經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)（第六版）第4章導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用

1、經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué) （第六版）1第1章函數(shù)2第2章極限與連續(xù)3第3章導(dǎo)數(shù)與微分4第4章導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用5第5章不定積分6第6章定積分目錄CONTENTS7第7章多元函數(shù)的微積分CHAPTER04第4章導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用如果沒有一些數(shù)學(xué)知識(shí),那么就是對(duì)最簡(jiǎn)單的自然現(xiàn)象也很難理解,而要對(duì)自然的奧秘作更深入的探索,就必須同時(shí)地發(fā)展數(shù)學(xué)。J.W.A.Young01學(xué)習(xí)目標(biāo)知識(shí)目標(biāo)了解函數(shù)的極值與最大(小)值、函數(shù)的凹性以及拐點(diǎn)的概念.0102掌握應(yīng)用羅必達(dá)法則求未定型極限,掌握討論函數(shù)單調(diào)性、凹性及極值的方法,并能利用Mathematica軟件求函數(shù)的極值；能利用導(dǎo)數(shù)對(duì)經(jīng)濟(jì)問題作邊際分析、彈性分析及解決經(jīng)濟(jì)活動(dòng)中的優(yōu)化問題.

2、03弘揚(yáng)社會(huì)主義核心價(jià)值觀，培養(yǎng)學(xué)生不怕困難、勇敢面對(duì)挫折的樂觀精神.技能目標(biāo)素養(yǎng)目標(biāo)04PART4.1羅必達(dá)法則點(diǎn)擊添加文本點(diǎn)擊添加文本點(diǎn)擊添加文本點(diǎn)擊添加文本在開始接觸函數(shù)的極限時(shí),我們第一個(gè)碰到的重要極限是lim(x0) sinx/x=1當(dāng)x0時(shí),分子sin x、分母x都趨向于零,我們記這種極限的形式為“0/0”型(兩個(gè)無(wú)窮小量之比),如:這三個(gè)極限形式都是“0/0”型.點(diǎn)擊添加文本點(diǎn)擊添加文本點(diǎn)擊添加文本點(diǎn)擊添加文本定理4-1(LHospital法則)設(shè)函數(shù)f(x)和g(x)在點(diǎn)x0的某一鄰域內(nèi)(點(diǎn)x0可除外)有定義,且滿足下列條件:(1)lim(xx0 ) f(x)=0,lim(xx

3、0 ) g(x)=0;(2)f(x)和g(x)都存在,且g(x)0;(3)lim(xx0 )(f(x)/(g(x)存在(或?yàn)?.則:lim(xx0 )(f(x)/(g(x)=lim(xx0)(f(x)/(g(x)(或?yàn)?.0/0 型未定式4. 1. 1點(diǎn)擊添加文本點(diǎn)擊添加文本點(diǎn)擊添加文本點(diǎn)擊添加文本【例4-1】求極限lim(x0) sinax/sinbx .解:lim(x0) sinax/sinbx=lim(x0) (sinax)/(sinbx)=lim(x0) acosax/bcosbx=a/b.【例4-2】求極限lim(x0) (cosx-1)/sinx.解:lim(x0) (cosx-1

4、)/sinx=lim(x0) (cosx-1)/(sinx)=lim(x0) (-sinx)/cosx=0.0/0 型未定式4. 1. 1點(diǎn)擊添加文本點(diǎn)擊添加文本點(diǎn)擊添加文本點(diǎn)擊添加文本定理4-2(LHospital法則)設(shè)函數(shù)f(x)和g(x)在點(diǎn)x0的某一鄰域內(nèi)(點(diǎn)x0可除外)有定義,且滿足下列條件:(1)lim(xx0)f(x)=,lim(xx0 )g(x)=;(2)f(x)和g(x)都存在,且g(x)0;(3)lim(xx0 ) f(x)/g(x)存在(或?yàn)?.則:lim(xx0) f(x)/g(x)=lim(xx0) f(x)/g(x)(或?yàn)?./型未定式4. 1. 2點(diǎn)擊添加文本點(diǎn)

5、擊添加文本點(diǎn)擊添加文本點(diǎn)擊添加文本/型未定式4. 1. 2【例4-5】求極限lim(x+) lnx/xn (n0).解:lim(x+) lnx/xn =lim(x+) (lnx)/(xn)=lim(x+) (1/x)/(nx(n-1) )=lim(x+) 1/(nxn )=0.【例4-6】求極限lim(x) x/ex .解:lim(x+) x/ex =lim(x+) (x)/(ex )=lim(x+) 1/ex =0.【例4-7】求極限lim(x) (x2-3x+2)/(2x2+2x+1).解:lim(x) (x2-3x+2)/(2x2+2x+1)=lim(x) (2x-3)/(4x+2)=l

