色散緩變光纖中的交叉相位調(diào)制不穩(wěn)定性分析畢業(yè)論文

1、分類號：0437編號:密級：公開成都信息工程學院學位論文色散緩變光纖中的交叉相位調(diào)制不穩(wěn)定性分析論文作者姓名：申請學位專業(yè)：電子科學與技術(shù)申請學位類別：工學學士指導教師姓名（職稱）:論文提交日期：2009年06月01日色散緩變光纖中的交叉相位調(diào)制不穩(wěn)定性分析摘要當同偏振不同波長的兩光波在光纖中傳輸時， 由于交叉相位調(diào)制和光纖中色 散效應(yīng)共同作用，可能導致交叉相位調(diào)制不穩(wěn)定性產(chǎn)生，該現(xiàn)象在光開關(guān)、高重 復(fù)率的脈沖串及超連續(xù)譜的產(chǎn)生等領(lǐng)域有重要應(yīng)用，同時又是影響波分復(fù)用系統(tǒng)性能的重要因素。另外，色散緩變光纖同常規(guī)光纖相比， 在光脈沖壓縮和調(diào)制不 穩(wěn)定性產(chǎn)生孤子脈沖串方面顯示出突出的優(yōu)越性。 利用色

2、散緩變光纖能更有效地 產(chǎn)生調(diào)制不穩(wěn)定性，從而也更有利于調(diào)制不穩(wěn)定性的相關(guān)應(yīng)用。 本文從光纖中耦 合的非線性薛定諤方程出發(fā)，解析分析并計算模擬了色散緩變光纖正色散區(qū)交叉 相位調(diào)制不穩(wěn)定性產(chǎn)生的條件和增益譜，分析討論了調(diào)制不穩(wěn)定增益譜的譜寬和 譜峰隨入纖功率、色散緩變參數(shù)及損耗系數(shù)的變化規(guī)律。結(jié)果表明，在其它條件 相同時，隨著入纖功率的增加，增益譜的譜峰和譜寬都變大。而隨著色散緩變參數(shù)的增大，譜寬變寬，譜峰幾乎不變。隨著損耗系數(shù)的增大，增益譜譜峰和譜寬 皆減小。說明大的入纖功率及色散緩變參數(shù)有利于產(chǎn)生調(diào)制不穩(wěn)定性，而損耗則相反。關(guān)鍵詞：交叉相位調(diào)制不穩(wěn)定性；色散緩變光纖；色散關(guān)系；增益譜Analy

3、sis on Cross-phase Modulation Instability inDecreasing Dispersion FibersAbstractWhen two optical waves with same polarization but different wavelengths propagating in optical fibers, due to the interaction of cross-phasemodulation and dispersion, cross-phase modulation instability may occur. This ph

4、enomenon can find important application in many fields, such as the optical switching, generation of high repetition rate of ultra-short pulse trains and super-continuous spectrum. However, this phenomenon is also an important factor which can affect considerably the performance of wavelength divisi

5、on multiplexing (WDM) optical fiber communication system. In addition, in comparison with the conventional optical fiber, the decreasing dispersion fiber (DDF) embodies obvious superiority in optical pulse compression and modulation instability generated soliton pulse trains. It is more effective to

6、 generate modulation instability and more beneficial to its related applications by using DDF. In this paper, starting from the coupled nonlinear Schr?dinger equation, the condition and gain spectra of cross-phase modulation instability are analyzed and computer simulated in the normal dispersion re

7、gime of the decreasing dispersion fiber. Variations of the gain spectra in terms of their widths and peak values with the input powers, dispersion longitudinal varying parameters and loss coefficients are analyzed and discussed.The results showed that, when the other conditions are the same, the pea

8、k values and widths of the gain spectra will increase with the input power. With the increase of dispersion longitudinal varying parameters, the spectral widths increase while the spectral peaks keep nearly unchanged. While the spectral widths and spectral peaks will decrease with increase of loss c

9、oefficients. These results indicate that, large input powers and dispersion longitudinal varying parameters are beneficial to generation of modulation instability. While the loss takes the opposite.Key words: cross-phasemodulation instability; decreasing dispersion fiber (DDF); chromatic dispersion

10、relations; gain spectrum目錄論文總頁數(shù)： 18 頁 TOC o 1-5 h z HYPERLINK l bookmark16 o Current Document 1 引言 1 HYPERLINK l bookmark18 o Current Document 影響光脈沖在光纖中傳輸?shù)囊蛩?1 HYPERLINK l bookmark20 o Current Document 光纖的基本特性 1 HYPERLINK l bookmark22 o Current Document 光纖損耗 2 HYPERLINK l bookmark24 o Current Docume

11、nt 光纖群速度色散 3 HYPERLINK l bookmark26 o Current Document 光纖的非線性效應(yīng) 4自相位調(diào)制 5交叉相位調(diào)制 5 HYPERLINK l bookmark28 o Current Document 脈沖在光纖中的傳輸 5 HYPERLINK l bookmark30 o Current Document 3.1 麥克斯韋方程組 5 HYPERLINK l bookmark32 o Current Document 耦合的非線性薛定諤方程 6 HYPERLINK l bookmark38 o Current Document 色散緩變光纖中交叉相位

