大學(xué)《概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)》課件-第一章隨機(jī)事件與概率

1、第一章 隨機(jī)事件與概率1.3 古典概型和幾何概型1.1 隨機(jī)事件及運(yùn)算1.4 條件概率與乘法公式1.5 獨(dú)立性1.2 概率及性質(zhì)1重點(diǎn)要點(diǎn)1： 隨機(jī)試驗(yàn)、樣本空間與隨機(jī)事件的關(guān)系 每一個(gè)隨機(jī)試驗(yàn)相應(yīng)地有一個(gè)樣本空間，樣本空間的子集就是隨機(jī)事件.隨機(jī)試驗(yàn)樣本空間子集隨機(jī)事件隨機(jī)事件基本事件 必然事件不可能事件復(fù)合事件2互為對立事件1.1 隨機(jī)事件及運(yùn)算四種關(guān)系：包含、相等、對立、互不相容四種運(yùn)算：和、積、差、逆四個(gè)運(yùn)算法則：交換律、結(jié)合律、分配律、對偶律3要點(diǎn)2： 事件的關(guān)系、運(yùn)算和運(yùn)算法則 包含：事件A發(fā)生導(dǎo)致B也發(fā)生 A是B的子集 相等： 事件A與B相等 A與B相等 不相容/互斥：事件A與B

2、不相容 A與B無公共元素 對立/逆：事件A的對立事件 A的余集 和： 事件A與B至少有一個(gè)發(fā)生 A與B的并集 積：事件A與B同時(shí)發(fā)生 A與B的交集 差： 事件A發(fā)生而B不發(fā)生 A與B的差集 記號(hào) 概率論 集合論事件與集合的關(guān)系及運(yùn)算對照4 設(shè)A，B，C為事件，則有（1）交換律：AB=BA，AB=BA （2）結(jié)合律：A(BC)=(AB)C=ABC A(BC)=(AB)C=ABC （3）分配律：A(BC)(AB)(AC) A(BC)(AB)(AC)= ABAC（4）對偶律（德摩根律）：事件的運(yùn)算律5 A. 甲產(chǎn)品滯銷，乙產(chǎn)品暢銷 B. 甲、乙兩產(chǎn)品均暢銷 C. 甲產(chǎn)品滯銷 D. 甲產(chǎn)品滯銷或乙產(chǎn)品

3、暢銷D67例2：A, B, C, D四個(gè)事件，用運(yùn)算關(guān)系表示下面事件：(1) A, B, C, D至少有一個(gè)發(fā)生；(2) 都不發(fā)生；(3) 都發(fā)生；(4) A, B, C, D恰有一個(gè)發(fā)生；(5) 至多一個(gè)發(fā)生.解： (1) (2)(3)(4)(5)8要點(diǎn)：概率的性質(zhì)(1) 規(guī)范性：P() = 0；P() = 1；0 P(A) 1.（反之？）1.2 概率及性質(zhì)9概率的性質(zhì)(5) 加法公式： P(AB )=P(A)+P(B)P(AB) 推論1: 設(shè)A1, A2, A3為任意三個(gè)事件，則有： P(A1A2A3)=P(A1) + P(A2) + P(A3) - P(A1A2) - P(A1A3) -

4、 P(A2A3) + P(A1A2A3) 推論2: 對于任意n個(gè)事件A1 , A2 , ，An，則有： P(A1A2 An)= 例1： 10例2：設(shè) 同時(shí)發(fā)生時(shí)，C必然發(fā)生，則： 11解：1.3 古典概型特點(diǎn)： 12計(jì)算方法：設(shè)樣本空間由n個(gè)樣本點(diǎn)組成，事件A由m個(gè)樣本點(diǎn)組成.則定義事件A的概率為：(1) 有限樣本空間：樣本點(diǎn)總數(shù)有限；(2) 等可能性：各基本事件發(fā)生的可能性相同 求古典概率的問題實(shí)際上就是計(jì)數(shù)問題 .加法原理、乘法原理、排列組合是計(jì)算古典概率的重要工具 .計(jì)算要點(diǎn)：1、確定樣本點(diǎn)，并計(jì)算其總數(shù)；2、計(jì)算事件所含樣本點(diǎn)數(shù)。13從0至9這十個(gè)數(shù)字中不放回地任取4個(gè)排好，求恰排成一

5、個(gè)4位偶數(shù)的概率.例1 取數(shù)問題14例2 占位問題15注：事件B與事件A的區(qū)別：B中各含一球的n個(gè)格子沒有指定。16若不考慮閏年，假定一個(gè)人在一年內(nèi)每一天出生的可能性相同，求任意n個(gè)人生日各不相同的概率。例3 生日問題17例4 抽簽問題解法1解法2記181、在應(yīng)用古典概型時(shí)必須注意“等可能性”的條件.總結(jié)：在許多場合，由對稱性和均衡性，我們就可以認(rèn)為基本事件是等可能的并在此基礎(chǔ)上計(jì)算事件的概率.2、在用排列組合公式計(jì)算古典概率時(shí)，必須注意不要重復(fù)計(jì)數(shù)，也不要遺漏.193、占位問題、抽簽問題等，都是古典概型中的常見模型。在遇到實(shí)際問題時(shí)，我們可以直接套用這些模型來求解。定義 當(dāng)隨機(jī)試驗(yàn)的樣本空間

