金融經(jīng)濟(jì)學(xué)一講

1、金融經(jīng)濟(jì)學(xué)第一章上海財(cái)經(jīng)大學(xué)金融學(xué)院金融經(jīng)濟(jì)學(xué) 第一章1.1 偏好的期望效用表示 在金融經(jīng)濟(jì)學(xué)中，我們需要研究人們在不確定條件下的消費(fèi)-投資決策和市場上資產(chǎn)價(jià)格的決定，這涉及到面對不確定的選擇對象時(shí)人們的判別標(biāo)準(zhǔn)。 在十七世紀(jì)現(xiàn)代概率理論的發(fā)展中，帕斯卡(Blaise Pascal)和費(fèi)爾瑪(Pierre de Fermat)等大數(shù)學(xué)家假定，在一個(gè)隨機(jī)回報(bào)為 、相對應(yīng)的概率為 的賭博中，人們關(guān)心的是它的期望回報(bào): 但該假定在1728年被N. 伯努利(Nicholas Bernoulli)所給出的一個(gè)例子所否定，該例子現(xiàn)在被稱為著名的圣.彼得堡悖論(St. Petersburg Paradox)

2、.金融經(jīng)濟(jì)學(xué) 第一章 該悖論的解決由N. 伯努利的堂兄弟D. 伯努利(Daniel Bernoulli，1738)給出。D. 伯努利認(rèn)為，對個(gè)體而言，200元的收益并不等于100元收益的兩倍，他假定個(gè)體決策時(shí)會使用一個(gè)現(xiàn)在被稱為von Neumann-Morgenstern期望效用函數(shù)的概念u(.)，從而個(gè)體決策時(shí)不是直接計(jì)算游戲收益的期望值，而是計(jì)算游戲收益的期望效用值 。因此與上述游戲相當(dāng)?shù)呢?cái)富值應(yīng)該滿足： 此處 是個(gè)體當(dāng)前的財(cái)富值。如果效用函數(shù)取對數(shù)效用形式，當(dāng)前財(cái)富值取 元，則 。因此，即使該游戲的期望收益趨于無窮，但對個(gè)體而言，該游戲的價(jià)值僅僅9元。金融經(jīng)濟(jì)學(xué) 第一章圣.彼得堡悖論(

3、St. Petersburg Paradox)： 假定一位個(gè)體面對一個(gè)拋硬幣的賭博游戲，第一次拋出正面時(shí)該個(gè)體得到1元RMB，游戲結(jié)束；否則繼續(xù)拋第二次硬幣。第二次拋出正面得到2元RMB，游戲結(jié)束；否則繼續(xù)拋第三次硬幣。第三次拋出正面得到4元RMB，游戲結(jié)束；否則繼續(xù)拋第四次硬幣。第四次拋出正面得到8元RMB，游戲結(jié)束；否則繼續(xù)拋第五次硬幣;。問該個(gè)體愿意支付多少財(cái)富來參與該賭博游戲？ 按照帕斯卡和費(fèi)爾瑪?shù)热说乃悸?，個(gè)體愿意支付的財(cái)富等于該賭博游戲的期望回報(bào)。在該賭博游戲中，期望回報(bào)滿足： 即個(gè)體愿意支付正無窮的財(cái)富，來參與該賭博游戲。這個(gè)結(jié)論顯然是不合理的，因此被看作是一個(gè)悖論. 金融經(jīng)濟(jì)學(xué)

4、 第一章 上述分析表明，由于不確定性的存在，我們需要引入期望效用函數(shù)的概念。 偏好的期望效用表示有兩種引入方式：第一種推導(dǎo)由von Neumann和Morgenstern(1944)給出，他們的推導(dǎo)建立在個(gè)體對彩票選擇的假定之上，其中彩票的收益和概率是預(yù)先指定的，他們的期望效用理論是一種客觀期望效用理論。偏好期望效用表示的另一種推導(dǎo)由Savage(1954)給出，不同于von Neumann和Morgenstern (1944)理論，在Savage的處理中，概率是在特定公理體系下推導(dǎo)出來的，而不是預(yù)先給定的，因此Savage的理論是一種主觀期望效用理論。下面我們來介紹von Neumann和M

5、orgenstern(1944)的期望效用表示理論。金融經(jīng)濟(jì)學(xué) 第一章1.1 不確定條件下的選擇問題一、消費(fèi)計(jì)劃與偏好關(guān)系 考慮一個(gè)兩期經(jīng)濟(jì)，t=0、1。個(gè)體在時(shí)間0時(shí)做出投資決策，時(shí)間1時(shí)將所有財(cái)富用于消費(fèi)。為簡化討論，假定時(shí)間1時(shí)只有一種消費(fèi)品。由于經(jīng)濟(jì)中存在著不確定性，個(gè)體所持有的金融資產(chǎn)在時(shí)間1時(shí)的回報(bào)依賴于不確定的經(jīng)濟(jì)環(huán)境。自然狀態(tài)： 不確定的經(jīng)濟(jì)環(huán)境可以用一個(gè)概率空間 來刻畫，其中的元素 稱作自然狀態(tài)，是對從時(shí)間0到時(shí)間1的不確定環(huán)境的一個(gè)刻畫， 為這些自然狀態(tài)的全體， 刻畫了各個(gè)自然狀態(tài)發(fā)生的概率，該概率是預(yù)先給定的，是客觀概率。 金融經(jīng)濟(jì)學(xué) 第一章消費(fèi)計(jì)劃：定義：一個(gè)消費(fèi)計(jì)劃是

