創(chuàng)意平板折疊桌

1、2014 高教社杯大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競賽承諾書仔細(xì)閱讀了大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競賽章程和大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競賽參賽規(guī)則（以下簡稱為“競賽章程和參賽規(guī)則”，可從大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競賽）。完全明白，在競賽開始后參賽隊(duì)員不能以任何方式（包括、電子郵件、網(wǎng)上等）與隊(duì)外的任何人（包括指導(dǎo)教師）研究、與賽題有關(guān)的問題。知道，別人的成果是競賽章程和參賽規(guī)則的，如果別人的成果或其他公開的資料（包括網(wǎng)上查到的資料），必須按照規(guī)定的參考文獻(xiàn)的表述方式在正文處和參考文獻(xiàn)中明確列出。鄭重承諾，嚴(yán)格遵守競賽章程和參賽規(guī)則，以保證競賽的公正、公平性。競賽章程和參賽規(guī)則的行為，受到嚴(yán)肅處理。大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競賽，可將的以進(jìn)行公開展示（包括進(jìn)行網(wǎng)

2、上，在書籍、期刊和其他進(jìn)行正式或非正式等）。參賽選擇的題號是（從 A/B/C/D 中選擇一項(xiàng)填寫）：B的報(bào)名參賽隊(duì)號為（8 位數(shù)字組成的）：10061050所屬學(xué)校（請?zhí)顚懲暾娜亨]電大學(xué)參賽隊(duì)員 (打印并簽名) ：1.2.3.王 玨(打印并簽名)：指導(dǎo)教師或指導(dǎo)教師組（紙質(zhì)版與中的以上信息必須一致，只是中無需簽名。以上內(nèi)容請仔細(xì)核對，提交后將不再允許做任何修改。如填寫錯(cuò)誤，消評獎(jiǎng)資格。）可能被取日期： 2014 年 9 月 15 日賽區(qū)評閱（由賽區(qū)評閱前進(jìn)行）：2014 高教社杯大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競賽頁賽區(qū)評閱（由賽區(qū)評閱前進(jìn)行）：賽區(qū)評閱（可供賽區(qū)評閱時(shí)使用）：（由賽區(qū)送交前）：評閱（由

3、評閱前進(jìn)行）：創(chuàng)意平板折疊桌摘要本文主要研究了在實(shí)用性和美觀性要求下，平板折疊桌的設(shè)計(jì)問題。針對問題一，首先確定了桌面位置和桌腿長度，得到最長桌腿長度為52.19cm，最短桌腿長度為 35.03cm，其余桌腿長度請見正文?？紤]到當(dāng)桌子折疊時(shí)，由于鋼筋的作用，內(nèi)側(cè)桌腿的位置由最外側(cè)桌腿的位置決定，因此折疊桌的動(dòng)態(tài)變化過程人為地分成最外側(cè)四根桌腿的運(yùn)動(dòng)和內(nèi)側(cè)桌腿的運(yùn)動(dòng)，并分別用鋼筋的運(yùn)動(dòng)軌跡曲線和桌腳邊緣曲線的變化來描述二者的動(dòng)態(tài)變化過程，具體模型請見正文。在求解桌腿木條開槽長度時(shí)，首先證明鋼筋在內(nèi)側(cè)桌腿上的運(yùn)動(dòng)方向是不變的，那么開槽長度就是鋼筋在桌腿上的初始位置與最終位置之間的距離，求解得到結(jié)果

4、如下表所示：表 1桌腿木條開槽長度：cm注：右側(cè) 21 至 40 號桌腿木條開槽長度依次與 1 至 20 號桌腿木條的開槽長度相等。折疊桌的三個(gè)設(shè)計(jì)指標(biāo)轉(zhuǎn)化成桌子最長桌腿的 和針對問題二，最短桌腿與豎直線間夾角 的大小，建立多目標(biāo)優(yōu)化模型，然后多目標(biāo)綜單目標(biāo)來進(jìn)行求解，并針對題目中的具體例子給出了最優(yōu)設(shè)計(jì)參數(shù)，得到平板尺寸為159.2cm80cm3cm ，鋼筋在最外側(cè)桌腿上的固定點(diǎn)到鉸鏈的距離與該桌腿長度的比值k 0.51，各木條開槽長度請見正文。針對問題三給出了根據(jù)客戶任意設(shè)定的相關(guān)參數(shù)設(shè)計(jì)折疊桌的步驟和數(shù)學(xué)模型，具體請見正文。根據(jù)所建模型，設(shè)計(jì)了方桌和橢圓桌，求出了相關(guān)設(shè)計(jì)加工參數(shù)以及動(dòng)態(tài)

