大一高數(shù)復(fù)習(xí)資料

1、高等數(shù)學(xué)期末復(fù)習(xí)資料第1頁(yè)(共9頁(yè))高等數(shù)學(xué)期末復(fù)習(xí)資料第1頁(yè)(共9頁(yè))高等數(shù)學(xué)(本科少學(xué)時(shí)類型)第一章函數(shù)與極限第一節(jié)函數(shù)O函數(shù)基礎(chǔ)(高中函數(shù)部分相關(guān)知識(shí))()O鄰域(去心鄰域)()_U(a,Ix-a鄰域(去心鄰U(a,8)=lxU(a,)=x10 x-a第二節(jié)數(shù)列的極限O數(shù)列極限的證明,()【題型示例】已知數(shù)列人，證明limx=annxTg【證明示例】s-N語(yǔ)言()由x-as化簡(jiǎn)得ng(s),N=|_g(s)即對(duì)Vs0,N=g(s)。當(dāng)nN時(shí)，始終有不等式x-as成立，limr=anxTg第三節(jié)函數(shù)的極限OxTx0時(shí)函數(shù)極限的證明()【題型示例】已知函數(shù)fO，證明limf(x)=AxTx0

2、【證明示例】語(yǔ)言1由If(x)-Al=g(s)2.即對(duì)Vs0,=g(s),當(dāng)0f(x)-A|s成立,=A8化簡(jiǎn)得0 x-g時(shí),始終有不等式limf(x)x-x0OxTg時(shí)函數(shù)極限的證明()()【題型示例】已知函數(shù)f(x)，證明limf(x)=AxTg【證明示例】X語(yǔ)言1由f(x)-A|8化簡(jiǎn)得|XgI)2.即對(duì)Vs0,XgG),當(dāng)xx時(shí)的無(wú)窮小；0 xTg3.由定理可知limf(x)g(x)=0 xTx0(limf(x)g(x)=0)xTg第五節(jié)極限運(yùn)算法則O極限的四則運(yùn)算法則()(定理一)加減法則(定理二)乘除法則()關(guān)于多項(xiàng)式P(x)、q(x)商式的極限運(yùn)算pW=axm+axm-1+a設(shè)：

3、5()01mq匕丿=bxn+bxn-1+b01ngnmlimxTx0特別地，HO05g0g(x)”00g(x)=0,f(x)”000g(x)=f(x)=000當(dāng)lim不定型)時(shí)，通常分子分母約去公因式即約去可去間斷點(diǎn)便可求解出極限值，也可以用羅比達(dá)法則求解)【題型示例】求值limxT3高等數(shù)學(xué)期末復(fù)習(xí)資料第 頁(yè)（共9頁(yè)）高等數(shù)學(xué)期末復(fù)習(xí)資料第 頁(yè)（共9頁(yè)）【求解示例】解：因?yàn)閄3,從而可得x豐3,所以原式limx3limx3x一3(x+3)(x-3)limx3解：lim”2x+3x+1x“2x+1丿limx“”2x+1+2x+1”lim”1+2x+1“2x+1其中x3為函數(shù)數(shù),x）=三|的可去

4、間斷點(diǎn)倘若運(yùn)用羅比達(dá)法則求解（詳見(jiàn)第三章第二節(jié)）”lim”1+2x+1“2I22x+12x+1丿(x+1)lim2x+1二?(x+1)解：limx3(x-3)-口lim丄x32x”lim”1+2x+1“l(fā)imI2x+1(x+1)e2x+i2x+1-O連續(xù)函數(shù)穿越定理，（復(fù)合函數(shù)的極限求解）（）（定理五）若函數(shù)fG）是定義域上的連續(xù)函數(shù)，那么，limfp,x）flimQ（x）|xx0【題型示例】求值：limx3【求解示例】limx3xx0 x3x2一9第六節(jié)極限存在準(zhǔn)則及兩個(gè)重要極限O夾迫準(zhǔn)則(P53)()sinxlim1x0 x第一個(gè)重要極限：sinxsmxxtanxlim1x0 xx1lim

