大二上概率空間概念

1、0.0 概率空間一、隨機事件的公理化定義 回顧初等概率論中引進古典概率、幾何概率等定義，有如下問題： 對于隨機試驗E的樣本空間,是否的每一個子集(事件)都能確定概率? 定義 (代數(shù))：設隨機試驗E 的樣本空間為,F 是的子集組成的集族，滿足(2)若AF,則 .（對逆運算封閉） (3) 若 則（對可列并運算封閉）可加 稱F 為的一個-代數(shù)（事件體）, F 中的集合稱為事件.(1) F ; Ex.1 在編號為1,2, , n 的 n個元件中取一件.樣本空間為構(gòu)造如下事件:1. 考慮元件的編號，則全體基本事件為可驗證集族組成一個代數(shù). 2. 考慮元件是正品或次品，則基本事件為 A1=取到正品, A2

2、=取到次品則 為一個代數(shù). Ex.2 測量一個零件,考慮其測量結(jié)果與實際長度的誤差. 基本事件為x,樣本空間為 則R1的子集全體： ,單點集 x ，一切開的,閉的，半開閉區(qū)間等組成的集族F是一個代數(shù).另外，令 =出現(xiàn)正誤差=出現(xiàn)負誤差則 為一個代數(shù).注：對同一研究對象的同一試驗, 試驗目的不同, 其樣本空間和代數(shù)的結(jié)構(gòu)會不同. 定義 (可測空間) 樣本空間和代數(shù)的二元體(, F) 稱為可測空間.可測空間有如下性質(zhì)： 1.2.對可列交運算封閉. 若 證3. 對有限并,有限交封閉:若 則4.對差運算封閉,即若 則 .二、概率的公理化定義柯氏公理體系是現(xiàn)代概率論的基石. 定義(概率)：設(, F )

3、是一可測空間,對 定義在F上的實值集函數(shù)P(A), 滿足1) 非負性：對 2) 規(guī)范性:P() = 1;3) 完全可加性,對 有 稱P是(,F)上的概率(測度),P(A)是事件A的概率. 三元體(, F , P)稱為概率空間. Ex.3 設某路口到達的車輛數(shù)為m,基本事件為m,樣本空間 F是的一切子集組成的集族，則F是一個代數(shù).令 P()=0, 并對AF 令證明P為可測空間(,F)上的概率測度. 證 1) 2) 因3) 設有三、乘積樣本空間設A 和 B 是兩個集合，稱為A與B 的積集. 定義 設隨機試驗Ei , i=1,2, n的樣本空間分別為i ,i=1,2, n,稱12n=(1, 2, n) , i i i=1, 2, , n為乘積樣本空間. Ex.3 設拋一枚均勻硬幣試驗E1的樣本空間為擲一顆均勻硬幣骰子試驗E2的樣本空間為 先擲一顆均勻硬幣骰子,再拋一枚均勻硬幣試驗的樣本空間可設為=12=(1,2) , i i i=1, 2有 =(T, i) , = (H, i) , i=1,2, ,6. Ex.4 n次獨立重復拋一枚均勻硬幣試驗E的樣本空間為n=(1, 2, n)