t)fB(t)系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型二、系統(tǒng)傳遞函數(shù)定義：在初始條件為0時，線性系統(tǒng)輸出量的拉氏變換與輸入量的拉氏變換之比稱為線性系統(tǒng)的傳遞函數(shù)。當(dāng)初始條件為0時，對線性系統(tǒng)的微分方程的一般表達(dá)式進(jìn)行拉氏變換可得：令 則有 即為系統(tǒng)傳遞函數(shù)用框圖表示為:G(s)X(s)Y

5、(s)系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型傳遞函數(shù)的性質(zhì).傳遞函數(shù)是描述線性系統(tǒng)或線性元件特性的一種數(shù)學(xué)模型，它和系統(tǒng)或元件的運動微分方程一一對應(yīng)。.傳遞函數(shù)反映系統(tǒng)本身的瞬態(tài)特性，它只與系統(tǒng)本身的結(jié)構(gòu)和參數(shù)有關(guān)。.傳遞函數(shù)不反映系統(tǒng)的物理結(jié)構(gòu)。具有相同的傳遞函數(shù)，從信號傳遞關(guān)系來說，具有相同特性。.傳遞函數(shù)只表明單輸入、單輸出信號傳遞關(guān)系。5 .nm 物理可實現(xiàn)系統(tǒng)三、系統(tǒng)的零極點系統(tǒng)傳遞函數(shù)G(s)是以復(fù)變量s為自變量的復(fù)變函數(shù)，可寫成一般形式：zi系統(tǒng)的零點；影響瞬態(tài)性能pj系統(tǒng)的極點；特征根；決定穩(wěn)定性K系統(tǒng)增益(放大倍數(shù)) ；穩(wěn)態(tài)輸出值系統(tǒng)零極點在復(fù)平面上的表示零點用“”表示，極點用“”表示 系

6、統(tǒng)數(shù)學(xué)模型一般形式標(biāo)準(zhǔn)形式四、簡單系統(tǒng)傳遞函數(shù)的求取1.質(zhì)量、彈簧、阻尼器機(jī)械系統(tǒng)運動微分方程式為 故傳遞函數(shù)為：2.求圖示機(jī)械系統(tǒng)的傳遞函數(shù)。f(t)為輸入，x(t)為輸出（不計摩擦）。 系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型解：設(shè)質(zhì)量M的位移y(t)為中間變量，再對其作受力分析圖 a A f(t)依據(jù)A點力平衡及牛頓定律列寫原始方程式：作拉氏變換： 整理可求得 M系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型五、典型環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)1.比例環(huán)節(jié)2.一階慣性環(huán)節(jié)3.積分環(huán)節(jié)4.微分環(huán)節(jié)5.二階振蕩環(huán)節(jié)6.延時環(huán)節(jié)系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型傳遞函數(shù)環(huán)節(jié)特點1.比例環(huán)節(jié)系統(tǒng)輸入輸出的關(guān)系: y(t)=Kx(t)系統(tǒng)傳遞函數(shù)：G(s)=Y(s)/X(s)=K系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型2

7、.(一階)慣性環(huán)節(jié)具有一階微分方程的環(huán)節(jié)即為慣性環(huán)節(jié)，其傳遞函數(shù)為：慣性環(huán)節(jié)一般包含由一個儲能元件和一個耗能元件。慣性環(huán)節(jié)的特點是：當(dāng)輸入x(t)作階躍變化時，輸出y(t)不能立刻達(dá)到穩(wěn)態(tài)值，瞬態(tài)輸出以指數(shù)規(guī)律變化。輸入為單位階躍輸入時，則輸出的拉氏變換為 ： 拉氏反變換： 系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型當(dāng)K1時，y(t)變化曲線如圖所示: y 0.983 0.95 0.63 0.85 0 T 2T 3T 4T t由圖可以看出，只有當(dāng)t=3T4T時，輸出量接近穩(wěn)態(tài)值。時間常數(shù)是慣性環(huán)節(jié)的重要參數(shù)。 系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型3.積分環(huán)節(jié)積分環(huán)節(jié)的微分方程式為積分環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)：當(dāng)輸入為單位階躍信號時，輸出為:輸出y(t)隨時