6、不同自然狀態(tài)下消費(fèi)數(shù)量的一個(gè)完備刻畫。 每個(gè)消費(fèi)計(jì)劃都可以用一個(gè)可測函數(shù) 來刻畫，當(dāng)自然狀態(tài) 發(fā)生時(shí)， 表示該狀態(tài)下的可行消費(fèi)數(shù)量。消費(fèi)計(jì)劃的全體記為X，即可供選擇對象的全體。偏好關(guān)系： 給定可供選擇消費(fèi)計(jì)劃的全體X，我們可以在X上定義一個(gè)二項(xiàng)關(guān)系 , 其中 代表“x至少要比y好”， 代表“x嚴(yán)格地好于y”，xy代表“x和y是無差異的”。如果該二項(xiàng)關(guān)系服從：（1）完備性：任意 ，有 或 ；（2）反身性：任意 ，有xx ； （3）傳遞性：任意 ，如果 ， ，則有 。則稱該二項(xiàng)關(guān)系是一個(gè)偏好關(guān)系。金融經(jīng)濟(jì)學(xué) 第一章 定義：一個(gè)函數(shù) 稱為是偏好關(guān)系“ ”的效用函數(shù)表示，如果對任意 ，有 。 二、彩票

7、(Lottery)與期望效用函數(shù) 個(gè)體在做決策時(shí)并不知道未來哪個(gè)事件會發(fā)生，他關(guān)心的是未來能得到多少消費(fèi)品，概率有多大。 在例1.1中，決策時(shí)消費(fèi)計(jì)劃是y和z相當(dāng)?shù)?，盡管在具體自然狀態(tài)展示出來后回報(bào)并不相同。 記經(jīng)濟(jì)中所有可能實(shí)現(xiàn)的消費(fèi)量的全體為： (1.1.1) 任意一個(gè)消費(fèi)計(jì)劃，存在一個(gè)定義在Z上的概率密度函數(shù)與之對應(yīng)，滿足： 。 (1.1.2) 金融經(jīng)濟(jì)學(xué) 第一章相應(yīng)地，累計(jì)概率分布為 。在或有消費(fèi)計(jì)劃與定義在Z上的概率分布之間建立了一個(gè)對應(yīng)關(guān)系： ，每一個(gè) ，對應(yīng)著Z上的一個(gè)概率分布P；反過來，Z上的一個(gè)概率分布P可以有多個(gè)消費(fèi)計(jì)劃與之相對應(yīng)，這些消費(fèi)計(jì)劃有相同的分布，他們應(yīng)該是無差異

8、的。我們將所有Z上的概率分布記為：定義在X上的偏好關(guān)系可以簡化為定義在Z上的偏好關(guān)系。 中每一個(gè)概率分布都可以被看作是一個(gè)彩票。 對任意的 ，記 為在點(diǎn)z處退化的概率分布，滿足： (1.1.3) 金融經(jīng)濟(jì)學(xué) 第一章例子1.1：333331534353413金融經(jīng)濟(jì)學(xué) 第一章如果Z是一個(gè)有限集合，記 , ,則在Z中可以定義兩個(gè)確定性的彩票 和 ，滿足對任意的 ，有 。 von Neumann和Morgenstern(1944)給出了定義在 上的期望效用表示理論。對于定義在 上的偏好關(guān)系“ ”，存在一個(gè)期望效用函數(shù) ，滿足：對任意 ，有： 其中 。 當(dāng)Z是一個(gè)可數(shù)集合時(shí)，期望效用函數(shù)可以簡化為 ：

9、 金融經(jīng)濟(jì)學(xué) 第一章1.2 期望效用函數(shù)的存在性一、復(fù)合彩票 定義：稱彩票 是一個(gè)由彩票 和 構(gòu)成的復(fù)合彩票，如果該彩票以a的概率得到彩票 ，以1-a的概率得到彩票 。 復(fù)合彩票 也可以看作是一個(gè)普通彩票，如果彩票 和 定義在集合Z上，則復(fù)合彩票 也定義在Z上，且對任意的 ，其概率密度為 。金融經(jīng)濟(jì)學(xué) 第一章二、期望效用函數(shù)的存在性 von Neumann和Morgenstern(1944)的期望效用表示定理建立在如下兩個(gè)公理之上。公理1（獨(dú)立性公理） ：對任意 ， ，如果 ，則有 。公理2：（Archimedean公理）對任意 ，如果 ，則存在 ，使得 。 定理1.1.1：定義在 上的偏好關(guān)

