部分方法指數(shù)平滑法及其它

1、指數(shù)平滑法指數(shù)平滑法（Exponential Smoothing，ES）指數(shù)平滑法指數(shù)平滑法是(Robert G.Brown)所提出，(Robert G.Brown)認為時間序列的態(tài)勢具有穩(wěn)定性或規(guī)則性，所以時間序列可被合理地順勢推延；他認為最近的過去態(tài)勢，在某種程度上會持續(xù)到最近的未來，所以將較大的權(quán)數(shù)放在最近的資料。指數(shù)平滑法是生產(chǎn)中常用的法。也用于中短期經(jīng)濟發(fā)展趨勢預(yù)測，所有方法中，指數(shù)平滑是用得最多的一種。簡單的全期平均法是對時間數(shù)列的過去數(shù)據(jù)一個不漏地全部加以同等利用；移動平均法則不考慮較遠期的數(shù)據(jù)，并在移動平均法中給予近期資料更大的權(quán)重；而指數(shù)平滑法則兼容了全期平均和移動平均，不舍

2、棄過去的數(shù)據(jù)，但是僅給予逐漸減弱的影響程度，即隨著數(shù)據(jù)的遠離，賦予逐漸收斂為零的權(quán)數(shù)。也就是說指數(shù)平滑法是在移動平均法基礎(chǔ)上發(fā)展起來的一種時間序列分析法，它是通過計算指數(shù)平滑值，配合一定的時間序列模型對現(xiàn)象的未來進行。其原理是任一期的指數(shù)平滑值都是本期實際觀察值與前一期指數(shù)平滑值的平均。指數(shù)平滑法的基本公式指數(shù)平滑法的基本公式是：St=ayt+(1-a)St-1 式中，St-時間 t 的平滑值；yt-時間 t 的實際值；St-1-時間 t-1 的實際值；a-平滑常數(shù)，其取值范圍為0,1；由該公式可知：1.St 是 yt 和 St-1 的算數(shù)平均數(shù)，隨著a 取值的大小變化，決定 yt和 St-1

3、 對 St 的影響程度，當(dāng)a 取 1 時，St= yt；當(dāng) a 取 0 時，St= St-1。2.St 具有逐期追溯性質(zhì)，可探源至 St-t+1 為止，包括全部數(shù)據(jù)。其過程中，平滑常數(shù)以指數(shù)形式遞減，故稱之為指數(shù)平滑法。指數(shù)平滑常數(shù)取值。平滑常數(shù)決定了平滑水平以及對值與實際結(jié)果之間差異的響應(yīng)速度。平滑常數(shù)a 越接近于 1，遠期實際值對本期平滑值的下降越迅速；平滑常數(shù) a 越接近于 0，遠期實際值對本期平滑值影響程度的下降越緩慢。由此，當(dāng)時間數(shù)列相對平穩(wěn)時，可取較大的a；當(dāng)時間數(shù)列波動較大時，應(yīng)取較小的a，以不忽略遠期實際值的影響。生產(chǎn)內(nèi)涵的理解。中，平滑常數(shù)的值取決于產(chǎn)品本身和管理者對良好響應(yīng)

4、率3.盡管 St 包含有全期數(shù)據(jù)的影響，但實際計算時，僅需要兩個數(shù)值，即 yt和 St-1，再加上一個常數(shù) a，這就使指數(shù)滑動平均具逐期遞推性質(zhì)，從而給預(yù)測帶來了極大的方便。4.根據(jù)公式 S1=ay1+(1-a)S0，當(dāng)欲用指數(shù)平滑法時才開始收集數(shù)據(jù)，則不存在 y0。無從產(chǎn)生 S0，自然無法據(jù)指數(shù)平滑公式求出 S1，指數(shù)平滑法定義 S1為初始值。初始值的確定也是指數(shù)平滑過程的一個重要條件。如果能夠找到 y1 以前的歷史資料，那么，初始值 S1 的確定是不成問題的。數(shù)據(jù)較少時可用全期平均、移動平均法；數(shù)據(jù)較多時，可用最小二乘法。但不能使用指數(shù)平滑法本身確定初始值，因為數(shù)據(jù)必會枯竭。如果僅有從 y