12、調(diào)制引起的調(diào)制不穩(wěn)定性 11 HYPERLINK l bookmark40 o Current Document 4.1 線性穩(wěn)定性分析 11 HYPERLINK l bookmark44 o Current Document 計算分析與討論 13 HYPERLINK l bookmark46 o Current Document 結(jié) 論 15 HYPERLINK l bookmark48 o Current Document 參考文獻 15致 謝 17聲 明 18第 頁共18頁1引言調(diào)制不穩(wěn)定性在流體力學、等離子體物理以及非線性光學中逐步受到人們 的重視，近年來對光纖中光波的調(diào)制不穩(wěn)定性研究

13、日益深入2-5。光纖中的調(diào)制不穩(wěn)定性起源于光纖色散與非線性效應(yīng)的相互作用，這種作用導致連續(xù)微擾光波 振幅的指數(shù)增長。另外其產(chǎn)生存在于一定的頻率范圍內(nèi)，范圍越寬，越易產(chǎn)生。 最近研究表明，色散縱向變化的光纖(色散緩變光纖)能夠產(chǎn)生超寬帶連續(xù)譜， 因而也易形成調(diào)制不穩(wěn)定性效應(yīng) 。光纖中的調(diào)制不穩(wěn)定性在頻域上表現(xiàn)為譜線 旁瓣的產(chǎn)生，在時域上可使連續(xù)或準連續(xù)光分裂成一系列短脈沖串，因而該現(xiàn)象是光孤子產(chǎn)生的前奏7-9。利用光纖中的調(diào)制不穩(wěn)定性可產(chǎn)生高重復(fù)率的超短脈 沖串10、制成調(diào)制不穩(wěn)定激光器以及產(chǎn)生時間光孤子，但同時它也是影響光纖通信系統(tǒng)性能的一個重要因素11 0本文從光纖中光脈沖的非線性薛定諤方程

14、出發(fā)， 采用線性穩(wěn)定性分析法，著重分析了光纖正色散區(qū)交叉相位調(diào)制不穩(wěn)定性產(chǎn)生的 條件和增益譜，同時分析討論了調(diào)制不穩(wěn)定增益譜的譜寬、譜峰與入纖功率、色 散緩變參數(shù)間的關(guān)系。2影響光脈沖在光纖中傳輸?shù)囊蛩赜绊懝饷}沖在光纖中傳輸?shù)囊蛩刂饕泄饫w損耗、光纖色散和光纖的非線性效應(yīng)。下面先介紹光纖的基本特性。2.1光纖的基本特性最簡單的光纖是由折射率略低于纖芯的包層包裹著纖芯組成的，纖芯、包層折射率分別記做厲和n2，這樣的光纖通常稱為折射率階躍光纖， 以區(qū)別其他折射 率從纖芯到芯邊緣漸漸變小的折射率梯度光纖。描述光纖特性的兩個參量是纖芯 包層相對折射率差厶，定義為：ni(2.1)以及由下式定義的歸一化頻

15、率：“ 2 2 12V =ka n2 - n；(2.2)式中，燈=2 n ， a為纖芯半徑，為光波波長。參量V決定了光纖中能容納的模式數(shù)量。在階躍光纖中，如果 V : 2.405， 則它只容納單模，滿足這個條件的光纖稱為單模光纖。單模光纖和多模光纖的主 要區(qū)別在于芯徑，對典型的多模光纖來說，其芯徑a =25 m30 m；而也的典型值約為3 10 ”的單模光纖，要求a ： 5 口 m。包層半徑b的數(shù)值無太嚴格的限制， 只要它大到足以把光纖模式完全封閉在內(nèi)就滿足要求，對單模和多模光纖，其標 準值為b = 62.5m。因為研究非線性效應(yīng)大多用的是單模光纖，除非特別說明，本文中所指光纖均是單模光纖。光

16、纖通信出現(xiàn)短短幾十年來，已成為通信系統(tǒng)的最佳選擇，其中光孤子通信 是最有發(fā)展前途的光通信方式。光孤子在光纖中傳播時，群速度色散(GVD)與非線性效應(yīng)應(yīng)該平衡，使波形在長距離傳輸后保持不變。然而，由于光纖損耗的影響，光脈沖的功率逐漸減小( R =Pexp_：丄)， 減弱了與色散效應(yīng)相平衡所需的非線性效應(yīng)，這樣色散效應(yīng)起主導作用，使光脈沖及其頻譜展寬。為了彌補損耗的這種影響，1987年Tajima設(shè)計了色散緩變光 纖(Decreasing-Dispersion Fiber, DDF ),使色散系數(shù)隨光纖長度而減小 (-2 0 expl.-Lz ,為光纖色縱向變化參量)，并使色散效應(yīng)也隨著光纖長 度