10、系 “ ” 存在期望效用表示，當(dāng)且僅當(dāng)該偏好關(guān)系滿足公理1和公理2；該效用表示精確到一個(gè)仿射變換，即如果u是一個(gè)von Neumann-Morgenstern效用函數(shù)，則對于任意的 和d， 也是一個(gè)von Neumann-Morgenstern效用函數(shù)。 金融經(jīng)濟(jì)學(xué) 第一章如果von Neumann- Morgenstern效用函數(shù)是時(shí)間可加的(time-additive)，則存在一列函數(shù) ，滿足： (1.1.10) 在許多時(shí)候，上述效用函數(shù)可以進(jìn)一步簡化為一個(gè)幾何貼現(xiàn)效用函數(shù)： ， 。 (1.1.11) 金融經(jīng)濟(jì)學(xué) 第一章二、多期經(jīng)濟(jì)中的期望效用函數(shù) 考慮一個(gè)多期稟賦經(jīng)濟(jì)，整個(gè)消費(fèi)過程橫跨T

11、+1期，t=0,1,T，記 為個(gè)體可行的消費(fèi)向量，其中 為t期消費(fèi)量，記Z為z的全體。假定Z有限， 為定義在Z上的概率，p(.)的全體記為 。定理1.1.2：定義在 上的一個(gè)偏好關(guān)系“ ”滿足獨(dú)立性公理和Archimedean公理，當(dāng)且僅當(dāng)存在一個(gè)von Neumann- Morgenstern效用函數(shù) ，滿足： 其中 指從時(shí)間0到T的消費(fèi)等于 的概率。金融經(jīng)濟(jì)學(xué) 第一章1.1.3對理性選擇的偏離：四個(gè)悖論 個(gè)體選擇行為的完全理性和期望效用函數(shù)的存在性（兩個(gè)公理）是現(xiàn)代金經(jīng)濟(jì)學(xué)的基礎(chǔ)。但越來越多的研究表明，當(dāng)存在不確定性行為時(shí)，個(gè)體決策并不是完全理性的，或者與期望效用理論并不一致（見Machi

12、na(1987)、Tversky和Kahneman(1981)、Slovic和Lichtenstein (1983)等。下面我們來介紹幾個(gè)相關(guān)的悖論。一、悖論1（概率匹配）把20個(gè)紅球和10個(gè)黑球一起放入一個(gè)袋子，隨機(jī)地從袋子中取出一個(gè)球再放回去，猜測所取出的球是紅色的，還是黑色的，猜中的話可以得到 10元RMB的獎(jiǎng)勵(lì)。在重復(fù)猜獎(jiǎng)中，實(shí)驗(yàn)發(fā)現(xiàn)絕大多數(shù)個(gè)體趨向于2/3的時(shí)間選擇猜紅球，1/3的時(shí)間猜黑球。很顯然這不是最優(yōu)的，最優(yōu)選擇應(yīng)該是總是猜紅球。金融經(jīng)濟(jì)學(xué) 第一章二、悖論2（偏好反轉(zhuǎn)） 考慮兩個(gè)選擇問題：（1）設(shè)想你可以得到2萬人民幣的財(cái)富和一個(gè)選擇權(quán)，你可以選擇:(a)額外再得到5千人民幣

13、，(b)25%的概率額外再得到2萬人民幣，75%的概率沒有額外收入。（2）設(shè)想你可以得到4萬人民幣的財(cái)富和一個(gè)選擇權(quán)，你可以選擇:(a)放棄1萬5千人民幣，(b)75%的概率放棄2萬人民幣，25%的概率沒有額外損失。 在試驗(yàn)中發(fā)現(xiàn)，大多數(shù)個(gè)體在面對問題（1）時(shí)會選擇(a)；在面對問題（2）時(shí)會選擇(b)。但事實(shí)上這兩個(gè)選擇問題所產(chǎn)生的回報(bào)是相同的，是100%的概率得到2萬5 千人民幣，還是25%的概率得到4萬人民幣，75%的概率得到2萬人民幣。金融經(jīng)濟(jì)學(xué) 第一章三、悖論3（Ellsberg悖論） 在密閉的缸I中有50個(gè)紅球和50個(gè)黑球，在缸II中有100個(gè)不知道比例的紅球與黑球。考慮一個(gè)摸球游

14、戲：（I）個(gè)體從缸中摸到一個(gè)紅球時(shí)可以贏得100RMB，個(gè)體可以選擇從缸I中摸（ ）還是從缸II中摸（ ）；（II）個(gè)體從缸中摸到一個(gè)黑球時(shí)可以贏得100RMB，個(gè)體可以選擇從缸I中摸（ ），還是從缸II中摸（ ）。 實(shí)驗(yàn)發(fā)現(xiàn)，絕大多數(shù)個(gè)體會選擇 和 ，但這與偏好的理性選擇行為是不一致的。從邏輯上講，個(gè)體在 和 中更偏愛 ，等價(jià)于在 和 中更偏愛 ，因此如果絕大多數(shù)個(gè)體選擇 的話，應(yīng)該只有很少的個(gè)體會選擇 才對，這說明真實(shí)經(jīng)濟(jì)中個(gè)體決策中存在非理性的成分。金融經(jīng)濟(jì)學(xué) 第一章四、悖論4（Allais悖論） Allais悖論由Allais（1953）給出?？紤]如圖1.1所示的兩對彩票：在第一對彩票

