10.7 相互獨立事件同時發(fā)生的概率microsoft word 文檔doc-高中數學

1、 永久免費組卷搜題網PAGE 永久免費組卷搜題網10.7相互獨立事件同時發(fā)生的概率一、明確復習目標1.了解相互獨立事件的意義，會用相互獨立事件的概率乘法公式計算一些事件的概率.2.會計算事件在n次獨立重復試驗中恰好發(fā)生次的概率.二建構知識網絡1相互獨立事件：事件（或）是否發(fā)生對事件（或）發(fā)生的概率沒有影響，這樣的兩個事件叫做相互獨立事件.若與是相互獨立事件，則與，與，與也相互獨立.3相互獨立事件同時發(fā)生的概率：事件相互獨立， 2.互斥事件與相互獨立事件是有區(qū)別的：互斥事件與相互獨立事件研究的都是兩個事件的關系,但而互斥的兩個事件是一次實驗中的兩個事件，相互獨立的兩個事件是在兩次試驗中得到的，注

2、意區(qū)別。如果A、B相互獨立，則P（A+B）=P（A）+P（B）P（AB）如:某人射擊一次命中的概率是0.9,射擊兩次,互不影響,至少命中一次的概率是0.9+0.9-0.90.9=0.99,(也即1-0.10.1=0.99)4.獨立重復試驗的定義：在同樣條件下進行的各次之間相互獨立的一種試驗.6獨立重復試驗的概率公式：如果在一次試驗中某事件發(fā)生的概率是p,那么在n次獨立重復試驗中這個事恰好發(fā)生K次的概率:.k=n時,即在n次獨立重復試驗中事件A全部發(fā)生,概率為Pn(n)=Cnnpn(1p)0 =pnk=0時,即在n次獨立重復試驗中事件A沒有發(fā)生,概率為Pn()=Cn0p0(1p)n =(1p)n

3、三、雙基題目練練手1.從應屆高中生中選出飛行員，已知這批學生體型合格的概率為，視力合格的概率為，其他幾項標準合格的概率為，從中任選一學生，則該生三項均合格的概率為（假設三項標準互不影響） ( )A.B.C.D.2 (2005天津)某人射擊一次擊中的概率為0.6,經過3次射擊,此人至少有兩次擊中目標的概率為 （ ）A B C D3.（2004遼寧）甲、乙兩人獨立地解同一問題，甲解決這個問題的概率是p1，乙解決這個問題的概率是p2，那么恰好有1人解決這個問題的概率是 ( )A. p1p2B.p1（1p2）+p2（1p1）C.1p1p2D.1（1p1）（1p2）4. (2006湖北)接種某疫苗后，出

4、現發(fā)熱反應的概率為0.80.現有5人接種該疫苗，至少有3人出現發(fā)熱反應的概率為_.（精確到0.01）5.一道數學競賽試題，甲生解出它的概率為，乙生解出它的概率為，丙生解出它的概率為，由甲、乙、丙三人獨立解答此題只有一人解出的概率為_.6.一出租車司機從飯店到火車站途中有六個交通崗，假設他在各交通崗遇到紅燈這一事件是相互獨立的，并且概率都是.那么這位司機遇到紅燈前，已經通過了兩個交通崗的概率是_.簡答:1-3.CAB; 4. 0.94; 5.P=+ + =.6.P=（1）（1）=.四、經典例題做一做【例1】甲、乙兩人各進行3次射擊，甲每次擊中目標的概率為，乙每次擊中目標的概率為求：（）甲恰好擊中

