2013集訓隊解題報告jewelry

1、CTSC2010珠寶商新解外國語學校Contents題目大意12預(yù)備知識22昲昲昲昮昱后綴自昲昮昲后綴樹 昮 昮 昮昮昮昮昮昮昮昮昮昮昮昮昮昮昮昮昮昮昮昮昮昮昮昮昮昮昮昮昮昮昮昮昮昮昮昮昮昮昮昮昮昮昮昮昮昮昮昮昮昮昮昮昮昮昮昮昮昮昮昮昮昮昮昮昮昮昮昮昮昮昮昮昮昮昮昮昮算法昳昮昱昳昮昲昳昮昳昳昮昴32昲昳昳昳樸素做法晁 昮樸素做法時 昮昮昮昮昮昮昮昮昮昮昮昮昮昮昮昮昮昮昮昮昮昮昮昮昮昮昮昮昮昮昮昮昮昮昮昮昮昮昮昮昮昮昮昮昮昮昮昮昮昮昮昮昮昮昮昮昮昮昮昮昮昮昮昮昮昮昮昮昮昮昮昮昮昮昮昮昮昮昮昮昮昮昮昮昮昮昮昮昮昮昮昮昮昮昮昮昮昮昮昮昮昮昮昮昮昮昮昮昮昮昮昮昮昮昮昮昮昮昮昮昮昮昮昮昮樸素做法時的改進

2、 昮滿分做法晼晼改進后的樸素算法時與樸素算法晁相結(jié)合4Spelnks4昱1題目大意給定一棵N 個結(jié)點的樹，樹的每個結(jié)點上都有一個字符。定義P ath昨X, Y 昩等于從結(jié)點X到結(jié)點Y 的最短路徑所經(jīng)過的結(jié)點上的字符順次連接起來形成的字符串。給定長度為M 的母P串S，定義Occur昨X, Y 昩為字符串Path昨X, Y 昩在母串S中出現(xiàn)的次數(shù)。求N, M 昱昰5，時間限制昱昸秒。Occur昨X, Y 昩昮1X,Y N2預(yù)備知識限于篇幅原因，這部分內(nèi)容只是為了告訴讀者晜有這么一個算法可以高效解決某個問題昢。 如果想知體的晜這個算法的原理是什么昢，請參考其他資料。2.1后綴自某個串的后綴自是一個能

3、且僅能識別該串所有后綴的自。存在一種O昨N 昩的算法構(gòu)建后綴自。建好某母串S的后綴自后，可以在O昨Len昨T 昩昩的時間內(nèi)查詢某個串T 在母串S中的出現(xiàn)次數(shù)，并且，在串T 末尾新增一個字符并獲得新的出現(xiàn)次數(shù)只需要O昨昱昩時間。2.2后綴樹某個串的后綴樹是該串的所有后綴組成的晴晲晩晥樹。 利用壓縮路徑表示，存在一種O昨N 昩的算法構(gòu)建后綴樹。3算法這道題的做法時間復(fù)雜度是O昨昨N 昫 M 昩N 晬景晧 N 昩，且十分復(fù)雜。 這里給出一種時間復(fù)雜度優(yōu)于做法，常數(shù)小于做法，且更加簡潔優(yōu)美的新做法。不妨先一些樸素的做法。3.1樸素做法A由預(yù)備知識，可以發(fā)現(xiàn)， 建立了母串S的后綴自后， 只需從某個根結(jié)點

4、出發(fā)晄晆曉一遍，即可O昨N 昩獲得從這個根結(jié)點出發(fā)到其內(nèi)各個孩子所串在母串中出現(xiàn)的枚舉所有根結(jié)點并進行晄晆曉，那么就可以在O昨N 2昩的復(fù)雜度內(nèi)解決本問次數(shù)。如果題。昲3.2樸素做法B任意兩個結(jié)點X昬Y 都必然有一個最近公共祖先。點Z的結(jié)點對昨X, Y 昩的Occur次數(shù)之和?？紤]所有最近公共祖先是某個結(jié)顯然，Path昨X, Y 昩 昽 Path昨X, Z昩昫 Path昨Z, Y 昩昮 考慮結(jié)點Z對應(yīng)的字符在母串S中匹配的位置。那么，Path昨Z, Y 昩顯然在母串S的該位置匹配，Path昨Z, X昩必定在母串S的逆序串的該位置對應(yīng)位置匹配。 因此，如果能統(tǒng)計出母串S的各個位置能匹配多少個Pa