15、中，持有彩票 ，個(gè)體可以以100%的概率得到1000萬美元；持有彩票 ，個(gè)體可以以10%的概率得到5000萬美元，以89%的概率得到1000萬美元，1%的概率得到0美元。第二對彩票中，持有彩票 ，個(gè)體可以以10%的概率得到5000萬美元，90%的概率得到0美元；持有彩票 ，個(gè)體可以以11%的概率得到1000萬美元，89%的概率得到0美元。 在第一對彩票中，大多數(shù)人會選擇 ；在第二對彩票中，大多數(shù)人會選擇彩票 。這種現(xiàn)象與獨(dú)立性公理矛盾，這一點(diǎn)可以從下面的分析中看出： 0.11($10m) + 0.89($10m)， (1.1.12) ， （1.1.13) 金融經(jīng)濟(jì)學(xué) 第一章( 圖1.1.1)：

16、Allais悖論 金融經(jīng)濟(jì)學(xué) 第一章因此 等價(jià)于 。 (1.1.14)根據(jù)獨(dú)立性公理，這蘊(yùn)涵： 。 (1.1.15)根據(jù)獨(dú)立性公理，(1.1.15)等價(jià)于： ，即 。 從以上四個(gè)悖論可以看出，上面所介紹的選擇行為的完全理性和期望效用函數(shù)的存在性法則是存在疑問的，如何對經(jīng)典理論進(jìn)行修正和拓展，屬于行為金融學(xué)的范疇，我們將在后面作進(jìn)一步的討論。金融經(jīng)濟(jì)學(xué)第一章1.2 風(fēng)險(xiǎn)回避及其度量 風(fēng)險(xiǎn)回避概念的提出，最早可以追溯到1738年瑞士著名數(shù)學(xué)家Bernoulli以拉丁文所撰寫的題為“Specimen Theoriae Novae de Mensura Sortis”（即“Exposition of

17、a New Theory on the Measurement of Risk”）的論文；現(xiàn)代風(fēng)險(xiǎn)理論的給出，應(yīng)該歸功于Arrow(1963、1965和1971)、Pratt(1964)等的研究。下面我們來介紹Arrow和Pratt等人的工作。1.2.1風(fēng)險(xiǎn)回避 在金融理論中，我們通常假定個(gè)體是風(fēng)險(xiǎn)回避的(Risk Aversion)，即個(gè)體厭惡風(fēng)險(xiǎn)的存在。個(gè)體為什么是風(fēng)險(xiǎn)回避的，下面我們用一個(gè)簡單例子來加以剖析。金融經(jīng)濟(jì)學(xué)第一章例1.2.1 考慮一個(gè)個(gè)體決策問題，假定一個(gè)已經(jīng)餓了兩天的個(gè)體面臨一個(gè)選擇，他可以選擇（1）馬上得到一碗稀飯，（2）50%的概率得到兩碗稀飯，50%的概率繼續(xù)挨餓?？?/p>

18、以想象，絕大多數(shù)個(gè)體都會選擇（1），盡管兩種選擇的期望收益相等，但個(gè)體獲得的期望效用并不相等。原因是個(gè)體邊際效用是遞減的，個(gè)體放棄消費(fèi)一碗稀飯的邊際效用損失要遠(yuǎn)大于消費(fèi)第二碗稀飯帶來的邊際效用增加。定義：一位個(gè)體被稱為是風(fēng)險(xiǎn)回避的，如果在任何財(cái)富水平下，該個(gè)體都不愿意接受任意期望回報(bào)為零的彩票，或認(rèn)為接不接受是無所謂的：即在 下， 滿足 ，有 。 一位個(gè)體稱為是嚴(yán)格風(fēng)險(xiǎn)回避的，如果在任何財(cái)富水平下，該個(gè)體都不愿意接受任意期望回報(bào)為零的彩票：即在 下， 滿足有： 。金融經(jīng)濟(jì)學(xué)第一章（圖1.2.1）：風(fēng)險(xiǎn)回避與凹的效用函數(shù) 金融經(jīng)濟(jì)學(xué)第一章 考慮一個(gè)賭博：以概率p得到一個(gè)正的回報(bào) ，以概率1-p得

19、到一個(gè)負(fù)的回報(bào) ，且滿足： ，則該賭博被稱為是一個(gè)公平的賭博。一個(gè)（嚴(yán)格）風(fēng)險(xiǎn)回避的個(gè)體將不愿意接受這樣一個(gè)公平賭博，這等價(jià)于： (1.2.1)因此當(dāng)個(gè)體是（嚴(yán)格）風(fēng)險(xiǎn)回避的，則其效用函數(shù)是（嚴(yán)格）凹的；反過來也成立，如圖1.2.1所示。 當(dāng)von Neumann-Morgenstern效用函數(shù)二次可微時(shí)，由Taylor法則，(1.2.1)蘊(yùn)涵： (1.2.2)所以個(gè)體的風(fēng)險(xiǎn)回避蘊(yùn)涵效用函數(shù)的凹性，如果存在二階導(dǎo)數(shù)，則二階導(dǎo)數(shù)小于零，即邊際效用遞減。金融經(jīng)濟(jì)學(xué)第一章1.2.2 風(fēng)險(xiǎn)回避的度量 一個(gè)風(fēng)險(xiǎn)回避的個(gè)體不喜歡均值為零的風(fēng)險(xiǎn)，并不蘊(yùn)涵他不進(jìn)行風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)投資，只要風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)的期望回報(bào)率足夠高。

