多重積分的方法總結(jié)

1、D多重積分的方法總結(jié)引言：高等數(shù)學(xué)是一門嚴(yán)密的學(xué)科，在學(xué)習(xí)高數(shù)過程中，我認(rèn)為應(yīng)用最為廣泛的是積分，高數(shù)中積分包含了曲面積分、曲線積分、二重積分和三重積分等，它們?cè)谠S多學(xué)科中、生活中應(yīng)用比較廣泛，比如，要計(jì)算某個(gè)不規(guī)則物體的體積就可以運(yùn)用積分來求解，很多方面均可以轉(zhuǎn)化成微積分的面積，體積的思維來求，這就是它的優(yōu)點(diǎn)，這種面積和體積是一種抽像的概念了，到了更多重積分又會(huì)有更多和意義。那么，下面我將以二重積分和三重積分的定義、計(jì)算方法、主要應(yīng)用公式和二重積分與三重積分的關(guān)系為核心來介紹多重積分。(其中計(jì)算方法將通過例題來解釋)二重積分定義：設(shè)二元函數(shù)z=f(x,y)定義在有界閉區(qū)域D上將區(qū)域D任意分成

2、n個(gè)子域&(i=123,.,n)，并以&表示第i個(gè)子域的面積在&上任取一點(diǎn)(Ei，nD,作和limn+8(n/i=1(&)&)如果當(dāng)各個(gè)子域的直徑中的最大值入趨于零時(shí),此和式的極限存在，則稱此極限為函數(shù)f(x,y)在區(qū)域D上的二重積分，記為JJf(x,y)d8,即JJf(x,y)d6=limn+8(Zf(i，ni)A8i)這時(shí)，稱f(x,y)在D上可積，其中f(x,y)稱被積函數(shù)f(x,y)d6稱為被積表達(dá)式,d6稱為面積元素,D稱為積分域JJ稱為二重積分號(hào).同時(shí)二重積分有著廣泛的應(yīng)用，可以用來計(jì)算曲面的面積，平面薄片重心，平面薄片轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，平面薄片對(duì)質(zhì)點(diǎn)的引力等等。此外二重積分在實(shí)際生活，比

3、如無線電中也被廣泛應(yīng)用。二重積分的計(jì)算方法1直角坐標(biāo)系中累次積分法對(duì)于直角坐標(biāo)系下的二重積分主要是對(duì)于區(qū)域的劃分，可以分為如下兩類區(qū)域來計(jì)算。平面點(diǎn)集D=(x,y)1y1(x)，y，y2(x),a，x，b為x型區(qū)域；平面點(diǎn)集D=(x,y)Ix1(y)，x，x2(y),c，y，d為y型區(qū)域。x型區(qū)域:若f(x,y)在x型區(qū)域D上連續(xù)，其中y1(x),y2(x)在a,b上連續(xù)，則T=0，r十,0，0由分部積分法，即可算得：I=1圖2例2試將,f(xy)d化為兩種不同次序的累次積分，其中D是y=X由，Dy=2-x和x軸所圍成的區(qū)域試計(jì)算：1=,X2e-y2d的值D解：畫出區(qū)域圖1只能用先對(duì)X后先對(duì)積

4、y分，則1=,1dy,yx2e-y2dx=,1y3e-y2dy030解首先畫出積分區(qū)域D如圖2，并求出邊界曲線的交點(diǎn)（1,1）（0,0）及（2,0）。則,f（X,y）d=,f（X,y）dJJf（x,y）dDD1D2=J1dxJxf（x,y）dyJ2dxj2-xf（x,y）dy0010如果先積x后積則為,f（x,y）d=,1dy,2-yf（x，y）dx0yD2極坐標(biāo)中的累次積分法當(dāng)積分區(qū)域是圓域或圓域的一部分，或者被積函數(shù)的形式為f(x2y2)時(shí)，采用極坐標(biāo)變換x二rcos0y二rsin0于是二重積分極坐標(biāo)形式為JJf(x,y)dg二JJf(rcos,rsin)rdrd.DD例1把JJf(x，y

5、)dG化成極坐標(biāo)系中的累次積分,其中D是由圓Dx2+y2二2Ry所圍成的區(qū)域即為r=2Rsin作射線=0與=兀夾緊域D在0,刃中任作射線與域邊界交兩點(diǎn)ri=0，r2=2Rsin，得JJf(x,y)dg二JJf(rcos,rsin)rdrd.DD二JdJ2Rsinf(rcos,rsin)rdr.00例2在極坐標(biāo)系中，計(jì)算二重積分JJf(x2+y2)dG,D是由x2+y2二R12和Dx2+y2二R22(R1R2)所圍成的環(huán)形區(qū)域在第一象限的部分。解在極坐標(biāo)系中畫出區(qū)域D，如下圖，并把D的邊界曲線化為極坐標(biāo)方程，即為r二Rl,r二R2,作兩條射線=0與=尹緊積分域D-在。聲之間任作一射線與域D的邊界

6、交兩點(diǎn)rRl,rR2,所以有,(x2+y2)dg=,r2rdrDD,2d0,R2r3dr=(R4-R4),TOC o 1-5 h z0Rl82l如果積分域D是整個(gè)環(huán)形，顯然有DD,2兀d,R2r3dr0Rl2兀,R2r3dr=r4r2R2R1l兀捫2-R41).三重積分定義：如果當(dāng)各小閉區(qū)域的直徑中的最大值趨于零時(shí)這和的極限總存在，則稱此極限為函數(shù)f(xyz)在閉區(qū)域上的三重積分。體積元素設(shè)三元函數(shù)z=f(x,y,z)定義在有界閉區(qū)域Q上將區(qū)域Q任意分成n個(gè)子域vi(i=1,2,3，,n),并以Avi表示第i個(gè)子域的體積在Avi上任取一點(diǎn)(i,ni,Zi),作和limnT(n/i=1I(i,n