8、間呈直線增長，如圖所示：輸出可看為：輸入對時間的積分直線的增長速度由時間常數(shù)來決定，越小，上升越快。當(dāng)輸入信號突然除去時，積分停止，輸出保持不變。在控制系統(tǒng)中，積分環(huán)節(jié)常被用來改善系統(tǒng)的穩(wěn)定性。 y1Tx系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型4.微分環(huán)節(jié)微分環(huán)節(jié)的特點是在瞬態(tài)過程中輸出量為輸入量的微分，其微分方程式為：傳遞函數(shù)：圖示RC串聯(lián)電路，電路的微分方程式為 ： 設(shè)初條件為零時，進(jìn)行拉氏變換，然后消去拉氏變換后的中間變量，即可直接求出傳遞函數(shù)： 稱為實用微分環(huán)節(jié)當(dāng)TC=RC1時，傳遞函數(shù)為 稱為理想微分環(huán)節(jié)。 系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型理想微分環(huán)節(jié)的單位階躍響應(yīng)為脈沖函數(shù)，實際中是不能實現(xiàn)的實用微分環(huán)節(jié)單位階躍輸入時，輸出的拉

9、氏變換為:實用微分環(huán)節(jié)的單位階躍響應(yīng)為:瞬態(tài)曲線如圖所示: 在自動控制系統(tǒng)中微分環(huán)節(jié)常用來改善系統(tǒng)的瞬態(tài)性能，減小振蕩，增加系統(tǒng)的穩(wěn)定性。 系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型1tx(t)y(t)5.二階振蕩環(huán)節(jié)振蕩環(huán)節(jié)的特點，它包含兩個獨立儲能元件并且能量可以相互轉(zhuǎn)換。振蕩環(huán)節(jié)微分方程式為 ：傳遞函數(shù)：令 無阻尼振蕩角頻率 阻尼比系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型當(dāng)0 時在單位階躍輸入作用下，輸出的瞬態(tài)曲線及方框圖如圖所示。詳細(xì)的分析，見典型二階系統(tǒng)分析。 系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型6.延時環(huán)節(jié)延時環(huán)節(jié)是輸出滯后輸入時間但不失真地反映輸入的環(huán)節(jié)。具有延時環(huán)節(jié)的系統(tǒng)稱為延時系統(tǒng)。延時環(huán)節(jié)的輸入x(t)與輸出y(t)之間關(guān)系為：y(t)=x(t-)，式中

10、為延時時間。延時環(huán)節(jié)也是線性環(huán)節(jié)，符合疊加原理。其傳遞函數(shù)：延時環(huán)節(jié)與慣性環(huán)節(jié)不同慣性環(huán)節(jié)的輸出需要延遲一段時間才能接近于所要求的輸出量，但它從輸入一開始就有輸出；而延時環(huán)節(jié)在輸入開始之初的時間內(nèi)沒有輸出，在之后輸出就完全等于輸入，且不再有其他滯后過程。 系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型6.延時環(huán)節(jié)1.比例環(huán)節(jié)2.一階慣性環(huán)節(jié)3.積分環(huán)節(jié)4.微分環(huán)節(jié)5.二階振蕩環(huán)節(jié)傳遞函數(shù)環(huán)節(jié)特點輸出隨輸入成常數(shù)倍變化沒有滯后包含一個儲能元件和耗能元件輸入為階躍時輸出按指數(shù)規(guī)律增加有滯后時間常數(shù)越小變化越快輸入為階躍時輸出呈直線增長當(dāng)輸入突然消失后輸出保持不變輸入為階躍時輸出按指數(shù)規(guī)律減小有滯后時間常數(shù)越小變化越快當(dāng)01輸入為階