17、逐漸減小，通過選擇合適的 值使群速度色散效應(yīng)和非線性效應(yīng)仍達到平衡， 實現(xiàn)光孤子的長距離無畸變傳輸，為未來高速、長距離光孤子通信系統(tǒng)的實現(xiàn)提 供了新的途徑。2.2光纖損耗光纖的一個重要參量是光信號在光纖內(nèi)傳輸時功率的消耗，若P。是入射光纖的功率，傳輸功率Pt = Rexp(-a|_)(2.3)式中，是衰減系數(shù)，通常稱為光纖損耗，L是光纖的長度。通常習慣上通過下 式用dB/km來表示10 ft “%B =一lg =4.34&(2.4)L ipo 丿光纖損耗與光波長有關(guān)。而且在較短波長處有較高的損耗。其他對損耗有貢獻的因素主要是材料吸收和瑞利散射。純石英高吸收在紫外 區(qū)和波長超過2“的遠紅外區(qū)，然

18、而少量的不純物能在0.5 “2 “波長窗口導 致顯著的吸收。實際上影響光纖損耗的最重要的不純物是基態(tài)振動吸收峰在 2.37 口m處的0H 一離子，因而在光纖制作過程中采取了特別的預(yù)防措施來保證 0H 一離子濃度小于百萬分之一。瑞利散射是一種基本損耗機理，它是由于制造過程中沉積到熔石英中的隨機 密度變化引起的，它將導致折射率本身的起伏，使光向各個方向散射。瑞利散射隨 變化，因而其主要作用區(qū)在短波長區(qū)。這種損耗對光纖來說是本身固有的， 因而它確定了光纖的最終損耗極限，其本征損耗大致為(單位是dB/km)m r = Cr/ 丸(2.5)式中，常數(shù)Cr在0.7dB/(km衛(wèi)m4)0.9dB/(km m

19、4)范圍內(nèi)，其具體值與纖芯的 組分有關(guān)。另外，可能對光纖有損耗的其他因子是彎曲損耗和邊界損耗 (由纖芯 第 頁共18頁i第 頁共18頁和包層邊緣處的散射引起的）。2.3光纖群速度色散當一束電磁波與電介質(zhì)的束縛電子相互作用時，介質(zhì)的響應(yīng)通常與光波頻率有關(guān)，這種特性稱為色散，它表明折射率nF對頻率的依賴關(guān)系。光纖色散會 使光脈沖在傳輸中時域展寬，強度降低， 導致通信系統(tǒng)的誤碼增加，限制了光脈 沖無中繼傳輸距離。單模光纖中的色散包括群速度色散 GVD和偏振模色散PMD 兩大類。光纖的色散主要由兩方面引起：一是光源發(fā)出的并不是單色光；二是調(diào)制信 號有一定的帶寬。實際光源發(fā)出的光不是單色的，而是有一定的

20、波長范圍。這個范圍就是光源的線寬。在對光源進行調(diào)制時，可以認為信號是按照同樣的方式對 光源譜線中的每一分量進行調(diào)制的。 一般調(diào)制帶寬比光源窄得多，因而可以認為 光源的線寬就是已調(diào)信號帶寬，但對高速和線寬極窄的光源，情況不一樣。進入光纖中去的是一個調(diào)制了的光譜，如果是單模光纖，它將激發(fā)出基模；如果是多模光纖，則激發(fā)出大量模式。由此可以看出，光纖中的信號能量是由不同的頻率 成分和模式成分構(gòu)成的，它們有不同的傳播速度，從而引起比較復(fù)雜的色散現(xiàn)象。一般來說色散的起源與介質(zhì)通過束縛電子的振蕩吸收電磁輻射的特征諧振 頻率有關(guān)，遠離介質(zhì)諧振頻率時，折射率與塞爾邁耶爾方程很近似22 mn2 =1rL-Lr（2

21、.6）j二國j 尬式中，是諧振頻率，Bj為j階諧振強度，式（2.6）中的求和號包含了所有對感興趣的頻率范圍有貢獻的介質(zhì)諧振頻率。由于不同的頻譜分量對應(yīng)于由c n 給定的不同的脈沖傳輸速度，因而色散在短脈沖傳輸中起關(guān)鍵作用；甚至當非線性效應(yīng)不很嚴重時，由色散引起的脈沖 展寬對光通信系統(tǒng)也是有害的。在非線性范圍內(nèi)，色散和非線性的結(jié)合將會引出不同的結(jié)果。在數(shù)學上，光纖的色散效應(yīng)可以通過在中心頻率-0處展開成模傳輸常數(shù)：的泰勒級數(shù)來解決這里參量1，咖）訥嗨*十簪f ）屮2（-曲十ptXJ0,1,2r)：2和折射率n有關(guān),他們的關(guān)系可由下面的式子得到1Vg1cdn d ngc(2.7)(2.8)(2.9

22、)(2.10)式中，ng是群折射率，vg是群速度，脈沖包絡(luò)以群速度運動。參量 空表示群速 度色散，和脈沖展寬有關(guān)。這種現(xiàn)象稱為群速度色散（GVD），P2是GVD參量。實際玻璃光纖的色散跟理想情況不一樣， 原因有二：首先纖芯中有少量的摻 雜物，其次由于介電波導作用，其有效模折射率略低于材料折射率 n，因而減 小了其本身對的依賴關(guān)系，這樣波導色散和材料色散之和才是總色散。通常， 除了在 = d附近的材料色散和波導色散相近外，波導色散對遼來說都是可以忽略的。波導色散的主要貢獻是把d稍移向長波長方向，對常規(guī)光纖 D =1.31 m o根據(jù)色散參量2或D的符號，光纖中的非線性效應(yīng)表現(xiàn)出顯著不同的特征。