6、im(x) 2/4=1/2 .點(diǎn)擊添加文本點(diǎn)擊添加文本點(diǎn)擊添加文本點(diǎn)擊添加文本當(dāng)xx0(或x)時(shí),還可能出現(xiàn)0型、-型、1型、00型、0型等,對(duì)于這類未定型的極限可以化為0/0型或/型的極限來(lái)計(jì)算.【例4-8】求極限lim(x0+ ) x ln x.解:這是一個(gè)0型的極限,不能直接使用羅必達(dá)法則,但我們可以通過對(duì)函數(shù)的變形將它轉(zhuǎn)化為/型的極限,然后再使用羅必達(dá)法則.其他未定式4. 1. 3點(diǎn)擊添加文本點(diǎn)擊添加文本點(diǎn)擊添加文本點(diǎn)擊添加文本【例4-9】求極限 .解:這是一個(gè)-型的極限,也不能直接使用羅必達(dá)法則,通過通分將它轉(zhuǎn)化為0/0型的極限,然后再使用羅必達(dá)法則.其他未定式4. 1. 3點(diǎn)擊添加

7、文本點(diǎn)擊添加文本點(diǎn)擊添加文本點(diǎn)擊添加文本【例4-10】求極限 .解:這是一個(gè)00型的未定型極限,注意到xx是一個(gè)冪指函數(shù),設(shè)y=xx,兩邊取對(duì)數(shù)得ln y=xln x.當(dāng)x0+時(shí),右端是0型的極限.由例4-8可得lim(x0+ ) ln y=lim(x0+ ) x ln x=0,所以:其他未定式4. 1. 304PART4.2函數(shù)的單調(diào)性點(diǎn)擊添加文本點(diǎn)擊添加文本點(diǎn)擊添加文本點(diǎn)擊添加文本我們先來(lái)看一個(gè)實(shí)際問題.假設(shè)某生產(chǎn)商每月銷售MP3播放器獲得的利潤(rùn)可由函數(shù)L(x)=400(5-x)(x-2)表示,其中x為每臺(tái)MP3播放器的售價(jià).圖4-1是利潤(rùn)函數(shù)L(x)的圖形,從中可看出一個(gè)最優(yōu)的銷售價(jià)格x

8、,此時(shí)該生產(chǎn)商可獲得最大收益.從幾何上看,這個(gè)最優(yōu)價(jià)格x對(duì)應(yīng)的是該圖形的頂點(diǎn).點(diǎn)擊添加文本點(diǎn)擊添加文本點(diǎn)擊添加文本點(diǎn)擊添加文本定理4-3設(shè)函數(shù)y=f(x)在a,b上連續(xù),在(a,b)內(nèi)可導(dǎo),那么:注意:如果f(x)0,只要在a,b內(nèi)使f(x)=0的x是個(gè)別點(diǎn),上述結(jié)論仍成立.0201定理4-303如果在(a,b)內(nèi)f(x)0,則函數(shù)y=f(x)在a,b上單調(diào)增加;如果在(a,b)內(nèi)f(x)=0,則函數(shù)y=f(x)在a,b內(nèi)是常數(shù),即f(x)=C(C為常數(shù)).點(diǎn)擊添加文本點(diǎn)擊添加文本點(diǎn)擊添加文本點(diǎn)擊添加文本【例4-11】判定函數(shù)y=x-sin x在0,2上的單調(diào)性.解:y=1-cos x0,x(

9、0, 2),所以,函數(shù)y=x-sin x在0, 2上單調(diào)增加.由于在(-,+)上,y=1-cos x0,使y=0的點(diǎn)是個(gè)別點(diǎn),因此在(-,+)上函數(shù)y=x-sin x是單調(diào)增加的.【例4-12】討論函數(shù)y=ex-x-1的單調(diào)性.解:函數(shù)y=ex-x-1的定義域是(-,+),并且y=ex-1,而y的符號(hào)取決于x的取值,顯然x=0是導(dǎo)數(shù)符號(hào)的一個(gè)分界點(diǎn).我們將函數(shù)的單調(diào)性通過表4-1表示出來(lái):04PART4.3函數(shù)的極值與最大(小)值點(diǎn)擊添加文本點(diǎn)擊添加文本點(diǎn)擊添加文本點(diǎn)擊添加文本在討論函數(shù)的單調(diào)性時(shí),我們發(fā)現(xiàn),如果函數(shù)從單調(diào)增加變化到單調(diào)減少,一定會(huì)經(jīng)過某一類點(diǎn),而這一類點(diǎn)實(shí)際上就是使函數(shù)單調(diào)性

