《代數(shù)方法》課程教學(xué)大綱

1、代數(shù)方法課程教學(xué)大綱一、課程說明 1、課程簡介代數(shù)方法是高等師范院校數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)專業(yè)的極為重要的選修課程，是為全國碩士研究生入學(xué)考試數(shù)學(xué)系各專業(yè)設(shè)置的課程 2、教學(xué)目標(biāo)要求 高等代數(shù)是數(shù)學(xué)專業(yè)的專業(yè)選修課，是高等代數(shù)的提高課程學(xué)生通過本課程的學(xué)習(xí)，要更進(jìn)一步系統(tǒng)掌握高等代數(shù)的基本理論、思想方法和解題技巧，能對問題的類型、解題思路和方法進(jìn)行歸納、總結(jié)，探索解題規(guī)律，做到舉一反三，觸類旁通，進(jìn)一步提高學(xué)生的數(shù)學(xué)修養(yǎng)、科學(xué)思維、邏輯推理能力，提高學(xué)生的理解和認(rèn)識問題的能力以及計(jì)算能力提高分析問題和解決問題的能力，為繼續(xù)深造和科研打下良好基礎(chǔ)。3、教學(xué)重點(diǎn)難點(diǎn)本課程的教學(xué)重點(diǎn)部分和難點(diǎn)部分為多項(xiàng)式、

2、矩陣、向量空間、線性變換4、考核方式 本課程為考查課，考試的形式閉卷，總分為100分,成績的合成平時占40分,期末占60分5、學(xué)時分配表 本課程安排一個學(xué)期講完,安排44學(xué)時，包括基本概念、多項(xiàng)式、行列式、線性方程組、矩陣、二次型，向量空間、線性變換、歐氏空間的全部內(nèi)容表1 課程學(xué)時分配表章次教學(xué)內(nèi)容理論課學(xué)時數(shù)實(shí)驗(yàn)（實(shí)踐）課學(xué)時數(shù)第一章多項(xiàng)式3第二章行列式5第三章線性方程組7第四章矩陣5第五章二次型5第六章向量空間5第七章線性變換5第九章歐氏空間5小計(jì)40總計(jì)40二、各部分教學(xué)綱要第一章 多項(xiàng)式（3學(xué)時）教學(xué)目標(biāo)掌握數(shù)域上的一元多項(xiàng)式的概念、運(yùn)算及多項(xiàng)式的次數(shù)定理掌握多項(xiàng)式的整除的概念和性質(zhì)

3、，理解和掌握帶余除法熟練掌握最大公因式的概念、性質(zhì)及求法，掌握互素的概念和性質(zhì)理解不可約多項(xiàng)式的概念及唯一分解定理理解掌握多項(xiàng)式的導(dǎo)數(shù)及重因式的概念，熟練掌握多項(xiàng)式有無重因式的判別法掌握多項(xiàng)式函數(shù)及多項(xiàng)式的根的概念及根的個數(shù)定理掌握復(fù)數(shù)域和實(shí)數(shù)域上的因式分解定理、代數(shù)基本定理等熟練掌握有理系數(shù)多項(xiàng)式的有理根的求法本章重點(diǎn)多項(xiàng)式的整除性、多項(xiàng)式的最大公因式、多項(xiàng)式的分解、多項(xiàng)式的根、復(fù)數(shù)域和實(shí)數(shù)域及有理數(shù)域上的多項(xiàng)式本章難點(diǎn)多項(xiàng)式的整除、多項(xiàng)式的最大公因式、多項(xiàng)式的分解、有理數(shù)域上的多項(xiàng)式教學(xué)內(nèi)容一元多項(xiàng)式的定義及運(yùn)算多項(xiàng)式的整除概念及性質(zhì)，帶余除法最大公因式的概念、性質(zhì)、輾轉(zhuǎn)相除法及互素的概念

