《數(shù)學(xué)分析》試題

1、1.lim+n(n1)n(n1)解：lim2，故1nlim+limn4+nn4nsinnn41原式=.=lim=lim=0.n2x2xln22xln222x哈爾濱理工大學(xué)20162017學(xué)年第一學(xué)期考試試題A卷答案考試科目：數(shù)學(xué)分析(I)一、求極限、導(dǎo)數(shù)或高階導(dǎo)數(shù)(每小題5分，共35分)12nnn4nsin1n4nsin2n4nsinn112nn12n2x22x22.lim=limnxx1-cosx213.limx0 x1x4=lim2=.2sinxln1+xx0 x2xx24.limarcsin(x1x1)x1lnx)arcsin.解：limarcsin(x1x11x1lnx265.設(shè)yxx

2、x(x0),求y.yxxx(xxlnx(lnx1)xx1).xa(tsint)dy6.設(shè)函數(shù)yy(x)是由參數(shù)方程確定，求dxya(1cost)t和2dydxt。dydxt21.7.設(shè)函數(shù)f二階可導(dǎo)，yf(x1)d2yx1，dx2dy2x1d2y4x14x1f()f()f()解：dx(x1)2x1，dx2(x1)3x1(x1)4x1.系（部、中心、教研室0801出題教師數(shù)學(xué)分析命題組系（部、中心、教研室）主任：第頁(yè)共6頁(yè)哈爾濱理工大學(xué)20162017學(xué)年第一學(xué)期考試試題A卷答案二、解答題（每小題8分，共32分）1.已知0a1，a0n+1=ann0，求證an的極限存在并求其極限.nnn解:易知a

3、lima=1.nn單調(diào)增有上界1，故由單調(diào)收斂定理及l(fā)ima=lima知n+1n2.討論函數(shù)fxsinxx1ex21的間斷點(diǎn)及其類(lèi)型.解：f(x)5(x1)解:x=0為可去間斷點(diǎn)，x=1為第二類(lèi)間斷點(diǎn).3.求函數(shù)f(x)(x4)3(x1)2的極值點(diǎn)與極值。33(x1)2，駐點(diǎn)為x1，不可導(dǎo)點(diǎn)為x1極大值為f(1)0，極小值為f(1)3344.將邊長(zhǎng)為a的正方形的四個(gè)角減去同樣大小的正方形后折成一個(gè)無(wú)蓋的盒子，問(wèn)剪去的正方形邊長(zhǎng)為何值時(shí),可使合資的容積最大?解：設(shè)剪去的小正方形的邊長(zhǎng)為x，則盒子的容積為aVV(x)x(a2x)2,x0,2令aaaaV(x)12(x)(x)0 xV()0,得穩(wěn)定點(diǎn)

4、626,且6,所以為極大值點(diǎn)又為一,所以xaa2a3V()6時(shí)候,容積最大,為627三、證明題（每小題8分,共16分）1、求證：方程2x2-x2-2=0至少有兩個(gè)實(shí)根.證明：設(shè)f(x)2x2x22，則易驗(yàn)證f(0)=-10，由零點(diǎn)定理知f(x)0在-2,0和0,2中各有一個(gè)實(shí)根.系（部、中心、教研室0801出題教師數(shù)學(xué)分析命題組系（部、中心、教研室）主任：第頁(yè)共6頁(yè)哈爾濱理工大學(xué)20162017學(xué)年第一學(xué)期考試試題A卷答案2、設(shè)函數(shù)f(x)在(a,b)內(nèi)具有二階導(dǎo)數(shù)，且f(x)f(x)f(x)，其中123axxxb，證明：在(x,x)內(nèi)至少存在一點(diǎn)，使得f()0.12313證明:在x，x和x，

5、x上，f(x)分別滿(mǎn)足羅爾中值定理的條件,故由羅1223爾中值定理，存在x,x112和2x,x，使得f=f=0，再在23123、證明：當(dāng)a0時(shí)，2a2ln.，上對(duì)f(x)使用羅爾中值定理得到在，(x,x)內(nèi)至少存在一點(diǎn)121213，使得f()0.2a+2aa證明:設(shè)fx=lnx，則在a，a+2上fx連續(xù)可導(dǎo)，由拉格朗日中值定理可,，綜ln.知，存在a，a+2，f=2a22上可得a+2aaln(a2)lna2.又f111a2a，4、已知A和B是兩個(gè)數(shù)集，A是B的子集，求證：supAsupBinfAinfB.x證明：由于AB，故xA，xB，又xB，supB，由上確界的定義可知supAsupB，同理有infAinfB.+5、求證：f(x)x在0，上一致連續(xù).證明：由于f(x)x在0,1上連續(xù)，故由一致連續(xù)性定理，f(x)在0,1上一致連續(xù)，從而在(0,1上一致連續(xù)，在1,)上f(x)連續(xù)且可導(dǎo)，故對(duì)于x，x1,)，在x，x上使用拉格朗日中值定理，1212系（部、中心、教研室0801出題教師數(shù)學(xué)分析命題組系（部、中心、教研室）主任：第頁(yè)共6頁(yè)哈爾濱理工大學(xué)20162017學(xué)年第一學(xué)期考試試題A卷答案，1，故有f(x)f(x)(xx)f()，x，x121212，又f()1122x-x，從而f(x)x在1,)上利普希茨連續(xù)，故一致連21f(