10、發(fā)生變化的分界點(diǎn)(如例4-13中的點(diǎn)x=-2和x=1).這樣的點(diǎn)在實(shí)際問題中有著很重要的意義,也正是我們要引入的函數(shù)極值的概念.點(diǎn)擊添加文本點(diǎn)擊添加文本點(diǎn)擊添加文本點(diǎn)擊添加文本1) 極值的定義定義4-1設(shè)函數(shù)f(x)在點(diǎn)x0的某鄰域內(nèi)有定義,且對(duì)此鄰域內(nèi)的任意一點(diǎn)x(xx0),均有f(x)f(x0)成立,則稱f(x0)是函數(shù)f(x)的一個(gè)極小值.極大值、極小值統(tǒng)稱為極值,使函數(shù)f(x)取得極值的點(diǎn)稱為極值點(diǎn).函數(shù)的極值4.3.1點(diǎn)擊添加文本點(diǎn)擊添加文本點(diǎn)擊添加文本點(diǎn)擊添加文本1) 極值的定義如圖4-2所示,函數(shù)f(x)有兩個(gè)極大值f(x2),f(x4),三個(gè)極小值f(x1),f(x3),f(x

11、5),但這并不意味著f(x2)或f(x1)是函數(shù)f(x)在定義域中的最大值或最小值,而只是對(duì)xi附近局部范圍來(lái)說(shuō)的,如圖4-2所示的函數(shù)f(x),其極小值f(x5)甚至比極大值f(x2)大.函數(shù)的極值4.3.1點(diǎn)擊添加文本點(diǎn)擊添加文本點(diǎn)擊添加文本點(diǎn)擊添加文本2) 極值的必要條件定理4-4設(shè)函數(shù)f(x)在點(diǎn)x0處具有導(dǎo)數(shù),且在點(diǎn)x0處取得極值,則f(x0)=0.通常稱使函數(shù)f(x)的導(dǎo)數(shù)值為零的點(diǎn)為駐點(diǎn).即若f(x0)=0,則x0為駐點(diǎn).因此,可導(dǎo)函數(shù)的極值點(diǎn)必定是它的駐點(diǎn),但是函數(shù)的駐點(diǎn)卻不一定是它的極值點(diǎn).例如,對(duì)函數(shù)f(x)=x3而言,點(diǎn)x0=0是它的駐點(diǎn).但是在定義域(-,+)內(nèi)函數(shù)是單

12、調(diào)增加的,即在點(diǎn)x0=0的某個(gè)鄰域內(nèi)既有大于f(0)=0的值,又有小于f(0)=0的值,所以點(diǎn)x0=0不是它的極值點(diǎn),可見函數(shù)的駐點(diǎn)只是可能的極值點(diǎn).此外,函數(shù)在它的導(dǎo)數(shù)不存在的點(diǎn)處也可能取得極值.例如,我們知道函數(shù)f(x)=|x|在點(diǎn)x=0處的導(dǎo)數(shù)是不存在的,但是在該點(diǎn)取得極小值.由此可知,對(duì)于連續(xù)函數(shù),可能成為函數(shù)極值點(diǎn)的,一定是函數(shù)的駐點(diǎn)與導(dǎo)數(shù)不存在的點(diǎn),我們把它叫做極值可疑點(diǎn).那么如何判定極值可疑點(diǎn)是否為極值點(diǎn)呢?函數(shù)的極值4.3.1點(diǎn)擊添加文本點(diǎn)擊添加文本點(diǎn)擊添加文本點(diǎn)擊添加文本3) 極值的判別法定理4-5(第一充分條件)設(shè)函數(shù)f(x)在點(diǎn)x0的某鄰域內(nèi)連續(xù)并且可導(dǎo)(導(dǎo)數(shù)f(x0)也

