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1、習(xí)題課一、 重積分計(jì)算的基本方法 二、重積分計(jì)算的基本技巧 三、重積分的應(yīng)用 第九章 重積分的 計(jì)算 及應(yīng)用 一、重積分計(jì)算的基本方法1. 選擇合適的坐標(biāo)系使積分域多為坐標(biāo)面(線)圍成;被積函數(shù)用此坐標(biāo)表示簡(jiǎn)潔或變量分離.2. 選擇易計(jì)算的積分序積分域分塊要少, 累次積分易算為妙 .圖示法列不等式法(從內(nèi)到外: 面、線、點(diǎn))3. 掌握確定積分限的方法 累次積分法二、重積分計(jì)算的基本技巧分塊積分法利用對(duì)稱性1. 交換積分順序的方法2. 利用對(duì)稱性或重心公式簡(jiǎn)化計(jì)算3. 消去被積函數(shù)絕對(duì)值符號(hào)4. 利用重積分換元公式例1.計(jì)算積分其中D 由所圍成 .解:如圖所示連續(xù),所以其中為由例2. 計(jì)算三重積

2、分所圍成的立體。繞 z 軸旋轉(zhuǎn)一周所成的曲面與兩平面曲線解: 繞 z 軸旋轉(zhuǎn)所得 曲線旋轉(zhuǎn)面方程為 法1令法2令解：用極坐標(biāo)計(jì)算，（如圖） 例3. 計(jì)算積分解: (2) 計(jì)算利用廣義極坐標(biāo)(2) 積分域如圖:將D 分為添加輔助線利用對(duì)稱性 , 得解：其中 是由和球面拋物面所圍成。其中 是關(guān)于 的奇函數(shù), 同理例6.計(jì)算三重積分投影區(qū)域 ： 在柱面坐標(biāo)下： 例7. 計(jì)算二重積分其中D 是由曲所圍成的平面域 .解:其形心坐標(biāo)為:面積為:積分區(qū)域線形心坐標(biāo)例8. 計(jì)算三重積分解:利用形心坐標(biāo)(2)兩部分 說(shuō)明: 若不用對(duì)稱性, 需分塊積分以去掉絕對(duì)值符號(hào). 作輔助線將D 分成例10. 如圖所示交換下列二次積分的順序:解:例12.設(shè)函數(shù) f (x) 連續(xù)且恒大于零, 其中(1) 討論 F( t ) 在區(qū)間 ( 0, +) 內(nèi)的單調(diào)性; (2) 證明 t 0 時(shí), (03考研)解: (1) 因?yàn)?兩

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