暑假平面幾何講義四點(diǎn)共圓

1、2014年暑期平面幾何講義：四點(diǎn)共圓(教師版)2014年暑期平面幾何講義：四點(diǎn)共圓(教師版)17/172014年暑期平面幾何講義：四點(diǎn)共圓(教師版)四點(diǎn)共圓文武光彩數(shù)學(xué)工作室潘成華平面幾何中證四點(diǎn)共圓的幾個基本方法方法一：平面上有四點(diǎn)A、B、C、D,若AD,則A、B、C、D四點(diǎn)共圓方法二線段AC、BD交于E,若AEECBEED,則A、B、C、D四點(diǎn)共圓方法三線段AC、BD交于E,若AEBECEED,E則A、B、C、D四點(diǎn)共圓方法四：若四邊形ABCD,AC180，A則A、B、C、D四點(diǎn)共圓方法四、已知AD是ABC內(nèi)角或外角均分線，ABAC,且BDDC,則DA、B、C、D四點(diǎn)共圓ABDA證明設(shè)AD

2、ADsinBsinCBAD,因?yàn)镈BDC,所以sinBADsinCAD，所以sinBsinC，C內(nèi)角時BC180,外角時BC，所以A、B、C、D四點(diǎn)共圓托勒密定理：OCOTolemy(托勒密定理）C若四邊形ABCD是圓O內(nèi)接四邊形,則AD?BC+AB?CD=AC?BDB證明在AC上取點(diǎn)E,使EDC=ADB,因?yàn)锳BD=ACD,所以ABDEDC,ADEBDC，于是(AB/CE)=(DB/DC),(AD/AE)=(DB/BC),于是AD?BC+AB?DC=AE?BD+BD?CE=AC?BD例1、已知點(diǎn)D、E在ABC內(nèi)，ABDCBE,BAECAD.求證ACDBCE.AQA證明(一)（文武光彩數(shù)學(xué)工作

3、室南京潘成華）作E關(guān)于BC、AB、AC對稱點(diǎn)P、R、Q,易知BRDBPD,ARDAQD,于是DPDDQ,RDR所以DCPDCQ,DPCDQCD,從而BCEACD.獲取證明（二）作EDBCABE獲取BDS外接圓交AD延長線于S,可知ASCE,CABEASC,所以ABSAEC,得C到ACEASBDSB,BBP所以BCEACD.A南京潘成華）E是ABC內(nèi)一點(diǎn)，點(diǎn)例2、已知（文武光彩數(shù)學(xué)工作室D在BC上，且BAEDAC,EDBADC.則AECBED180DECB證明先證明ABBE,過E作AB、AC、BC垂線EF、EG、EL交AB、AC、BC分別ACEC于F、G、L，直線EL、AD交于J,取AF中點(diǎn)K,

4、易知B、F、E、L四點(diǎn)共圓，F(xiàn)LE、G、C、L四點(diǎn)共圓，所以ABsinCBEFLCE(1),(B、C是ABC的內(nèi)ACsinBLGLGBECE角)，因?yàn)镋DBADC，所以ELLJ,于是KL/AJ,易知A、F、E、G四點(diǎn)共圓，圓心是K，BAEDAC,所以ADFG,從而KL/FG，獲取KL是FG中垂線，所以FLLG，(1)得ABBEACEC下邊我們證明AECBED180，因?yàn)閟inAECACsinEAC,AEsinBAEABsinBAE,兩式相除得sinAECsinEACsinBADBEsinBAEsinBAEsinDACABsinBADECBDECsinBED,因?yàn)锳CsinDACBECDBEsi

5、nDECAECBAEBEDDEC360所以，AECBED180證明（二）在AB取H,使得AHBPDB,所以AHPADC,從而獲取AHDAPC,易知H、P、D、B四點(diǎn)共圓，所以APCBPDBHDAHD180HA例3、葉中豪老師2013年國慶講義一幾何題我的解答P已知，D是ABC底邊BC上任一點(diǎn)，P是形內(nèi)一點(diǎn)，滿足12，34。求證：PBAB。PCACBD證明作BPD、CPD外接圓交AB、AC分別于H、I，易知AHPADC,所以AHDAPC，所以ACADABD,從而獲取ABPPCDH（1）,易知APIADI,所以ABAD（2）,易知A、H、P、I四點(diǎn)共圓，所以BPDIAHIAPIABC,所以HI/B