6、是某個(gè)區(qū)域，并且任意一點(diǎn)落在度量(長度、 面積、體積) 相同的子區(qū)域是等可能的(與子區(qū)域的形狀和位置無關(guān)) ，則事件 A 的概率可定義為1.4 幾何概型20 那么 兩人會(huì)面的充要條件為例：甲、乙兩人相約在 0 到 T 這段時(shí)間內(nèi), 在預(yù)定地點(diǎn)會(huì)面. 先到的人等候另一個(gè)人, 經(jīng)過時(shí)間 t ( t 0，則P(AB)=P(A)P(B|A) (1)若已知P(A)，P(B|A)時(shí), 可以反求P(AB).同理，若P(B) 0，則P(AB)=P(B)P(A|B) (2)要點(diǎn)2：乘法公式28(1)和(2)式都稱為乘法公式，利用條件概率求積事件的概率.推廣3個(gè)事件:29例1：設(shè)某種動(dòng)物由出生算起活到20年以上的

7、概率為0.8，活到25年以上的概率為0.4. 問現(xiàn)年20歲的這種動(dòng)物，它能活到25歲以上的概率是多少？解：設(shè)A=能活20年以上，B=能活25年以上依題意， P(A)=0.8, P(B)=0.4所求為P(B|A) .30要點(diǎn)3：全概率公式31樣本空間的劃分全概率公式32全概率公式的由來:“全”部概率P(B)被分解成了許多部分之和。它的實(shí)用意義在于:推廣：全概率公式的實(shí)際意義：B: 結(jié)果;原因結(jié)果Ai , i=1,2,:導(dǎo)致B發(fā)生的各種可能的原因33P(原因)P(結(jié)果|原因)用法： 全概率公式的主要用處在于，它可以將一個(gè)復(fù)雜件的概率計(jì)算問題，分解為若干個(gè)簡單事件的概率計(jì)算問題，最后應(yīng)用概率的可加性

8、求岀最終結(jié)果.例2：設(shè)一倉庫中有十箱同樣規(guī)格的產(chǎn)品，已知其中有五箱、三箱、兩箱依次為甲廠、乙廠、丙廠成產(chǎn)的. 且甲廠、乙廠、丙廠成產(chǎn)的該種產(chǎn)品的次品率依次為1/10、1/15、1/20. 從這十箱中任取一箱，再從取得的這箱中任取一件產(chǎn)品，求取得正品的概率.（抽簽問題） 34 解：設(shè)B=取得的是正品, A1=該箱產(chǎn)品是甲廠生產(chǎn)的, A2=該箱產(chǎn)品是乙廠生產(chǎn)的, A3=該箱產(chǎn)品是丙廠生產(chǎn)的. 顯然，A1A2A3=，且A1、A2、A3互斥.由已知得：P(A1)=5/10， P(A2)=3/10 ， P(A3)=2/10P(B |A1)=9/10，P(B |A2)=14/15，P(B |A3)=19/

9、20由全概率公式得： 35要點(diǎn)4：貝葉斯公式結(jié)果原因注:信息B36 全概率公式VS貝葉斯公式逆概率公式貝葉斯公式37全概率公式：由因到果貝葉斯公式：由果溯因例3: 對以往數(shù)據(jù)分析結(jié)果表明，當(dāng)機(jī)器調(diào)整得良好時(shí)，產(chǎn)品的合格率為90%，而當(dāng)機(jī)器發(fā)生某一故障時(shí)，其合格率為30%。每天早上機(jī)器開動(dòng)時(shí)，機(jī)器調(diào)整良好的概率為75%，試求已知某日早上第一件產(chǎn)品是合格品時(shí)，機(jī)器調(diào)整良好的概率是多少？后驗(yàn)概率 解: 設(shè)A產(chǎn)品合格， B機(jī)器調(diào)整良好已知:P(A|B)=0.9，P(A|B)=0.3,P（B）=0.75，求P(B|A)，由貝葉斯公式先驗(yàn)概率38貝葉斯公式在實(shí)際中可以幫助人們確定某結(jié)果發(fā)生的最可能原因.3