23、因為若波長九 0 ） o在正常色散區(qū)，光脈沖 較高的頻率分量（藍移）比較低的頻率分量（紅移）傳輸?shù)寐?。相比之下，v：0 的所謂的反常色散區(qū)正好相反。當光波長超過零色散波長（ 9 ）時，石英光 纖表現(xiàn)為反常色散。由于在反常色散區(qū)色散和非線性效應(yīng)之間可以達到平衡，因而光纖能維持光孤子。2.4光纖的非線性效應(yīng)在高強度電磁場中任何電介質(zhì)對光的響應(yīng)都會變成非線性，光纖也不例外。 從其基能級看，介質(zhì)非線性響應(yīng)的起因與施加到它上面的場的影響下束縛電子的 非諧振運動有關(guān)，結(jié)果導致電偶極子的極化強度 P對于電場E是非線性的，但滿 足通常的關(guān)系式P 二；。1 E 2 : EE 3 EE（2.11）式中；0是真空中

24、的介電常數(shù)，j j =1,2,為j階電極化率。光纖中的最低階非線性效應(yīng)起源于三階電極化率3，它是引起諸如三次諧波產(chǎn)生、四波混頻以及非線性折射等現(xiàn)象的主要原因。然而，除非采取特別的措施實現(xiàn)相位匹配，牽涉到新頻率產(chǎn)生的（三次諧波的產(chǎn)生或四波混頻）非線性過 程在光纖中是不容易發(fā)生的。因而，光纖中的大部分非線性效應(yīng)起源于非線性折 射率，而折射率與光強有關(guān)的現(xiàn)象是由3引起的，即光纖的折射率可表示成2 2n,E| ）=n）+匕定|（2.12）式中，n範是式（2.6）的線性部分，E2為光纖內(nèi)的光強，n2是與/（3 有關(guān)的非線 性折射率系數(shù)nRe 3（2.13）8n式中，Re表示實數(shù)部分，并且假設(shè)光場是線偏振

25、的，因而四階張量只有一個分 量3對折射率有貢獻，3張量的特性能通過非線性雙折射影響光束的偏振特 性。折射率對光強的依賴關(guān)系導致了大量有趣的非線性效應(yīng)：其中研究得最廣泛的是自相位調(diào)制(SPM)和交叉相位調(diào)制(XPM )。2.4.1自相位調(diào)制SPM指的是光場在光纖內(nèi)傳輸時光場本身引起的相移，它的大小可以通過 記錄光場相位的變化得到 =nkL =(n + n2，E 2 koL(2.14)式中，k2n , L是光纖長度。與光強有關(guān)的非線性相移nl = n2kL|E|2是由SPM引起的。在其他方面，SPM與超短光脈沖的頻譜展寬有關(guān)，而在光纖的 反常色散區(qū)與光孤子的存在有關(guān)。2.4.2交叉相位調(diào)制XPM指

26、的是由不同的波長、傳輸方向或偏振態(tài)的脈沖共同傳輸時，一種光 場引起的另一種光場的非線性相移。它的起源可以通過方程(2.11)中給出的總電場E來解釋。一 1E 二? exp i it 廣 E2 exp - i 2t c.c.(2.15)cc表示復(fù)共軛，當兩個頻率分別為 和2，x方向偏振的光波同時在光纖內(nèi)傳 輸時，頻率為-1的光場的非線性相移為% = nzkoLtjEf +2|E2)(2.16)由于相位失配的關(guān)系，這里忽略了頻率 和匕以外產(chǎn)生的極化的所有項。方程 (2.16)右邊的兩項分別由SPM和XPM引起。XPM的一個重要特性是，對相同強 度的光場，XPM對非線性相移的貢獻是 SPM的兩倍。在

27、其他方面，XPM與共 同傳輸光脈沖的不對稱頻譜展寬有關(guān)。3脈沖在光纖中的傳輸3.1麥克斯韋方程組要掌握非線性色散介質(zhì)中電磁波的傳輸理論， 才能理解光纖中的非線性現(xiàn)象 和色散現(xiàn)象，本節(jié)先介紹麥克斯韋方程組和一些重要概念， 如極化的線性和非線 性部分。同所有電磁現(xiàn)象一樣，光纖中光脈沖的傳輸也服從麥克斯韋方程組， 在國際 單位制中，該方程組可寫成可 x E = - D、H = J-ctD J式中，E， H分別為電場強度矢量和磁場強度矢量;(3.1)(3.2)(3.3)一 _(3.4)D，B分別為電位移矢量B = 0和磁感應(yīng)強度矢量；電流密度矢量 J和電荷密度f表示電磁場的源，在光纖這 樣無自由電荷的

28、介質(zhì)中，顯然是 J =0,f =00介質(zhì)內(nèi)傳輸?shù)碾姶艌鰪姸?E和H增大時，電位移矢量D和磁感應(yīng)強度B也隨之增大，它們的關(guān)系通過物質(zhì)方程聯(lián)系起來D - ；0E PB n0H M式中，；0為真空中介電常數(shù)；為真空中的磁導率；P , 強度和磁極化強度，在光纖這樣的無磁性介質(zhì)中M =0。描述光纖中光傳輸?shù)牟ǚ匠炭梢詮柠溈怂鬼f方程組得到。旋度，并利用式(3.2)、(3.5)和(3.6)，用E，P消去B，D， - i c2f x 于6- E -22 - 02c ctct式中，；0=1/C2，c為真空中的光速。為完整表達光纖中光波的傳輸，還需要找到電極化強度(3.5)(3.6)M分別為感應(yīng)電極化對方程(3.