13、可以不存在):函數(shù)的極值4.3.101若x(x0-,x0)時(shí),f(x)0,而x(x0,x0+)時(shí),f(x)0,則f(x)在點(diǎn)x0處取得極大值;02若x(x0-,x0)時(shí),f(x)0,則f(x)在點(diǎn)x0處取得極小值;03若x(x0-,x0)和(x0,x0+)時(shí),導(dǎo)數(shù)f(x)的符號(hào)不變,則函數(shù)f(x)在點(diǎn)x0處沒有極值.點(diǎn)擊添加文本點(diǎn)擊添加文本點(diǎn)擊添加文本點(diǎn)擊添加文本函數(shù)的極值4.3.1【例4-15】求函數(shù)f(x)=2x3+3x2-12x-7的極值.解:函數(shù)f(x)=2x3+3x2-12x-7的定義域是(-,+),并且f(x)=6x2+6x-12=6(x+2)(x-1),令f(x)=0,得極值可疑

14、點(diǎn)為x=-2和x=1.列表討論如表4-4所示(判別它們是否為極值點(diǎn)的過程).所以, 函數(shù)在x=-2處取得極大值f(-2)=13, 在x=1處取得極小值f(1)=-14.函數(shù)圖形如圖4-3所示.點(diǎn)擊添加文本點(diǎn)擊添加文本點(diǎn)擊添加文本點(diǎn)擊添加文本定理4-6(第二充分條件)設(shè)函數(shù)f(x)在點(diǎn)x0處具有二階導(dǎo)數(shù),且f(x0)=0,f(x0)0,那么(1)當(dāng)f(x0)0時(shí),函數(shù)f(x)在點(diǎn)x0處取得極小值.定理4-6告訴我們,如果函數(shù)f(x)在駐點(diǎn)x0處的二階導(dǎo)數(shù)f(x0)0,那么該駐點(diǎn)x0一定是極值點(diǎn),并可按f(x0)的符號(hào)來(lái)判定f(x0)是極大值還是極小值,但當(dāng)f(x0)=0時(shí),該方法就失效.這時(shí)f(

15、x0)=0,f(x0)=0,x0處可能有極值,可能無(wú)極值,可用定理4-5來(lái)判別.函數(shù)的極值4.3.1點(diǎn)擊添加文本點(diǎn)擊添加文本點(diǎn)擊添加文本點(diǎn)擊添加文本函數(shù)的極值4.3.1【例4-17】求函數(shù)f(x)=x2(x4-3x2+3)的極值.解:函數(shù)f(x)=x2(x4-3x2+3)的定義域?yàn)?-,+),且二階導(dǎo)數(shù)存在.f(x)=2x(x4-3x2+3)+x2(4x3-6x)=6x(x2-1)2f(x)=6(x2-1)2+6x2(x2-1)2x=6(x2-1)(5x2-1)點(diǎn)擊添加文本點(diǎn)擊添加文本點(diǎn)擊添加文本點(diǎn)擊添加文本在第2章中我們?cè)?jīng)指出,閉區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)一定存在最大值和最小值.與極值概念不同的是,

16、極值是一個(gè)局部性的概念,而最大值(或最小值)是全局性的概念.最大值(或最小值)是函數(shù)在所考察的區(qū)間內(nèi)全部函數(shù)值中的最大者(或最小者),而極值只是函數(shù)在極值點(diǎn)的某個(gè)鄰域內(nèi)的最大值或最小值.一般地,函數(shù)在給定的區(qū)間上的最大值與最小值可能在區(qū)間內(nèi)部的點(diǎn)處取得,也可能在區(qū)間的端點(diǎn)處取得.如果函數(shù)的最大值與最小值是在區(qū)間內(nèi)部的點(diǎn)處取得,那么這個(gè)最大值(或最小值)一定也是極大值(或極小值).因此,對(duì)于在給定區(qū)間上的函數(shù),可直接求出極值可疑點(diǎn)(駐點(diǎn)和導(dǎo)數(shù)不存在的點(diǎn))及區(qū)間端點(diǎn)處的函數(shù)值,比較這些數(shù)值的大小,即可求出函數(shù)的最大值與最小值.函數(shù)的最大(小)值4.3.2點(diǎn)擊添加文本點(diǎn)擊添加文本點(diǎn)擊添加文本點(diǎn)擊添加

17、文本【例4-18】求函數(shù)f(x)=2x3+3x2-12x+14在-3,4上的最大值和最小值.解:f(x)=6x2+6x-12=6(x+2)(x-1),令f(x)=0,得x1=1,x2=-2.由于f(1)=7,f(-2)=34,f(4)=142,f(-3)=23,因此函數(shù)f(x)在區(qū)間-3,4上的最大值為f(4)=142,最小值為f(1)=7.函數(shù)的最大(小)值4.3.2點(diǎn)擊添加文本點(diǎn)擊添加文本點(diǎn)擊添加文本點(diǎn)擊添加文本對(duì)于最大值和最小值有兩個(gè)特殊情況:(1)如果函數(shù)f(x)在a,b上單調(diào)增加,則f(a)就是f(x)在a,b上的最小值,f(b)就是f(x)在a,b上的最大值;如果函數(shù)f(x)在a,