5、目標2次的概率；（）乙至少擊中目標2次的概率；（）乙恰好比甲多擊中目標2次的概率.解：（I）甲恰好擊中目標2次的概率為（II）乙至少擊中目標2次的概率為（III）設乙恰好比甲多擊中目標2次為事件A，乙恰好擊中目標2次且甲恰好擊中目標0次為事件B1，乙恰好擊中目標3次且甲恰好擊中目標1次為事件B2，則A=B1+B2，B1，B2為互斥事件. P（A）=P（B1）+P（B2） 所以，乙恰好比甲多擊中目標2次的概率為【例2】（2006浙江）甲、乙兩袋裝有大小相同的紅球和白球，甲袋裝有2個紅球，2個白球；乙袋裝有2個紅球，n個白球.兩甲，乙兩袋中各任取2個球.()若n=3，求取到的4個球全是紅球的概率；

6、()若取到的4個球中至少有2個紅球的概率為，求n.解：（ = 1 * ROMAN I）記“取到的4個球全是紅球”為事件.（ = 2 * ROMAN II）記“取到的4個球至多有1個紅球”為事件，“取到的4個球只有1個紅球”為事件，“取到的4個球全是白球”為事件.由題意，得 所以，化簡，得 解得，或（舍去），故 .【例3】(2006四川)某課程考核分理論與實驗兩部分進行，每部分考核成績只記“合格”與“不合格”，兩部分考核都“合格”則該課程考核“合格” 甲、乙、丙三人在理論考核中合格的概率分別為0.9、0.8、0.7；在實驗考核中合格的概率分別為0.8、0.7、0.9 所有考核是否合格相互之間沒有

7、影響 （）求甲、乙、丙三人在理論考核中至少有兩人合格的概率；（）求這三人該課程考核都合格的概率（結果保留三位小數） 解：記“甲理論考核合格”為事件；“乙理論考核合格”為事件；“丙理論考核合格”為事件；記為的對立事件，；記“甲實驗考核合格”為事件；“乙實驗考核合格”為事件；“丙實驗考核合格”為事件；（）記“理論考核中至少有兩人合格”為事件，記為的對立事件解法1： 解法2：所以，理論考核中至少有兩人合格的概率為（）記“三人該課程考核都合格” 為事件 所以，這三人該課程考核都合格的概率為【例4】一個元件能正常工作的概率叫做這個元件的可靠性，設構成系統(tǒng)的每個元件的可A1A2A3B1B2B3A1B1A2

8、A3B3B2（）（）靠性為P（0P1，且每個元件能否正常工作是相互獨立的。今有6個元件按圖所示的兩種聯接方式構成兩個系統(tǒng)（）、（），試分別求出它們的可靠性，并比較它們可靠性的大小。解：系統(tǒng)（）有兩個道路，它們能正常工作當且僅當兩條道路至少有一條能正常工作，而每條道路能正常工作當且僅當它的每個元件能正常工作。系統(tǒng)（）每條道路正常工作的概率是P3，不能工作的概率是1P3，系統(tǒng)（）不能工作的概率為(1P3)2。故系統(tǒng)（）正常工作的概率是P1=1(1P3)2=P3(2P3)；系統(tǒng)（）有3對并聯元件串聯而成，它能正常工作，當且僅當每對并聯元件都能正常工作，由于每對并聯元件不能工作的概率為(1P)2,因而

9、每對并聯元件正常工作的概率是1(1P)2, 故系統(tǒng)（）正常工作的概率是：P2=1(1P)23=P3(2P)3。又P1P2= P3(2P3)P3(2P)3=6P3(P1)20,P1P2，故系統(tǒng)()的可靠性大。思維點撥：本題的基本思路是從正反兩個方面加以分析,先求出每個系統(tǒng)的可靠性再進行比較.【研討.欣賞】甲、乙兩個乒乓球運動員進行乒乓球比賽，已知每局甲勝的概率為0.6，乙勝的概率為0.4，比賽時可以用三局二勝或五局三勝制，問在哪一種比賽制度下，甲獲勝的可能性較大？解：（1）如果采用三局二勝制，則甲在下列兩種情況獲勝A12：0（甲凈勝兩局）；A22：1（前兩局各勝一局，第三局甲勝）因A1與A2互斥