29、1)兩邊取可得(3.7)P和電場強度E的關(guān)系。當光頻與介質(zhì)共振頻率接近時，P的計算必須采用量子力學方法。但在遠離介質(zhì)的共振頻率處，P和E的關(guān)系可唯象地寫成(2.11)式，感興趣的0.5艸2“ 波長范圍內(nèi)的光纖的非線性效應(yīng)正是這種情況。如果只考慮與3有關(guān)的三階非線性效應(yīng)，則感應(yīng)電極化強度由兩部分組成_P(r：t) = U,t)+pNL(,t)(3.8)式中，線性部分PL (r,t)和非線性部分PNL (r ,t)與場強的普適關(guān)系為Pl r,t1ttE r,t dt(3.9)Pnlr ,t i=；0I I I i3 ttt t2，t-t3 Er,t1 E rt?E r dldtzdts(3.10)

30、式(3.7)(3.10)給出了處理光纖中三階非線性效應(yīng)的一般公式。進行如下簡 化： 把方程(3.8)中的Pnl r,t非線性極化處理成總感應(yīng)極化強度的微擾，因為石英光纖中的非線性效應(yīng)相當弱，因而這是合理的。由于光纖的損耗很小，與頻率有關(guān)的介電常數(shù)的虛部相對于實部可以忽略，因而在下面的討論中可用n2代替；，以微擾的方式將光纖損耗包括進去。在階躍光纖的纖芯和包層中由于折射率與n方位無關(guān)，于是有E 三、E) I 2E _2E(3.11)3.2耦合的非線性薛定諤方程光纖中大多數(shù)非線性效應(yīng)的研究涉及到脈寬范圍為10 ns10fs的短脈沖的應(yīng)用。當這樣的光脈沖在光纖內(nèi)傳輸時，色散和非線性效應(yīng)將影響其形狀和

31、頻譜。下面首先推導單束光脈沖在非線性色散光纖中傳輸?shù)幕痉匠獭＠梅匠?3.8)和(3.11)，波動方程(3.7)可寫成如下形式222 2E - 12 E = %： pL%： PNL(3.12)c ctctct式中，極化強度的線性部分 P和非線性部分Pnl通過方程(3.9)和(3.10)與電場強 度E r,t對應(yīng)。為解方程(3.12)需做幾個假設(shè)來簡化它， 把PNL處理成PL的微擾，實際上， 折射率的非線性變化小于10占： 假定光場沿光纖長度方向其偏振態(tài)不變，因 而其標量近似有效，事實并非如此，除非采用保偏光纖，但這種近似非常有效； 假定光場是準單色的，即對中心頻率為0的頻譜，其譜寬為，且LU

32、o：1。因為0約為1015Hz，最后一項假定對脈寬-0.1ps的脈沖是成立的。 在慢變包絡(luò)近似下，把電場的快變化部分分開，寫成E r,t = 1 r ,t exp - i 0t i 亠 c.c.l(3.13)5?為假定沿x方向偏振的光的單位偏振矢量，Er.t為時間的慢變化函數(shù)(相對于光周期)。類似地，可把極化強度分量 P，Pnl表示成：Pl r,tr,t expi t - c.cJ(3.14)2Pnl r,t =丄？Pnl r,t exp -i yt c.c.1(3.15)2把方程(3.15)代入方程(3.10)可得到極化強度的非線性分量 Pnl r,t。假定非 線性響應(yīng)是瞬時作用的，因而方程

33、(3.10)中的3的時間關(guān)系可由三個7 函 數(shù)的積得到，這樣方程(3.10)變成Pnl (t )=名0八)上(幾)E(t E(t )(3.16)瞬時非線性響應(yīng)的假定相當于忽略了分子振動對(3)的影響(拉曼效應(yīng))。一般地說，電子和原子核對光場的響應(yīng)是非線性的，原子核的響應(yīng)應(yīng)比電子的響應(yīng)慢。對石英光纖，振動或拉曼響應(yīng)在60fs70fs時間量級，這樣方程(3.16)在脈寬大 于1ps時基本有效。把方程(3.13)代入(3.16)，發(fā)現(xiàn)Pnl r,t有一項在處振蕩，另一項在三次諧 波處振蕩，后一項由于需要相位匹配，在光纖中常被忽略。利用方程(3.15)得出PNL r, t的表達式PNL (r ,t )