20、同樣地，如果購買保險(xiǎn)的成本太高，風(fēng)險(xiǎn)回避的個(gè)體可能會放棄購買保險(xiǎn)而選擇承受風(fēng)險(xiǎn)。不同個(gè)體在期望收益和可以承受的風(fēng)險(xiǎn)之間的替代關(guān)系是不同的，同樣一份風(fēng)險(xiǎn)，同樣的保險(xiǎn)費(fèi)，有些個(gè)體愿意通過保險(xiǎn)購買來回避風(fēng)險(xiǎn)，有些個(gè)體卻寧愿承受風(fēng)險(xiǎn)，為此我們需要對個(gè)體的風(fēng)險(xiǎn)回避程度進(jìn)行刻畫。一、風(fēng)險(xiǎn)溢金 給定一個(gè)均值為零的風(fēng)險(xiǎn) ，我們來估計(jì)個(gè)體愿意支付多少風(fēng)險(xiǎn)溢金，以避免該風(fēng)險(xiǎn)。 金融經(jīng)濟(jì)學(xué)第一章(圖1.2.2)：給定風(fēng)險(xiǎn)下的風(fēng)險(xiǎn)溢金金融經(jīng)濟(jì)學(xué)第一章 假定個(gè)體的初始財(cái)富為W，效用函數(shù)為u(.)，則風(fēng)險(xiǎn)溢金必須滿足： ， (1.2.3)如圖1.2.2所示。當(dāng) 充分小時(shí)，對(1.2.3)作二階Taylor近似，忽略高階項(xiàng)

21、，整理得： (1.2.4)上式由Arrow(1963)和Pratt(1964)分別獨(dú)立給出，稱為Arrow-Pratt近似。 定理1.2.1：對于均值為零的小風(fēng)險(xiǎn)，個(gè)體為避免該風(fēng)險(xiǎn)所愿意支付的風(fēng)險(xiǎn)溢金可以表示為： 該風(fēng)險(xiǎn)溢金等于個(gè)體額外承受該風(fēng)險(xiǎn)時(shí)所需要的補(bǔ)償。 金融經(jīng)濟(jì)學(xué)第一章二、絕對風(fēng)險(xiǎn)回避系數(shù) 根據(jù)上一小節(jié)的討論，給定一個(gè)均值為零的風(fēng)險(xiǎn)，個(gè)體為避免該風(fēng)險(xiǎn)愿意支付的風(fēng)險(xiǎn)溢金由該風(fēng)險(xiǎn)的方差和 決定。當(dāng)風(fēng)險(xiǎn)尺度比較小時(shí)，該風(fēng)險(xiǎn)的方差越大，個(gè)體愿意支付的風(fēng)險(xiǎn)溢金越高； 越大，個(gè)體愿意支付的風(fēng)險(xiǎn)溢金越高，因此 刻畫了個(gè)體對風(fēng)險(xiǎn)的厭惡程度被稱為Arrow-Pratt絕對風(fēng)險(xiǎn)回避系數(shù)。 定義： 被稱為

22、Arrow-Pratt意義下的絕對風(fēng)險(xiǎn)回避系數(shù)。 定義：稱效用函數(shù)展示減的絕對風(fēng)險(xiǎn)回避，如果 是個(gè)嚴(yán)格減的函數(shù)；類似地稱效用函數(shù)展示增的絕對風(fēng)險(xiǎn)回避，如果 是個(gè)嚴(yán)格增的函數(shù)；稱效用函數(shù)是常數(shù)絕對風(fēng)險(xiǎn)回避的，如果 是個(gè)常數(shù)。金融經(jīng)濟(jì)學(xué)第一章 定理1.2.2：給定一個(gè)均值為零、充分小的風(fēng)險(xiǎn)，個(gè)體為避免該風(fēng)險(xiǎn)愿意支付的風(fēng)險(xiǎn)溢金依賴于初始財(cái)富，滿足：如果 ，則 ， ；如果 ，則 ， ；如果 ，則 ， ； 推論1.2.1：減的絕對風(fēng)險(xiǎn)回避蘊(yùn)涵 。注：當(dāng)個(gè)體效用函數(shù)的三階導(dǎo)數(shù)大于零時(shí)，個(gè)體為應(yīng)對未來不確定性會進(jìn)行預(yù)防性儲蓄。金融經(jīng)濟(jì)學(xué)第一章定義：考慮兩位個(gè)體i和k，稱個(gè)體i比個(gè)體k更加風(fēng)險(xiǎn)回避，如果 對任