7、i,Zi)Avi)如果當(dāng)各個(gè)子域的直徑中的最大值入趨于零時(shí),此和式的極限存在，則稱此極限為函數(shù)f(x,y,z)在區(qū)域Q上的三重積分，記為TJJf(x,y,z)dv,即f(x,y,z)dv=limnT(If(i,ni,Zi)ASi),其中dv叫做體積三重積分的計(jì)算方法一般來說利用4種方法可以解答大多數(shù)三重積分的問題，并且它們之間有著密切的聯(lián)系。而同一題可以有多種解法，有簡(jiǎn)有繁，這就要因題而議了。這四種方法分別是：1、坐標(biāo)面投影法要注意圍成閉區(qū)間的上下兩個(gè)區(qū)面在一個(gè)軸平面的投影應(yīng)該相同2、坐標(biāo)軸投影要注意Dz(平行于XY面的橫截面)容易用一個(gè)變量Z表示。3、使用柱面參數(shù)要特別注意Z的上下限的確定，

8、其上下限主要取決此區(qū)域是曲面的那一段(哪一部分曲面)4、球面坐標(biāo)法。三重積分的計(jì)算是化為三次積分進(jìn)行的。其實(shí)質(zhì)是計(jì)算一個(gè)定積分(一重積分)和一個(gè)二重積分。從順序看：如果先做定積分f(x,y,z)dz，再做二重積分F(x,y)do，就是“投影法”，z1D也即“先一后二。步驟為：找，及在面xoy投影域D。多D上一點(diǎn)(x,y)穿線”確定z的積分限，完成了“先一”這一步(定積分)；進(jìn)而按二重積分的計(jì)算步驟計(jì)算投影域D上的二重積分，完成“后二”這一步。f(x,y,z)dv=z2f(x,y,z)dzdc，DZ如果先做二重積分JJf(x,y,z)dO再做定積分fF(z)dz就是“截面法”也即Dzc1先二后一

9、。步驟為：確定,位于平面z二c與z二c之間，即zc,c，過z1212作平行于xoy面的平面截,，截面D。區(qū)域D的邊界曲面都是z的函數(shù)。計(jì)算zz區(qū)域D上的二重積分JJf(x,y,z)do，完成了“先二”這一步(二重積分)；進(jìn)zDz而計(jì)算定積分F(z)dz/完成后一這一步。BIf(x,y,z)dv=c2f(x,y,z)ddzc,cD當(dāng)被積函數(shù)f(z)僅為z的函數(shù)(與x,y無關(guān))，且D的面積o(z)容易求出時(shí)，z“截面法”尤為方便。為了簡(jiǎn)化積分的計(jì)算，還有如何選擇適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系計(jì)算的問題?？梢园匆韵聨c(diǎn)考慮：將積分區(qū)域，投影到xoy面，得投影區(qū)域D(平面)D是X型或Y型，可選擇直角坐標(biāo)系計(jì)算(當(dāng)，的邊

10、界曲面中有較多的平面時(shí)，常用直角坐標(biāo)系計(jì)算)D是圓域(或其部分)，且被積函數(shù)形如f(x2+y2),f(Z)時(shí)，可選擇柱面x坐標(biāo)系計(jì)算(當(dāng),為圓柱體或圓錐體時(shí)，常用柱面坐標(biāo)計(jì)算),是球體或球頂錐體，且被積函數(shù)形如f(x2+y2+z2)時(shí)，可選擇球面坐標(biāo)系計(jì)算以上是一般常見的三重積分的計(jì)算方法。對(duì),向其它坐標(biāo)面投影或,不易作出的情形不贅述。0I，zdxdydz，0,1，6011卡1-xydxdyzdz，00013x-x2+x3-62x11(1-x-y)2dy，22001,1x41，4024(1-x)2y-(1-x)y2+3y30-xdx0三重積分的計(jì)算方法例題：1:計(jì)算二重積分I，zdxdydz,

11、其中0為平面x+y+z，1與三個(gè)坐標(biāo)面x，0,y，0,z，0圍成的閉區(qū)域。解1“投影法”1畫出0及在xoy面投影域D.2.“穿線”0z1x-yX型D:0 x10y1-x0 x1二0:0y1-x0z1-x-y00解2“截面法”1畫出0。2.ze0,1過點(diǎn)Z作垂直于z軸的平面截0得d。zD是兩直角邊為x,y的直角三角形，x，1-z,y，1-zzzdxdydz，zdxdydz，zSdzDz01-z)(1-z)dz，2+z3)dz，124002:計(jì)算x2+y2dv，其中0是x2+y2，z2和Z=1圍成的閉區(qū)域。解1“投影法”Izx2+2y21畫出及在xoy面投影域D.由zi消去z,2.“穿線”x2+y2z1,I-1x1-1一x2y1一x2I-1x1二:，一1一x2y1一x2x2+y2z13計(jì)算xdy11fx2x2+y2dzdxx2+y2(1一x2+y2)dy-1-1-x2-1-1-x2解2“截面法”1畫出。