6、C,IHDHDB3HDP3HBP4ADIIDCHID,所以HDID,從而依據(jù)（1）、（2）獲取PBAB。PCAC例4、已知ABC是銳角三角形，AD是BC邊上中線，H是ABC垂心，HIAD于點(diǎn)I，求證B、C、H、I四點(diǎn)共圓AA證明（一）：延長AD到G使得AD=DG,易知四邊形ABGC是平行四邊形，因?yàn)镃HAB，BHAC,所以HBGHCG90,獲取I、B、G、C、H，所以IHHB、C、H、I四點(diǎn)共圓ABDBDCIHFCCG證明（二）HACHBDBFD,所以FD是(AIHF)切線，所以DC2FD2DIDA,所以DICDCA,獲取DCADACBHI,所以B、C、H、I四點(diǎn)共圓第四題、第51屆波蘭數(shù)學(xué)奧

7、林匹克，1999例5、已知在ABC中，ABAC,點(diǎn)P在ABC內(nèi)部，點(diǎn)D是BC中點(diǎn)，CBPACP.求證BPDAPC180.證明（文武光彩數(shù)學(xué)工作室南京潘成華）設(shè)ACPx,ABPy,BPD,DPC,APB,APC,因?yàn)锽DCD,可知，可APAPsinysinxBPsinPCsin知sinysinsinxsin,（1），ABAC,可知sinsin獲取sinysinsinxsin（2），依據(jù)（1）、（2）得sinsin180，即BPDAPC180。sinsin證明(二)（文武光彩數(shù)學(xué)工作室潘成華給出）延長CP交以A為圓心，AB為半徑的圓于F,直線FA交BP于G,FACPPBC,所以GPCB,于是G在A

8、上，PFGPBC,所以APFDPB,可知APFBPD,即BPDAPCAPFAPC180,得證例6、已知M是ABC邊BC中點(diǎn)，AM交ABC外接圓O于D,過點(diǎn)D作DE/BC交O于E,在AD上取點(diǎn)F,使得FCAC.求證AFCEFC證明(一)（文武光彩數(shù)學(xué)工作室以ABEC是調(diào)停四邊形，易知直線南京潘成華）因?yàn)镈E/BC,AE、過點(diǎn)B、C切線共點(diǎn)，獲取點(diǎn)M是BC中點(diǎn)，所MC均分AMC,ECF90ABEOAEPME12EMF,所以C是EMF旁心，從而AFCEFC.證明（二）因?yàn)镸是ABC邊BC中點(diǎn)，所以SABDSACD,獲取ABBDACCD,易知BCED是等腰梯形，所以ABCEACBE,依據(jù)托勒密定理可知

9、2ABCEABCE+ACBE=AEBC2BMAE,獲取ABCEBMAE，ABMAEC,所以ABMAEC，所以EACBAD,可知EABCAD,取AE中點(diǎn)S,同理可得ACSECBBAEDAC,所以CS與AD交點(diǎn)設(shè)為N,則N為AF中點(diǎn)，所以CN/EF,于是EFCNCFAFCA證明（三）（田開斌老師）作CJ/BD交AD于J，所以ACJBDCE,JCEBDCBCE,AFC90DAC90DBC90ECBJEC,所以NJSJ、F、E、C四點(diǎn)共圓，因?yàn)镴CEC,所以AFCBMEFC例7、已知AD是ABC角均分線交BC于D，ABD、ACD、FABC外心分別是BMO1、O2、O,求證O1O=OO2DE證明易知1B