23、意的W，關(guān)系式 成立。定理1.2.3：給定兩位風(fēng)險(xiǎn)回避、不飽和（邊際效用大于零）的個(gè)體i和k，下列三個(gè)條件相互等價(jià)：a)在相同初始財(cái)富下，為避免任意給定的一個(gè)充分小，均值為零的風(fēng)險(xiǎn)，個(gè)體i愿意支付比個(gè)體k更高的風(fēng)險(xiǎn)溢金；b) ，對任意W成立；c)存在一個(gè)嚴(yán)格增、凹的函數(shù)G(.)，滿足： ， 。三、相對風(fēng)險(xiǎn)回避系數(shù)絕對風(fēng)險(xiǎn)回避系數(shù)可以改寫為：它可以看作是邊際效用的衰減率，即單位財(cái)富量的上升所導(dǎo)致的邊際效用的下降。金融經(jīng)濟(jì)學(xué)第一章當(dāng) 比較小時(shí)，通過二次Taylor近似整理得： , (1.2.15) 因此，為避免給定的均值為零的、尺度比較小的財(cái)富擾動(dòng)風(fēng)險(xiǎn)，個(gè)體愿意損失的財(cái)富份額正比于風(fēng)險(xiǎn)的方差和個(gè)體

24、的相對風(fēng)險(xiǎn)回避系數(shù)。 推論： 依賴于初始財(cái)富W；當(dāng)該風(fēng)險(xiǎn)的尺度充分小時(shí)，對 ，我們有： ； ；金融經(jīng)濟(jì)學(xué)第一章在測度靈敏性時(shí)，經(jīng)濟(jì)學(xué)家通常偏愛無單位的量。為此，我們將相對風(fēng)險(xiǎn)回避系數(shù)與邊際效用對財(cái)富的彈性聯(lián)系在一起。定義： 稱為Arrow-Pratt意義下的相對風(fēng)險(xiǎn)回避系數(shù)。定義：稱效用函數(shù)展示減的相對風(fēng)險(xiǎn)回避，如果 是個(gè)嚴(yán)格減的函數(shù)；類似地稱效用函數(shù)展示增的相對風(fēng)險(xiǎn)回避，如果 是個(gè)嚴(yán)格增的函數(shù)；稱效用函數(shù)是常數(shù)相對風(fēng)險(xiǎn)回避的，如果 是個(gè)常數(shù)。相對風(fēng)險(xiǎn)回避系數(shù)的經(jīng)濟(jì)學(xué)含義： 假定個(gè)體的初始財(cái)富量為W，給定一個(gè)均值為零的財(cái)富擾動(dòng)風(fēng)險(xiǎn) ，下面來估計(jì)個(gè)體愿意支付初始財(cái)富量的百分之幾，以避免該財(cái)富擾動(dòng)

25、風(fēng)險(xiǎn)，我們將該百分比看作風(fēng)險(xiǎn)溢金的相對值，它必須滿足： ， (1.2.14) 金融經(jīng)濟(jì)學(xué)第一章1.2.3 幾種常見的效用函數(shù)一、 凹的二次效用函數(shù) 二次效用函數(shù)可以表示為： ， ； (1.2.16)其一階導(dǎo)數(shù)、二階導(dǎo)數(shù)分別為： ； ?？紤]到消費(fèi)品或財(cái)富的邊際效用通常是非負(fù)的（即消費(fèi)品或財(cái)富是不飽和的），W的取值范圍為0,1/b，其函數(shù)圖形見1.2.2。因?yàn)?，所以二次效用函數(shù)展示增的絕對風(fēng)險(xiǎn)回避。 是個(gè)增函數(shù)，所以展示增的相對風(fēng)險(xiǎn)回避系數(shù)。 金融經(jīng)濟(jì)學(xué)第一章（圖1.2.3）：二次效用函數(shù) 金融經(jīng)濟(jì)學(xué)第一章二、負(fù)指數(shù)效用函數(shù)負(fù)指數(shù)效用函數(shù)可以表示為： ， ； (1.2.17)其圖形如1.2.4所

26、示，其一階導(dǎo)數(shù)和二階導(dǎo)數(shù)可以分別表示為： ； 。因?yàn)?，所以負(fù)指數(shù)效用函數(shù)有上界。其絕對風(fēng)險(xiǎn)回避系數(shù)和相對風(fēng)險(xiǎn)回避系數(shù)可以表示為： ， ； ， 。所以負(fù)指數(shù)效用函數(shù)展示出常數(shù)絕對風(fēng)險(xiǎn)回避、增的相對風(fēng)險(xiǎn)回避。 金融經(jīng)濟(jì)學(xué)第一章三、冪效用函數(shù)狹義冪效用函數(shù)可以表示為： ， 。 (1.2.18)當(dāng) 趨向于1時(shí)，利用lHopital法則，上式可以簡化為： 。 (1.2.18)狹義冪效用函數(shù)的一階和二階導(dǎo)數(shù)分別為： ， 。所以其絕對風(fēng)險(xiǎn)回避系數(shù)和相對風(fēng)險(xiǎn)回避系數(shù)可以分別表示為： ， ； ， 。因此狹義冪效用函數(shù)展示出減絕對風(fēng)險(xiǎn)回避和常數(shù)相對風(fēng)險(xiǎn)回避，狹義冪效用函數(shù)又被稱為常數(shù)相對風(fēng)險(xiǎn)回避的效用函數(shù)，或C