5、limx0sinxx0sinxlimxx0“sin(x一x)(特別地，lim1)xxx一xxx00lim1x01”sinxO單調(diào)有界收斂準(zhǔn)則(P57)()”1x第二個(gè)重要極限：lim1+-ex“x丿(一般地，lim0)題型示例】求值：limx求解示例】第七節(jié)無(wú)窮小量的階（無(wú)窮小的比較）O等價(jià)無(wú)窮?。ǎ︰sinUtanUarcsinUarctanUln（1+U）（eU1）2.U21一cosU2（乘除可替，加減不行）,）【題型示例求值：limln&+x）+xln&+x）x0求解示例】x2+3x解:因?yàn)閤0,即x豐0,所以原式limln+x)+xln+x)x0丄fx2+3xG+x)lnG+x)G+x

6、)xx+11lim,)lim,丫lim=-x0 xVx+3x0 xVx+3x0 x+33第八節(jié)函數(shù)的連續(xù)性O(shè)函數(shù)連續(xù)的定義()limf,x)=limf,x)=f,x)0 xx一xx+O間斷點(diǎn)的分類(P67)()跳越間斷點(diǎn)(不等)第一類間斷點(diǎn)(左右極限存在)可去間斷點(diǎn)(相等)第二類間斷喘二無(wú)窮間斷點(diǎn)（極限為）（特別地，可去間斷點(diǎn)能在分式中約去相應(yīng)公因式）e2xx0【題型示例】設(shè)函數(shù)f6）擇數(shù)a，使得fG）成為在R上的連續(xù)函數(shù)？求解示例】f（0-）=e2o-=e1=eG+）a+0+=a1.Vf(0)=a高等數(shù)學(xué)期末復(fù)習(xí)資料第 #頁(yè)（共9頁(yè)）高等數(shù)學(xué)期末復(fù)習(xí)資料第 #頁(yè)（共9頁(yè)）2.由連續(xù)函數(shù)定義l

7、imf(x)=limf(x)=f(0)=ex0+x0一高等數(shù)學(xué)期末復(fù)習(xí)資料第 頁(yè)（共9頁(yè)）高等數(shù)學(xué)期末復(fù)習(xí)資料第 頁(yè)（共9頁(yè)）第九節(jié)閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)O零點(diǎn)定理（）【題型示例】證明：方程f（x）=g（x）+C至少有一個(gè)根【題型示例】求函數(shù)f-1（x）的導(dǎo)數(shù)【求解示例】由題可得fG）為直接函數(shù)，其在定于域D介于a與b之間證明示例】（建立輔助函數(shù)）函數(shù)（x）=f（x）g（x）C在閉區(qū)間a,b上連續(xù)；T（a）（b）0（端點(diǎn)異號(hào)）由零點(diǎn)定理，在開(kāi)區(qū)間C,b）內(nèi)至少有一點(diǎn)g，使得匕），0,即f（g）-g（g）-C，0（0g1）這等式說(shuō)明方程f（x）=g（x）+C在開(kāi)區(qū)間（a,b）內(nèi)至少有一個(gè)根g上單

8、調(diào)、可導(dǎo)，且fd0；”f11f(x)O復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則（）【題型示例】設(shè)y,lnearcsinx2-1+；x2+a2求解示例】解：y，arcsinx2-1+arcsinx2-1+arcsinx2一1earcsin)1+a2丿+a2)+a2)+第二章導(dǎo)數(shù)與微分第一節(jié)導(dǎo)數(shù)概念O高等數(shù)學(xué)中導(dǎo)數(shù)的定義及幾何意義（P83）（）【題型示例】已知函數(shù)f（x），%+1,x-0在x，00arcsin+處可導(dǎo)，求a,b【求解示例】arcsinx2-1+earcsin丿earcsin2：x2+a21.ff(0)，e0，1J-廣(0)=a2.由函數(shù)可導(dǎo)定義f(0-)，e0-+1,eo+1，2f(0+)，bf(0)，

