自適應課件(北航)

1、第2章 實時參數(shù)估計2.1系統(tǒng)辨識概念 什么是系統(tǒng)辨識：是研究建立被控對象或過程數(shù)學模型的一種理論和方法，它根據(jù)輸入輸出數(shù)據(jù)，從一組給定的模型類別中，確定一個與所研究系統(tǒng)等價的數(shù)學模型。 系統(tǒng)辨識的一般步驟1實驗設計與實施：根據(jù)建模目的，確定模型類型、精度和方法，設計 獲取系統(tǒng)輸入輸出信息的具體方案。數(shù)據(jù)收集與處理：從實驗中獲得數(shù)據(jù)，并進行技術處理。確定模型結構：利用先驗知識和經(jīng)驗，假定模型的結構形式。估計模型參數(shù)：對所假定模型結構形式下的相應參數(shù)進行估計。模型檢驗：按某種準則，對模型的滿意程度進行考察。不滿意，修改 模型結構，重新估計參數(shù)，并再次檢驗；滿意，則辨識工作結束。 自適應控制中系統(tǒng)

2、辨識的特點 在結構已經(jīng)確定的前提下，進行相關參數(shù)的估計。22.2 白噪聲序列和離散時間系統(tǒng)數(shù)學模型2.2.1 白噪聲序列 如果隨機過程 的均值和相關函數(shù)分別為則稱 為白噪聲過程。其中， 為單位脈沖函數(shù)。 離散形式白噪聲序列：如果隨機序列 的均值為零，且兩兩不相關，對應的自相關函數(shù)為則稱 為白噪聲序列。其中， 為Kronecker函數(shù)。 向量白噪聲序列 定義為： 其中，R 為正定常數(shù)矩陣， 為Kronecker函數(shù)。32.2.2 離散時間系統(tǒng)數(shù)學模型 確定性離散系統(tǒng) 單輸入/單輸出方程形式： d為純時延，且分別為k時刻的輸出和輸入。其中狀態(tài)空間方程：(2-1)(2-2)(2-3)4其中，A0為n

3、xn系數(shù)矩陣，B0為nx1輸入矩陣， C0 為1xn輸出矩陣。輸入/輸出方程與狀態(tài)空間方程關系： 隨機性離散系統(tǒng) 自回歸滑動平均模型其中，上式左邊項為自回歸項，右邊第1項為滑動平均項，且為白噪聲序列。(2-4)5 自回歸積分滑動平均模型其中，其它含義與式（2-4）相同，且這里 d = 1，當d1時，B(z-1)多項式中前 d -1項的系數(shù)為零。 最小二乘模型此時，C(z-1)=1。 滑動平均模型此時，A(z-1)=1。62.3 最小二乘參數(shù)估計法2.3.1 批處理最小二乘法最小二乘模型展開上式設則前式可表為(2-5)當時，有7由式（2-5）有其中由于真實的 并不知道，不妨用 來表示它的估計值，

4、基于 的輸出估計為8其中，定義殘差對于 則有其中現(xiàn)在的問題是：求使目標函數(shù)為最小的 （記為 ）。展開上式9對 求一階導，并令其為零解得由于二階導求得的 為極小值，式（2-7）為批處理的最小二乘估計公式。 統(tǒng)計特性討論 1）無偏性：使J為最小的參數(shù)估計向量 的數(shù)學期望為參數(shù)真值向量，即 證明：它揭示最小二乘參數(shù)估計是圍繞參數(shù)真值波動的統(tǒng)計性質。(2-7)10 2）估計誤差（偏差）協(xié)方差 證明： 主對角線上各元表現(xiàn)參數(shù)估計的散度，非對角線上各元反映參數(shù)估計 各分量相影響程度或相關性大小。 3）最小方差估計：設 為 的任一其他線性無偏估計，則即最小二乘估計是最小方差估計，也就是參數(shù)估計 離參數(shù)真值

5、最近。證明： 由于 為 的任一線性無偏差估計，所以 可表示為：11式中， ，并且 ，即從而 因為所以 4）一致收斂性：若12存在且正定，則 是一致收斂的，即 由于所以 由 的無偏性知所以例2.3.1 現(xiàn)有最小二乘模型其中， 為零均值白噪聲，實驗獲得輸入輸出數(shù)據(jù)見表2.3.1。 表2.3.1 實驗獲得的輸入輸出數(shù)據(jù)（見下頁）13t0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 3.5 4.0 4.5 5.0 5.5u(t)0 -1 -1 -1 -1 -1 1 1 -1 -1 1 -1 y(t)0 0.0582 -0.6395 -1.8510 -2.0242 -1.4163 -0.9188

