借助幾何直觀 挖掘數(shù)學本質(zhì)

1、借助幾何直觀 挖掘數(shù)學本質(zhì)今天要探討的主題是借助幾何直觀，挖掘數(shù)學的本質(zhì)。幾何直觀是指利用圖形描述和分析問題，它可以把復雜的數(shù)學問題變得簡明、形象，幫助學生直觀地理解數(shù)學,有助于學生探索解決問題的思路,在整個數(shù)學學習過程中發(fā)揮著重要作用。無論是數(shù)學概念、法則的學習,還是數(shù)學問題的解決,教師都可以借助幾何直觀發(fā)展學生的數(shù)學能力。1.借助幾何直觀發(fā)展概念表征能力。信息在人腦中有多種表征方式，而形象性的表征方式能有效促進學生對數(shù)學概念的理解。幾何直觀是一種特殊的、數(shù)學的直觀,借助幾何直觀進行概念學習，是學生學習數(shù)學的有效途徑。例如:教學蘇教版二下認識千以內(nèi)的數(shù))中“認識1000”時，教師一般引導學生

2、認識10個1是10,10個10是100,10個100是1000，但是這樣抽象的表述無法讓第一學段的學生認識到1000究竟有多大。在教學中，教師應把教學重點放在1000的結(jié)構(gòu)上，可以讓學生通過數(shù)方格圖。在腦中經(jīng)歷10個1是10,10個10是100,10個100是1000的過程。當學生頭腦中形成了每層是100個小正方體，10層是1000個小正方體的形象時,讓學生通過計數(shù)器表示出1000,最后學習如何書寫“1000”這個數(shù)。小學數(shù)學內(nèi)容中，有相當部分的內(nèi)容是計算問題，通常注重算法多樣化，對算理重視不夠。算理就是計算方法的道理，因此在教學時，應以更直觀的方法指導學生理解算理，在理解算理的基礎(chǔ)上掌握計算

3、方法，正所謂“知其然、知其所以然”。如兩位數(shù)乘兩位數(shù)(不進位)教學片段。 首先，借助點子圖研究算法。教師出示點子圖，在點子圖上分一分、算一算，利用它再次尋找計算的道理。其次，學生用點子圖匯報解釋問題。出現(xiàn)以下情況：1272、1462、1443、1426、1210+124、125+125+122。最后，教師幫助學生梳理方法: 1272、1462、1443、1426都是把12或者14分成了若干個份之后進行計算。1210+124和125+125+122，分別求幾個幾(份總關(guān)系),最后把積相加(整體部分關(guān)系)。既有份總關(guān)系，又有整體部分關(guān)系。不論哪種方式都是先分再合。分的目的就是將大的分成小的，復雜的

4、變成簡單的，新知識轉(zhuǎn)化為舊知識來解答，實際上就是把兩位數(shù)乘兩位數(shù)轉(zhuǎn)化成兩位數(shù)乘一位數(shù)的乘法。與此同時，還可以多種算法與豎式建立聯(lián)系，進一步理解算理。如橫式與豎式建立聯(lián)系。請學生思考: 1272、1462、1443、1426、1210+124和125+125+122誰與豎式的計算方法一樣？找到答案:1210+124和豎式有關(guān)系，豎式中第一個積是124，第二個積是1210，把兩個積相加就是168。結(jié)合點子圖說一說整式計算的每一步依據(jù)。教師提問：在進行豎式計算時，用到四句口訣的結(jié)果，這四句口訣在圖中能找到嗎? 學生帶著問題在點子圖中找答案。(學生邊說，課件邊演示)學生在圖中找到每步計算的依據(jù)。每排有

5、2個點，有這樣的4排，就是24=8；每行有10個，有這樣的4行，就是10 4-40；每行有2個，有這樣的10行，就是210=20；每行有10個，有這樣的10行就是1010=100, 把他們相加就是8+40+100+20=168?；仡檮偛艑W習的過程，雖然10分鐘就認同了計算的結(jié)果，但由于大家不滿足于只找到計算的結(jié)果，而是不斷的追問為什么?利用點子圖通過多種計算的方式，不僅驗證了結(jié)果的正確性，還使學生找到了計算方法背后的道理。2.借助幾何直觀,發(fā)展問題描述能力。對小學生而言，以文字形式表述問題比較抽象。如果能把抽象的問題以直觀圖示的方式表示出來，把靜態(tài)的文字轉(zhuǎn)化為動態(tài)的圖畫,學生將易于發(fā)現(xiàn)條件與問

