幾代習(xí)題課內(nèi)積參考答案

1、第 4 次課 內(nèi)容內(nèi)積與標(biāo)準(zhǔn)正交基；正交變換； 教學(xué)要求1. 掌握內(nèi)積、歐氏空間等概念;2. 熟練運(yùn)用Sidt 正交化方法求標(biāo)準(zhǔn)正交基;掌握子空間的正交補(bǔ)概念，會(huì)求某些空間的正交補(bǔ)；掌握正交變換的概念，會(huì)用正交變換的等價(jià)條件和正交矩陣的某些性質(zhì).設(shè) 是Rn 上的線性變換，Rn = W1 W2，試證練 是Rn 到 W1 (或 W2 ) 的投影變換 2 = ；若 是Rn 到 W1 的投影變換，則 是Rn 到 W2 的投影；若 是Rn 到 W1 的投影變換，則 W1 = Im , W2 = Ker 。解答：(1)因?yàn)镽n = W1 W2，所以 Rn ，有分解式： = 1 + 2其中 i Wi, i

2、= 1, 2。由已知 是 Rn 到 W1 的投影算子，所以 () = 1。然后我們再把 1 做分解，因?yàn)樗呀?jīng)在 W1 中了，所以分解式只能是：1 = 1 + 0這就證明了 2 = 。反過來，假設(shè) Rn 上一個(gè)線性變換 滿足 2 = ，來證明它是 Rn 到某個(gè)子空間的投影算子。設(shè) W1 = Im , W2 = Im( )。對于 Rn = = + ( ) 1所以Rn = W1 + W2。下面來說明 W1 W2 = O。假設(shè)有 W1 W2，依 W1, W2 的定義，應(yīng)有 1, 2 滿足 = (1) = ( )(2) ，于是： = (1) = 2(1) = ( )(2) = ( 2)(2) = 0.

3、所以Rn = W1 W2。這樣 就是Rn 到 W1 的投影算子。(2)設(shè)Rn 到 W2 的投影算子是 ，對于 Rn ，有分解式： = () + () () = () = ( )().所以 = 。(3)首先依投影算子的定義可知Im W1。又因?yàn)?限制在 W1 上時(shí)是 W1 上的恒等，所以 W1 Im 。所以Im = W1。對于 Rn，如果它按Rn = W1 W2 的方式做分解的分解式是 = 0 + 第一分量為零說明 () = 0，第二分量等于它自身說明 W2。也就是說 () = 0當(dāng)且僅當(dāng) W2，即 W2 = Ker 。?練習(xí) 2 用Sidt 正交化方法將歐氏空間的向量組 S 正交化，并擴(kuò)充為歐

4、氏空間的標(biāo)準(zhǔn)正交基，求出指定向量 在標(biāo)準(zhǔn)正交基下的坐標(biāo)。(1) R4，S = (1, 2, 2, 1)T , (1, 1, 5, 3)T , (3, 2, 8, 7)T ， = (3, 1, 1, 3)T ；R1(2) R3x，內(nèi)積定義為(f (x), g(x) =f (t) g(t) dt，S = 1, x, x ， = 1 + x。21解答：(1)T1 = 1 = (1, 2, 2, 1) ,( , )21T = (2, 3, 3, 2) , = 221( , )11( , )( , )3132T= (2, 1, 1, 2) . = 3312( , )( , )1122為擴(kuò)充成正交基，設(shè)

5、4 = (x, y, z, w)T ，解方程0 = (1, 4) = x + 2 y + 2 z w0 = (2, 4) = 2 x + 3 y 3 z + 2 w0 = (3, 4) = 2 x y z 2 w2得解：4 = (3, 2, 2, 3)T 。最后，把 1, 2, 3, 4 歸一化得到標(biāo)準(zhǔn)正交基：11111 = 10 1,2 = 26 2,3 = 10 3,4 = 26 4.為了求 在標(biāo)準(zhǔn)正交基 1, 2, 3, 4 下的坐標(biāo)，只需考慮分解： = (, 1)1 + (, 2)2 + (, 3)3 + (, 4)4 = 10 1 + 10 3.所以結(jié)果是(10, 0, 10, 0)

6、。 (2)1 = 1,2 = x (x, 1)1 = x,(1, 1)(x2, 1)(x2, x)1223 = x 1 x = x(1, 1)(x, x) 3 .歸一化：rrr1232458 = , = , = .112233qq23 ，所以坐標(biāo)為( 2, 0)。2 = + =2 +12123?= L(1, 2, 3)，練習(xí) 3 設(shè) 1 = (1, 0, 2, 1)T , 2 = (2, 1, 2, 3)T , 3 = (0, 1, 2, 1)T , W在R4 上定義內(nèi)積為： , R4, (, ) = T .試求 W 在R4 的正交補(bǔ)子空間 W 的一個(gè)基。解答：只需解方程：1 x + 0 y