5、變化示意圖，具體數(shù)值和示意圖請見正文。：折疊桌、動(dòng)態(tài)變化、邊緣線、開槽長度、AutoCAD1桌腿號12345678910開槽長度0.004.367.6610.3712.5914.3915.8016.8417.5317.87桌腿號11121314151617181920開槽長度17.8717.5316.8415.8014.3912.5910.377.664.360.00一、 問題重述有一種可折疊的桌子，桌面呈圓形，桌腿隨著鉸鏈的活動(dòng)可以平攤成一張平板。桌腿由若干根木條組成，分成兩組，每組各用一根鋼筋將木條連接，鋼筋兩端分別固定在桌腿各組最外側(cè)的兩根木條上，并且沿木條有空槽以保證滑動(dòng)的自由度。下面

6、要求建立數(shù)學(xué)模型以下問題：給定長方形平板尺寸、每根木條的寬度和連接桌腿木條的鋼筋位置，在折疊后桌子的高度為 53 cm 的要求下建立模型描述此折疊桌的動(dòng)態(tài)變化過程，在此基礎(chǔ)上給出此折疊桌的設(shè)計(jì)加工參數(shù)和桌腳邊緣線的數(shù)學(xué)描述。折疊桌的設(shè)計(jì)應(yīng)做到產(chǎn)品穩(wěn)固性好、加工方便、用材最少。對于任意給定的折疊桌高度和圓形桌面直徑的設(shè)計(jì)要求設(shè)計(jì)加工參數(shù)。3. 公司計(jì)劃開發(fā)一種折疊桌設(shè)計(jì)長方形平板材料和折疊桌的最優(yōu)，根據(jù)客戶期望設(shè)計(jì)折疊桌，要求給出這一桌。設(shè)計(jì)的數(shù)學(xué)模型，并根據(jù)所建立的模型給出自己設(shè)計(jì)的創(chuàng)意平板折疊二、 問題假設(shè)1、假設(shè)桌面各木條之間無縫連接；2、假設(shè)桌子平攤時(shí)桌腿與桌面之間無縫；3、 假設(shè)平板厚

7、度為 3cm 不變化；4、 計(jì)算中假設(shè)桌腿木條為寬度和厚度不計(jì)的線段；5、 假設(shè)加工方便度主要與木條根數(shù)有關(guān)；6、 假設(shè)木條加工過程均為精確裁剪，沒有其他損耗；7、 假設(shè)桌腳邊緣線為連續(xù)光滑曲線；8、 不考慮鉸鏈對桌腿旋轉(zhuǎn)角度的影響。三、 符號說明L : 長方形平板的長；e ：長方形平板的厚度；H ：折疊桌的高度；r ：圓形桌面的半徑；li ：第i 根桌腿的長度； ：最外側(cè)桌腳所在直線與豎直線之間的銳角夾角； ：最外側(cè)桌腳所在直線與水平線之間的銳角夾角；h ：桌面下表面到地面的距離，即折疊桌高度減去平板厚度；(xA , zA )：折疊桌正視圖中鋼筋的投影點(diǎn)坐標(biāo)；l槽i ：第i 根桌腿的開槽長度