6、題之間的關(guān)系。在教學中,教師可以引導學生合理運用畫圖策略，啟發(fā)學生通過畫幾何圖形來描述問題。如蘇教版三上有這樣一道思維拓展題:有一袋糖果,小紅吃了這袋糖果的一半多1顆，小明吃了剩下糖果的一半多1顆,小強吃了剩下的8顆糖果,請問這袋糖果原來有多少顆?在解決這個問題時，如果不使用幾何直觀，學生很難形成清晰的表象與解題思路。教師可以引導學生通過畫圖,逐步還原題目中的條件,這將有助于學生快速地找到問題的正確答案。幾何直觀在小學數(shù)學階段應用很廣泛，如使用線段圖表示實際問題的數(shù)量關(guān)系，使用韋恩圖。幾何直觀在小學數(shù)學階段應用很廣泛，如使用線段圖表示實際問題的數(shù)量關(guān)系，使用韋恩圖（集合圈）表示長方形與正方形的

7、關(guān)系，使用矩形圖求面積等等。3.借助幾何直觀,發(fā)展分析推理能力。直觀推理是數(shù)學直觀的精髓。在教學中,教師應鼓勵學生借助幾何圖形進行比較、分析和想象讓他們進行直觀推理，進而探究出數(shù)學對象的結(jié)構(gòu)和關(guān)系，建構(gòu)數(shù)學結(jié)論。為了便于理解,學生可以在紙上畫出相關(guān)圖畫和圖表,將復雜的數(shù)學問題變形象，形成解決問題的思路。如蘇教版六下有這樣一道題：將一個底面積為9平方厘米，高為6厘米的圓柱體鋼塊熔鑄成一個圓錐體。如果圓錐體和圓柱體的底面積相等，那么圓錐體的高是多少厘米?其實，在等底等高的情況下，圓柱的體積是圓錐體積的三倍。這道題的目的是考查學生能否活學活用知識，雖然難度不大，但是有相當多的學生并不理解此時圓柱與圓

8、錐的高之間的關(guān)系，不能理解為什么圓錐體的高應當是18厘米。教師可以引導學生通過畫圖解決問題。對于正處于從形象思維向抽象邏輯思維過渡的小學生來講，借助幾何圖形是比較有效的解決問題的策略。圖像直觀、形象、概括性強，有利于學生思考，如果學生能將某個問題轉(zhuǎn)化成圖像，就整體把握了這一問題。通過嘗試畫出草圖，問題也就水到渠成地解決了。4.避免幾何直觀的局限性。借助幾何直觀可以幫助學生深入理解知識內(nèi)涵，但在具體的運用中，應及時幫助學生從具體形象上升到抽象的數(shù)學概念,實現(xiàn)形象的剝離和認識的飛躍。例如:教學三角形、梯形、平行四邊形和圓形等圖形時,教師往往會讓學生用硬紙板剪出這些圖形。在這些直觀形象的圖形的暗示下

9、,學生容易形成錯誤的認識，三角形就是三角形狀這樣的“平面”，平行四邊形就是平行四邊形狀這樣的“平面”，圓形就是一個圓面。在教學中，教師應及時抽象,將它們逐步過渡到抽象的幾何圖形。例如:在教學蘇教版四下認識三角形時，教師可以先出示三角形實物,然后出示三條線段圍成的圖形，最終抽象出三角形的概念內(nèi)涵。在發(fā)展學生直觀思維的同時，教師應引導學生辯證地看待幾何直觀這一學習策略，避免將其“神圣化。如解決下面這一問題時，學生將體驗到幾何直觀的局限性:有一個邊長為8厘米的正方形紙片,它的面積是64平方厘米?，F(xiàn)在把這張紙片按圖5所示剪開，把剪出的4個小塊按圖6所示重新拼合，就得到了一個長為13厘米、寬為5厘米的長

10、方形，而這個長方形的面積是65平方厘米，比之前多出了1平方厘米，這是怎么回事?學生僅靠幾何直觀無法找出答案。5.解決問題中的直觀畫圖，不僅讓學生思維外顯，而且讓教師了解學生的思維水平，為學生間的相互交流提供了有力的支撐：畫圖在具體形象和抽象數(shù)量關(guān)系之間架起了橋梁。鼓勵學生畫圖分析問題和解決問題，發(fā)展學生的畫圖意識。如小明和小萍同時從家出發(fā)，相對而行，小明每分鐘走70米，小萍每分鐘走65米，經(jīng)過4分鐘，他們在學校相遇。他們兩家相距多少米?學生初學相遇問題時，初次嘗試畫線段圖來理解題意，分析數(shù)量關(guān)系。分析：用兩點表示小明和小萍的家，用一條線段表示兩家的距離，用小紅旗所在的位置表示學校；用箭頭表示他們行走的方向；把小明的路程平均分成幾份呢？每份表示什么呢？把小萍走的路程平均分成4份，表示4分鐘，每份是65米，求兩家相距多少米?在線段圖中表示出來。學生借助線段圖直觀地找到解決相遇問題的兩種方法。方法一：小明的路程+小萍的路程=