34、% 名0 名NL E(r ,t )(3.17)式中，；NL為介電常數(shù)的非線性部分，由下式?jīng)Q定；NLE r ,t ：(3.18)4為得到慢變化振幅E(r,t)的波動方程，在推導過程中，把沁處理成常量，這種方法從慢變包絡(luò)近似以及Pnl的擾動特性來看，可認為是合理的。把方程(3.13)(3.15)代入(3.12)，傅里葉變換為-% 表示為.OQ *t(3.19)E(r,時一時0 )= J E(r ,t e爐)dt-4并滿足亥姆霍茲方程i 2E ； k；E =0(3.20)式中，k0 =，/c，且sfeo )=1 +弦國尸名NL方程(3.20)可利用變量分離法求解。假定解的形式為：_*Er ，一 0

35、二 F x, y A z式中，A(za是z的慢變函數(shù)；p0是波數(shù)，它將在后面確定。方程 兩個關(guān)于F x,y和Az的方程：李+密+ %瞪一2F=0 x :y2-0 A 2 一 諸 A = 0；z方程(3.23)中的介電常數(shù)近似為2 2二 n n n 2n n式中，為微擾，其表達式為(3.21)(3.22)(3.20)分離成(3.23)(3.24)(3.25)(3.26)項包括了光纖的損耗及非線性效應(yīng)。入式(3.29)可得利用式(3.26)和(3.28)可導出八，把它代蘭 A 丄-:z 1 ：:t 2-2Aa2a-:t22(3.30). 2 in = n2 E +2k0式中，為吸收常數(shù)，對石英光纖

36、，、：-O方程(3.23河通過一階微擾理論求解。首先用 n2代替；求解方程，得到模分 布函數(shù)F x,y和對應(yīng)的波數(shù) 對單模光纖，對應(yīng)由高斯近似(3.24)給出的光 纖基模HEn的模分布，然后對方程(3.23)考慮微擾，n的影響，根據(jù)一階微擾理論， n不會影響模分布F x,y。然而本征值將變?yōu)椋?3.27)=P 式中:化.2(3.28)門 k。也nF(x, yD dxdy(x,yp dxdy在頻率0處把展成泰勒級數(shù)如式(2.7)和 (2.8)，把式(2.7)代入式(3.23)再做傅里葉逆變換，就得到如下的非線性脈沖傳輸方程：-2八2 2 ；:t2(3.29)方程(3.30)描述了單束皮秒光脈沖在

37、單模光纖內(nèi)的傳輸，式中的：反映了光纖的損耗，i， 2反映了光纖的色散，則是考慮了光纖的非線性特性。當群速度色散(GVD )是由：2引起時，脈沖包絡(luò)以群速度Vg =1i移動。對于同偏振不同波長的兩光束在光纖中傳輸?shù)那闆r，根據(jù)2.4.2節(jié)對交叉相位調(diào)制的討論，在準單色近似情況下，將光纖的快變換部分展開，寫成如下形式：Er,t = 1 刃歸 exp - i “t 亠 E2 exp - i 2t b：；c.c.(3.31)式中，X是偏振方向的單位矢量，.1，.2是兩脈沖載頻，并且假設(shè)對應(yīng)的振幅E，E是時間的慢變函數(shù)，這種假設(shè)與.v.：:-.j j =1,2的假設(shè)是等價的，此假設(shè)對脈沖大于0.1 ps時

38、成立。慢變振幅E1， E2的變化由波方程(3.12)描述，感應(yīng)極 化強度的線性和非線性部分分別給出。為了看清交叉相位調(diào)制的起因，將方程(3.31)代入方程(3.16)，可得:Pnl (餌 Jexp(-it )+Pnl(2 Jexpf-gt j1rI、+ c.c.(3.32)PNL(r,t) = 2? + PNL(2G)1 國2 亦卩口(2豹1-國2 V+Pnl(2豹2 -餌)expLi(2B2-c01)t”其中:PNL1=eff E1PNL 2eff E2PnL 2, 1 _ * 2Pnl 2 二-匕2 22E2 E1+ 2EE22 *二 eff E1 E2二 eff E22E1*(3.33)

39、(3.34)(3.35)(3.36)用effxxxx作為有效非線性參量。剩下的兩項對折射率產(chǎn)生非線性作用，4這可通過將Pnl J j =1,2寫成下面的形式看出：Pnlj 二；0；NLEj(3.37)將其與線性部分合在一起，則總的感應(yīng)極化強度為：P(Bj )=“gjEj(3.38);jLNL-inL nj(3.39)(3.40)式中:nL是折射率的線性部分，則折射率的非線性部分為：nj 癢盯 /2nj i2膽)2 +2E3_j 2)這個方程表明，光波的折射率不僅與自身的強度有關(guān)，而且還與共同傳輸?shù)钠渌ǖ膹姸扔嘘P(guān)。當光波在光纖中傳輸時，會獲得一個強度有關(guān)的非線性相位丄 NL J i Z i z