8、；s1 ：折疊桌正視圖上外側(cè)最長桌腿的鉸鏈位置投影點(diǎn)到桌面圓心投影點(diǎn)的距離；s2 ：折疊桌正視圖上內(nèi)側(cè)最短桌腿的鉸鏈位置投影點(diǎn)到桌面圓心投影點(diǎn)的距離； ：正視圖上兩側(cè)最長桌腿的桌腳之間距離的一半；k ：鋼筋在最外側(cè)桌腿上的固定點(diǎn)到鉸鏈的距離與該桌腿長度的比值。2四、 問題分析創(chuàng)意平板折疊桌使用靈活方便，既能折疊成造型優(yōu)美的邊桌，又能平攤成平板，節(jié)省空間。但是在設(shè)計(jì)折疊桌時(shí)需要考慮多方面的，從產(chǎn)品實(shí)用性方面需要考慮穩(wěn)固性、材料使用量等面邊緣線和桌腳邊緣線形狀等，從產(chǎn)品美觀性方面則應(yīng)考慮桌子高度、桌需要解決就是了解折疊桌變化的動(dòng)態(tài)過程，并兼顧折疊桌的實(shí)用性和美觀性設(shè)計(jì)出更好的折疊桌。4.1 問題一

9、的分析問題一要求在長方形平板尺寸、每根木條寬度、鋼筋位置以及折疊后桌子高度確定的情況下建立數(shù)學(xué)模型描述折疊桌的動(dòng)態(tài)變化過程，并在此基礎(chǔ)上給出設(shè)計(jì)加工參數(shù)和桌腳邊緣線的數(shù)學(xué)描述。首先要做的是確定圓形桌面的位置以及桌腿的長度，根據(jù)題目所給圖示，就以長方形平板的中心作為圓形桌面的圓心，以平板的寬作為圓形桌面的直徑。已知平板寬度和桌腿寬度后，通過簡單計(jì)算得到折疊桌每組桌腿有 20根，那么將平板的寬進(jìn)行 20 等分就得到了每根桌腿的位置，每根桌腿中位線與圓形桌面外邊緣線交于一點(diǎn)，該點(diǎn)與桌腿寬的中點(diǎn)的連線段長度即桌腿的長度。在從平板變化到折疊桌的過程中，起決定作用的是每組最外側(cè)的桌腿，根據(jù)問題一中給出的桌

10、子折疊后高度，在求出桌腿長度之后，就可以求出外側(cè)四根桌腿最終位置的。起支撐作用的四根桌腿位置確定后，就能夠得到連接每組木條的鋼筋位置，則桌子折疊后這一組中的其余桌腿所在直線都與鋼筋所在直線垂直相交，那么折疊桌內(nèi)側(cè)桌腿的變化過程就可以看作是每根桌腿都繞著連接桌腿與桌面的鉸鏈旋轉(zhuǎn)到與鋼筋相交的位置為止。按照這個(gè)可以人為地將桌腿的動(dòng)態(tài)變化過程分為最外側(cè)桌腿的運(yùn)動(dòng)和內(nèi)側(cè)桌腿的運(yùn)動(dòng)，分別用鋼筋的運(yùn)動(dòng)軌跡和桌腳邊緣線的變化來描述二者的動(dòng)態(tài)變化過程。很明顯桌腳的邊緣線是一條三維曲線，也就是要在建立合適的三維直角坐標(biāo)系之后，得到邊緣曲線上每一點(diǎn)坐標(biāo) x、y、z 之間的關(guān)系，直接求解較為，這里可以針對邊緣曲線上

11、的每一點(diǎn)，利用折疊桌的三視圖，將三維轉(zhuǎn)化為二維，再通過尋找等式關(guān)系，得到邊緣曲線的表達(dá)式。為了在桌子折疊過程中使鋼筋能夠地在內(nèi)側(cè)的木條滑動(dòng)，需要在內(nèi)側(cè)的木條上開空槽，每根桌腿上空槽的長度就決定于折疊過程中鋼筋在該根桌腿上的最大移動(dòng)距離。可以證明在桌子折疊過程中鋼筋在桌腿上的移動(dòng)方向是不變的，因此只需要根據(jù)起始時(shí)鋼筋在桌腿上的位置以及桌子折疊后鋼筋的位置，就能夠得到每根桌腿空槽的長度。4.2 問題二的分析問題二要求在穩(wěn)固性好、加工方便和用材最少的條件下，對于任意給定的折疊桌高度和圓形桌面直徑，給出設(shè)計(jì)加工參數(shù)。首先對設(shè)計(jì)要求逐個(gè)進(jìn)行分析，加工的方便程度主要取決于桌腿的根數(shù)以及桌腿的開槽長度，若仍