7、+ 2 z + 1 w = 02 x + 1 y + 2 z + 3 w = 0 0 x + 1 y 2 z + 1 w = 0得通解：x = w 2 z, y = w + 2 z.所以正交補(bǔ)子空間 W 的基可取為 1 = (2, 2, 1, 0)T , 2 = (1, 1, 0, 1)T 。?練習(xí) 4 設(shè) 是 3 維幾何空間的一個(gè)平面，A 是 上的一個(gè)固定點(diǎn)，B 是任意一點(diǎn)，AB 的全體一個(gè)歐氏空間 V 。問 W = AB | B 是不是 V 的一個(gè)子空間？為什么？如果 A 取在平面 外又如何呢？3解答：以 為 xy 平面，以過 A 垂直于 的直線做 z 軸建立直角坐標(biāo)系。則 V 同構(gòu)于R3

8、， W 就是 R3 中的 xy 平面，所以 W 當(dāng)然是 V 的子空間。如果 A 不在 上，取B 為 A 向平面 做垂線的垂足，那么向量 2AB 的端點(diǎn)是 A 關(guān)于 得對稱點(diǎn)，不在 中，所以 W 不是 V 的子空間。?練習(xí) 5 證明歐氏空間 V, V 0 同構(gòu)的一個(gè)充分必要條件是存在 V 到 V 0 的一個(gè)雙射 f ，使得 , V ，都有解答： 必要性是顯然的，(, ) = (f (), f ().只證充分性。首先證明滿足這樣條件的 f 一定是 V 到 V 0 的線性(k11 + k22, ) = k1(1, ) + k2(2, )由已知條件：。因?yàn)?f (k11 + k22), f () =

9、k1(f (1), f () + k2(f (2), f ()(f (k11 + k22) k1f (1) k2f (2), f () = 0該式對 V 0 中的任意元素 f () 都成立（注意這里用到 f 是滿射），所以根據(jù) (, ) 的非性可知f (k11 + k22) k1f (1) k2f (2) = 0,所以 f 是線性，已知條件說明 f 保持內(nèi)積，現(xiàn)在 一個(gè)保持所有運(yùn)算的雙射，因此是同構(gòu)。又知道它保持加法和數(shù)乘，所以有了?R4練習(xí) 6 設(shè) , , , 是的 4 個(gè)列向量，若 W a + b + c 恰為 在 W 上的正交射影。注：先從理論上證明，再舉事例實(shí)踐.= L(, , )，求

10、實(shí)數(shù) a, b, c 使得解答： 設(shè) = (a + b + c ) ，若 a + b + c 是 在 W 上的正交投影，那么必有(, ) = (, ) = (, ) = 0，于是有如下方程：a(, ) + b(, ) + c(, ) = (, )a(, ) + b(, ) + c(, ) = (, )a(, ) + b(, ) + c(, ) = (, )解出這個(gè)關(guān)于(a, b, c) 的線性方程組即可。當(dāng) , , 線性無關(guān)時(shí)，這個(gè)線性方程組的行列式非零，存在唯一解；否則的話，解不唯一。下面看一個(gè)例子， 設(shè) = (1, 0, 0, 0)T , = (0, 1, 0, 0)T , = (0, 0

11、, 1, 0)T , = (1, 2, 3)，下面看看按照上面的算(1, 2, 3, 4)T ，從幾何意義上很容易看出 (a, b, c)法得到什么結(jié)果，方程組化為：a = 1 a + 0 b + 0 c = (, ) = 1b = 0 a + 1 b + 0 c = (, ) = 2c = 0 a + 0 b + 1 c = (, ) = 3?剛好就是想要的解。4練習(xí) 7 設(shè) e1, e2 是平面上兩個(gè)互相垂直的向量，以 e1 為始邊，OT 為終邊的一個(gè)角為 。又 是以 OT 為軸的反射。試證明 在 e1, e2 下的矩陣為2? .cos sin sin cos 由此證明，若正交變換 在一個(gè)

12、標(biāo)準(zhǔn)正交基下的矩陣有這種形狀，則 必是以直線y = tg() x 為軸的反射。2解答： 設(shè) = (cos , sin )，它是 OT 上的向量，則有 () = 2(, ) 。22設(shè) = (x, y)T ，則?xcosx= 2(x cos+ ysin)2ysiny222? ?sin ) cos x2(x cos+ ycos sin x=222=.2(x cos + y sin ) sin ysin cos y222現(xiàn)在假設(shè)有一個(gè)形如題設(shè)的正交變換，求它的特征值 = 1， = 1的特征向量是 (cos , sin )，= 1 的特征向量是 (， 所以子空間 sin , cos )2222y = t

13、g() x 上的元素在 的作用下保持不動(dòng)，它的補(bǔ)空間上的元素在 的作用下變2號。所以 是關(guān)于這條直線的反射。?練習(xí) 8 設(shè) n 維歐氏空間 V = L() + V1，其中 是向量，V1 = (L()，又設(shè)1 是 V1 的一個(gè)正交變換，定義 V 的變換 , ：(a + ) = a + 1(), (a + ) = a + 1(),其中 a R, V1。求證：, 都是 V 的正交變換；若 1 是 V1 的反射，則 是 V 的反射， 是 V 的旋轉(zhuǎn)。解答：(1)(a + ), (a + )= (a + 1(), a + 1()= a2(, ) + a(, 1() + a(1(), ) + (1(), 1()= a2 + (, )= (a + , a + )所以 是一個(gè)正交變換。同理， 也是正交變換。5(2)既然 1