10、ACAFDACO1AB90AO1O90ADC90BOAC2DEOAD，BAO901AOB90CO1O1AO=O2AO（1），又2DAO2,所以O(shè)2AOO1ADC、AO2OADB，于是AOO1+AO2OADC+ADB=180，所以O(shè)A、O1、O2、O四點(diǎn)共圓，依據(jù)（1）獲取O1O=OO2BDC證明（二）記ABC三角A、B、C，設(shè)直線BO1、CO2交于E，BCECACO2C(90ADC)C(90B1A)BCA,同理EBCBCA,222所以BECE，BOO1ADC、CO2OADB，BOO+COOADC+ADB=18012EA所以E、O1、O2、O四點(diǎn)共圓獲取O1O=OO2例8、已知P、O交于A、B,

11、四邊形ABCD是平行四邊形，C在O上，PFBC交AB于F,直線CF交O于G.O1求證E、G、D、C四點(diǎn)共圓AO2DADK證明DKEC是延長DA交P于點(diǎn)K,連接KE、KB，易知AKBE是等腰梯形，O等腰梯形，CFFGAFFBEFFK,所以K、G、E、PC四點(diǎn)共圓，所以PGOK、G、E、C、D五點(diǎn)共圓,從而E、G、D、C四點(diǎn)共圓FGOBDFC例9、已知O、I分別是ABC外心，內(nèi)心，求證OIAI的充要條件是ABAC2BC,CBEBE證明延長AI交圓O于D,依據(jù)托勒密定理，AB?DC+AC?BD=AD?BC(1),因?yàn)镺IAI，所以AI=ID,由（1）得：AB+AC)?BD=BC?2DI,因?yàn)锽ID=

12、IBD,于是BD=DI,所以AB+AC=2BCCCC此題，若O，I分別是ABC外心，內(nèi)心，AB+AC=2BC，求證OIAI證明方法是相同的例10、P為ABC外接圓上一點(diǎn)，P在BC、AC上的射影為D、E.點(diǎn)L、M分別是AD、BE中點(diǎn)。證明DELM.證明取AB中點(diǎn)N，連接MN、NL、AP、BP,易知BPDAPE，所以DPBD,PEAE所以DPPEMNNL,可知MNLEPD,所以DELM第十題、已知M是ABC邊BC中點(diǎn)，AM交ABC外接圓O于D,過點(diǎn)D作DE/BC交O于E,在AD上取點(diǎn)F,使得FCAC.求證AFCEFC例11、已知（文武光彩數(shù)學(xué)工作室南京潘成華）O、I外切于S,O弦AB切I于T,點(diǎn)P

13、是AI延長線上一點(diǎn),求證BPAB充要條件是TSSP.（2014688：49于鎮(zhèn)江大港中學(xué)）證明（文武光彩數(shù)學(xué)工作室南京潘成華）過S作兩圓公切線交AT于Q,線段AS、QI交于,TS等價于IR/PS,等價于AIAR,因?yàn)镽SPAPASQTRQSAABS,獲取TR/BS,所以，AIAR等價于AIAT,等價于APASAPAPIT/BP,即BPAB例12、剛才看了一下2014年第5期中等數(shù)學(xué)數(shù)學(xué)奧林匹克問題（高）383，不難，我把解答寫一下已知H是銳角ABC的垂心，以AH、AB為直徑的圓交BHC外接圓于D、E,直線AD交BC于G,直線AE、HC交于F,求證GF/BH證明（文武光彩數(shù)學(xué)工作室南京潘成華）設(shè)

14、BHC外接圓為O,直線AG交O于N,所以H、O、N共線，延長A、M、H、D四點(diǎn)共圓，所以BADDHCCH交AB于點(diǎn)M,易知ANC,所以AB/CN,同理BN/AC,所以ABNC是平行四邊形，獲取G是BC、AN中點(diǎn)，連接AF交O于J,因?yàn)锽EAF,可知B、O、J共線，所以O(shè)G是AHN、BJC中位線，獲取AH、CJ平行且相等，所以F是HC中點(diǎn)，可知GF/BH例13、（文武光彩數(shù)學(xué)工作室南京潘成華）設(shè)ABC周長為2p，AEAFpAC，求證ABC的C旁切圓與ABC外接圓外切。（2014-6-128：56）證明設(shè)ABC的C旁切圓切直線EF、AB、AC于D、L、M,AC交AEF外接圓于N,直線AD交ABC的