40、n2 F22 % (z)=亠 anj = (Ej +2E3T )(3.41)cc式中，j=1或2,第一項與前面討論的自相位調(diào)制相聯(lián)系，第二項產(chǎn)生與共同傳 輸?shù)牧硪还獠▽@束光波的相位調(diào)制，它與交叉相位調(diào)制相聯(lián)系。方程(3.41)右邊的因子2表示對相同的光強，交叉相位調(diào)制是自相位調(diào)制的兩倍，定性的講， 兩光頻不同時的項目數(shù)要比頻率簡并時的項數(shù)多一倍。早在1984年，人們就通過將兩束連續(xù)波（CW）注入到15km長的光纖中來測量交叉相位調(diào)制引起的相移。不久以后，皮秒脈沖也用于觀察交叉相位調(diào)制引起的頻譜變化。在交叉相位調(diào)制下，根據(jù)式（3.30）可得到兩個光波場的傳輸方程。假設(shè)非線性效應(yīng)對光纖的模式影響

41、不大，橫向關(guān)系可以通過分離變量看出，把Ej r,t寫成Ej r,t AFj x, yAj z,t expi jZ（3.42）式中，F(xiàn)j x, y是第j j -1,2個場的模式分布，Aj z,t是慢變化振幅，vj是載頻對應(yīng)的傳播常數(shù)。按類似于式（2.7）的方法，將每個與頻率有關(guān)的傳播常數(shù)展開，并且僅保留到第二項，則可包含色散效應(yīng)。對Aj（z,t）所導出的傳輸22 V +方程是ctjin2j /-.(3.43)+尹廣十fjAj +2從式中，k = jjj =1 Vgj,Vgj是群速度,1 2 j是群速度色散系數(shù)，:j是損耗系數(shù),交疊積分fjk定義為f jk 2JFj(x, y ) Fk(x,y f

42、dxdy I111a“Fj(x, y ,dxdy JIoo2.Fk x,y dxdy(3.44)對單模光纖來說，因為模式分布Fj x,y與頻率有關(guān)，所以fn, f22,f12一般也不相同，它們之間差別很小，在實際情況中可以忽略。這時式（3.43）可以寫成下面形式的兩個耦合方程21 2 .:z vg1；:t 2；:t22+=“1(人|2+2 劃 2A1n 2 jCAf式中，非線性系數(shù)j定義為:j 72(3.45)(3.46)(3.47)式中，Aeff是有效纖芯面積（Aeff =1/齢），其值依賴于光纖參數(shù)，如纖芯半徑， 纖芯一包層折射率差，若光纖基模用高斯近似，則Aef二二2，因為假設(shè)兩光波的波

43、長相同，貝尼們的Aeff也相同。4色散緩變光纖中交叉相位調(diào)制引起的調(diào)制不穩(wěn)定性4.1線性穩(wěn)定性分析兩個不同波長的連續(xù)光同時在光纖中傳輸時，與單色光相似，在光纖的反常 色散區(qū)仍將產(chǎn)生調(diào)制不穩(wěn)定性。當兩束波長不同、偏振相同的光通過正常群速度 色散區(qū)時，XPM引起的耦合是否仍會使連續(xù)狀態(tài)不穩(wěn)定。下面就通過線性穩(wěn)定 性分析法求證這一問題。對于普通光纖，群速度色散系數(shù)-：2j是常數(shù)，Jj Z = -：2j o，對于色散緩變 光纖(DDF)，P 2j(z)=02j(Oexp(-%z)比為光纖色散縱向變化參量；j為光 纖損耗系數(shù)；j為非線性系數(shù)。設(shè)A =uiexp宀z 2 , A? =U2expi jqz

44、2代入式3.2節(jié)推導的耦合非線性薛定諤方程(3.45)和(3.46河得:U1 :Ui ：；：2Ui+ + 二卩212.:zVg1 ：t 2；:t=i 1exp ：z 2u； exp ：z U12.：U21: U2i ：:U2P222.:z Vg2 ；:t 2；:t=i 2 U2 exp :;-2Z 2u； exp :jz S(4.1)(4.2)在連續(xù)及準連續(xù)波情況下，振幅Uj在光纖的輸入端z=0處與t無關(guān)。設(shè)Aj z,t在 光纖內(nèi)傳輸時仍保持與時間無關(guān)，方程(4.1)、(4.2)的穩(wěn)態(tài)解為 TOC o 1-5 h z U1(z,t aVP exp?1 J0 exp(-SzJ+2P2exp-Jz

45、jdz(4.3)u2(z,t )= P2 expR2 f P2exp( a 2z)+2R exp a(4.4)式中P、P2為z=0處的入射功率。為了研究解的穩(wěn)定性，微擾穩(wěn)態(tài)，設(shè)微擾3(乙t ) p/、a2(z,訃 P2 2，則有U1 (z,t )= Qr bxpf ?1 P exp(%z)+2P2 expcz jdz(4.5)u2(z,t )= QB +a2 bxpi?2 ( P2 expG2z)+2R expjz jdz(4.6)a2線性化得將(4.5)、(4.6)代入(4.1)、(4.2)并使 a、a.z21 a1_! i a212(4.7)(4.8)vg1：t 2:t2= i ；1 P

46、exp(。憶加 +a1 )+2(RP2 ) 2 expyzla： +a22:a2 . 1 ：a2 . ia2:z vg2 ft 2 22 :t2二 i 2p2exp：i722z a2 a； 2RB expLSz a1 a1*令微擾的通解形式為/Y廣丫ai = U 1 coskz -口 1t -+ iV1kz -亀(4.9)Vg1 /1 Vg1 丿.-r z *a U 2 coskz _02t+ iV2kz 怎t-ivg2 Z式中，k是波數(shù)；“j j =1,2是微擾頻率將(4.9)、(4.10)代入(4.7)、(4.8),可得到關(guān)于Ui、5、V和5的齊次方程組，即(4.10)ksinksin-I

