2021-2022學(xué)年高二物理競賽課件：能量的本征方程和本征值

1、能量的本征方程和本征值能量的本征方程和本征值式中f 稱為算符 的本征值，u 稱為算符 的屬于本征值 f 的本征函數(shù)。可見定態(tài)Schrodinger方程就是Hamiton算符的本征值方程，即：其中E 為 的本征值，波函數(shù)(r)是Hamiton算符 屬于本征值 E 的本征函數(shù)。如果體系的Hamiton算符（或能量算符）有很多個本征值 E1, E2, E3, En,相應(yīng)的本征函數(shù)為 1, 2, 3, n,則第 n 個狀態(tài)的本征方程可寫成相應(yīng)的Schrodinger方程的特解為知道了特解后，則Schrodinger方程的一般解可寫成這些定態(tài)波函數(shù)的線性疊加，即：波函數(shù)的標準條件波函數(shù)的統(tǒng)計解釋已經(jīng)指出

2、，歸一化的波函數(shù)為幾率波的振幅，波函數(shù)具有幾率幅的含義，模的平方與找到粒子的幾率成正比，因此數(shù)學(xué)上， 應(yīng)滿足三個條件：1) 單值性因為 是t時刻在處出現(xiàn)的幾率密度，因此物理上要求它 是唯一的，即要求 為單值函數(shù)，只有這樣在t時刻r處找到粒子的幾率有唯一確定的值。 2) 有限性既要求粒子在有限空間范圍內(nèi)出現(xiàn)的幾率保持有限，即:3) 連續(xù)性定態(tài)Schrdinger方程中含有對坐標一二階導(dǎo)數(shù)，因此要求 及其對坐標的一階導(dǎo)數(shù)連續(xù)。這三個條件是波函數(shù)的基本條件，必須記住，因為在解Sch方程時經(jīng)常用到。求解Schrodinger方程的一般步驟 寫出Schrdinger方程2) 引入?yún)?shù)或做變量代換便于方程

3、可以求解3) 由波函數(shù)標準條件定出波函數(shù)和本征值4) 對波函數(shù)進行歸一化5)對解的物理意義進行討論-a 0 a xV(x)IIIIII例1一維無限深勢阱中運動的粒子，求粒子的能級及對應(yīng)的波函數(shù)，并對解的物理意義進行討論。假設(shè)其勢能為：求解Schrodinger方程的實例方程可 簡化為：勢V(x)分為三個區(qū)域， 用 I 、II 和 III 表示， 其上的波函數(shù)分別為 I(x),II(x) 和 III (x)。則方程為：（2）引入?yún)?shù)使方程簡化（1）寫出Schrodinger方程（3）使用波函數(shù)標準條件從物理考慮，粒子不能透過無窮高的勢壁。 根據(jù)波函數(shù)的統(tǒng)計解釋，要求在阱壁上和阱壁 外波函數(shù)為零，

4、特別是 (-a) = (a) = 0。-a 0 aV(x)IIIIII1.單值，成立； 2.有限：當x - ， 有限條件要求 C2=0。利用波函數(shù)連續(xù)性條件可求出待定參數(shù)和(1)(2)(3)(4)由(3)得：由(4)得：合二為一得：合二為一得：再來求相應(yīng)的本征函數(shù)(n=1,2,3,4.)（4）對波函數(shù)進行歸一化歸一化條件得：取實數(shù)最后有：(n=1,2,3,4.)-a 0 aV(x)IIIIIISchrodinger方程的一般形式為如果勢場U不含或不顯含時間，即則可用分離變量法，求解Schrodinger方程：令：于是：等式兩邊是相互無關(guān)的物理量，故應(yīng)等于與 t, r 無關(guān)的常數(shù)代入到方程(1)Schrodinger方程的特解稱為定態(tài) Schrodinger 方程此波函數(shù)與時間t的關(guān)系是正弦型的，其角頻率由de Broglie關(guān)系可知： E 就是體系處于