12、然以長方形平板的寬度作為圓形桌面的直徑，那么桌腿的根數(shù)就決定于桌腿的寬度，桌腿的寬度比較難確定，而且對于折疊桌的其他性能沒有本質(zhì)的影響，因此這里就設(shè)桌腿的寬度不變，仍然為 2.5cm，這樣加工方便程度就只與桌腿的開槽長度有關(guān)，開槽總長度越小，加工越便利。影響折疊桌穩(wěn)固性的是桌子內(nèi)側(cè)桌腿與外側(cè)最長的桌腿在鋼筋軸上的相互作用力，可以證明當(dāng)桌子的兩組桌腿中間最短的那根桌腿的延長線經(jīng)過桌面中心在地3面上的投影點(diǎn)時(shí)，折疊桌最穩(wěn)固。另外在用材最少方面由于仍然以長方形平板的寬度作為圓形桌面的直徑，那么給定桌面圓的直徑之后，長方形平板的寬就確定了，用材的多少就取決于桌腿的長度，根本上決定于最外側(cè)桌腿的長度，對

13、于任意給定的桌子高度，最外側(cè)桌腿的長度與桌腿有關(guān)，越小，桌腿長度就越短，因此問題就轉(zhuǎn)化為尋找最小的件的優(yōu)化問題。，使得桌子的其他設(shè)計(jì)參數(shù)滿足一定條4.3 問題的分析問題三要求建立數(shù)學(xué)模型，根據(jù)客戶任意給定的折疊桌高度、桌面邊緣線形狀和尺寸以及桌腳邊緣線的大致形狀設(shè)計(jì)折疊桌。對于桌面邊緣線形狀，要求客戶給出的圖形是對稱的，然后就以穩(wěn)定性為前提，以平板寬度作為圖形對稱軸長度，以正方形為例，理論上可以將平板寬度作為正方形邊長長度或者對角線長度理論上若將平板寬度作為正方形邊長長度，那么在折疊過程中，桌子每側(cè)的所有桌腿都在一個(gè)平面上，鋼筋起不到固定的作用，因此這種設(shè)計(jì)方案是不可行的，只能將平板的寬度作為

14、正方形對角線的長度。這樣根據(jù)客戶給定的桌面邊緣線形狀和尺寸就能確定平板的寬度。在確定桌腿寬度時(shí)，采用比例分配法，也就是假定桌腿根數(shù)不變?yōu)?20根，那么根據(jù)平板的寬度就能求出桌腿的寬度，接著根據(jù)具體的桌面形狀可以根據(jù)問題一中的方法決定鉸鏈的安裝位置。為了使客戶設(shè)計(jì)的折疊桌具有實(shí)用性，桌子必須滿足一定的穩(wěn)固性要求，我們在設(shè)計(jì)時(shí)，就讓桌子達(dá)到最穩(wěn)固的狀態(tài)，即桌子最中間的那根桌腿的延長線經(jīng)過桌面在地面上的投影的中心，在鉸鏈位置和桌子高度一定后，那么折疊桌最中間那根桌腿的方向就唯一確定了。接著需要客戶給出桌腳邊緣線的形狀，由于桌腳的邊緣線是一條三維曲線，一般的客戶不可能給出這三維曲線的確切表達(dá)式，那么就

15、讓客戶給出折疊桌左視圖中桌腳邊緣線的大致形狀以及最基本的參數(shù)，假設(shè)指定左視圖中桌腳邊緣線為拋物線，并給出拋物線最高點(diǎn)距離地面的高度，這樣中間最短的那根桌腿的長度就可以求得。同時(shí)還需要客戶給出正視圖中桌子兩側(cè)最長桌腿的桌腳之間的距離，這樣最外側(cè)桌腿的長度也能夠確定，同時(shí)最外側(cè)桌腿和最中間桌腿在正視圖上的投影直線的交點(diǎn)就是鋼筋的位置。由于在此之前各桌腿鉸鏈位置確定，同時(shí)根據(jù)客戶給出的左視圖上桌腳邊緣曲線的形狀可以確定正視圖上各桌腿桌腳的位置，那么連接桌腿鉸鏈位置和桌腳位置，就得到了各個(gè)桌腿的長度和折疊后的位置。通過以上的過程可以得到各桌腿鉸鏈安裝位置、各桌腿長度以及折疊后的位置、鋼筋位置，那么根據(jù)