18、b上單調(diào)減少,則f(a)就是f(x)在a,b上的最大值,f(b)就是f(x)在a,b上的最小值.(2)如果連續(xù)函數(shù)在區(qū)間(a,b)內(nèi)僅有一個(gè)極大值,而沒有極小值,則此極大值就是函數(shù)在區(qū)間a,b上的最大值;如果連續(xù)函數(shù)在區(qū)間(a,b)內(nèi)僅有一個(gè)極小值,而沒有極大值,則此極小值就是函數(shù)在區(qū)間a,b上的最小值.很多實(shí)際問題中的最大值和最小值,就是屬于這種類型.函數(shù)的最大(小)值4.3.204PART4.4函數(shù)的凹性與拐點(diǎn)點(diǎn)擊添加文本點(diǎn)擊添加文本點(diǎn)擊添加文本點(diǎn)擊添加文本考察曲線弧(如圖4-6所示),圖4-6(a)中的兩條曲線所表示的函數(shù)都是單調(diào)增加函數(shù),而圖4-6(b)中的兩條曲線所表示的都是單調(diào)減少

19、函數(shù),但是從我們的視覺上講,圖中的兩條曲線弧有明顯的不同:位于上側(cè)的兩條曲線給我們向上凸起的感覺,而位于下側(cè)的兩條曲線則給我們向下凹陷的感覺.我們把前者稱為凸曲線,后者稱為凹曲線.函數(shù)的凹性4.4.1點(diǎn)擊添加文本點(diǎn)擊添加文本點(diǎn)擊添加文本點(diǎn)擊添加文本定義4-2在某個(gè)區(qū)間內(nèi),若曲線弧位于其上每一點(diǎn)處切線的上方,則稱此曲線弧在該區(qū)間內(nèi)是凹的(或稱為上凹);若曲線弧位于其上每一點(diǎn)處切線的下方,則稱此曲線弧在該區(qū)間內(nèi)是凸的(或稱為下凹)(如圖4-7所示).函數(shù)的凹性4.4.1點(diǎn)擊添加文本點(diǎn)擊添加文本點(diǎn)擊添加文本點(diǎn)擊添加文本定理4-7設(shè)函數(shù)f(x)在區(qū)間(a,b)內(nèi)具有二階導(dǎo)數(shù),則在該區(qū)間內(nèi):(1)當(dāng)f(

20、x)0時(shí),曲線弧y=f(x)是凹的;(2)當(dāng)f(x)0時(shí),曲線弧y=f(x)是凸的.【例4-20】討論函數(shù)y=x3的凹凸性.解:定義域(-,+),y=3x2,y=6x,凹凸性列表討論如表4-6所示.由上述討論可知,函數(shù)y=x3在區(qū)間(-,0)內(nèi)是凸的,而在區(qū)間(0,+)內(nèi)是凹的.函數(shù)的凹性4.4.1點(diǎn)擊添加文本點(diǎn)擊添加文本點(diǎn)擊添加文本點(diǎn)擊添加文本拐點(diǎn)4.4.2【例4-20】中,在函數(shù)y=x3的曲線上,存在一個(gè)凹、凸區(qū)間的分界點(diǎn),這樣的點(diǎn)對(duì)研究函數(shù)的性態(tài)也是很重要的,由此我們給出下面的定義:定義4-3連續(xù)曲線y=f(x)上凹弧與凸弧的分界點(diǎn)稱為曲線y=f(x)的拐點(diǎn).如【例4-20】中的(0,0