15、C旁切圓于K,22ADAK,所以AFDAKF,AFAL所以AKFAFDAEF180ANF,所以點(diǎn)K在AEF外接圓外接圓上，因?yàn)锳是BAF中點(diǎn)，所以點(diǎn)K是兩圓的切點(diǎn)，即ABC的C旁切圓與ABC外接圓外切。例14、CDAB于D，H、O是ABC垂心，外心，ODDE交AC于E，求證BACDHE證明(一)CCDK,依據(jù)延長CD交O于J,延長ED交BJ于K,依據(jù)蝴蝶定理可知DE鴨爪定理可知DHDJ,所以HE/BJ,等腰BACBJDDHE.證明（二）在BD取S使得DSAD,所以SCDACDBCO,設(shè)BH、CS交于T,O,依據(jù)等角共軛點(diǎn)性質(zhì)，可知O,又CBODBTCDTBDOCDEHCHEEDBHACD,可知

16、C、D、S、H四點(diǎn)共圓，可知BCDSABDAD例15、第47屆IMO預(yù)選，2006年KJ如圖，在梯形ABCD中，AB/CD,ABCD,點(diǎn)K、L分別在線段AB、CD上，且OAKDL,P、Q分別在直線KL上，且APBADC,CQDBAD.HKBLCTE求證A、D、P、Q四點(diǎn)共圓BASO因?yàn)锳KDLD證明（一），易知AD、QP、DC共點(diǎn)，設(shè)為O,KBLC設(shè)AQ交圓(DCQ)于J,CQDBADODC,所以QDJ是圓(QDC)切線，APDADCDJC,所以DJ/AP,DLC所以PADODJAQP,所以A、D、P、Q四點(diǎn)共圓P證明（二）（文武光彩數(shù)學(xué)工作室E依據(jù)潘成華）因?yàn)?AK/KB)=(DL/LC),

17、AB/CD,AKB位似知識可知AD、QL、BC的延長線共點(diǎn)，設(shè)為E,過點(diǎn)L作LX/AP交ADQ于X,作LY/PB交BC于Y,所以XY/AB,設(shè)XL、DQ交于S,LY、QC交于T,DLC依據(jù)SP于是Menelaus定理可知(XS/SL)=(XD/DE)*(EQ/LQ)=(YC/CE)*(EQ/LQ)=(YT/TL),ST/XY,XTYAKBSQT+SLT=DAB+ADC=180,所以L、S、Q、T四點(diǎn)共圓，Q易知SQL=STL=XYL=ABP=180-APB-BAP=180-ADC-BAPDAP,從而A,D,P,Q四點(diǎn)共圓例16、2012年西部數(shù)學(xué)奧林匹克幾何題已知ABC外心、垂心分別是O、H,

18、ADBC于D,AO中垂線交CB延長線于E.求證AEF外接圓過OH中點(diǎn).證明（文武光彩數(shù)學(xué)工作室南京潘成華）取OH、BC中點(diǎn)AM、K,依據(jù)歐拉定理可知AH2OK、AH/OK,所以MFOK、MF/OK,所以MKOFAF,又易知MDMK,所以AFMD,所以AFMD是等腰梯形，可知A、F、M、D四點(diǎn)共圓，因?yàn)锳、F、E、D四點(diǎn)共圓，所以M在AEF外接圓上,F即AEF外接圓過OH中點(diǎn)M.例17、已知兩齊心圓，從大圓上一點(diǎn)A作AB、AC切小圓于B、C,OAE2M直線AC交大圓于D.求證BEHDE2CE證明（文武光彩數(shù)學(xué)工作室南京EDKC潘成華）設(shè)兩圓圓心BO,延長AB、AC交AB、AC分別交大圓于S、D,