11、躍時輸出為衰減振蕩有滯后輸出滯后輸入時間但不失真地反映輸入典型環(huán)節(jié)回顧典型環(huán)節(jié)需要強(qiáng)調(diào)的：傳遞函數(shù)框圖中的環(huán)節(jié)是根據(jù)運動微分方程劃分的，一個環(huán)節(jié)并不一定代表一個物理的元件（或物理環(huán)節(jié)或物理系統(tǒng)），一個物理元件也不一定就是一個傳遞函數(shù)環(huán)節(jié)。從根本上講，這取決于組成系統(tǒng)的各物理環(huán)節(jié)的元件之間有無負(fù)載效應(yīng)。不要把表示系統(tǒng)結(jié)構(gòu)情況的物理框圖與分析系統(tǒng)的傳遞函數(shù)的框圖混淆起來。如果簡單的把系統(tǒng)結(jié)構(gòu)框圖中的各環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)連接起來，就會造成不計負(fù)載效應(yīng)的錯誤。系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型作業(yè)：P71 2.2(b)2.3(b)2.6(1)(4)2.7六、系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖方框圖的結(jié)構(gòu)要素：函數(shù)方框相加點分支點系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖繪制步驟：1

12、)列寫每個環(huán)節(jié)的運動微分方程式。2)由微分方程式求出相應(yīng)的傳遞函數(shù)。3)依據(jù)傳遞函數(shù)畫出相應(yīng)的方框圖。4)按信號的傳遞關(guān)系將方框圖適當(dāng)?shù)芈?lián)接起來，便構(gòu)成系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖。 系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型七、結(jié)構(gòu)圖的等效變換等效變換原則: 變換前后輸入、輸出信號關(guān)系保持不變典型連接的等效變換串聯(lián)連接及其等效系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型X(s)X1(s)Y(s)Y(s)X(s)并聯(lián)連接及其等效：各環(huán)節(jié)的輸入相同，輸出為各環(huán)節(jié)輸出的代數(shù)和，這種連接方式稱為環(huán)節(jié)的并聯(lián) 。系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型G1(s)G2(s) X(s)Y(s)G1(s)G2(s) X(s)Y(s) 反饋連接及其等效 ：它是閉環(huán)系統(tǒng)傳遞函數(shù)方框圖的最基本形式，單輸入的閉環(huán)系統(tǒng)無論有

13、多復(fù)雜，都可以通過等效變換化成這種反饋連接形式。 G(s)=Y(s)/E(s)前向通道傳遞函E(s)=X(s)+B(s)偏差傳遞函數(shù)B(s)=Y(s)H(s)反饋信號，H(s)為反饋回路傳遞函數(shù)GK(s)=B(s)/E(s)=G(s)H(s) 開環(huán)傳遞函數(shù)GB(s)=Y(s)/X(s)= 閉環(huán)傳遞函數(shù) 系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型系統(tǒng)傳遞函數(shù)中的幾個概念 控制系統(tǒng)的傳遞函數(shù)，在工程應(yīng)用中，一般是利用結(jié)構(gòu)圖求取系統(tǒng)的傳遞函數(shù)?？刂葡到y(tǒng)結(jié)構(gòu)圖的典型結(jié)構(gòu)如圖所示。X(s) 控制輸入E(s) 偏差信號N(s) 擾動輸入Y(s) 輸出Xf(s) (主)反饋信號 G1(s)G2(s)H(s)Y(s)N(s)X(s)Xf(

14、s)E(s)系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型系統(tǒng)閉環(huán)傳遞函數(shù)系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)系統(tǒng)誤差傳遞函數(shù)干擾作用下的系統(tǒng)閉環(huán)傳遞函數(shù)GB(s)GK(s)GE(s)GN(s)1.系統(tǒng)閉環(huán)傳遞函數(shù) 令擾動為零,在初始條件為零時,系統(tǒng)輸出量與輸入的拉氏變換之比稱為系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)，以GB(s)表示： 式中 前向通道的傳遞函數(shù)。若反饋為單位反饋，即H(s)=1時，系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)為：系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型2.系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)擾動作用為零時，將主反饋信號在相加點之前斷開。斷開之后主反饋信號的拉氏變換與偏差信號的拉氏變換之比稱為開環(huán)傳遞函數(shù)，以Gk(s)表示： 式中 單位反饋系統(tǒng)H(s)=1時， GK(s)=G(s)。開環(huán)傳遞函數(shù)是今后用頻率