5、1 開始的數(shù)據(jù)，那么確定初始值的方法有：1）取 S1 等于 y1；2）待積累若干數(shù)據(jù)后，取 S1 等于前面若干數(shù)據(jù)的簡單算術(shù)平均數(shù)，如：S1=（y1+ y2+y3）/3 等等。指數(shù)平滑的公式據(jù)平滑次數(shù)不同，指數(shù)平滑法分為：一次指數(shù)平滑法、二次指數(shù)平滑法和三次指數(shù)平滑法等。（一） 一次指數(shù)平滑當(dāng)時間數(shù)列無明顯的趨勢變化，可用一次指數(shù)平滑。其公式為：yt+1=ayt+(1-a)yt 式中，yt+1-t+1 期的yt-t 期的實際值；值，即本期（t 期）的平滑值St ；yt-t 期的值，即上期的平滑值St-1 。該公式又可以寫作：yt+1=yt+a(yt- yt)?？梢姡缕谥涤质潜酒谥蹬c以 a 為

6、折扣的本期實際值與值誤差之和。（二） 二次指數(shù)平滑二次指數(shù)平滑是對一次指數(shù)平滑的再平滑。它適用線性趨勢的時間數(shù)列。其公式為：yt+m=(2+am/(1-a)yt-(1+am/(1-a)yt=(2yt-yt)+m(yt-yt) a/(1-a)式中，yt= ayt-1+(1-a)yt-1顯然，二次指數(shù)平滑是一直線方程，其截距為：(2yt-yt)，斜率為：(yt-yt) a/(1-a),自變天數(shù)。量為（三） 三次指數(shù)平滑三次指數(shù)平滑是二次平滑基礎(chǔ)上的再平滑。其公式是：yt+m=(3yt-3yt+yt)+(6-5a)yt-(10-8a)yt+(4-3a)yt*am/2(1-a)2+ (yt-2yt+y

7、t)*a2m2/2(1-a)2式中，yt=ayt-1+(1-a)yt-1它們的基本都是：值是以前觀測值的和，且對不同的數(shù)據(jù)給予不同的權(quán)，新數(shù)據(jù)給較大的權(quán)，舊數(shù)據(jù)給較小的權(quán)。指數(shù)平滑法的趨勢調(diào)整一段時間內(nèi)收集到的數(shù)據(jù)所呈現(xiàn)的上升或下降趨勢將導(dǎo)致指數(shù)滯后于實際需求。通過趨勢調(diào)整，添加趨勢修正值，可以在一定程度上改進指數(shù)平滑預(yù)測結(jié)果。調(diào)整后的指數(shù)平滑法的公式為：包含趨勢(YITt)=新（Yt）+趨勢校正（Tt）進行趨勢調(diào)整的指數(shù)平滑有三個步驟：1、 利用前面介紹的方法計算第t 期的簡單指數(shù)平滑（Yt）；2、 計算趨勢。其公式為： Tt=(1-b)Tt-1+b(Yt-Yt-1)其中，Tt=第 t 期經(jīng)

8、過平滑的趨勢；Tt-1=第 t 期上期經(jīng)過平滑的趨勢；b=選擇的趨勢平滑系數(shù)；Yt=對第 t 期簡單指數(shù)平滑；Yt-1=對第 t 期上期簡單指數(shù)平滑。3、計算趨勢調(diào)整后的指數(shù)平滑值（YITt）。計算公式為：YITt=Yt+Tt。來http%95自/wiki/%E6%8C%87%E6%95%B0%E5%B9%B3%E6%BB%91%E6%B3一次指數(shù)平滑法(Single exponential smoothing)一次指數(shù)平滑法一次指數(shù)平滑法是指以最后的一個第一次指數(shù)平滑。如果為了使指數(shù)平滑值敏感地反映觀察值的變化，應(yīng)取較大值，如果所求指數(shù)平滑值是用來代表該時間序列的長期趨勢值，則應(yīng)取較小值。同

