連續(xù)時(shí)間傅里葉變換

1、第二章連續(xù)時(shí)間傅里葉變換1 周期信號(hào)的頻譜分析傅里葉級(jí)數(shù)FS狄義赫利條件：在同一個(gè)周期內(nèi)，間斷點(diǎn)的個(gè)數(shù)有限；極大值和極小值的數(shù)目有限；信號(hào)絕對(duì)可積。傅里葉級(jí)數(shù)：正交函數(shù)線性組合。正交函數(shù)數(shù)集可以以是三角角函數(shù)集集或復(fù)指指數(shù)函數(shù)數(shù)集，函函數(shù)周期期為T1，角頻頻率為。任何滿足足狄義赫赫利條件件周期函函數(shù)都可可展成傅傅里葉級(jí)級(jí)數(shù)。三角形式式的FSS：展開式：系數(shù)計(jì)算算公式：直流分量量：n次諧波波余弦分分量：n次諧波波的正弦弦分量：(iiii) 系系數(shù)和統(tǒng)稱為為三角形形式的傅傅里葉級(jí)級(jí)數(shù)系數(shù)數(shù)，簡(jiǎn)稱稱傅里葉葉系數(shù)。稱為信號(hào)號(hào)的基波波、基頻頻；為信信號(hào)的nn次諧波波。合并同頻頻率的正正余弦項(xiàng)項(xiàng)得：和分別

2、對(duì)對(duì)應(yīng)合并并后n次諧波波的余弦弦項(xiàng)和正正弦項(xiàng)的的初相位位。傅里葉系系數(shù)之間間的關(guān)系系：復(fù)指數(shù)形形式的FFS：展開式：系數(shù)計(jì)算算：系數(shù)之間間的關(guān)系系：關(guān)于n是是共扼對(duì)對(duì)稱的，即它們們關(guān)于原原點(diǎn)互為為共軛。正負(fù)n (n非零)處的的幅幅度和等等于或的幅度度。奇偶信號(hào)號(hào)的FSS：(i) 偶信號(hào)號(hào)的FSS：；(實(shí)，偶對(duì)稱稱)；(iii) 偶的周周期信號(hào)號(hào)的FSS系數(shù)只只有直流流項(xiàng)和余余弦項(xiàng)。(iiii)奇信號(hào)號(hào)的FSS：；(純虛虛，奇對(duì)對(duì)稱)；(iv) 奇的的周期信信號(hào)的FFS系數(shù)數(shù)只有正正弦項(xiàng)。周期信號(hào)號(hào)的傅里里葉頻譜譜：(i) 稱為信號(hào)號(hào)的傅里里葉復(fù)數(shù)數(shù)頻譜，簡(jiǎn)稱傅傅里葉級(jí)級(jí)數(shù)譜或或FS譜。(ii)

3、稱為信號(hào)號(hào)的傅里里葉復(fù)數(shù)數(shù)幅度頻頻譜，簡(jiǎn)簡(jiǎn)稱FSS幅度譜譜。(iiii)稱為傅里里葉復(fù)數(shù)數(shù)相位頻頻譜，簡(jiǎn)簡(jiǎn)稱FSS相位譜譜。(iv)周期信信號(hào)的FFS頻譜譜僅在一一些離散散點(diǎn)角頻頻率(或頻率率)上有值值。(v)FFS也被被稱為傅傅里葉離離散譜，離散間間隔為。(vi)FS譜譜、FSS幅度譜譜和相位位譜圖中中表示相相應(yīng)頻譜譜、頻譜譜幅度和和頻譜相相位的離離散線段段被稱為為譜線、幅度譜譜線和相相位譜線線，分別別表示FFS頻譜譜的值、幅度和和相位(viii)連接接譜線頂頂點(diǎn)的虛虛曲線稱稱為包絡(luò)絡(luò)線，反反映了各各諧波處處FS頻譜譜、幅度度譜和相相位譜隨隨分量的的變化情情況。(viiii)稱稱為單邊邊譜，