16、問題一中的方法，就可以方便地求得桌腿開槽的長度，折疊桌的設(shè)計(jì)工作也就基本完成了。五、 模型建立與求解5.1 問題一的建模與求解5.1.1 確定圓形桌面位置以及桌腿長度根據(jù)題目中給出的折疊桌示意圖，確定以長方形平板的中心作為圓形桌面的圓心，以平板的寬作為圓形桌面的直徑，因此桌面的半徑r 25cm 。平板的寬為 50cm，每根木條的寬為 2.5cm，那么在不考慮桌腿之間縫隙的4三條件下，桌子每組桌腿有 20 根，則可以將長方形平板的寬 20 等分，作為折疊桌的桌腿。下面的主要問題就是每根桌腿的長度，也就是桌腿與桌面的連接位置，這里的思路是過桌腿木條的中位線與圓形桌面外邊緣線的交點(diǎn)作木條寬邊的平行線

17、段，以此作為該根桌腳與桌面的連接位置，利用 AutoCAD 作出示意圖如圖 5.1.1 所示。圖 5.1.1 圓形桌面位置及桌腿長度確定為說明方便，這里對折疊桌的桌腿進(jìn)行，在圖 5.1.1 中將桌腿從上到下，用i 表示桌腿（1 i 40）。從左至右依次對上圖作局部放大說明，示意圖如下：(a)(b)圖 5.1.2 桌腿長度局部放大圖以圖 5.1.2(a)中第i 根桌腿為例，線段M N 為長方形平板寬邊的第i 等份，點(diǎn) P 為線段M N 的中點(diǎn)，過點(diǎn) P 作桌腿長邊的平行線，交圓形桌面外邊緣圓于5點(diǎn) P ，過點(diǎn) P 作木條寬邊 M N 的平行線段，交木條長邊于點(diǎn)M、N ，則線段 MN就是第i 根桌

18、腿與圓形桌面的連接位置，也就是鉸鏈安裝的位置。線段M N 和線段 MN 之間的距離li 就是第i 根桌腿的長度。第 1 至 10 根桌腿和第 11 至 20 根桌腿是對稱的，因此在這里具體計(jì)算第 11 至 20 根桌腿的長度。如圖 5.1.2(b)所示，第i 根桌腿的長度li 等于長方形平板長度的一半 L 減去該桌腿鉸鏈位置到圓形桌面平行于平板寬的方向的直徑的2距離d ，即l L d L r2 y2i22 L r2 2.5 (i 11) 1.252(11 i 20)2根據(jù)上式利用編程求解（具體程序請見附錄），得到桌腿長度為表 5.1.1 桌腿長度：cm注：右側(cè) 21 至 40 號桌腳長度依次與

19、 1 至 20 號桌腳長度相等。5.1.2 折疊桌動(dòng)態(tài)變化過程描述首先建立三維直角坐標(biāo)系，以長方形平板下表面的中心作為原點(diǎn)，以平板寬的中點(diǎn)和中心的連線方向作為 x 軸方向，以平板長的中點(diǎn)和中心的連線方向作為 y 軸方向，過中點(diǎn)垂直于平板方向作為 z 軸方向，使其滿足右手螺旋法則，示意圖如圖 5.1.3 所示:圖 5.1.3 坐標(biāo)軸的建立為下面敘述方便，給出如下定義：定義一 旋轉(zhuǎn)角（ ）：定義在桌子折疊過程中，最外側(cè)桌腳所在直線與水平線之間的銳角夾角為該桌腿的旋轉(zhuǎn)角。（ ）：定義在桌子折疊過程中，最外側(cè)桌腳所在直線與豎直定義二線之間的銳角夾角為該桌腿的。6桌腿12345678910桌腿長52.1

