力學量用算符表達

1、力學量用算符表達第1頁，共29頁，2022年，5月20日，14點22分，星期一18-10 勢壘貫穿（隧道效應）在經典力學中,若 ,粒子的 動能為正,它只能在 I 區(qū)中運動。即粒子運動 到勢壘左邊緣就被反射回去，不能穿過勢壘。OIIIIII求一個動量和能量已知的粒 子受到勢場的作用后，被散 射到各個方向去的幾率。在量子力學中,無論粒子能量是大于還是 小于 都有一定的幾率穿過勢壘，也有 一定的幾率被反射。我們下面只就 時，討論薛定諤方程的解。第2頁，共29頁，2022年，5月20日，14點22分，星期一勢壘的勢場分布寫為：在三個區(qū)間內波函數(shù)應遵從的 薛定諤方程分別為：OIIIIII定態(tài)薛定諤方程

2、的解又如何呢？第3頁，共29頁，2022年，5月20日，14點22分，星期一令：定態(tài)解的含時部分：三個區(qū)間的薛定諤方程化為：第4頁，共29頁，2022年，5月20日，14點22分，星期一若考慮粒子是從 I 區(qū)入射，在 I 區(qū)中有入射波 反射波；粒子從I區(qū)經過II區(qū)穿過勢壘到III 區(qū)， 在III區(qū)只有透射波。粒子在處的幾率要大 于在處出現(xiàn)的幾率。其解為：根據(jù)邊界條件：時、空異號 為右行波第5頁，共29頁，2022年，5月20日，14點22分，星期一求出解的形式畫于圖中。定義粒子穿過勢壘的貫穿系數(shù)：IIIIII隧道效應當 時，勢壘的寬度約50nm 以上時， 貫穿系數(shù)會小六個數(shù)量級以上。隧道效應在

3、 實際上已經沒有意義了。量子概念過渡到經典了。第6頁，共29頁，2022年，5月20日，14點22分，星期一 隧道效應和掃描隧道顯微鏡STM由于電子的隧道效應，金屬中的電子并不完全局限于 表面邊界之內，電子密度并不在表面邊界處突變?yōu)榱悖?而是在表面以外呈指數(shù)形式衰減，衰減長度約為1nm。只要將原子線度的極細探針 以及被研究物質的表面作為 兩個電極，當樣品與針尖的 距離非常接近時，它們的表 面電子云就可能重疊。若在樣品與針尖 之間加一微小電 壓Ub電子就會穿 過電極間的勢壘 形成隧道電流。隧道電流對針尖與樣品間的距離十分敏感。 若控制隧道電流不變，則探針在垂直于樣品 方向上的高度變化就能反映樣品

4、表面的起伏。Scanning tunneling microscopy第7頁，共29頁，2022年，5月20日，14點22分，星期一因為隧道電流對針尖與樣品間的距離十分敏感。 若控制針尖高度不變，通過隧道電流的變化可 得到表面電子態(tài)密度的分布；使人類第一次能夠實時地觀 測到單個原子在物質表面上 的排列狀態(tài)以及與表面電子 行為有關的性質。在表面科 學、材料科學和生命科學等 領域中有著重大的意義和廣 闊的應用前景?？諝庀禨TM工作示意圖樣品探針利用STM可以分辨表面上 原子的臺階、平臺和原子 陣列。可以直接繪出表面 的三維圖象第8頁，共29頁，2022年，5月20日，14點22分，星期一利用光學中

5、的受抑全反射理論，研制 成功光子掃描隧道顯微鏡（PSTM)。 1989年提出成象技術。 它可用于不導電樣品的觀察。STM樣品必須具有一定程度的導電性； 在恒流工作模式下有時對表面某些溝 槽不能準確探測。任何一種技術都有 其局限性。見FPCAI、ZLCAI、CAIUPS軟件。 量子圍欄和分子人。第9頁，共29頁，2022年，5月20日，14點22分，星期一例題：線性諧振子的定態(tài)薛定諤方程及解若選取線性諧振子平衡位置為坐標原點，并選取 其為勢能的零點，則線性諧振子的勢能表示為：m是粒子的質量，K是 諧振子的彈性系數(shù)。對經典諧振子 它是角頻率。線性諧振子的定態(tài)薛定諤方程為：它是變系數(shù)二階常微分方程，

6、可解。第10頁，共29頁，2022年，5月20日，14點22分，星期一引進無量綱參量 和方程化為：* 波函數(shù)在 時的漸近行為：方程化為：其漸近解為：因為諧振子是處于束縛態(tài)應舍棄 解。 所以有當 時第11頁，共29頁，2022年，5月20日，14點22分，星期一根據(jù)漸近行為方程解可寫為：上述厄米微分方程的解是個無窮級數(shù)。為了 保證束縛態(tài)邊界條件的成立，必須使這個級 數(shù)只包含有限項，其條件是：代入原方程應滿足：第12頁，共29頁，2022年，5月20日，14點22分，星期一* 得出滿足束縛邊界條件的級數(shù)解是：稱為厄米多項式。它的前幾個為：普遍表達式：第13頁，共29頁，2022年，5月20日，14