21、)是曲線y=x3的拐點(diǎn);而【例4-21】中的(0,0)卻不是曲線y=1/x的拐點(diǎn),因?yàn)楫?dāng)x=0時(shí)函數(shù)y=1/x不連續(xù).點(diǎn)擊添加文本點(diǎn)擊添加文本點(diǎn)擊添加文本點(diǎn)擊添加文本拐點(diǎn)4.4.2圖4-8直觀地描繪出曲線的凹凸區(qū)間與拐點(diǎn).根據(jù)曲線凹凸的判定法可知,函數(shù)y=f(x)在區(qū)間(a,b)內(nèi)具有二階導(dǎo)數(shù)f(x),并且f(x0)=0,如果f(x)在點(diǎn)(x0,f(x0)的左右兩側(cè)符號(hào)相反,則點(diǎn)(x0,f(x0)是曲線y=f(x)的拐點(diǎn).因此,二階可導(dǎo)函數(shù)的拐點(diǎn)的橫坐標(biāo)應(yīng)該在使得f(x)=0的點(diǎn)中去尋找.但對(duì)于二階導(dǎo)數(shù)不存在的點(diǎn),在曲線上相應(yīng)的點(diǎn)也可能是曲線的拐點(diǎn),如圖4-8中(x*,f(x*)就是這樣一個(gè)點(diǎn)

22、.點(diǎn)擊添加文本點(diǎn)擊添加文本點(diǎn)擊添加文本點(diǎn)擊添加文本拐點(diǎn)4.4.2一般地,判定曲線y=f(x)的凹凸性與拐點(diǎn)的步驟如下:(1)求出函數(shù)y=f(x)的定義域,求出一階導(dǎo)數(shù)f(x)、二階導(dǎo)數(shù)f(x);A(2)求出所有滿足方程f(x)=0的點(diǎn)及二階導(dǎo)數(shù)不存在的點(diǎn);B(3)以(2)中找出的全部點(diǎn),把函數(shù)的定義域分成若干部分區(qū)間,然后考察二階導(dǎo)數(shù)在各部分區(qū)間的符號(hào),從而判定曲線在各部分區(qū)間的凹凸性及拐點(diǎn).C點(diǎn)擊添加文本點(diǎn)擊添加文本點(diǎn)擊添加文本點(diǎn)擊添加文本拐點(diǎn)4.4.2【例4-22】討論曲線y=x4-2x3+1的凹凸性與拐點(diǎn).解:定義域(-,+),y=4x3-6x2,y=12x2-12x=12x(x-1),

23、令y=0,得x=0,x=1.曲線的凹凸性及拐點(diǎn)列表討論如表4-8所示。04PART4.5導(dǎo)數(shù)在經(jīng)濟(jì)中的應(yīng)用點(diǎn)擊添加文本點(diǎn)擊添加文本點(diǎn)擊添加文本點(diǎn)擊添加文本1) 邊際分析在第1章中,我們介紹了幾個(gè)經(jīng)濟(jì)中常用的函數(shù):成本函數(shù)C(Q):給出生產(chǎn)Q單位產(chǎn)品的總成本.收益函數(shù)R(Q):給出銷售Q單位產(chǎn)品的總收益.利潤(rùn)函數(shù)L(Q)=R(Q)-C(Q):給出生產(chǎn)Q單位產(chǎn)品并全部銷售出去后的總利潤(rùn).這三個(gè)函數(shù)中的自變量Q只能取非負(fù)整數(shù),但對(duì)現(xiàn)代企業(yè)而言,產(chǎn)品的生產(chǎn)、銷售數(shù)量是一個(gè)很大的數(shù)目,一個(gè)單位的產(chǎn)品就顯得是一個(gè)微不足道的量.因此經(jīng)濟(jì)學(xué)家通常假設(shè)以上三個(gè)函數(shù)為定義在非負(fù)實(shí)數(shù)集上的可導(dǎo)函數(shù).導(dǎo)數(shù)的概念在經(jīng)濟(jì)

24、中的應(yīng)用4.5.1點(diǎn)擊添加文本點(diǎn)擊添加文本點(diǎn)擊添加文本點(diǎn)擊添加文本【例4-24】設(shè)某企業(yè)生產(chǎn)一種產(chǎn)品,每天的總利潤(rùn)L(x)(元)與產(chǎn)量x(噸)之間的函數(shù)關(guān)系為L(zhǎng)(x)=250 x-5x2,試求x=10,x=25和x=30時(shí)的邊際利潤(rùn).解:邊際利潤(rùn)為L(zhǎng)(x)=250-10 x.當(dāng)x=10時(shí),L(10)=250-10 x=150(元).其經(jīng)濟(jì)意義是:當(dāng)每天的生產(chǎn)水平在10噸時(shí),再多生產(chǎn)1噸,總利潤(rùn)將增加150元.當(dāng)x=25時(shí),L(25)=250-10 x=0(元).其經(jīng)濟(jì)意義是:當(dāng)每天的生產(chǎn)水平在25噸時(shí),再多生產(chǎn)1噸,總利潤(rùn)幾乎沒有變化,即這1噸的產(chǎn)量并沒有產(chǎn)生利潤(rùn).當(dāng)x=30時(shí),L(30)=2