4、表表示了信信號(hào)在諧諧波處的的實(shí)際分分量大小小。(ix)稱為雙邊邊譜，其其負(fù)頻率率項(xiàng)在實(shí)實(shí)際中是是不存在在的。正正負(fù)頻率率的頻譜譜幅度相相加，才才是實(shí)際際幅度。周期矩形形脈沖序序列的FFS譜的的特點(diǎn)：(i) 譜線線包絡(luò)線線為Saa函數(shù)；譜線包絡(luò)絡(luò)線過(guò)零零點(diǎn)：(其中為譜譜線間隔隔)：，或，即當(dāng)時(shí)，。在頻域，能量集集中在第第一個(gè)過(guò)過(guò)零點(diǎn)之之內(nèi)。帶寬或只只與矩形形脈沖的的脈寬有有關(guān)，而而與脈高高和周期期均無(wú)關(guān)關(guān)。(定義為周周期矩形形脈沖信信號(hào)的頻頻帶寬度度，簡(jiǎn)稱稱帶寬)(9) 周期信信號(hào)的功功率：(10) 帕斯斯瓦爾方方程：2 非周周期信號(hào)號(hào)的頻譜譜分析傅里葉葉變換(FT)信號(hào)f (t)的傅里里葉變換

5、換：是信號(hào)的的頻譜密密度函數(shù)數(shù)或FTT頻譜，簡(jiǎn)稱為為頻譜(函數(shù))。頻譜密度度函數(shù)的的逆傅里里葉變換換為：稱為FTT的變換換核函數(shù)數(shù)，為IFTT的變換換核函數(shù)數(shù)。FT與IIFT具具有唯一一性。如如果兩個(gè)個(gè)函數(shù)的的FT或IFTT相等，則這兩兩個(gè)函數(shù)數(shù)必然相相等。FT具有有可逆性性。如果果，則必必有；反反之亦然然。信號(hào)的傅傅里葉變變換一般般為復(fù)值值函數(shù)，可寫成成稱為幅度度頻譜密密度函數(shù)數(shù)，簡(jiǎn)稱稱幅度譜譜，表示示信號(hào)的的幅度密密度隨頻頻率變化化的幅頻頻特性；稱為相位位頻譜密密度函數(shù)數(shù)，簡(jiǎn)稱稱相位譜譜函數(shù)，表示信信號(hào)的相相位隨頻頻率變化化的相頻頻特性。(7)FT頻譜譜可分解解為實(shí)部部和虛部部：(8)FT

6、存在在的充分分條件：時(shí)域信信號(hào)絕對(duì)對(duì)可積，即。注意：這這不必要要條件。有一些些并非絕絕對(duì)可積積的信號(hào)號(hào)也有FFT。FT及IIFT在在赫茲域域的定義義：；比較FSS和FT：FSFT分析對(duì)象象周期信號(hào)號(hào)非周期信信號(hào)頻率定義義域離散頻率率，諧波波頻率處處連續(xù)頻率率，整個(gè)個(gè)頻率軸軸函數(shù)值意意義頻率分量量的數(shù)值值頻率分量量的密度度值3 典型型非周期期信號(hào)的的FT頻譜譜單邊指數(shù)數(shù)信號(hào)：幅度譜：相位譜：?jiǎn)芜呏笖?shù)數(shù)信號(hào)及及其幅度度譜、相相位譜如如圖1所示。圖1 (a)單單邊指數(shù)數(shù)信號(hào) (b)幅度譜譜 (cc)相位位譜(2) 偶雙雙邊指數(shù)數(shù)信號(hào)：，為實(shí)偶偶函數(shù)。幅度譜：相位譜：偶雙邊指指數(shù)信號(hào)號(hào)及其頻頻譜如圖圖