15、法分析系統(tǒng)的主要數(shù)學(xué)模型。 系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型3.誤差傳遞函數(shù)擾動作用為零時，以偏差信號(t)作為輸出,x(t)信號為輸入。依據(jù)傳遞函數(shù)定義：誤差傳遞函數(shù)是穩(wěn)態(tài)誤差分析計算的主要數(shù)學(xué)模型。 系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型4.擾動作用的閉環(huán)傳遞函數(shù)對于擾動輸入N(s)來說，前向通道傳遞函數(shù)G2(s)為反饋通道傳遞函數(shù)為,以GN(s)表示擾動傳遞函數(shù)，令X(s)=0時，若控制輸入x(t)和擾動輸入n(t)同時作用時，應(yīng)用迭加原理，輸出的拉氏變換為: 對上式取拉氏反變換，便可求出在控制輸入x(t)和擾動輸入n(t)同時作用下的輸出。 系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型八、方框圖化簡規(guī)則1)分支點移動規(guī)則2)相加點移動規(guī)則3）分支點之間、相加點之

16、間互相移動規(guī)則 系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型相加點和引出點的移動： 等效原則：前向通道和反饋通道傳遞函數(shù)都不變。G(s)R(s)C(s)C(s)G(s)G(s)C(s)C(s)R(s) G(s)R(s)C(s)R(s) G(s)C(s)R(s)R(s)2.引出點后移 1.引出點前移 C(s)=G(s)R(s) 引出點的移動1.相加點前移G(s)(-)B(s)C(s)R(s)G(s)B(s)C(s)R(s)(-)C(s)R(s)G(s)(-)B(s)C(s)G(s)G(s)R(s)B(s)(-)R(s)V1(s)V2(s)E1(s)C(s)(-)V2(s)V1(s)(-)C(s)R(s)V1(s)V2(s)C(

17、s)R(s)(-)或 相加點的移動 3. 交換或合并相加點 2.相加點后移C(s)=G(s)R(s)-B(s)C(s)=G(s)R(s)-B(s) = G(s)R(s)-G(s)B(s)C(s)=E1(s)+V2(s) = R(s)-V1(s)+V2(s) = R(s)+V2(s)-V1(s)等效規(guī)則簡化圖示系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖，并求系統(tǒng)傳遞函數(shù)X(s)G1(s)G2(s)G3(s)Y(s)H1(s)H2(s) 這是一個無交叉多回路結(jié)構(gòu)圖，具有并、串聯(lián)結(jié)構(gòu)、局部反饋以及主反饋結(jié)構(gòu)系統(tǒng)。 首先將并聯(lián)和局部反饋簡化，再將串聯(lián)簡化。系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型X(s)X(s)G1+G2Y(s)H2H2Y(s)系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型系統(tǒng)

18、數(shù)學(xué)模型系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)為:系統(tǒng)閉環(huán)傳遞函數(shù)為:誤差傳遞函數(shù)為：簡化圖示系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖，并求系統(tǒng)傳遞函數(shù) 這是一個多回路結(jié)構(gòu)圖。具有相加點和分支點交叉。簡化這種系統(tǒng)時，首先要把交叉連接變換成無交叉連接的多回路系統(tǒng)。 方法之一是將分支點前移，簡化成無交叉多回路系統(tǒng)，然后按無交叉多回路從內(nèi)往外進(jìn)行簡化。 系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型Y(s) X(s) 1H 4G 3G 2G 1G 3H 2H 系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型1H 4G 3G 2G 1G 3H 2H 4G 分支點前移Y(s) X(s) 1H 4G 3G 2G 1G 3H 2H B分支點B后移Y(s) X(s) 1H4G 3G 2G 1G 3H 2H 41/G4系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型Y(s) X(s) 1H 4G 3G 2G 1G 3H 2H 相加點前移Y(s) X(s) 1H4G 3G 2G 1G 3H 2H 21/G2系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型梅遜公式及應(yīng)用 梅遜公式為： G(s) =式中：G(s)為系統(tǒng)總的傳遞函數(shù) n為從前向通道總數(shù) Pk為第k條前向通道的傳遞函數(shù) 為信號流圖特征式 K為第k條前向通道的信號流圖特征式的余子式=系統(tǒng)中所有回路傳遞函數(shù)之和兩兩互不接觸回路傳遞函數(shù)之積之和每三