9、e0+1，2廣(0)，f：(0)，a，1f(0-)，f(0+)，f(0)，b，2a，1,b，2【題型示例】求y，fG）在x，a處的切線與法線方程（或：過(guò)y，fG）圖像上點(diǎn)a,f（a）“處的切線與法線方程）求解示例】yr，fC切線方程yI，fQ一f(a)，f(a)(x-a法線方程：y-f(a)，-f(a)(x-a)第二節(jié)函數(shù)的和（差）、積與商的求導(dǎo)法則O函數(shù)和（差）、積與商的求導(dǎo)法則（）線性組合（定理一）：（-u土v），-u+v特別地，當(dāng)-，卩，1時(shí)，有（u土v）=u土v函數(shù)積的求導(dǎo)法則（定理二）：（uv），uv+uv3.函數(shù)商的求導(dǎo)法則（定理三）：u,uv-uvJv丿v2第三節(jié)反函數(shù)和復(fù)合函數(shù)

10、的求導(dǎo)法則O反函數(shù)的求導(dǎo)法則（）第四節(jié)高階導(dǎo)數(shù)Of(n)(x)，”f(n-1)(x)“(或如,d(-1)y“)()”dxn”dx(n-1)J【題型示例】求函數(shù)y，lnG+x)的n階導(dǎo)數(shù)【求解示例】y，(1+xA，1+xy=”(1+x】“=(-1)(1+x2，y，(-1)(1+x)-2“，(-1)(-2)(1+x)-3y（n），（-1）n1（n-1）!（1+x）-n第五節(jié)隱函數(shù)及參數(shù)方程型函數(shù)的導(dǎo)數(shù)O隱函數(shù)的求導(dǎo)（等式兩邊對(duì)x求導(dǎo)）（）【題型示例】試求：方程y，x+ey所給定的曲線C：y，yO在點(diǎn)G-e,1）的切線方程與法線方程【求解示例】由y，x+ey兩邊對(duì)x求導(dǎo)即y，x+Cy）化簡(jiǎn)得y，1+

11、eyy11:y=1-ei1-e切線方程：y一1，C一1+e）1-e=0高等數(shù)學(xué)期末復(fù)習(xí)資料第 #頁(yè)（共9頁(yè)）=0高等數(shù)學(xué)期末復(fù)習(xí)資料第 頁(yè)（共9頁(yè)）題型示例】設(shè)參數(shù)方程法線方程：y-1-（L-eXx-1,e）O參數(shù)方程型函數(shù)的求導(dǎo)）X）d2y），求h-y丫vdx2x0，函數(shù)f（x）在閉區(qū)間0,x“上連續(xù)，在開(kāi)區(qū)間（0,”）上可導(dǎo)，并且f（x）=；1,x2.由拉格朗日中值定理可得，-0,x“使得等式=0高等數(shù)學(xué)期末復(fù)習(xí)資料第 #頁(yè)（共9頁(yè)）=0高等數(shù)學(xué)期末復(fù)習(xí)資料第 #頁(yè)（共9頁(yè)）求解示例】dyyr(t)dxC)dx2d2y0(t)第六節(jié)變化率問(wèn)題舉例及相關(guān)變化率（不作要求）第七節(jié)函數(shù)的微分O基

12、本初等函數(shù)微分公式與微分運(yùn)算法則（）dy廣6丿dx第三章中值定理與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用第一節(jié)中值定理O引理（費(fèi)馬引理）（）O羅爾定理（）【題型示例】現(xiàn)假設(shè)函數(shù)f（X）在o,”“上連續(xù)，在（0,上可導(dǎo)，試證明：-（0,”）,使得f（）cos，廣G）sin0成立ln(1+x)ln(1+0)=(x0)成立，1，化簡(jiǎn)得ln(1+x)=x，又J0,x“，1，f(g)二1ln(1,x)1時(shí)，exex第二節(jié)羅比達(dá)法則O運(yùn)用羅比達(dá)法則進(jìn)行極限運(yùn)算的基本步驟（）等價(jià)無(wú)窮小的替換（以簡(jiǎn)化運(yùn)算）判斷極限不定型的所屬類型及是否滿足運(yùn)用羅比達(dá)法則的三個(gè)前提條件A.屬于兩大基本不定型（0,-）且滿足條件,0=0高等數(shù)學(xué)期末復(fù)習(xí)資料