19、所以BC是ASD中位線，DAEDSEBEC,BSEADE,所以ADEESB,所以AEDEDEAE2BE2BE2BEBEBSDC,所以DE2DC2,結(jié)論等價于DC2CE，等價于DC2BECE,因?yàn)镈C2DO2OC2EO2OC2BECE得證例18、（2004年日本數(shù)學(xué)奧林匹克幾何題）已知如圖，點(diǎn)D、E分別是AB、AC上兩點(diǎn)，且ADCEDBAE過點(diǎn)D、E分別作AC、AB的平行線交過點(diǎn)A作ABC外接圓的切線分別于H、I,延長直線DE交ABC外接圓于F、G求證（1）H、F、G、I四點(diǎn)共圓，(2)BC是（HFG）切線證明因?yàn)镠G/AC,AD/EI,因?yàn)锳DHCE，所以直線DH、EI交點(diǎn)必在BC上DBAE設(shè)

20、為J,ABCIACAAHJ,所以A、H、B、J四點(diǎn)共圓，同理A、I、C、J四點(diǎn)共圓ADDBHDDJIGDDF所以H、F、J、G四點(diǎn)共圓同理I、F、J、G四點(diǎn)共圓，于是H、F、G、I四點(diǎn)共圓，AJBACBHABAIJ,所以BC是GE（HFG）切線DF例19、已知AB、AC分別是圓O兩切線、B、C是切點(diǎn)，CD均分ACB,交AB于D,DF切O于E,交BC延長線于F.BJC求證BC3CFADHE證明（文武光彩數(shù)學(xué)工作室南京潘成華）連接AO交BC于I,BE、DO交于,設(shè)線段CD交O于H，易知I、K分別是BC、BE中點(diǎn)，A、H、I、O共線，依據(jù)配位中線知識可知ECDBCK,所以ECAHCB,又BECBHC

21、,所以EKCHBCHCBECB,從而BE2KE2EC,又ECFBFE,獲取BF2EF4CF,即BC3CF.證明（二）ED2DHDCDKDO,所以DKEDCO,DKHDCO,所以HKEHBC,所以HKEHBC,可知于是BKHCEH,獲取CEBKKE,下邊同證法（一）例20、回答廣州陳澤桐老師幾何題已知J是ABC的A旁切圓，D、E是切點(diǎn)，點(diǎn)F是DE延長線上一點(diǎn)，CF交AB于G.則FCAB的充要條件是FGABFGACBCAA證明（文武光彩數(shù)學(xué)工作室南京潘成華）設(shè)JC、DE交于S,BS延長線交直線AE于R,CS交直線AD于點(diǎn)T,三角形三角A、B、C,依據(jù)Menelaus定理ADGFCE1,DGCFAE

22、所以CFCE,ABAB,CSE901ABC=DBJCDCJ所以FGDGACBCAEBD2F四點(diǎn)共圓，可知,可知G定理,B、S、J、DBSCS,依據(jù)MenelausBSSRBEGERADBS,所以ERBDF,ABABABSsinC,ABBDC1ACBCAEBDDARJsin(B2BSREC)2RDFCJABECsinC(1)成立的充要條件是2C)，F(xiàn)GACBCDGsin(B2TTCECECJCsinCJC,FGAB等價于JCsin11,DGJCDG2DGDGTGGCTsin(AC)2即ECsinCsinC依據(jù)（1）結(jié)論成立22C)DGsin(AC)sin(B22例21、已知：自O(shè)外一點(diǎn)P作切線P