10、9貝葉斯公式從數(shù)量上刻劃了這種變化。在電報(bào)通信中需要不斷地發(fā)出信號(hào)0和1，統(tǒng)計(jì)資料表明，發(fā)信號(hào)0的概率為0.6，發(fā)信號(hào)1的概率為0.4. 由于存在干擾，發(fā)0時(shí)分別以0.7和0.1收到0和1，以0.2的概率收到模糊信號(hào)x; 發(fā)1時(shí)，以概率0.85收到1，以概率0.05收到0，以概率0.1收到模糊信號(hào)x.問收到x應(yīng)譯成哪個(gè)信號(hào)較好？40例4：信號(hào)收發(fā)問題41一、相互獨(dú)立性的概念與判定42定義1.6 獨(dú)立性注：1、必然事件和不可能事件與任意事件都相互獨(dú)立。2、進(jìn)一步，如果事件A的概率P(A)=1或0，則A與任意事件都相互獨(dú)立。 由于“甲命中”并不影響“乙命中”的概率，故認(rèn)為A、B獨(dú)立 .甲、乙兩人向

11、同一目標(biāo)射擊，記 A=甲命中, B=乙命中，A與B是否獨(dú)立？例如：射擊問題即一事件發(fā)生與否并不影響另一事件發(fā)生的概率。 獨(dú)立性的判定43除根據(jù)定義外，在實(shí)際應(yīng)用中, 往往根據(jù)問題的實(shí)際意義去判斷兩事件是否獨(dú)立. 一批產(chǎn)品共n件，從中抽取2件，設(shè)Ai=第 i 件是合格品，i=1, 2.若抽取是有放回的,則A1與A2獨(dú)立.因?yàn)榈诙纬槿〉慕Y(jié)果受到第一次抽取的影響.又如：抽樣問題因?yàn)榈诙纬槿〉慕Y(jié)果不受第一次抽取的影響.若抽取是無放回的，則A1與A2不獨(dú)立.44兩事件相互獨(dú)立兩事件互斥二者之間沒有必然聯(lián)系45獨(dú)立與互不相容1、設(shè)A、B為互斥事件，且P(A)0,P(B)0,下面四個(gè)結(jié)論中，正確的是：（

12、1）P(B|A)0 （2）P(A|B)=P(A)（3）P(A|B)=0 （4）P(AB)=P(A)P(B)2、設(shè)A、B為獨(dú)立事件，且P(A)0,P(B)0,下面四個(gè)結(jié)論中，正確的是：（1）P(B|A)0 （3）P(A|B)=P(A)（3）P(A|B)=0 （4）P(AB)=P(A)P(B)兩事件相互獨(dú)立兩事件互斥但一般二者之間沒有必然聯(lián)系A(chǔ), B相互獨(dú)立A, B不互斥A, B互斥A, B不相互獨(dú)立46三事件兩兩相互獨(dú)立的概念47注意三個(gè)事件相互獨(dú)立三個(gè)事件兩兩相互獨(dú)立三事件相互獨(dú)立的概念48n 個(gè)事件相互獨(dú)立n個(gè)事件兩兩相互獨(dú)立推廣49二、幾個(gè)結(jié)論50 設(shè)每一名機(jī)槍射擊手擊落飛機(jī)的概率都是0.

13、2,若10名機(jī)槍射擊手同時(shí)向一架飛機(jī)射擊,問擊落飛機(jī)的概率是多少?射擊問題例1三、例題講解解事件 B 為“擊落飛機(jī)”, 51假設(shè)一次試驗(yàn)成功的概率只有1%，試計(jì)算嘗試100次(各次試驗(yàn)相互獨(dú)立),至少有1次成功的概率.解: 設(shè)Ai=第i次試驗(yàn)成功嘗試500次,至少有1次成功的概率達(dá)到99%.例2 試驗(yàn)成功的概率52例3解：53 甲、乙、丙三人同時(shí)對飛機(jī)進(jìn)行射擊, 三人擊中的概率分別為 0.4, 0.5, 0.7, 飛機(jī)被一人擊中而被擊落的概率為0.2,被兩人擊中而被擊落的概率為0.6,若三人都擊中飛機(jī)必定被擊落,求飛機(jī)被擊落的概率.解 用A, B, C分別表示甲、乙、丙擊中飛機(jī), *例4i=1,2,354D表示飛機(jī)被擊落.最后,由全概率公式得飛機(jī)被擊落的概率為55=0.360.2+0.410.6+0.141=0.458本章幾個(gè)重要公式1.條件概率2.乘法公式 P(AB)=P(B|A)P(A) (P(A)0)，3.全概率公式4.貝葉斯公式56已知 0P(A)1，0P(B)1，P(A|B)+P(A|B)=1， 則( )(A) 事件A和事件B互斥; (B) 事件A與B對立 ; (C) 事件A和事件B 不獨(dú)立; (D) 事件A和B 相互獨(dú)立.例題選講57*2. 設(shè)玻璃杯整箱出售，每箱20個(gè)，各箱含0， 1，2個(gè)次品的概率分別為0.8，0.1，0.1，某顧客欲購買一箱玻璃杯，由售貨員