6、 0.3053 2.2938 1.0769 -2.2943 -1.9656t 6.0 6.5 7.0 7.5 8.0 8.5 9.0 9.5 10.0 10.5 11.0 11.5u(t) 1 1 -1 1 1 1 1 -1 1 -1 1 -1y(t)0.4587 1.3710 1.8783 0.2454 -1.1223 0.7848 2.4983 2.2147 -0.2424 -1.5523 -0.5707 0.5078 t 12.0 12.5 13.0 13.5 14.0 14.5 15.0 15.5 u(t) -1 -1 1 -1 -1 1 1 1y(t)0.7394 -1.4378 -

7、2.6328 -0.5359 1.4520 -0.4325 -1.2545 1.1510解：首先組成矩陣，然后按式（2-7）求出。下面用 Matlab 語言來做。u = -1; -1; -1; -1; -1; 1; 1; -1; -1; 1; -1; 1; 1; -1; 1; 1; 1; 1; -1; 1; -1; 1; -1; -1; -1; 1; -1; -1; 1; 1; 1 ; % 將u 輸入到工作空間y = 0.0582; -0.6395; -1.8510; -2.0242; -1.4363; -0.9188; 0.3053; 2.2938;1.0769; -2.2943; -1.9

8、656; 0.4587; 1.3710; 1.8783; 0.2454; -1.1223; 0.7848; 2.4983; 14 2.2147; -0.2424; -1.5523; -0.5707; 0.5078; 0.7394; -1.4378; -2.6328; -0.5359; 1.4520; -0.4325; -1.2545; 1.1510 ; % 將y 輸入到工作空間phi = 0; -y(1:end-1), 0; 0; -y(1:end-2), 0; u(1:end-1), 0; 0; u(1:end-2); % 組建Theta = inv (phi*phi) * phi*y %

9、計算 運行結果為： = -0.5076，0.6075，0.6854，0.7947 這與真值：-0.5, 0.6, 0.7, 0.8 相差不大。另外，也可以用Matlab的辨識工具箱獲得結果： T = iddata (y, u, 0.5); % 處理數(shù)據(jù) G = arx (T, 2,2,1) % 調用辨識函數(shù) 運行結果為： Discrete-time IDPOLY model: A(q)y(t) = B(q)u(t) + e(t) A(q) = 1 - 0.5077 q-1 + 0.6075 q-2 15 B(q) = 0.6863 q-1 + 0.7947 q-2 Estimated usin

10、g ARX from data set T Loss function 0.00146694 and FPE 0.00190159 Sampling interval: 0.5其中 q-i 即為 ,符號 q 就是本書中的符號 z，由此可見，兩結果幾乎相同。2.3.2 遞推最小二乘法 特點：計算機內存需要少于批處理法，能實時跟蹤參數(shù)變化。引理：設A、C 和 均為非奇異方陣，則有證明： 用（A+BCD）左乘上式右端，若結果為單位矩陣，則關系式成立。16當 時，有遞推最小二乘公式(2-8)最小二乘模型描述的系統(tǒng)基于 及以前的輸出y、 及以前的輸入u, 未知參數(shù)向量17的最小二乘估計 的遞推公式為(2

11、-9)(2-10)(2-11)其中 為增益向量， 為未知參數(shù)向量 的估計值。證明： 設 是基于 和 的估計，根據(jù)批處理最小二乘法有18對于 時的最小二乘估計為式中展開令并視 、 和 分別為式（2-8）中的A、B和D，再考慮 在此為標量，由引理有 (2-12)19再令 則有 又令(2-13)即為式（2-10），且式（2-13）可寫為它就是式(2-11)。 將式（2-11）代入式（2-12），并注意交換標量和矩陣的位置，有20即為式(2-9)。說明：21從式（2-9）看，新的參數(shù)向量估計值 為先前的參數(shù)向量估計值 加修正項。在不斷更新過程中， 、 和 的行列數(shù)不變，但它們的舊數(shù)據(jù)不斷被新數(shù)據(jù)替換； 為增益向量， 為誤差的協(xié)方差，一般 與 成正比，協(xié)方差越大，說明估計值與真值相差越大，增益向量也會越大，所產生的校正作用也越大；初值 和 的確定： 方法一：若有 組數(shù)據(jù)，則可批處理它們，將結果作為初值，即22 方法二： ， 其中 。2.3.3 具有遺忘因子的遞推最小二乘法 遞推最小二乘法缺陷：數(shù)據(jù)飽和。 原因：隨 K ，P(k+1)和K(k+1)變小，式(2-9)中的修