25、50-10 x=-50(元).其經(jīng)濟(jì)意義是:當(dāng)每天的生產(chǎn)水平在30噸時(shí),再多生產(chǎn)1噸,總利潤(rùn)將減少50元.本例說(shuō)明:并非生產(chǎn)的產(chǎn)品數(shù)量越多,利潤(rùn)就越高.導(dǎo)數(shù)的概念在經(jīng)濟(jì)中的應(yīng)用4.5.1點(diǎn)擊添加文本點(diǎn)擊添加文本點(diǎn)擊添加文本點(diǎn)擊添加文本2) 彈性分析(1)函數(shù)的彈性。前面我們討論了函數(shù)的絕對(duì)變化率.在經(jīng)濟(jì)領(lǐng)域里,經(jīng)濟(jì)學(xué)家還要關(guān)心相對(duì)改變量和相對(duì)變化率.例如,商品甲的單位價(jià)格是500元,漲價(jià)100元;商品乙的單位價(jià)格是10 000元,漲價(jià)100元.此時(shí),兩種商品價(jià)格的絕對(duì)改變量都是100元,但二者漲價(jià)的百分比有很大的差異,商品甲漲了20%,而商品乙漲了1%.反映在數(shù)學(xué)上,需要引入函數(shù)的相對(duì)改變量與

26、相對(duì)變化率.導(dǎo)數(shù)的概念在經(jīng)濟(jì)中的應(yīng)用4.5.1點(diǎn)擊添加文本點(diǎn)擊添加文本點(diǎn)擊添加文本點(diǎn)擊添加文本定義4-4設(shè)函數(shù)y=f(x)可導(dǎo),函數(shù)的相對(duì)改變量自變量的相對(duì)改變量x/x之比,當(dāng)x0時(shí)的極限稱為函數(shù)y=f(x)的彈性函數(shù),記做Ey/Ex.一般地,有:導(dǎo)數(shù)的概念在經(jīng)濟(jì)中的應(yīng)用4.5.1點(diǎn)擊添加文本點(diǎn)擊添加文本點(diǎn)擊添加文本點(diǎn)擊添加文本2) 彈性分析(2)需求彈性。在市場(chǎng)經(jīng)濟(jì)中,經(jīng)常要分析一個(gè)經(jīng)濟(jì)量對(duì)另一個(gè)經(jīng)濟(jì)量相對(duì)變化的靈敏程度,這就是經(jīng)濟(jì)量的彈性.一般來(lái)說(shuō),商品的需求量對(duì)市場(chǎng)價(jià)格的反應(yīng)是很靈敏的,反映當(dāng)商品價(jià)格變動(dòng)時(shí)需求量變動(dòng)的強(qiáng)弱程度的量就是需求彈性.設(shè)需求函數(shù)Q=f(P),這里P表示產(chǎn)品的價(jià)格

27、,記該商品在點(diǎn)P0處的需求彈性或需求彈性系數(shù)為: 記需求彈性函數(shù)為:在經(jīng)濟(jì)上表示,當(dāng)產(chǎn)品的價(jià)格為P時(shí),價(jià)格變動(dòng)1%,需求量將變化%.導(dǎo)數(shù)的概念在經(jīng)濟(jì)中的應(yīng)用4.5.1點(diǎn)擊添加文本點(diǎn)擊添加文本點(diǎn)擊添加文本點(diǎn)擊添加文本2) 彈性分析(3)用需求彈性分析總收益的變化。由于總收益R=PQ=Pf(P),所以:導(dǎo)數(shù)的概念在經(jīng)濟(jì)中的應(yīng)用4.5.1點(diǎn)擊添加文本點(diǎn)擊添加文本點(diǎn)擊添加文本點(diǎn)擊添加文本由此我們可以得到下面的結(jié)論:若|0,R單調(diào)增加,即價(jià)格上漲,總收益增加;價(jià)格下跌,總收益減少.若|1,需求變動(dòng)的幅度大于價(jià)格變動(dòng)的幅度.此時(shí)R0),此時(shí) ,所以Q=4時(shí)有極小值.又因?yàn)閮H有一個(gè)極值點(diǎn),所以當(dāng)生產(chǎn)水平達(dá)到