10、，故甲獲勝的概率為（2）如果采用五局三勝制，則甲在下列三種情況下獲勝：B13：0（甲凈勝三局）；B23：1（前三局甲勝兩局，負一局，第四局甲勝）；B33：2（前四局中甲、乙各勝兩局，第五局甲勝）因此甲勝的概率為由（1）、（2）的結果知，甲在五局三勝制中獲勝的可能性更大五提煉總結以為師1.正確理解概念,能準確判斷是否相互獨立事件,只有對于相互獨立事件A與B來說，才能運用公式P（AB）=P（A）P（B）.2.對于復雜的事件要能將其分解為互斥事件的和或獨立事件的積，或先計算對立事件.3.善于發(fā)現或將問題化為n次獨立重復試驗問題,進而計算發(fā)生k次的概率.同步練習 10.7相互獨立事件同時發(fā)生的概率 【

11、選擇題】1（2004年遼寧，5）甲、乙兩人獨立地解同一問題，甲解決這個問題的概率是p1，乙解決這個問題的概率是p2，那么恰好有1人解決這個問題的概率是A.p1p2B.p1（1p2）+p2（1p1）C.1p1p2D.1（1p1）（1p2）2.在某段時間內，甲地不下雨的概率為0.3，乙地不下雨的概率為0.4，假設在這段時間內兩地是否下雨相互無影響，則這段時間內兩地都下雨的概率是 ( )A.0.12 B.0.88C.0.28 D.0.423.將一枚硬幣連擲5次，如果出現k次正面的概率等于出現k+1次正面的概率，那么k的值為 ( )A.0B.1C.2D.3【填空題】4.某學生參加一次選拔考試，有5道題

12、，每題10分.已知他解題的正確率為，若40分為最低分數線，則該生被選中的概率是_.5.甲、乙兩人在罰球線投球命中的概率分別為,甲、乙兩人在罰球線各投球二次，這四次中至少一次命中的概率是_.6. 把n個不同的球隨機地放入編號為1，2，m的m個盒子內，則1號盒恰有r個球的概率等于_.簡答.提示：1-3.BDC; 3.由C（）k（）5k=C（）k+1（）5k1，即C=C，k+（k+1）=5，k=2; 4.他須解對5題或4題.P=（）5+C（）4（1）=; 5.; 6.法一：放1個球,被放入1號盒的概率為P=.n個球放入m個不同的盒子內相當于做n次獨立重復試驗. Pn（r）=C（）r（1）nr=.法二

13、：把n個不同的球任意放入m個不同的盒子內共有mn個等可能的結果.其中1號盒內恰有r個球的結果數為C（m1）nr，故所求概率P（A）=.【解答題】7（2006北京）某公司招聘員工，指定三門考試課程，有兩種考試方案.方案一：考試三門課程，至少有兩門及格為考試通過；方案二：在三門課程中，隨機選取兩門，這兩門都及格為考試通過.假設某應聘者對三門指定課程考試及格的概率分別是，且三門課程考試是否及格相互之間沒有影響.（）分別求該應聘者用方案一和方案二時考試通過的概率；（）試比較該應聘者在上述兩種方案下考試通過的概率的大小.（說明理由） 解：記該應聘者對三門指定課程考試及格的事件分別為A，B，C. 則P（A

14、）= a，P（B）= b，P（C）= c（）應聘者用方案一考試通過的概率 應聘者用方案二考試通過的概率 （）因為a，b，c0， 1，所以 故p1p2, 即采用第一種方案，該應聘者考試通過的概率較大.8. 假設每一架飛機引擎在飛行中故障率為1P，且各引擎是否故障是獨立的，如果至少50%的引擎能正常運行，飛機就可以成功地飛行，問對于多大的P而言，4引擎飛機比2引擎的飛機更為安全？分析：4引擎飛機可以看作4次獨立重復試驗，要能正常運行，即求發(fā)生k次（k2）的概率.同理，2引擎飛機正常運行的概率即是2次獨立重復試驗中發(fā)生k次（k1）的概率，由此建立不等式求解.解：4引擎飛機成功飛行的概率為CP2（1P