13、第 頁(yè)（共9頁(yè)）=0高等數(shù)學(xué)期末復(fù)習(xí)資料第 頁(yè)（共9頁(yè)）證明示例】（建立輔助函數(shù)）令（x）=f（x）sinx顯然函數(shù)（x）在閉區(qū)間0,”“上連續(xù)，在開(kāi)區(qū)間（0,”）上可導(dǎo)；又J（0）=f（0）sin0=0（”）=f（”）sin”=0即（0）=（”）=0：由羅爾定理知-（0,”）,使得f（）cos，廣G）sin=0成立O拉格朗日中值定理（）【題型示例】證明不等式：當(dāng)x1時(shí)，exex證明示例】（建立輔助函數(shù)）令函數(shù)f（x）=ex，則對(duì)x1，顯然函數(shù)f（x）在閉區(qū)間h,x“上連續(xù)，在開(kāi)區(qū)間（1,x）上可導(dǎo)，并且廣（x）=ex；由拉格朗日中值定理可得，-!,x“使得等式ex-ei=（x-1）eE成立，

14、又/ege1，ex-e1（x-1）e1=ex-e，則進(jìn)行運(yùn)算：limxTa=limxTa（再進(jìn)行1、2步驟，反復(fù)直到結(jié)果得出）B.不屬于兩大基本不定型（轉(zhuǎn)化為基本不定型）0型（轉(zhuǎn)乘為除，構(gòu)造分式）題型示例】求值求解示例】解：limxalnx=xT0=-丄limxa=0axT0limxT0limxalnxxT0平=limLxt0=limxT0 xa1xaxa-1x2a(一般地，limxa(lnx)卩xT0-型（通分構(gòu)造分式，觀察分母）題型示例】求值：limxt0k1sinx解：lim111=limx-sinx、=limex,即證得：當(dāng)x1時(shí)，exex【題型示例】證明不等式：當(dāng)x0時(shí)，ln（1,x

15、）0時(shí)，exX+1證明示例】12(構(gòu)建輔助函數(shù))設(shè)9(x)eX-x1，(x0)0(x)=ex-10，(x0)Q(x)Q(0)=0既證：當(dāng)X0時(shí)，eXx+1I當(dāng)X0時(shí)，ln(1+x)0)0(X)=-10)1+Xp(X)0時(shí)，ln(1+X,XO連續(xù)函數(shù)凹凸性（）【題型示例】試討論函數(shù)y1+3X2-X3的單調(diào)性、極值、凹凸性及拐點(diǎn)證明示例】高等數(shù)學(xué)期末復(fù)習(xí)資料第 頁(yè)(共9頁(yè))高等數(shù)學(xué)期末復(fù)習(xí)資料第 頁(yè)（共9頁(yè)）1y，-3x(x一2)0y，-6(x-1)0解得:3.(四仃表)x(-8,0)0(0,1)1(1,2)2(2,+8)y，0+0-y”+yJ1(1,3)52.4.函數(shù)y1+3x2-x3單調(diào)遞增區(qū)

16、間為(0,1),(1,2)單調(diào)遞增區(qū)間為(0),(2,+8)；”x,xMM1M則函數(shù)f(x)Mmax”f(a),xM1MOf(x)“處有極大M,M2.令f(x)=3(x1)(x+1)=0，解得：x1=1,x=13(二仃表)厶x1(-1,1)1(1,3f(x)0+0f(x)極小值極大值【求解示例】1.V函數(shù)f(x)在其定義域-1,3上連續(xù)，且可導(dǎo).:f，(x)=-3x2+34.又f(-1)=-2,f(1)=2,f(3)=-18(xy，一3x2+6x一3x(x2)y-6x+6一6(x-1)函數(shù)y1+3x2-x3的極小值在x0時(shí)取到,為f(0)=1，極大值在x2時(shí)取到，為f(2)=5；函數(shù)y1+3x