7、2所示。圖2 (a)偶偶雙邊指指數(shù)信號(hào)號(hào) (bb)頻譜譜(3) 矩形形脈沖信信號(hào)： (脈寬寬為、脈脈高為EE)，為實(shí)函函數(shù)。幅度譜：相位譜：矩形脈沖沖信號(hào)及及其頻譜譜如圖33所示。圖3 (a)矩矩形脈沖沖信號(hào) (b)頻譜矩形脈沖沖FT的特特點(diǎn)：(i) FTT為Sa函數(shù)數(shù)，原點(diǎn)點(diǎn)處函數(shù)數(shù)值等于于矩形脈脈沖的面面積；(ii) FTT的過(guò)零零點(diǎn)位置置為；(iiii)頻域域的能量量集中在在第一個(gè)個(gè)過(guò)零點(diǎn)點(diǎn)區(qū)間之之內(nèi)(iv) 帶寬寬為或，只與與脈寬有有關(guān)，與與脈高EE無(wú)關(guān)。信號(hào)等效效脈寬：信號(hào)等效效帶寬：圖4 (a)信信號(hào)的等等效脈寬寬 (bb)等效效帶寬(4) 符號(hào)號(hào)函數(shù)：不滿足足絕對(duì)可可積條件件，但

8、存存在FTT。幅度譜：相位譜：符號(hào)函數(shù)數(shù)及其頻頻譜如圖圖5所示。圖5 (a)符符號(hào)函數(shù)數(shù) (bb)頻譜譜(5) 沖激激信號(hào)：均勻譜/白色譜譜：頻譜譜在任何何頻率處處的密度度都是均均勻的。強(qiáng)度為EE的沖激激函數(shù)的的頻譜是是均勻譜譜，密度度就是沖沖激的強(qiáng)強(qiáng)度。單位沖激激信號(hào)及及直流信信號(hào)的頻頻譜函數(shù)數(shù)總結(jié)：FT定義義FT可逆逆性FT可逆逆性IFT定定義(6) 階躍躍信號(hào)：不滿足足絕對(duì)可可積條件件，但存存在FTT在處有一一個(gè)沖激激，該沖沖激來(lái)自自中的直直流分量量。單位階躍躍信號(hào)及及其幅度度譜如圖圖6所示。圖6 單單位階躍躍函數(shù)及及其幅度度譜4 FTT的性質(zhì)質(zhì)線性性：線性性包包括：齊齊次性；疊加性性。

9、奇偶虛實(shí)實(shí)性：偶偶奇奇實(shí)偶實(shí)偶偶 (FFT可變變?yōu)橛嘞蚁易儞Q)實(shí)奇虛奇奇 (FFT可變變?yōu)檎蚁易儞Q)實(shí)信號(hào)的的FT：(實(shí)信號(hào)號(hào)可分解解為：實(shí)實(shí)偶+實(shí)奇)實(shí)部是偶偶函數(shù)，虛部是是奇函數(shù)數(shù)：實(shí)實(shí)實(shí)偶+jj實(shí)奇偶共扼對(duì)對(duì)稱：幅度譜為為偶函數(shù)數(shù)，相位位譜為奇奇函數(shù)：實(shí)實(shí)偶EXXP(實(shí)實(shí)奇)虛信號(hào)的的FT具有有奇共扼扼對(duì)稱性性：偶共軛對(duì)對(duì)稱或奇奇共軛對(duì)對(duì)稱的函函數(shù)滿足足幅度對(duì)對(duì)稱：。實(shí)信號(hào)或或虛信號(hào)號(hào)的FTT幅度譜譜偶對(duì)稱稱，幅度度譜函數(shù)數(shù)是偶函函數(shù)。反褶和共共軛性：時(shí)域頻域原信號(hào)f(t)F()反褶f(-tt)F(-)共扼f *(t)F*(-)反褶+共共扼f *(-t)F*()對(duì)偶性：傅里葉正正逆變換