23、A、PB及割線PCD，自C作PA的平行線，分別交AB、AD于E、F。求證：CEEF。證明：聯(lián)系OA、OBO，作OMCD于M。由垂徑定理知CMMD。由OAPOBPOMP90，得A、B、M都在以PO為直徑的圓上，即P、A、M、B四點(diǎn)共圓，ABMAPM。而CE/PA，得APMECM由此ABMECM，推出B、C、E、M四點(diǎn)共圓。得EMC而EBCD，故EMCD，EBC、EM/AD。在CDF中，由中位線逆定理即得ECEF。例22、已知A為O上一點(diǎn)，B為圓外一點(diǎn)，BC、BD分別與O相切于C、D，DEAO于E，DE分別交AB、AC于F、G。求證：DFFG。B證明：B設(shè)AB交O于K，聯(lián)系OB、CD交于M。則OB

24、垂直均分CD，即M是CD中點(diǎn)。聯(lián)KM、KD、MF。由2BKMBKBABDBMBO，得K，DDBOACBMKBAO，由此DMKAFEKFD，得CM于是K、M、F、D四點(diǎn)共圓，F(xiàn)F于是DMFGDCA，MF/CAGDKF。因M是DC中點(diǎn)，故F也是DG中點(diǎn)，OEAOA即DFFG。證畢E例23、已知PA、PB是O切線，A、B是切點(diǎn)，PCD是割線，DJ/AP交AB于J,直線JC交AP于I,求證AIPI(2013111121:30)證明作OKPD于K,延長AC、DJ于L,易知A、P、B、K、O五點(diǎn)共圓，可知JDPADPABK,所以B、K、D、J四點(diǎn)共圓，于是AJKCDBCAJ,于是A,易知CKDK,CA/B

25、K所以LJDJ,從而依據(jù)相似知識可知AIPI.例24、ABC是等邊三角形，AD/BE,BDDE,連接CE,取CE中點(diǎn)F,求證ADF120K證明（田開斌給出）延長ED到K,使得DK=DB,KDADEBDBEADB,所以ADKADB,所以AKABAC,于是DKC1DAB30,KBCDMF,可MDK30,因?yàn)锳D/BE，所以ADF120X2AD知AD證明（二）上海-leenco林可先生證明：作等邊三角形DBY,連接YC交DA延長線于X,連接XB,所以Y是DEB外心，BEY30,EXDB,獲取BMABDCBY所以XYBFBX、D、Y、B四點(diǎn)共圓，于是YXD60,獲取CFCXY、BE夾角60，可知XYE

26、90,所以YECFEF,于是YDFEDF,ABDEBDBED,YDBE,易知DFEY,獲取FDE所以ADF180FDEDBE60，從而ADF120例25、已知ABC中，H、O是ABC垂心，外心，HD/AB交AC于D,HE/AC交AB于E,求證ODOE.AAEENED證明（文武光彩數(shù)學(xué)工作室南京潘成華）取BC中點(diǎn)M,連接OM,AH、DE,設(shè)AH、DE交于點(diǎn)N,連接ON,HM,BHC=180-BAC=ADH,HAD=CBH,所以AHDBCH,于是HDNCHN,從而HND=CMH,依據(jù)Euler定理，四邊形ONHM是平行四邊形，獲取ONH=OMH,所以O(shè)ND=OMC=90,所以O(shè)E=OD.例26、已

27、知四邊形ABCD是O內(nèi)接四邊形，且ABBC,AC、BD交于點(diǎn)J,點(diǎn)I、H分別是ABJ、ADJ外心.ADCD求證AO均分BDAA南京潘成華）BAI=HAD,證明（文武光彩數(shù)學(xué)工作室IH所以IAH=BAD,(AB/2AI)=sinAJB=sinAJD=(AD/2AH),可知(AI/AH)=(AB/AD)(1),MIHBBJ所以AIHABD,AIO=90+BAI=90+90-AJB=BJC,AIO=ABD=ACB,JD所以IAO=DBC,同理HAO=BDC,設(shè)AO、JH交于點(diǎn)M,OO即證明IM=MH,也就是AIsinIAO=AHsinHAO,等價于(AI/AH)=(sinHAO/sinIAO)=(s