17、2-x3在區(qū)間(-8,0),(0,1)上凹,在區(qū)間(1,2),(2,+8)上凸；函數(shù)y1+3x2-x3的拐點(diǎn)坐標(biāo)為(1，3)第五節(jié)函數(shù)的極值和最大、最小值O函數(shù)的極值與最值的關(guān)系()設(shè)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镈,如果x的某個(gè)鄰M域U(x)uD，使得對(duì)VxGU(x)，都適合不等式f(x)f(x)，我們則稱函數(shù)f在點(diǎn)x值f(x)；M令xG”x,x,xxM3Mn在閉區(qū)間La,b上的最大值M滿足：,x,xx,f(b)；M2M3Mn設(shè)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镈，如果x的某個(gè)鄰域mU(x)uD，使得對(duì)VxgU(x)，都適合不等式f(x)f(x)，m我們則稱函數(shù)f處有極小值TOC o 1-5 h zm,m1f匕

18、);令xG”x,x,xx嚴(yán)、m1m2m3丁mn則函數(shù)f(x)在閉區(qū)間-a,b上的最小值m滿足：mmin”f(a),x,x,xx,f(b)；【題型示例】求函數(shù)f(x)3xx3在-1,3上的最值.f(x)=f(1)=2,f(x)=f(3)=-18maxmin第六節(jié)函數(shù)圖形的描繪(不作要求)第七節(jié)曲率(不作要求)第八節(jié)方程的近似解(不作要求)第四章不定積分第一節(jié)不定積分的概念與性質(zhì)O原函數(shù)與不定積分的概念()原函數(shù)的概念：假設(shè)在定義區(qū)間I上,可導(dǎo)函數(shù)F(x)的導(dǎo)函數(shù)為F，xGI時(shí)，有F，(x)=f(x)或dF(x)=f(x)dx成立，則稱F(x)為f(x)的一個(gè)原函數(shù)原函數(shù)存在定理：()如果函數(shù)f(

19、x)在定義區(qū)間I上連續(xù)，則在I上必存在可導(dǎo)函數(shù)F(x)使得F，(x)=f(x)，也就是說(shuō)：連續(xù)函數(shù)一定存在原函數(shù)(可導(dǎo)必連續(xù))不定積分的概念()在定義區(qū)間I上,函數(shù)f(x)的帶有任意常數(shù)項(xiàng)C的原函數(shù)稱為f(x)在定義區(qū)間I上的不定積分，即表示為：Jf(x)dx=F(x)+C(J稱為積分號(hào)，f(x)稱為被積函數(shù)，f(x)dx稱為積分表達(dá)式，x則稱為積分變量)O基本積分表()f不定積分的線性性質(zhì)(分項(xiàng)積分公式)()Jkf(x)+kg(x)“dx=kJf(xx+kJg1-1212第二節(jié)換元積分法O第一類(dy=f心丿dx的逆向應(yīng)用)Jf(x)，(x)dx=Jf(x)d(x)【題型示例】求I一1dxa

20、2x2【求解示例】解J1dxI1a2x21dx11一1-dxAA2a,xA2Ia丿1丿(a丿x1x小arctanCaa【題型示例】求【求解示例】解JdxId（2x1）Jd（2x1）2x122x122x10）:f兒兒a2+x2:令xatant(一一t)，22ax于是tarctan，則原式可化為asect；a對(duì)于根號(hào)下平方差的形式（a0）:TOC o 1-5 h za2-x2:令xasint（一一t）,22第三節(jié)分部積分法O分部積分法（）設(shè)函數(shù)uf（x）,vg（x）具有連續(xù)導(dǎo)數(shù)，則其分部積分公式可表示為：Iudvuv-Jvdu分部積分法函數(shù)排序次序：“反、對(duì)、幕、三、指”O(jiān)運(yùn)用分部積分法計(jì)算不定積