4、及性質(zhì)不可約多項(xiàng)式及唯一分解定理重因式的概念及多項(xiàng)式有重因式的充要條件多項(xiàng)式函數(shù)及多項(xiàng)式的根的概念及余式定理、綜合除法、因式定理、根的個數(shù)定理復(fù)數(shù)域和實(shí)數(shù)域上多項(xiàng)式的因式分解定理有理數(shù)域上多項(xiàng)式的可約性及有理根，其中有：本原多項(xiàng)式、高斯引理、愛森斯坦因判別法、有理根的求法 第二章行列式（5學(xué)時）教學(xué)目標(biāo)熟練準(zhǔn)確計(jì)算二、三階行列式；了解排列、反序的概念，會求一個排列的反序數(shù)；熟練掌握階行列式的概念，會利用階行列式的概念計(jì)算特殊類型的階行列式；會確定行列式的某一項(xiàng)的符號；掌握行列式的基本性質(zhì)，會利用行列式的性質(zhì)和按行（列）展開定理計(jì)算行列式；5掌握克拉默法則本章重點(diǎn)1熟練正確的計(jì)算二、三階行列式；

5、2用定義計(jì)算一些特殊形式的階行列式， 如上（下）三角行列式，零元素較多的行列式；3利用行列式的性質(zhì)和按行（列）展開定理計(jì)算行列式本章難點(diǎn)對階行列式的概念的理解，階行列式的計(jì)算方法和技巧教學(xué)內(nèi)容二階三階行列式的結(jié)構(gòu)排列及性質(zhì)階行列式的定義和性質(zhì)行列式的依行依列展開定理行列式的計(jì)算基本題型與典型例題?？巳R姆法則線性方程組（7學(xué)時）教學(xué)目標(biāo)1.熟練運(yùn)用初等變換解線性方程組；2. 理解和掌握向量空間的定義及性質(zhì),理解和熟練掌握向量的線性組合、線性相關(guān)和線性無關(guān)的概念； 熟練掌握有關(guān)向量線性相關(guān)性的幾個重要結(jié)論3理解和掌握矩陣的秩的概念，能熟練地用矩陣地初等變換求矩陣的秩；4熟練掌握線性方程組有解的判別

6、定理及應(yīng)用；5掌握線性方程組解的結(jié)構(gòu)；6掌握齊次線性方程組有非零解的充要條件本章重點(diǎn)1. 變換解線性方程組；2. 線性相關(guān)性的判斷與應(yīng)用；3矩陣的秩的概念、應(yīng)用初等變換求矩陣的秩的方法；4線性方程組有解的判別定理及應(yīng)用；5線性方程組的公式解，解的結(jié)構(gòu)；6齊次線性方程組有非零解的充要條件本章難點(diǎn)1.線性相關(guān)性的判斷與應(yīng)用；2.運(yùn)用初等變換解線性方程組教學(xué)內(nèi)容1. 消元法解線性方程組2. n維向量空間的定義3. 向量的線性組合、線性相關(guān)和線性無關(guān)定義，判別4. 矩陣的秩等價定義和求法5. 線性方程組有解判定定理6.線性方程組解的結(jié)構(gòu)第四章 矩陣（5學(xué)時）教學(xué)目標(biāo)掌握矩陣的加法、數(shù)乘、乘法、轉(zhuǎn)置及其

7、運(yùn)算規(guī)律掌握逆矩陣的概念、矩陣可逆的判別法掌握矩陣乘積的行列式及秩的定理掌握初等矩陣的概念初等矩陣與初等變換的關(guān)系以及用初等變換求逆矩陣的理論和方法理解分塊矩陣的定義及運(yùn)算本章重點(diǎn)1矩陣的加法、數(shù)乘、乘法、轉(zhuǎn)置及其運(yùn)算律；2逆矩陣的概念、矩陣可逆的判別法、及可逆矩陣的逆矩陣的求法；3矩陣乘積的行列式及秩的定理；4初等矩陣的概念及初等矩陣與初等變換的關(guān)系本章難點(diǎn)1. 矩陣乘法其運(yùn)算律；2. 矩陣可逆的判別法、及可逆矩陣的逆矩陣的求法教學(xué)內(nèi)容矩陣概念的一些背景；矩陣的運(yùn)算；矩陣乘積的行列式與秩；矩陣的逆；矩陣的分塊；初等矩陣；分塊乘法的初等變換及應(yīng)用舉例。第五章二次型（5學(xué)時）教學(xué)目標(biāo)掌握二次型的