27、RRA（constant relative risk aversion）效用函數(shù)。金融經(jīng)濟(jì)學(xué)第一章（圖1.2.4）：負(fù)指數(shù)效用函數(shù)金融經(jīng)濟(jì)學(xué)第一章廣義冪效用函數(shù)可以表示為： ， ， ， (1.2.18)其中 。其一階導(dǎo)數(shù)和二階導(dǎo)數(shù)分別為： ， 。所以其絕對風(fēng)險(xiǎn)回避系數(shù)和相對風(fēng)險(xiǎn)回避系數(shù)可以分別表示為： ， ； ， 。廣義冪效用函數(shù)展示出減的絕對風(fēng)險(xiǎn)回避，當(dāng) 時(shí)，展示出增的相對風(fēng)險(xiǎn)回避，當(dāng) 時(shí)展示出減的相對風(fēng)險(xiǎn)回避，當(dāng) 時(shí)，廣義冪效用函數(shù)退化為具有常數(shù)相對風(fēng)險(xiǎn)回避的狹義冪效用函數(shù)。金融經(jīng)濟(jì)學(xué)第一章1.2.4 靜態(tài)最優(yōu)投資決策與比較靜態(tài)分析一、 靜態(tài)最優(yōu)組合問題及求解考慮一個(gè)兩期的靜態(tài)投資組合選擇

28、問題，假定個(gè)體效用函數(shù)嚴(yán)格增、嚴(yán)格凹，t=0時(shí)個(gè)體可以在J種風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)和一種無風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)上進(jìn)行投資。記第j種風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)上的隨機(jī)回報(bào)率為 ，j=1,2,3,，J。無風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)上的回報(bào)率為 。假定個(gè)體初始財(cái)富量為 ， 為個(gè)體投資在第j種風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)上的財(cái)富量，則個(gè)體在t=1時(shí)的隨機(jī)財(cái)富量為：個(gè)體的最優(yōu)投資組合決策問題可以表示為： ， (1.2.19)金融經(jīng)濟(jì)學(xué)第一章 定理1.2.4 (Arrow (1970)：在整個(gè)定義域內(nèi)如果效用函數(shù)展示減的絕對風(fēng)險(xiǎn)回避，則風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)是一種正常品(normal good)；如果效用函數(shù)展示增的絕對風(fēng)險(xiǎn)回避，則風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)是一種次品(inferior good)；效用函數(shù)是常數(shù)絕對

29、風(fēng)險(xiǎn)回避的，則個(gè)體對風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)的需求不依賴于個(gè)體初始財(cái)富。即： ， ， , ； ， ， ， ； ， ， ， 。金融經(jīng)濟(jì)學(xué)第一章求解得一階條件為： ， 。 (1.2.20)當(dāng)個(gè)體是風(fēng)險(xiǎn)回避的（效用函數(shù)嚴(yán)格凹）時(shí)，上述一階條件是一個(gè)充分必要條件。上式蘊(yùn)涵 。 定理1.2.3：一個(gè)風(fēng)險(xiǎn)回避的、不飽和的投資者愿意從事風(fēng)險(xiǎn)投資，當(dāng)且僅當(dāng)至少有一種風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)的期望回報(bào)率超過無風(fēng)險(xiǎn)利率。二、一種風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)和一種無風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)的情形 當(dāng)經(jīng)濟(jì)中只有一種風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)和一種無風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)時(shí)，一階條件(1.2.20)可以簡化為： ， (1.2.21)其中 可以表示為 ， a 和 分別為投資在風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)上的財(cái)富量和風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)的隨機(jī)回報(bào)率。金

30、融經(jīng)濟(jì)學(xué)第一章 定理1.2.5：在整個(gè)定義域內(nèi)如果效用函數(shù)展示減的相對風(fēng)險(xiǎn)回避，則個(gè)體對風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)需求的財(cái)富彈性嚴(yán)格大于1；如果效用函數(shù)展示增的相對風(fēng)險(xiǎn)回避，則個(gè)體對風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)需求的財(cái)富彈性嚴(yán)格小于1；如果效用函數(shù)是常數(shù)相對風(fēng)險(xiǎn)回避的，則個(gè)體對風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)需求的財(cái)富彈性等于1。即： ， ， ； ， ， ； ， ， ；金融經(jīng)濟(jì)學(xué)第一章 定理1.2.6(Pratt(1964)： 是一個(gè)全局意義上的風(fēng)險(xiǎn)回避系數(shù)，即如果存在兩位風(fēng)險(xiǎn)回避的個(gè)體 i和k，有 ，對任意W成立，則在相同的初始財(cái)富下，為避免任意一個(gè)隨機(jī)損失，個(gè)體i愿意支付比個(gè)體k更高的風(fēng)險(xiǎn)溢金。三、多種風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)和一種無風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)的情形 當(dāng)經(jīng)濟(jì)中風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)

31、的品種多于一種時(shí)，上述討論并不一定成立。例如，即使個(gè)體效用函數(shù)展示減的相對風(fēng)險(xiǎn)回避，個(gè)體對特定風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)需求的財(cái)富彈性可能會小于或等于1，其原因是隨著個(gè)體財(cái)富量的上升，個(gè)體的風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)投資組合會發(fā)生變化。 Cass和Stiglitz(1970)研究了個(gè)體風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)投資組合不隨初始財(cái)富量變化的充分必要條件。在該條件下，個(gè)體初始財(cái)富量的變化僅導(dǎo)致了風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)組合和無風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)之間權(quán)重的變化，風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)組合內(nèi)部權(quán)重不變。Cass和Stiglitz(1970)將這種現(xiàn)象稱之為二基金貨幣分離。金融經(jīng)濟(jì)學(xué)第一章定義：個(gè)體展示二基金貨幣分離，如果他總是選擇持有相同的風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)投資組合；當(dāng)初始財(cái)富量變化時(shí)，僅改變該組合和無

