如何求函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)

1、如何求函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)?偏導(dǎo)數(shù)的求解實(shí)質(zhì)是一元函數(shù)的求導(dǎo),關(guān)于某個變量求偏導(dǎo)數(shù),將這個變量視為真正的變量,其它變Qu量視為”常數(shù)”，如設(shè)uf（X,y,z）,求=時，將X視為變量，y,z視為”常數(shù)”，關(guān)于x求導(dǎo).QX求多元復(fù)合函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)，關(guān)鍵是什么?對于多元復(fù)合函數(shù)的求偏導(dǎo)數(shù)問題，關(guān)鍵在于分清楚函數(shù)之間的復(fù)合關(guān)系，弄清那些變量是中間變量，哪些是最終自變量.為此可畫出函數(shù)關(guān)系圖（路徑圖），使變量之間的關(guān)系一目了然，這樣利用鏈法求偏導(dǎo)數(shù)時不至于遺漏.重積分和定積分有何關(guān)系?重積分概念是定積分概念的推廣和發(fā)展.定積分概念中討論的是一元函數(shù)，而二，三重積分中討論的分別是二，三元函數(shù).將定積分的被積函數(shù)f（

2、X）推廣為二元函數(shù)f（X，y）或三元函數(shù)f（X，y，z），將積分區(qū)間la,b上長度元素dx推廣為平面區(qū)域D的面積元素d或空間立體的體積元素dV，就得到了二重積分或三重積分的概念.重積分與定積分在定義的結(jié)構(gòu)形式上完全一致，他們都是”和式的極限”.計算重積分，關(guān)鍵是什么?計算重積分，關(guān)鍵在于如何選擇適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系及如何選擇積分次序.對于二重積分，當(dāng)積分區(qū)域?yàn)閳A域，圓環(huán)域或扇形時，常用極坐標(biāo)系;其它情形常用直角坐標(biāo)系.對于三重積分，當(dāng)積分區(qū)域?yàn)榍蛐螀^(qū)域或環(huán)形區(qū)域與圓錐所圍時，常用球面坐標(biāo)系;當(dāng)積分區(qū)域在某坐標(biāo)面上投影為圓時，常用柱面坐標(biāo)系.選擇積分次序時，對于極坐標(biāo)系，球坐標(biāo)系，柱坐標(biāo)系一般相對固定，

3、而直角坐標(biāo)系一般是變化的.選擇積分次序的原則有兩個，其一是能夠計算出重積分值，其二是計算量盡可能少（如盡可能不分割積分區(qū)域進(jìn)行積分）.另外，計算重積分時，要充分利用積分區(qū)域的對稱性和被積函數(shù)的奇偶性，簡化定積分的計算.第一類曲線積分計算的本質(zhì)是什么?應(yīng)注意什么問題?第一類曲線積分計算的本質(zhì)是將曲線積分化為定積分.將曲線積分化為定積分時，應(yīng)注意兩點(diǎn):根據(jù)所給的曲線，選擇適當(dāng)?shù)膮⒆兞孔鳛榉e分變量，以便簡化計算.確定定積分的上，下限時，要注意上限一定大于下限.格林公式有什么作用?應(yīng)用時應(yīng)注意什么問題?對于第二類積分曲線，當(dāng)積分曲線為封閉曲線，或者積分曲線雖不是封閉曲線，但添補(bǔ)一直線段能成為封閉曲線的

4、，常用格林公式計算.這樣計算往往可以達(dá)到簡化計算的目的.應(yīng)用格林公式Pdx+QdyJJ（鋰肆）dxdy時，應(yīng)注意以下兩點(diǎn)：LdxdyD1.L為封閉的正向閉曲線.2.P，Q在D上有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù).第一類曲面積分計算的本質(zhì)是什么?應(yīng)注意什么問題?第一類曲面積分計算的本質(zhì)是將曲面積分化為二重積分.將曲面積分化為二重積分時，應(yīng)注意兩點(diǎn)：曲面Y的方程必須時單值函數(shù)，否則應(yīng)將Y按單值分支的圖形分片計算.將曲面丫向某坐標(biāo)投影時，投影后的積分區(qū)域計算要簡便.為什么要將函數(shù)展成冪級數(shù)?多項式是最簡單的非周期函數(shù)類，若一個函數(shù)f（x）可以展開為冪級數(shù)，則在展開式的收斂區(qū)間內(nèi)可以用它的部分和多項式來近似原來較復(fù)雜的

5、函數(shù)f（x），這在理論和應(yīng)用上都具有重要意義.為什么要將函數(shù)展開成傅立葉級數(shù)?周期函數(shù)反映了客觀世界中的周期運(yùn)動.為了深入研究周期函數(shù),有時需要將它展開成由最簡單的周期函數(shù)三角函數(shù)組成的級數(shù)，即展開成傅立葉級數(shù).從工程技術(shù)的角度講，就是把一個復(fù)雜的周期運(yùn)動分解成許多不同頻率的簡諧振動的疊加來研究.十.如何用微分方程解決實(shí)際問題?在建立微分方程時，首先要從具體問題出發(fā)，分析什么是未知量，什么是已知量，然后去尋求未知變量的導(dǎo)數(shù)(或微分)與未知變量及已知量的關(guān)系，建立微分方程.再由題意確定定解條件，求出方程的特解，從而得到實(shí)際問題的答案.例題解析.假設(shè)f與g均為二階可導(dǎo)函數(shù),z二/w+g(xy)，試