28、4時(shí),平均成本最小.極值在經(jīng)濟(jì)中的應(yīng)用4.5.2點(diǎn)擊添加文本點(diǎn)擊添加文本點(diǎn)擊添加文本點(diǎn)擊添加文本1) 最小平均成本(2)邊際成本C(Q)=6Q+1,由C(Q)=C(Q),即3Q+1+48/Q=6Q+1,解得Q=4.即當(dāng)生產(chǎn)水平為4時(shí),單位產(chǎn)品的平均成本等于邊際成本.(3)畫出平均成本和邊際成本的圖形如圖4-14所示.由此我們可以得到以下結(jié)論:當(dāng)邊際成本小于平均成本時(shí),平均成本遞減;當(dāng)邊際成本大于平均成本時(shí),平均成本遞增.極值在經(jīng)濟(jì)中的應(yīng)用4.5.2點(diǎn)擊添加文本點(diǎn)擊添加文本點(diǎn)擊添加文本點(diǎn)擊添加文本【例4-28】某公司生產(chǎn)數(shù)量為Q的某種商品,每件產(chǎn)品的平均成本由下式給出:a(Q)=0.01Q2-0

29、.6Q+13(1)生產(chǎn)Q件產(chǎn)品的總成本是多少?(2)最小邊際成本是多少?(3)生產(chǎn)水平為多少時(shí),平均成本最小?最小值是多少?(4)計(jì)算Q=30時(shí)的邊際成本.將答案與(3)比較,二者有何關(guān)系?分析并定性解釋上述關(guān)系.極值在經(jīng)濟(jì)中的應(yīng)用4.5.2點(diǎn)擊添加文本點(diǎn)擊添加文本點(diǎn)擊添加文本點(diǎn)擊添加文本2) 最大利潤(rùn)設(shè)某產(chǎn)品的成本函數(shù)為C(Q),收益函數(shù)為R(Q),則利潤(rùn)函數(shù)為L(zhǎng)(Q)=R(Q)-C(Q).若L(Q)可導(dǎo),則在其極值點(diǎn)處應(yīng)有:L(Q)=R(Q)-C(Q)=0即R(Q)=C(Q)為使L(Q)取得極大值,還應(yīng)滿足L(Q)=R(Q)-C(Q)0,即R(Q)C(Q).我們將 稱為利潤(rùn)最大化原則.即當(dāng)

30、邊際收益等于邊際成本,并且邊際收益的變化率小于邊際成本的變化率時(shí)利潤(rùn)取得最大值.極值在經(jīng)濟(jì)中的應(yīng)用4.5.2點(diǎn)擊添加文本點(diǎn)擊添加文本點(diǎn)擊添加文本點(diǎn)擊添加文本極值在經(jīng)濟(jì)中的應(yīng)用4.5.2【例4-29】設(shè)某商店以每件10元的進(jìn)價(jià)購(gòu)進(jìn)一批襯衫,已知這種襯衫的需求函數(shù)為Q=80-2P(其中,Q為需求量,單位為件,P為銷售價(jià)格,單位為元).問該商店應(yīng)將售價(jià)定為多少元,才能獲得最大利潤(rùn)?最大利潤(rùn)為多少?解:設(shè)總利潤(rùn)函數(shù)為L(zhǎng),總收益函數(shù)為R,總成本函數(shù)為C,所以:L=L(P)=R(P)-C(P)總收益函數(shù)R(P)=PQ=P(80-2P)=80P-2P2,邊際收益為R(P)=80-4P.總成本函數(shù)C(P)=1

31、0Q=10(80-2P)=800-20P,邊際成本為C(P)=-20.由利潤(rùn)最大化原則,R(P)=C(P),即80-4P=-20,得P=25.又因?yàn)镽(25)=-4,C(25)=0,即R(25)C(25),又因?yàn)閮H有一個(gè)極大值點(diǎn),所以當(dāng)P=25時(shí),利潤(rùn)最大.L(P)=80P-2P2-(800-20P)=100P-2P2-800最大利潤(rùn)為:L(25)=10025-2252-800=450(元)點(diǎn)擊添加文本點(diǎn)擊添加文本點(diǎn)擊添加文本點(diǎn)擊添加文本3) 最優(yōu)批量倉(cāng)儲(chǔ)原料或貨物對(duì)于企業(yè)、商業(yè)流通各部門都是不可少的.存儲(chǔ)過多,則會(huì)導(dǎo)致占用流動(dòng)資金過多、倉(cāng)儲(chǔ)費(fèi)用增多等問題;而存儲(chǔ)過少,則會(huì)導(dǎo)致進(jìn)貨批次增多從而增加了訂貨費(fèi)