32、風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)之間的權(quán)重。定理1.2.7(Cass和Stiglitz(1970)：個(gè)體效用函數(shù)展示二基金貨幣分離，當(dāng)且僅當(dāng)該效用函數(shù)滿足： 。 (1.2.22) 當(dāng) 時(shí)，風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)之間的組合權(quán)重不隨初始財(cái)富量的變化而變化，但風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)組合與無風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)之間的相對權(quán)重隨著個(gè)體初始財(cái)富量的變化而變化，我們稱之為部分分離(partially separated)；當(dāng) 時(shí)，所有資產(chǎn)之間的相對權(quán)重獨(dú)立于個(gè)體的初始財(cái)富量，我們稱之為完全分離(completely separated)。 金融經(jīng)濟(jì)學(xué)第一章1.3資產(chǎn)的隨機(jī)占優(yōu) 引入隨機(jī)占優(yōu)概念，對資產(chǎn)的優(yōu)劣進(jìn)行比較。需要說明的是，并非所有風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)都是可以進(jìn)行比較的，而且

33、這種比較依賴于個(gè)體偏好。 1.3.1 一階隨機(jī)占優(yōu) 定義：稱風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)A一階隨機(jī)占優(yōu)于風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)B，如果對于所有具有單調(diào)增、連續(xù)效用函數(shù)的個(gè)體都覺得資產(chǎn)A要優(yōu)于資產(chǎn)B，或認(rèn)為兩者是無差異的。 假定資產(chǎn)A和B的隨機(jī)回報(bào)率在0和1之間。記資產(chǎn)A和B回報(bào)率的累計(jì)分布函數(shù)為： ， 。則 ， 和 不必為零。金融經(jīng)濟(jì)學(xué)第一章定理1.3.1：下列三種陳述等價(jià)：（1） ； （2） ， ； (1.3.1)（3） ， 。 (1.3.2)其中“ ”代表依分布相等， ， 等價(jià)于： ， ， 。關(guān)系式 ， 如圖1.3.1所示 金融經(jīng)濟(jì)學(xué)第一章（圖1.3.1）：一階隨機(jī)占優(yōu) 金融經(jīng)濟(jì)學(xué)第一章例1.3.1：假定經(jīng)濟(jì)中有三個(gè)自然狀

34、態(tài) 、 和 ，這三個(gè)自然狀態(tài)發(fā)生的概率都等于1/3。假定資產(chǎn)A和資產(chǎn)B的隨機(jī)回報(bào)率如下表所示。 自然狀態(tài)資產(chǎn)11/20001金融經(jīng)濟(jì)學(xué)第一章1.3.2 二階隨機(jī)占優(yōu)一階隨機(jī)占優(yōu)僅假定了個(gè)體是不飽和的，其效用函數(shù)嚴(yán)格增；這一節(jié)要介紹的二階隨機(jī)占優(yōu)僅假定了個(gè)體是風(fēng)險(xiǎn)回避的。定義：稱風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)A二階隨機(jī)占優(yōu)于風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)B，記為 ，如果所有滿足效用函數(shù)的一階導(dǎo)數(shù)除了零測集外在1,2上連續(xù)的風(fēng)險(xiǎn)回避的個(gè)體都偏愛資產(chǎn)A，或認(rèn)為資產(chǎn)A和資產(chǎn)B是無差異的。定理1.3.2 以下三種陳述是等價(jià)的：（1） ；（2） ， (1.3.4) 且 ， ； (1.3.5)（3） ，且 。 (1.3.6)金融經(jīng)濟(jì)學(xué)第一章 直接從定

35、義判別資產(chǎn)的二階隨機(jī)占優(yōu)通常是非常困難的，定理1.3.2給出了判別二階隨機(jī)占優(yōu)的兩種簡單方法:一、通過研究兩種資產(chǎn)的累計(jì)概率分布和均值，計(jì)算 ，看是否恒小于等于零；二、能否將一種資產(chǎn)的隨機(jī)回報(bào)率寫成另一種資產(chǎn)的隨機(jī)回報(bào)率和一個(gè)噪聲項(xiàng)。例：假定經(jīng)濟(jì)中有五個(gè)等概率發(fā)生的自然狀態(tài)，個(gè)體的初始財(cái)富為1，個(gè)體有兩種資產(chǎn)可供其挑選，假定這兩種資產(chǎn)的隨機(jī)回報(bào)率如表1.3.2所示。推論： ， 。金融經(jīng)濟(jì)學(xué)第一章（表1.3.2）：資產(chǎn)A和資產(chǎn)B的隨機(jī)回報(bào)率 自然狀 態(tài)資產(chǎn)回報(bào)率0.40.40.80.80.80.91.00.30.50.5金融經(jīng)濟(jì)學(xué)第一章1.3.3 二階隨機(jī)單調(diào)占優(yōu)和三階隨機(jī)占優(yōu) 定義：稱風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)A