47、kz-d-|kz02t三Vg116 _ 目21陽2 sin |kz_C 丿j 2.t=s、Vg1 丿 j(4.11)4 1 R P2 exp -:-z U 2 cos kz - 0 2+ *?1R exp(-4 2 . P1P2 exp：；：-+ *2Y2P2exp(1 觴。2 sin kz-Q2i2yiV2=0(4.12)丿11-r z6 - ky 廣 coskz ft -J”- %丿二 01 . 2-1z 2 1 1t、丿-z U1 cos kz d12z w21- z-kV2 汽 cos kz _ 0 2 t -Tl(4.13)(4.14)要使式(4.11)、(4.12)、(4.13)、

48、(4.14)組成的方程組有非平凡解，其系數(shù)行列式必 為零，即微擾必須滿足下面的色散關(guān)系：k4 k2(f1+f2)+f1f2=CxpM(4.15)其中4=21 211 *2 1P1 exp - ： 1Z(4.16)1 1f2 =詐202&02202 +2?2P2exp(-訃片(4.17)Cxpm =4021卩22?1為卩1卩2。2。2 exp(-c(1z)exp-c(2Z)(4.18)解式(4.15 )得k2 亠f2 -山 f2)2 -4(們2 -Cxpm*2*(4.19)2由(4.19)式可知，當該式取負號且ff : Cxpm時，k2 : 0,k為復(fù)數(shù)。由(4.9)、(4.10)式可知，此時微

49、擾Q、32指數(shù)增長，即發(fā)生調(diào)制不穩(wěn)定性，其必要條件為ff : Cxpm。微擾的功率增益為仁、12gGd)=2lm(k)=J2tf1 +f2 +4(Cxpm - 也卩2 -(人 + f2 (4.20)調(diào)制不穩(wěn)定條件(行2 Cxpm )表明，門在一定的范圍內(nèi)，增益g存在,對這些頻率下的穩(wěn)態(tài)解是不穩(wěn)定的。而且不論 GVD系數(shù)是什么符號，都可以產(chǎn) 生調(diào)制不穩(wěn)定性，對于雙光束，即使兩光束都為正常 GVD，調(diào)制不穩(wěn)定性也能 夠產(chǎn)生。那么g門的頻率范圍取決于 空1和空2是都為正，都為負，還是一個為 正一個為負，最小的頻率范圍對應(yīng)于兩光束的正色散區(qū)情況，由于這種情況下的 調(diào)制不穩(wěn)定性完全由XPM引起，下面對此

50、情況進一步討論。假設(shè)兩入射光波差別很小，則J1 022 0八2 0，1、2二，、S S =:-，丄r ： “2 = I。設(shè) d =4 R expl_ ： z ：2 0、b2 =4 P2 expl_ ： zl/ 2 0，調(diào)制不穩(wěn)定性的條件 CXPMf1 f2變?yōu)殚T2小c=丄(抵 +b2 丫 +12b1bJ -(bb2 )在兩光束的正常色散區(qū)oC=2 ；,器刃旺+卩2)2 +i2RpJ2 (PT J由式(4.20)可求出DDF中XPM的調(diào)制不穩(wěn)定性的增益譜為gg )=2lm(k )邛2(0 貝exp(妝廡O2 盧(4.21)(4.22)(4.23)4.2計算分析與討論上面經(jīng)過分析推導給出了同偏振不

51、同波長的兩光束在有損耗光纖中傳輸時, 三階非線性效應(yīng)與色散效應(yīng)在交叉相位調(diào)制下相結(jié)合產(chǎn)生調(diào)制不穩(wěn)定性的條件 以及調(diào)制不穩(wěn)定性增益譜的公式。假定門1乙，下面根據(jù)上述理論模型在 MATLAB中模擬調(diào)制不穩(wěn)定增益譜，從而得出調(diào)制不穩(wěn)定增益譜的譜寬、譜峰 與入纖功率、色散緩變參數(shù)以及損耗系數(shù)的關(guān)系。圖4.1給出了兩光波同在色散緩變光纖正色散區(qū)時不同色散縱向參量下的調(diào) 制不穩(wěn)定增益譜，由圖可見，在其它參量相同時，隨著色散縱向變化參量的增大， 增益譜的譜寬增大，譜峰位置遠離主波頻率， 但譜峰峰值變化不明顯。說明色散 縱向參量的增大有利于產(chǎn)生調(diào)制不穩(wěn)定性。圖4.2給出了兩光波同在色散緩變光纖正色散區(qū)時不同光纖損耗系數(shù)下的調(diào) 制不穩(wěn)定增益譜，由圖可見，在其它參量相同時，隨著光纖損耗系數(shù)的增大，增 益譜譜寬變小，譜峰峰值也減小，譜峰位置靠近主波頻率，說明損耗系數(shù)的增大 不利于產(chǎn)生調(diào)制不穩(wěn)定性。圖4.3給出