6、求z所滿足的不含f和g的二階y微分方程.解：害-f，-+g，yOXydz一xoy二f.幣g,xO2zOx2丄g，y2y2TOC o 1-5 h z HYPERLINK l bookmark28O2zx22x二ffg，X2 HYPERLINK l bookmark26Oy2y4y3由此得：OzOz2xx一y/OxOyy HYPERLINK l bookmark16O2zO2zy2x2-Oy2Ox2故有：x一yy2OxOyO2zx2Oy2O2zOx2二.設(shè)是可微函數(shù)，且滿足：u(x,y)f(2x+5y)+g(2x5y)u(x,0)sin2xu(x,0)0y求f(x),g(x)及u(x,y)的表達(dá)式

7、.解：u(x,0)f(2x)+g(2x)sin2xu(x,y)5f(2x+5y)一5g(2x一5y)yu(x,0)5f(2x)5g(2x)0y用x替換2x,得TOC o 1-5 h zf(x)g(x)0(1)f(x)+g(x)sinx(2)由(2)兩邊對x求導(dǎo),得f(x)+g(x)cosx(3)由(1),(3)得f(x)+cosx2即f(x)+sinx+C2g(x)sinx-f(x)斗sinxC2u(x,y)士sin(2x+5y)+sin(2x5y)22sin2xcos5y三.設(shè)四邊形各邊長一定,分別為a,b,c,d,問何時四邊形面積最大?解:如下圖所示，設(shè)四角為a,9,aba9dc于是四邊形

8、面積S+absin+cdsin22其中,滿足：a2+b2-2abcos卩=c2+d2-2cdcos令Fabsin+cdsin+九(a2+b2-2abcos，c2-d2一2cdcos)fF0P由,F0丫F0TOC o 1-5 h zabcosP+2absinP0(1)得cdcosY-2cdsiny0(2)a2+b2-2abcosP-c2-d2+2cdcosy0(3)由(1),(2)可得:tanP-tany即p兀-y或p-y(舍去)故P+y=由此可知a+卩=兀由實(shí)際問題可知s確有最大值，故當(dāng)四邊形的兩角之和為兀時，s最大.四.設(shè)D:x2+y21,試證明不等式：-6KJJsin(x2+y2)3dxd

9、yK1655D證明:IJJsin(x2+y2)3dxdy1(sinp3)pdp002kJ1psinp3dpTOC o 1-5 h z2kJ1pp3一+dp03!5!因被積函數(shù)是萊布尼茲級數(shù),故有2kJ1(p4-+p10)dpI2kJ1p4dp03!0由于2kJ1(p4-十p10)dp-61Kp03!1652兀J1p4dp壬冗05612因此KI兀1655五.設(shè)曲線T是球面x2+y2+z21與平面x+y+z1的交線，試求J(x+y2)ds.T解:由對稱性得I=(x+y2)ds=xds+y2ds=1(x+y+z)ds+1(x2+y2+z2)ds.3T3T=1J1ds+J1ds3TT=2Jds3T易知

10、T是一個圓（如下圖所示）,其內(nèi)接正三角形的邊長為2,可求得T對應(yīng)圓的半徑TOC o 1-5 h z2/22r=sin6034639六.在13時到14時的什么時間內(nèi),一個時鐘的分針恰好與時針重合?解:將圓周角60等份,設(shè)每份為1個單位,又設(shè)t（分鐘）時刻分針和時針分別位于x（t）和y（t）處.由于初始時間為13時，而分針與時針的速度分別為1（單位/分鐘）與子（單位/分鐘），故有60dxdt、x(0)=0dy=1dt12y(0)=5解得：x二t,y二121+5t二60（分鐘）=5分27秒故分針恰好與時針重合的時間約為5分27秒.七.判別級數(shù)另（0（n2）2兀n.2兀門易知tan單調(diào)減少且lim=0

11、,故級數(shù)收斂（萊布尼茲判別法）.n2,2,nn*n2,2,nn=02,1n2+2+n2n2,又tann2+2+n且藝丄發(fā)散，因此另1(-1)ntann2+2,I發(fā)散.2nTOC o 1-5 h zn=1n=1因此原級數(shù)條件收斂.Iu=x一2yQ2zd2zd2zd2z設(shè)變換可把方程：6+-=0簡化為0,求常數(shù)a(設(shè)z具有連續(xù)v=x+ayQx2oxoyQy2ouov二階偏導(dǎo)數(shù)).答案：3求f(t)在1,+)上有連續(xù)二階導(dǎo)數(shù)，f(1)=0,f1且二元函數(shù)z=(x2+y2)f(x2+y2)滿足竿+竽=0,求f(t)在1,+)上的最大值.Qx2Qy2答案：1/e設(shè)f(x)在k11:A,求J*1dxj1f(x,y)dy.00 x答案：A2/24.設(shè)f(x)是正的連續(xù)函數(shù),證明Jbf(x)dxJbaadx(b一a)2.n=0n=05.求f(x)在(-,+)內(nèi)具有一階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，L是上半平面(y0)內(nèi)的有向光滑曲線，其起點(diǎn)為(a,b),終點(diǎn)為(c,d),設(shè)I=J1+y2f(xy)dx+xy2f(xy)-1dyLyy2(1)證明曲線積分I與路徑L無關(guān).6.設(shè)流體的流速v=xi(2xy)j+zk,當(dāng)ab=cd時，求I值.答案：a/b+c/d為半球面z=1x2y2,求流體流向外側(cè)的流量.答案：2,/37.求級數(shù)藝(1)(；2n+D的和.答案：22/272n8.設(shè)正項數(shù)列單調(diào)減少，且,(