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1、能量的本征方程和本征值能量的本征方程和本征值式中f 稱為算符 的本征值,u 稱為算符 的屬于本征值 f 的本征函數(shù)??梢姸☉B(tài)Schrodinger方程就是Hamiton算符的本征值方程,即:其中E 為 的本征值,波函數(shù)(r)是Hamiton算符 屬于本征值 E 的本征函數(shù)。如果體系的Hamiton算符(或能量算符)有很多個本征值 E1, E2, E3, En,相應(yīng)的本征函數(shù)為 1, 2, 3, n,則第 n 個狀態(tài)的本征方程可寫成相應(yīng)的Schrodinger方程的特解為知道了特解后,則Schrodinger方程的一般解可寫成這些定態(tài)波函數(shù)的線性疊加,即:波函數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)條件波函數(shù)的統(tǒng)計解釋已經(jīng)指出
2、,歸一化的波函數(shù)為幾率波的振幅,波函數(shù)具有幾率幅的含義,模的平方與找到粒子的幾率成正比,因此數(shù)學(xué)上, 應(yīng)滿足三個條件:1) 單值性因?yàn)?是t時刻在處出現(xiàn)的幾率密度,因此物理上要求它 是唯一的,即要求 為單值函數(shù),只有這樣在t時刻r處找到粒子的幾率有唯一確定的值。 2) 有限性既要求粒子在有限空間范圍內(nèi)出現(xiàn)的幾率保持有限,即:3) 連續(xù)性定態(tài)Schrdinger方程中含有對坐標(biāo)一二階導(dǎo)數(shù),因此要求 及其對坐標(biāo)的一階導(dǎo)數(shù)連續(xù)。這三個條件是波函數(shù)的基本條件,必須記住,因?yàn)樵诮釹ch方程時經(jīng)常用到。求解Schrodinger方程的一般步驟 寫出Schrdinger方程2) 引入?yún)?shù)或做變量代換便于方程
3、可以求解3) 由波函數(shù)標(biāo)準(zhǔn)條件定出波函數(shù)和本征值4) 對波函數(shù)進(jìn)行歸一化5)對解的物理意義進(jìn)行討論-a 0 a xV(x)IIIIII例1一維無限深勢阱中運(yùn)動的粒子,求粒子的能級及對應(yīng)的波函數(shù),并對解的物理意義進(jìn)行討論。假設(shè)其勢能為:求解Schrodinger方程的實(shí)例方程可 簡化為:勢V(x)分為三個區(qū)域, 用 I 、II 和 III 表示, 其上的波函數(shù)分別為 I(x),II(x) 和 III (x)。則方程為:(2)引入?yún)?shù)使方程簡化(1)寫出Schrodinger方程(3)使用波函數(shù)標(biāo)準(zhǔn)條件從物理考慮,粒子不能透過無窮高的勢壁。 根據(jù)波函數(shù)的統(tǒng)計解釋,要求在阱壁上和阱壁 外波函數(shù)為零,
4、特別是 (-a) = (a) = 0。-a 0 aV(x)IIIIII1.單值,成立; 2.有限:當(dāng)x - , 有限條件要求 C2=0。利用波函數(shù)連續(xù)性條件可求出待定參數(shù)和(1)(2)(3)(4)由(3)得:由(4)得:合二為一得:合二為一得:再來求相應(yīng)的本征函數(shù)(n=1,2,3,4.)(4)對波函數(shù)進(jìn)行歸一化歸一化條件得:取實(shí)數(shù)最后有:(n=1,2,3,4.)-a 0 aV(x)IIIIIISchrodinger方程的一般形式為如果勢場U不含或不顯含時間,即則可用分離變量法,求解Schrodinger方程:令:于是:等式兩邊是相互無關(guān)的物理量,故應(yīng)等于與 t, r 無關(guān)的常數(shù)代入到方程(1)Schrodinger方程的特解稱為定態(tài) Schrodinger 方程此波函數(shù)與時間t的關(guān)系是正弦型的,其角頻率由de Broglie關(guān)系可知: E 就是體系處于
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