5、th昨Z, Y 昩，以及母串S的逆序串Srev在各個位置能匹配多少個Path昨Z, X昩，那么只需把對應(yīng)位置的匹配數(shù)目相乘，然后求和即是不妨定義F 昨Z昩 昽。PPOccur昨Path昨X, Z昩昫 Path昨Z, Y 昩昩，那么所XZ的Y Z的P求的以Z為根的的就是Ans昨Z昩 昽 F 昨Z昩 F 昨X昩，也就是所有鏈對的出XZ的直接孩子現(xiàn)次數(shù)和減去最近公共祖先不在Z的所有鏈對的出現(xiàn)次數(shù)和。函數(shù)F 的計算可以使用剛才的方法。建立母串S的后綴樹和母串S的逆序下各個結(jié)點在兩棵后綴樹上對應(yīng)到達的位串Srev的后綴樹，然后從Z結(jié)點出發(fā)晄晆曉一遍，置O昨N 昩。 然后對兩棵后綴樹均晄晆曉一遍，把標記推

6、下去到葉子結(jié)點（對應(yīng)著匹配的后綴在串中位置）O昨M 昩，從而得到串中的每個位置開始各能匹配多少個Z出發(fā)的串，然后把對應(yīng)位置的匹配數(shù)目相乘并求和，即可求出F 昨Z昩的值。要減掉的那部分看似要計算Deg昨Z昩次F 函數(shù)，但實際上所有結(jié)點的孩子的個數(shù)之和顯然是N 昱，因此實際會被均攤掉而不影響復(fù)雜度。這個做法的復(fù)雜度是O昨N 昫 M 昩每個Z結(jié)點。如果 直接枚舉所有的Z結(jié)點并求出Ans昨Z昩的和，那么總復(fù)雜度是O昨N 2 昫 MN 昩的。3.3樸素做法B的改進發(fā)現(xiàn)，樸素做法時的總復(fù)雜度可以得到小小的優(yōu)化。 做法時中的N 2準確實際上，的說， 應(yīng)該是各個大小的和。 而這是一棵無根樹， 因此，考慮用點分

7、治對這棵樹進行分治。 選取樹的重心作為根結(jié)點進行分治的話，不會影響上面的計算，但可以保證分治的各個的大小的和是O昨N 晬景晧 N 昩級別的，因此總復(fù)雜度被優(yōu)化到了O昨N 晬景晧 N 昫 MN 昩。3.4滿分做法改進后的樸素算法B與樸素算法A相結(jié)合有了上面點分治的改進后，的O昨M 昩。 而這個復(fù)雜度難以優(yōu)化。發(fā)現(xiàn)，時間復(fù)雜度的瓶頸已經(jīng)變成了每次晄晆曉后綴樹發(fā)現(xiàn)，計算Ans昨Z昩的復(fù)雜度不管Z的有多大都始終是O昨M 昩，這對于較小的顯然很浪費。 而樸素算法晁的復(fù)雜度正好是與M 無關(guān)的，始終是大小的平方。于是產(chǎn)生了一個想法，如果分治得到的足夠小了，就不妨把任務(wù)交給樸素算法晁來做，這樣顯然比用樸素算法

8、時劃算很多。昳不妨假設(shè)樹大小不超過某個值曉時使用樸素算法晁。因為選取重心作為根結(jié)點進行點分治，所以可以保證，每次分治得到的最大連續(xù)進行了K輪分治，那么最大的大小不會超過原大大小不會超過 N 。 因小的一半。不妨假設(shè)2KN此，當分治得到的最大N大小不超過S時，最多進行了b晬景晧c輪分治，總共分治次數(shù)S是昲blog S c 昽 O昨N 昩次。S因此得到了一個重要結(jié)論： 只需分治O昨N 昩次，就可保證分治出的最大的的大小S顯然不超過O昨N 昩個，因此是O昨S昩級別的，而這些使用樸素算法晁解決這些的時S2N間復(fù)雜度不超過O昨S 昩 O昨 昩 昽 O昨NS昩。 而每次分治需要求一次函數(shù)來計算跨根結(jié)點的AnsS，復(fù)雜度不超過O昨 昩O昨M 昩昫O昨N 晬景晧 N 昩 昽 O昨昫N 晬景晧 N 昩。 為了使總復(fù)雜度最小，NNMSS應(yīng)當選擇S 昽 M ，此時總復(fù)雜度不超過O昨N M 昩昫 O昨M M 昩 昽