7、點22分，星期一* 能量本征值和零點能因為：所以線性諧振子的能級只能取分立值，能級間隔相等。線性諧振子基態(tài)能：第14頁，共29頁，2022年，5月20日，14點22分，星期一有關光被晶體散射的實驗， 證明在趨于絕對零度時，散 射光的強度趨于一確定值。 說明原子有零點振動存在。常壓下，溫度趨于零度附近，液態(tài)氦也不會 變成固體，具有顯著的零點能效應。實驗事實：* 能量本征函數(shù)和宇稱線性諧振子的定態(tài)波函數(shù)第15頁，共29頁，2022年，5月20日，14點22分，星期一線性諧振子波函數(shù)線性諧振子位置幾率密度第16頁，共29頁，2022年，5月20日，14點22分，星期一線性諧振子 n=11 時的幾率密

8、度分布在原點速度最大，停留時間短，粒子出現(xiàn)的 幾率??；在兩端速度為零，出現(xiàn)的幾率最大。 虛線是經典結果。第17頁，共29頁，2022年，5月20日，14點22分，星期一可見當n為偶數(shù)時，稱線性諧振子處于偶宇稱?？梢姰攏為奇數(shù)時，稱線性諧振子處于奇宇稱。隨量子數(shù)n增大，量子諧振子的幾率密度迅速 震蕩，其平均值與經典結果趨于符合。相似性 逐漸增大。在原點速度最大，停留時間短，粒 子出現(xiàn)的幾率?。辉趦啥怂俣葹榱?，出現(xiàn)的幾 率最大。第18頁，共29頁，2022年，5月20日，14點22分，星期一波函數(shù)的模方 代表粒子在 t 時刻 r 處的 幾率密度。波函數(shù)是幾率波，滿足波的疊加。18-11 量子力學的

9、基本假設量子體系的狀態(tài)由波函數(shù)完全描述?？捎^測的力學量對應一個線性厄米算符。力學量算符的本征值方程 中的本征值 對應該力學量的一切可 測量值。 第19頁，共29頁，2022年，5月20日，14點22分，星期一其展開系數(shù)的模方 就是在該態(tài) 中測量 到與算符 相應的本征態(tài) 其本征值的幾率。力學量算符的本征函數(shù) 構成完備正交系力學量的平均值：任何態(tài)函數(shù) 均可以用力學量算符的本征 函數(shù)系，或一組力學量完全集的共同本征 函數(shù)系來展開。例如：第20頁，共29頁，2022年，5月20日，14點22分，星期一函數(shù)隨時間的演化服從薛定諤波動方程對于全同粒子系的狀態(tài)，粒子的交換不改變 系統(tǒng)的狀態(tài)全同性原理。其中

10、是系統(tǒng)的哈密頓算符第21頁，共29頁，2022年，5月20日，14點22分，星期一除了位置和動量以外，其中一類以坐標為函數(shù) 的力學量，其量子力學所對應的算符形式不變。 如勢能 和作用力 。 力學量用算符表達經驗告訴我們，與經典力學量對應的量子力學 中的算符形式：另一類經典力學量是與動量有關，其量子力學 所對應的算符可用動量的對應關系得出，例如 動能算符的表達式：第22頁，共29頁，2022年，5月20日，14點22分，星期一角動量算符的表達式：第23頁，共29頁，2022年，5月20日，14點22分，星期一角動量算符的模方定義為：球坐標第24頁，共29頁，2022年，5月20日，14點22分，

11、星期一 本征值和本征函數(shù)是力學量A 取確定值 時的本征態(tài)稱上式為算符 的本征值方程。 是力學量A的一個本征值。由本征值方程解出的全部本征值 就是相應力學量的可能取值。當力學量算符 作用在波函數(shù) 上，其結果是 同一個函數(shù)乘以一個常量時： 第25頁，共29頁，2022年，5月20日，14點22分，星期一則稱本征值 是 重簡并的。稱 為簡并度簡并態(tài)的選擇不是唯一的。如果屬于本征值 的本征態(tài)不是一個，而是 個，即力學量A的本征方程為：矩陣代數(shù)中的厄米矩陣 矩陣代數(shù)中的本征矢 矩陣代數(shù)中的本征值 物理量算符微觀粒子的定態(tài)與定態(tài)對應的 物理量的確定值第26頁，共29頁，2022年，5月20日，14點22分

12、，星期一舉例：動量算符的本征值方程是式中 是動量算符的本征值，在直角坐標系下 為 均為實數(shù)。動量本征值方程的解：它就是 的單色平面波，在量子力 學中，平面波代表粒子有確定的動量、在 空間各處出現(xiàn)的幾率相同的狀態(tài)。第27頁，共29頁，2022年，5月20日，14點22分，星期一力學量算符必須是線性厄米算符。* 厄米算符的本征值必為實數(shù)。* 厄米算符的平均值必為實數(shù)。* 當出現(xiàn)簡并時，可以證明：總可以適當 地線性組合簡并態(tài)，使之彼此正交。線性厄米算符的性質：* 厄米算符的屬于不同本征值的本征函數(shù) 彼此正交。厄米算符第28頁，共29頁，2022年，5月20日，14點22分，星期一力學量的完全集、本征函數(shù)的完全性通常一個力學量 的本征值是簡并的,這時必