10、換的變換換核函數(shù)數(shù)是共軛軛對(duì)稱的的：；表示按自自變量進(jìn)進(jìn)行傅里里葉變換換，結(jié)果果是t的函數(shù)數(shù)。IFT可可以通過(guò)過(guò)FT來(lái)實(shí)實(shí)現(xiàn)。FT的對(duì)對(duì)偶特性性：若為偶函函數(shù)，則則；若為奇函函數(shù)，則則。尺度變換換特性：此性質(zhì)表表明：時(shí)時(shí)域壓縮縮對(duì)應(yīng)頻頻域擴(kuò)展展、時(shí)域域擴(kuò)展對(duì)對(duì)應(yīng)頻域域壓縮。時(shí)移特性性：時(shí)移不影影響幅度度譜，只只在相位位譜上疊疊加一個(gè)個(gè)線性相相位。與尺度變變換特性性綜合：(7) 頻移移特性：與尺度變變換特性性綜合：頻譜搬移移：時(shí)域域信號(hào)乘乘以一個(gè)個(gè)復(fù)指數(shù)數(shù)信號(hào)后后，頻譜譜被搬移移到復(fù)指指數(shù)信號(hào)號(hào)的頻率率位置處處。利用用歐拉公公式，通通過(guò)乘以以正弦或或余弦信信號(hào)達(dá)到到頻譜搬搬移目的的。(8) 微分

11、分特性：時(shí)域微分分：頻域微分分：如果連續(xù)續(xù)運(yùn)用微微分特性性，則(9) 積分分特性：時(shí)域積分分：如果在處處有界(或)，則頻域積分分：(100)卷積積定理：時(shí)域卷積積定理：頻域卷積積定理：(111)時(shí)域域相關(guān)性性定理：若是實(shí)偶偶函數(shù)，則。此此時(shí)，相相關(guān)性定定理與卷卷積定理理一致。自相關(guān)的的傅里葉葉變換：。即函函數(shù)的自自相關(guān)函函數(shù)與其其幅度譜譜的平方方是一對(duì)對(duì)傅里葉葉變換對(duì)對(duì)）。(12) 帕斯斯瓦爾定定理：5 周期期信號(hào)的的FT(1) 正余弦弦信號(hào)的的FT：余弦信號(hào)號(hào)和正弦弦信號(hào)的的頻譜如如圖7所示：圖7 余余弦信號(hào)號(hào)和正弦弦信號(hào)的的FT(2) 一般般周期信信號(hào)的FFT：(i)設(shè)設(shè)周期為為的周期期信

12、號(hào)在在第一個(gè)個(gè)周期內(nèi)內(nèi)的函數(shù)數(shù)為，則(iii) 周期單單位沖激激序列的的FT：FT的對(duì)對(duì)偶性() 沖激串FFS為：FT的線線性性一般周期期信號(hào)的的FT：(iv)(v) 關(guān)系圖圖：圖8非周周期信號(hào)號(hào)FT與周周期信號(hào)號(hào)FS/FT比比較6抽樣信信號(hào)的FFT抽樣信號(hào)號(hào)的FTT：理想抽樣樣前后信信號(hào)頻譜譜的變化化如圖99所示：結(jié)論1：按間隔隔進(jìn)行沖沖激串抽抽樣后信信號(hào)的傅傅里葉變變換，是是周期函函數(shù)，是是原函數(shù)數(shù)傅里葉葉變換的的分之一一按周期期所進(jìn)行行的周期期延拓。結(jié)論2：時(shí)域離離散頻域域周期圖9理想想抽樣信信號(hào)的FFT7 抽樣樣定理抽樣定理理：要保保證從信信號(hào)抽樣樣后的離離散時(shí)間間信號(hào)無(wú)無(wú)失真地地恢復(fù)原原始時(shí)間間連續(xù)信信號(hào)（即即抽樣不不會(huì)導(dǎo)致致任何信信息丟失失），必必須滿足足：信號(hào)號(hào)是頻帶帶受限的的(信號(hào)頻頻率區(qū)間間有限)；采樣樣率至少少是信號(hào)號(hào)最高頻頻率的兩兩倍。概念(名名詞)：抽樣周期期：進(jìn)行行理想采采樣的沖沖激串的的周期。抽樣頻率率：抽樣角頻頻率：奈奎斯特特率：無(wú)無(wú)失真恢