28、inCDB/sinCBD)=(CB/CD),因?yàn)?AB/AD)=(BC/CD)，依據(jù)（1）結(jié)論明顯成立CC例27、已知O是ABC外接圓，MN是ABC邊BC中垂線所在的弦，DP/AN,MPEF交AB、AC分別于E、F.求證EPFPL明（蘇州學(xué)生方法）過共線，易知AL=AX,所以M作MLAC于L,MXAB于X,，依據(jù)Simson線可知：L、X、DMDL/AN,所以P在直線DL上，M、E、P、X四點(diǎn)共圓，AM、L、F、P四點(diǎn)共圓，MBC=LAM=MXL=MEF=MAB=BAM=MFE=MCB,所以ME=MF,從而PF=PEX證法（三）作MXAB于X,所以ABM=ANM=PDM,PFE易知M、B、D、

29、X四點(diǎn)共圓，所以ABM=XDM,于是OX、P、D共線，易知M、E、P、X四點(diǎn)共圓，所以BME=AEM-ABM=MPX-MDP=DMP,同理CBDCME=DMP,MB=MC,從而MEB?MCF,所以ME=MF,獲取PE=PF例28、已知PE、PF是以AB為直徑的半圓O兩切線，E、F是切點(diǎn)，BE、AF交于D,PB交O于C.求證P、E、D、C四點(diǎn)共圓證明（文武光彩數(shù)學(xué)工作室南京潘成華）EDA=EBA+DAB=(1/2)(FOB+EOA)=(1/2)(180-EOF)=(1/2)EPF,PE=PF,所以P是圓（DEF)圓心，所以PE=PD,可知PDE=PED=BAE=PCE,于是P、E、D、C四點(diǎn)共圓

30、例29、如圖，AB是圓O的切線，ADE為圓O的割線，D介于A,E之間。M為AO的中點(diǎn)，圓M為ABO的外接圓，BD交圓M于F。求證：EB為M的切線，當(dāng)且僅當(dāng)BD=DF。證明：上海曹玨贇先生解答設(shè)ADE交圓M于K。由AKO=90,OE=OD知：DK=KEABDAEB=SABDBD2AD=BE2AEBD2SAEBBE2AEADAEADDKEAEK=BE為圓M的切線AD設(shè)ADE交圓M于K。由AKO=90,OE=OD知：DK=KE據(jù)題意知：ABD=BED,EBK=BAK=ABDBEK據(jù)題意知：BEO=EBO=BAO=ABM=ABMBEO于是D,K是對應(yīng)點(diǎn)，又因?yàn)镺KE=90，故MDB=90。又因?yàn)镸B=

31、MF，故BD=DF。證明（文武光彩數(shù)學(xué)工作室南京潘成華）設(shè)AE交M于H,EBOD=2BED=2ABF=AMF,所以BODAMF,可知AFBO=BDAM(1),因?yàn)镸BO=BOM=AFD,BHBE是切線等價于EBH=BAH,等價于BHD=BDH,所以AFD=ADF,所以BE是EB為M的切線等價ADGMO于BOMDFA,等價于AFBO=BMDF,因?yàn)锽M=AM,F依據(jù)（1）可知BD=DF例30、已知E、F是圓內(nèi)接四邊形ABCD對邊AB、CD的中點(diǎn)，M是EF的中點(diǎn)，自E分別作BC、AD的垂線，垂足記為P、Q。求證：MPMQ。證明：自F分別作BC、AD的垂線，垂足記為S、T，聯(lián)ST、PQ。易知RtFCSRtEAQ，RtFDTRtEBP，得(FS/EQ)(FC/EA)(FD/EB)(FT/EP)，又SFTPEQ，F(xiàn)TSEPQ。得FTSEPQ，于是QPSSTQ180，從而P、S、T、Q四點(diǎn)共圓。在直角梯形EPSF中，M是腰EF的中點(diǎn)，故M落在線段PS的中垂線上；同理，M也落在線段QT的中垂線上。故M就是P、S、T、Q四點(diǎn)所共圓的圓心。MPMQ。例31、已知設(shè)H是ABC垂心，點(diǎn)D、E、F分別在邊BC、CA、AB