8、概念及二次型與對稱矩陣的一一對應(yīng)關(guān)系掌握矩陣合同的概念及性質(zhì)掌握化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形的方法理解復(fù)數(shù)域上和實(shí)數(shù)域上典范形的唯一性掌握正定二次型的判別方法理解主軸問題本章重點(diǎn)化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形、實(shí)數(shù)域上的二次型、正定二次型、主軸問題。本章難點(diǎn)實(shí)數(shù)域上的二次型、正定二次型。教學(xué)內(nèi)容二次型的定義、二次型的矩陣、變量的線性替換、二次型的秩、矩陣的合同化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形的兩種方法復(fù)數(shù)域和實(shí)數(shù)域上的二次型的標(biāo)準(zhǔn)型.正定二次型的定義及其充要條件第六章 向量空間（5學(xué)時）教學(xué)目標(biāo)掌握向量空間的概念及其簡單性質(zhì)，初步了解公理化的思想方法理解和掌握子空間的概念及判別方法，掌握子空間的和與交的概念理解和掌握向量組的線性相關(guān)性

9、的概念及性質(zhì)掌握有限維向量空間的基和維數(shù)的概念及求法，理解直和的概念，理解基在向量空間中所起的作用掌握向量坐標(biāo)的概念及意義、基變換及坐標(biāo)變換公式、過渡矩陣的概念及性質(zhì)理解向量空間同構(gòu)的概念，掌握兩個向量空間同構(gòu)的判別方法本章重點(diǎn)線性空間的定義、向量組的線性相關(guān)性、基和維數(shù)、坐標(biāo)。本章難點(diǎn)線性空間的定義、向量組的線性相關(guān)性、基和維數(shù)、坐標(biāo)。教學(xué)內(nèi)容集合映射；2線性空間的定義與簡單性質(zhì)；3. 維數(shù)，基與坐標(biāo)；4. 基變換與坐標(biāo)變換；5. 線性子空間；6. 子空間的交與和；7. 子空間的直和；8. 線性空間的同構(gòu)。 線性變換（5學(xué)時）教學(xué)目標(biāo)理解線性變換的概念、掌握其運(yùn)算及簡單性質(zhì)掌握線性變換和矩陣

10、的關(guān)系掌握不變子空間的定義、掌握及的定義理解矩陣的相似、特征根、特征向量等基本概念，掌握特征根特征向量的求法理解矩陣可對角化的定義及判別法本章重點(diǎn)線性變換的矩陣及線性變換與矩陣的關(guān)系、特征根和特征向量的定義及求法、可對角化矩陣的判別法。本章難點(diǎn)線性變換的矩陣及線性變換與矩陣的關(guān)系、可對角化矩陣的判別法。教學(xué)內(nèi)容1線性變換的定義；2線性變換的運(yùn)算；3線性變換的矩陣；4特征值與特征向量；5對角矩陣；6線性變換的值域與核；7不變子空間；8若爾當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)型介紹。第九章 歐氏空間（5學(xué)時）教學(xué)目標(biāo)理解內(nèi)積、歐氏空間、向量的長度、兩向量的夾角、距離等概念掌握標(biāo)準(zhǔn)正交基的概念及其求法，理解標(biāo)準(zhǔn)正交基的作用理解歐

11、氏空間同構(gòu)的概念理解和掌握正交變換與正交矩陣的概念, 掌握正交變換的等價條件理解和掌握對稱變換的概念及其等價條件, 掌握實(shí)對稱矩陣可對角化的性質(zhì)本章重點(diǎn)歐氏空間的定義及其基本性質(zhì)、向量的長度、夾角、正交等概念、標(biāo)準(zhǔn)正交基、正交變換、對稱變換、實(shí)對稱矩陣可對角化的性質(zhì)。本章難點(diǎn)標(biāo)準(zhǔn)正交基、正交變換、對稱變換、實(shí)對稱矩陣可對角化的性質(zhì)。教學(xué)內(nèi)容1 歐式空間的定義與基本性質(zhì)；2 運(yùn)用施密特正交化法寫出常見歐式空間的標(biāo)準(zhǔn)正交基；3 歐式空間同構(gòu)的定義；4 用正交變換化實(shí)二次型為標(biāo)準(zhǔn)形；5 證明歐式空間的非空子集為子空間；6 實(shí)對稱矩陣的標(biāo)準(zhǔn)型；7. 會熟練判斷給定矩陣是否為正交矩陣三、使用教材及參考書使用教材：北京大學(xué)數(shù)學(xué)系幾何與代數(shù)教研室前代數(shù)小組編 高等代數(shù)（第三版），高等教育