15、）2+CP3（1P）+CP4=6P2（1P）2+4P3（1P）+P4.2引擎飛機成功飛行的概率為CP（1P）+CP2=2P（1P）+P2.要使4引擎飛機比2引擎飛機安全，只要6P2（1P）2+4P3（1P）+P42P（1P）+P2.化簡，分解因式得（P1）2（3P2）0.所以3P20，即得P.答：當引擎不出故障的概率不小于時，4引擎飛機比2引擎飛機安全.99粒種子分種在甲、乙、丙3個坑內，每坑3粒，每粒種子發(fā)芽的概率為0.5. 若一個坑內至少有1粒種子發(fā)芽，則這個坑不需要補種；若一個坑內的種子都沒發(fā)芽，則這個坑需要補種. （）求甲坑不需要補種的概率； （）求3個坑中恰有1個坑不需要補種的概率；

16、 （）求有坑需要補種的概率.（精確到0.001）解：（）因為甲坑內的3粒種子都不發(fā)芽的概率為，所以甲坑不需要補種的概率為 （）3個坑恰有一個坑不需要補種的概率為 （）法一：因為3個坑都不需要補種的概率為，所以有坑需要補種的概率為 法二：3個坑中恰有1個坑需要補種的概率為恰有2個坑需要補種的概率為 3個坑都需要補種的概率為 所以有坑需要補種的概率為 10.(2005江蘇)甲、乙兩人各射擊一次，擊中目標的概率分別是和。假設兩人射擊是否擊中目標，相互之間沒有影響；每次射擊是否擊中目標，相互之間沒有影響。（）求甲射擊4次，至少1次未擊中目標的概率；（）求兩人各射擊4次，甲恰好擊中目標2次且乙恰好擊中目

17、標3次的概率；（）假設兩人連續(xù)兩次未擊中目標，則停止射擊。問：乙恰好射擊5次后，被中止射擊的概率是多少？解:（）記“甲連續(xù)射擊4次，至少1次未擊中目標”為事件A1，由題意，射擊4次，相當于4次獨立重復試驗，故P（A1）=1- P（）=1-=。答：甲射擊4次，至少1次未擊中目標的概率為； () 記“甲射擊4次，恰好擊中目標2次”為事件A2，“乙射擊4次，恰好擊中目標3次”為事件B2，則，由于甲、乙設計相互獨立，故。答：兩人各射擊4次，甲恰好擊中目標2次且乙恰好擊中目標3次的概率為；（）記“乙恰好射擊5次后，被中止射擊”為事件A3，“乙第i次射擊為擊中” 為事件Di，（i=1，2，3，4，5），則

18、A3=D5D4，且P（Di）=，由于各事件相互獨立，故P（A3）= P（D5）P（D4）P（）=（1-）=， 答：乙恰好射擊5次后，被中止射擊的概率是。【探索題】（2004湖南）甲、乙、丙三臺機床各自獨立地加工同一種零件，已知甲機床加工的零件是一等品而乙機床加工的零件不是一等品的概率為，乙機床加工的零件是一等品而丙機床加工的零件不是一等品的概率為，甲、丙兩臺機床加工的零件都是一等品的概率為.（1）分別求甲、乙、丙三臺機床各自加工的零件是一等品的概率；（2）從甲、乙、丙加工的零件中各取一個檢驗，求至少有一個一等品的概率.解：（1）設A、B、C分別為甲、乙、丙三臺機床各自加工的零件是一等品的事件，