9、時，對于市場來說，還應(yīng)根據(jù)中長期趨勢變動和季節(jié)性變動情況的不同而取不同的說，應(yīng)按以下情況處理：值，一般來1.如果觀察值的長期趨勢變動接近穩(wěn)定的常數(shù)，應(yīng)取居中0.60.4)使觀察值在指數(shù)平滑中具有大小接近的權(quán)數(shù)；值(一般取2.如果觀察值呈現(xiàn)明顯的季節(jié)性變動時，則宜取較大的值(一般取0.6 一 0.9)，使近期觀察在指數(shù)平滑值中具有較大作用，從而使近期觀察值能迅速反映在未來的值中；3.如果觀察值的長期趨勢變動較緩慢，則宜取較小的 e 值(一般取 0.10.4)，使遠期觀察值的特征也能反映在指數(shù)平滑值中。在確定值時，還應(yīng)加以修正，在指數(shù)平滑值S，的基礎(chǔ)上再加一個趨勢值b，因而，原來指數(shù)平滑公式也應(yīng)加

10、一個b。一次指數(shù)平滑法是根據(jù)前期的實測數(shù)和未來時間趨勢的方法。數(shù)，以因子為權(quán)數(shù)，進行平均，來一次指數(shù)平滑法的計算公式一次指數(shù)平滑法計算公式為：yt + 1axt=+ (1 a)yt式中，xt時期 t 的實測值；yt時期 t 的值；a 平滑系數(shù)，又稱因子，取值范圍為 0a1。將的表達式逐次代入 yt + 1 中，展開整理后，得：從上式中可以看出，一次指數(shù)平滑法實際上是以 a(1 a)k 為權(quán)數(shù)的移動平均法。由于k 越大，a(1 a)k 越小，所以越是遠期的實測值對未來時期平滑值的影響就越小。在展開式中，最后一項 y1 為初始平滑值，在通常情況下可用最初幾個實測值的平均值來代替，或直接可用第 1

11、時期的實測值來代替。從上式可以看出，新值是根據(jù)誤差對原值進行修正得到的。a的大小表明了修正的幅度。a 值愈大，修正的幅度愈大，a 值愈小，修正的幅度愈小。 因此，a 值既代表了了模型修勻誤差的能力。模型對時間序列數(shù)據(jù)變化的反應(yīng)速度，又體現(xiàn)在實際應(yīng)用中，a 值是根據(jù)時間序列的變化特性來選取的。 若時間序列的波動不大，比較平穩(wěn)，則a 應(yīng)取小一些，如 0.1 0.3 ；若時間序列具有迅速且明顯的變動傾向， 則a 應(yīng)取大一些，如 0.6 0.9 。實質(zhì)上，aa 是一個經(jīng)驗數(shù)據(jù)，通過多個值進行試算比較而定，哪個a 值引起的誤差小，就采用哪個。一次指數(shù)平滑法的初值的確定有幾種方法1、取第一期的實際值為初值

12、；2、取最初幾期的平均值為初值。一次指數(shù)平滑法比較簡單，但也有問題。問題之一便是力圖找到最佳的值，以使均方差最小，這需要通過反復(fù)試驗確定。來http自/wiki/%E4%B8%80%E6%AC%A1%E6%8C%87%E6%95%B0%E5%B9%B3%E6%BB%91%E6%B3%95二次指數(shù)平滑法二次指數(shù)平滑法（Second exponential smoothing method）二次指數(shù)平滑法二次指數(shù)平滑法是對一次指數(shù)平滑值作再一次指數(shù)平滑的方法。它不能單獨地進行預(yù)測，必須與一次指數(shù)平滑法配合，建立的數(shù)學(xué)模型，然后運用數(shù)學(xué)模型確定值。一次移動平均法的兩個限制性二次移動平均法中也才存性二

13、次指數(shù)，平滑法只利用三個數(shù)據(jù)和一個值就可進行計算；在大多數(shù)情況下，一般更喜歡用線性二次指數(shù)平滑法作為方法。二次指數(shù)平滑法的計算線性二次指數(shù)平滑法的公式為：式中：分別為t 期和t1 期的二次指數(shù)平滑值；a 為平滑系數(shù)。在和已知的條件下，二次指數(shù)平滑法的模型為：T 為超前期數(shù)例 5：某地 1983 年至 1993 年財政入的資料如下，試用指數(shù)平滑法求解趨勢直線方程并1996 年的財政收入。計算過程及結(jié)果如下：年份t財政收入（元）a=0.9初始值為 23a=0.9初始值為 28.40198312928.40198423635.2434.56198534039.5239.02198644847.1546.3252.62198866261.1360.2