21、分的基本步驟：遵照分部積分法函數(shù)排序次序?qū)Ρ环e函數(shù)排序；就近湊微分：（vdxdv）使用分部積分公式：Judvuvvdu展開(kāi)尾項(xiàng)IvduIvudx，判斷若Ivudx是容易求解的不定積分，則直接計(jì)算出答案（容易表示使用基本積分表、換元法與有理函數(shù)積分可以輕易求解出結(jié)果）；若Jvudx依舊是相當(dāng)復(fù)雜，無(wú)法通過(guò)a中方法求解的不定積分，則重復(fù)、，直至出現(xiàn)容易求解的不定積分；若重復(fù)過(guò)程中出現(xiàn)循環(huán)，則聯(lián)立方程求解，但是最后要注意添上常數(shù)C【求解示例】解:Jex-x2dxJ【題型示例】求Iexx2dxx2exdxIx2dexx2ex-1exd(x2)x2ex-2jx-exdxx2ex-21x-d(ex)x2e

22、x2xex+2Jexdxx2ex2xex+2ex+C【題型示例】求Iex-sinxdx高等數(shù)學(xué)期末復(fù)習(xí)資料第 #頁(yè)(共9頁(yè))高等數(shù)學(xué)期末復(fù)習(xí)資料第 #頁(yè)（共9頁(yè)）x于是tarcsin，則原式可化為acost；ab.Jx2-a2:令xasect(0t),2a于是tarccos，則原式可化為atant；x【題型示例】求1dx（一次根式）2x1【求解示例】JJ()解：ex-sinxdx-Jexd(cosx)-excosx+Jcosxdvex)-excosx+Iexcosxdx-excosx+1exd(sinx)-excosx+exsinx-1sinxd(ex)-excosx+exsinx-Jexsi

23、nxdx艮卩Jex-sinxdx一excosx+exsinx-1sinxdCx)高等數(shù)學(xué)期末復(fù)習(xí)資料第 頁(yè)(共9頁(yè))高等數(shù)學(xué)期末復(fù)習(xí)資料第 頁(yè)（共9頁(yè)）2-x2dx(三角換元)竺t+二sin2t2丿2【求解示例】解Idx“1”JtdtIdtt+C=P2x+1+C2x1x112-1t22【題型示例】求【求解示例】解J*a2一x2dx“一2“2)”a21cos2tdtI(1+cos2ti/t/arcsin*2adxacost+C(t+sintcost)+C.Iexsinxdxex（sinx-cosx）+C2第四節(jié)有理函數(shù)的不定積分O有理函數(shù)（）P（x）p（x）axm+axm-1+a設(shè)：-廣刁廣飛0

24、1mQ（x）q（x）bxnbxn-1b（）01n對(duì)于有理函數(shù)q），當(dāng)P（x）的次數(shù)小于Q（x）的P（x）（）次數(shù)時(shí)，有理函數(shù)是真分式；當(dāng)P（x）的次數(shù)小()P(x)大于Q(x丿的次數(shù)時(shí)，有理函數(shù)qO是假分式o有理函數(shù)(真分式)不定積分的求解思路()P(x)陽(yáng))將有理函數(shù)q(x)的分母Q(x丿分拆成兩個(gè)沒(méi)有公因式的多項(xiàng)式的乘積：其中一個(gè)多項(xiàng)式可以表示為一次因式(x-a)k；而另一個(gè)多項(xiàng)式可以表示為二次質(zhì)因式C2+px+q),(p2一4q0)；即：Q(x)Q(x).Q(x)12fn、一般地：mx+nmx+一dxkJbf(x)dx+kJbg(xx2aa121a(5)(積分區(qū)間的可加性)Jbf(x)dxJcf(x)dx+Jbf(x)dx若函數(shù)f(x)在積分區(qū)間la,b上滿足f(x)0，則Jbf(x)dx0；a(推論一)若函數(shù)f(x)、間a,b上滿足f(x)g(x)，則Jbf(x)dx中，(x)dx中(x)高等數(shù)學(xué)期末復(fù)習(xí)資料第 #頁(yè)(共9頁(yè))高等數(shù)學(xué)期末復(fù)習(xí)資料第 #頁(yè)（共9頁(yè)）Jx2J(x+1)x(x+1)+1Jf11J_dxJdxJIx-1+x+1x+1x+1丿JxdxJdx+Jdxx2一x+In(x+1)+Cx+12dx1【題型示例】求limx“0求解示例】第五節(jié)積分表的使用(不作要求)1解：limx“0e-12dtcosxx2dJ1e，t2dt0Jli