19、由題設條件有: 即 由得P（B）=1P（C），代入得27P（C）251P（C）+22=0.解得P（C）=或（舍去）.將P（C）=分別代入可得P（A）=，P（B）=，即甲、乙、丙三臺機床各自加工的零件是一等品的概率分別是，.（2）記D為從甲、乙、丙加工的零件中各取一個檢驗至少有一個一等品的事件，則P（D）=1P（）=11P（A）1P（B）1P（C）=1=.故從甲、乙、丙加工的零件中各取一個檢驗，至少有一個一等品的概率為.備選題:6.一個通訊小組有兩套設備，只要其中有一套設備能正常工作，就能進行通訊.每套設備由3個部件組成，只要其中有一個部件出故障，這套設備就不能正常工作.如果在某一時間段內每個部

20、件不出故障的概率為p，計算在這一時間段內，（1）恰有一套設備能正常工作的概率；（2）能進行通訊的概率.解：記“第一套通訊設備能正常工作”為事件A，“第二套通訊設備能正常工作”為事件B.由題意知P（A）=p3，P（B）=p3，P（）=1p3，P（）=1p3.（1）恰有一套設備能正常工作的概率為P（A+ B）=P（A）+P（B）=p3（1p3）+（1p3）p3=2p32p6.（2）方法一：兩套設備都能正常工作的概率為P（AB）=P（A）P（B）=p6.至少有一套設備能正常工作的概率，即能進行通訊的概率為P（A+ B）+P（AB）=2p32p6+p6=2p3p6.方法二：兩套設備都不能正常工作的概率

21、為P（）=P（）P（）=（1p3）2.至少有一套設備能正常工作的概率，即能進行通訊的概率為1P（）=1P（）P（）=1（1p3）2=2p3p6.答：恰有一套設備能正常工作的概率為2p32p6，能進行通訊的概率為2p3p6.(2005年高考浙江卷文17)袋子A和B中裝有若干個均勻的紅球和白球，從A中摸出一個紅球的概率是，從B中摸出一個紅球的概率為p () 從A中有放回地摸球，每次摸出一個，共摸5次(i)恰好有3次摸到紅球的概率；(ii)第一次、第三次、第五次摸到紅球的概率 () 若A、B兩個袋子中的球數之比為12，將A、B中的球裝在一起后，從中摸出一個紅球的概率是，求p的值 解：()（） （）.

22、 ()設袋子A中有個球，袋子B中有個球，由，得例6 在資料室中存放著書籍和雜志，任一讀者借書的概率為02，而借雜志的概率為08，設每人只借一本，現有五位讀者依次借閱，計算：（1）5人中有2人借雜志的概率（2）5人中至多有2人借雜志的概率解：記“一位讀者借雜志”為事件A，則“此人借書”為，5位讀者各借一次可看作n次獨立重復事件，因此：（1）5人中有2人借雜志的概率（2）5人中至多有2人借雜志，包括三種情況：5人都不借雜志，5人中恰有1人借雜志，5人中恰有2人借雜志，因此所求概率例2：有外形相同的球分別裝在三個不同的盒子中，每個盒子中有10個小球。其中第一個盒子中有7個球標有字母A，3個球標有字母

23、B；第二個盒子中有紅球和白球各5個；第三個盒子中有紅球8個，白球2個。試驗按如下規(guī)則進行：先在第一個盒子中任取一球，若取得標有字母A的球，則在第二個盒子中任取一球；若第一次取得標有字母B的球，則在第三個盒子中任取一球。如果第二次取得的球是紅球，則稱試驗成功，求試驗成功的概率。解：設事件A：從第一個盒子中取得一個標有字母A的球；事件B：從第一個盒子中取得標有字母B的球，則A、B互斥，且P（A），P（B）；事件C：從第二個盒子中取一個紅球，事件D：從第三個盒子中取一個紅球，則C、D互斥，且P（C），P（D）。顯然，事件與事件互斥，且事件A與C是相互獨立的，B與D也是相互獨立的。所以試驗成功的概率為

24、本次試驗成功的概率為思維點撥：對題中出現的事件進行正確分類與重組是解題的關鍵。例3：甲、乙、丙3人各進行一次射擊，如果甲、乙2人擊中目標的概率是0.8，丙擊中目標的概率是0.6，計算：(1)3人都擊中目標的概率； (2)至少有2人擊中目標的概率；(3)其中恰有1人擊中目標的概率.解：(1)記“甲、乙、丙各射擊一次，擊中目標”分別為事件A、B、C彼此獨立，三人都擊中目標就是事件ABC發(fā)生，根據相互獨立事件的概率乘法公式得：P(ABC)P(A)P(B)P(C)0.80.80.60.384(2)至少有2人擊中目標包括兩種情況：一種是恰有2人擊中，另一種是3人都擊中，其中恰有2人擊中，又有3種情形，即

25、事件AB，AC，BC分別發(fā)生，而這3種事件又互斥， 故所求的概率是P(AB)+P(AC)+P(BC)+P(ABC)P(A) P(B)P()+P(A) P()P(C)+P()P(B) P(C)+P(A) P(B) P(C) 0.80.80.4+0.80.20.6+0.20.80.6+0.80.80.60.832(3)恰有1人擊中目標有3種情況，即事件A， B， C，且事件分別互斥，故所求的概率是P(A)+P(B)+P(C) P(A)P()P()+P()P(B) P()+P()P()P(C)0.80.20.4+0.20.80.4+0.20.20.60.152.說明：題(3)還可用逆向思考，先求出3

26、人都未擊中的概率是0.016，再用1-0.832-0.016可得練習：設每門高射炮命中飛機的概率為0.6，試求：（1）兩門高射炮同時射擊一發(fā)炮彈而命中飛機的概率；（2）若今有一飛機來犯，問需要多少門高射炮射擊，才能以至少99的概率命中它？解：（1）P=0.84（2）設需要n門高射炮才能達目的，用A表示“命中飛機”這一事件，用Ai表示“第i門高射炮命中飛機”，則A1、A2An相互獨立，故也相互獨立，故P（A）=1P()=1P()=1P()P()P()=1.據題意P(A)0.99,199,得n5.02.答：至少需6門高射炮才能以99的概率命中。思維點撥： 本題若用直接法就不可能求解，故轉化為間接考

27、慮?！纠?】A、B兩位同學各有五張卡片，現以投擲均勻硬幣的形式進行游戲，當出現正面朝上時A贏得B一張卡片，否則B贏得A一張卡片，如果某人已贏得所有卡片，則游戲終止.求擲硬幣的次數不大于7次時游戲終止的概率.解：設表示游戲終止時擲硬幣的次數，設正面出現的次數為m，反面出現的次數為n，則，可得：(2005年高考全國卷II文18)甲、乙兩隊進行一場排球比賽，根據以往經驗，單局比賽甲隊勝乙隊的概率為0.6，本場比賽采用五局三勝制，即先勝三局的隊獲勝，比賽結束，設各局比賽相互間沒有影響，求（）前三局比賽甲隊領先的概率；（）本場比賽乙隊以3：2取勝的概率.（精確到0.001）本小題主要考查相互獨立事件概率

28、的計算，運用概率知識解決實際問題的能力。滿分12分解：單局比賽甲隊勝乙隊的概率為0.6，乙隊勝甲隊的概率為10.60.4（）記“甲隊勝三局”為事件A，“甲隊勝二局”為事件B，則P（A），P（B）所以前三局比賽甲隊領先的概率為P（A）P（B）0.648（）若本場比賽乙隊3：2取勝，則前四局雙方應以2：2戰(zhàn)平，且第五局乙隊勝，所以所求事件的概率為(2005全國卷設甲、乙、丙三臺機器是否需要照顧相互之間沒有影響.已知在某一小時內，甲、乙都需要照顧的概率為0.05，甲、丙都需要照顧的概率為0.1，乙、丙都需要照顧的概率為0.125， （）求甲、乙、丙每臺機器在這個小時內需要照顧的概率分別是多少； （）計算這個小時內至少有一臺需要照顧的概率.解：記“機器甲需要照顧”為事件A，“機器乙