20、946.8343.4641.0039.1237.6736.5835.7935.2835.03桌腿11121314151617181920桌腿長35.0335.2835.7936.5837.6739.1241.0043.4646.8352.19由于桌子兩側(cè)是對稱的，因此細(xì)說明。為了說明方便起見，只對桌子左側(cè)桌腿的動(dòng)態(tài)變化過程進(jìn)行詳桌子折疊的過程人為劃分為兩個(gè)步驟：1）桌子最外側(cè)起關(guān)鍵支撐作用的桌腿的動(dòng)態(tài)變化在桌子折疊過程中，旋轉(zhuǎn)角 增大， 減小，根據(jù)題目中給出的折疊桌的高度和上述求出的桌腿長度，可以得到最終位置的 min ，角度確定之后，折疊桌的大致形狀就確定了，連接各桌腿的鋼筋位置也就確定。也

21、就是在從長方形平板變化到折疊桌的過程中，最外側(cè)的桌腿繞著鉸鏈位置向下轉(zhuǎn)動(dòng)至旋轉(zhuǎn)角最大max ，最小min 的位置。由于鋼筋是固定在最外側(cè)桌腿上，因此可以用鋼筋的運(yùn)動(dòng)來描述最外側(cè)桌腿的動(dòng)態(tài)變化過程。從折疊桌的正視圖看，鋼筋投影到 xoz 面時(shí)匯集為一點(diǎn) A ，這一點(diǎn)的軌跡圖如下所示：圖 5.1.4 鋼筋運(yùn)動(dòng)軌跡圖圖中曲線 A0 A 就是鋼筋在 xoz 面上的投影點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡，可以寫出鋼筋正投影點(diǎn)的坐標(biāo)隨 變化的關(guān)系式為x L l l20 sin2022 m,ax lz cos 20 2其中 L 表示長方形平板的長，h 表示桌面下表面到地面的距離，即h H e ，hl 表示最外側(cè)桌腿（為 20）的

22、長度， arccos。2020minl代入具體數(shù)值進(jìn)行計(jì)算，得到鋼筋正投影點(diǎn)軌跡表達(dá)式為x 7.8 16.1sin , 16.7,90z 16.1 cos2）其余內(nèi)側(cè)桌腿的動(dòng)態(tài)變化在最外側(cè)的桌腿旋轉(zhuǎn)到位之后，鋼筋最終位置確定，中間桌腿的變化過程就是從起始位置繞鉸鏈旋轉(zhuǎn)至與鋼筋相交的位置，對于內(nèi)側(cè)桌腿的動(dòng)態(tài)變化，利用桌腳邊緣曲線的變化來對其進(jìn)行描述。在求解桌腳邊緣曲線時(shí)，利用微分7，假設(shè)折疊桌有無數(shù)根桌腿，也就是令桌腿寬度趨于 0，將長方形平板的寬分成無數(shù)份，這樣折疊桌的每個(gè)桌腳都對應(yīng)邊緣曲線上的一個(gè)點(diǎn)，就可以通過尋找每根桌腿位置滿足的等式來求解邊緣曲線的表達(dá)式。很明顯桌腳的邊緣線應(yīng)該是一條三維

23、曲線，直接求解較為，在這里利用降維，研究折疊桌的正視圖和俯視圖，找到曲線上任意一點(diǎn)坐標(biāo)(x, y, z)中 x、y、z 之間的關(guān)系，最后通過轉(zhuǎn)化得到桌腳邊緣曲線的參數(shù)表達(dá)式。利用 AutoCAD 畫出正視圖和俯視圖如下圖所示：圖 5.1.5 折疊桌正視圖圖 5.1.6 長方形平板俯視圖假設(shè)桌子折疊后桌腳邊緣曲線上任意一點(diǎn)坐標(biāo)為(x, y, z) ，其在 xoz 平面的正投影點(diǎn)坐標(biāo)為(x, z) ，圖中最外側(cè)的桌腿的長度為l ，坐標(biāo)為(x, z )。在正視圖中，鋼筋投影成一點(diǎn) A，其坐標(biāo)為(xA , zA ) ，設(shè)最外側(cè)桌腿與豎直線的夾角，即最外側(cè)桌腿的為 ，那么可以得到點(diǎn) A 坐標(biāo)與角 之間的

24、關(guān)系為lxA x 2 sinlzcosA2另外，用r 表示圓形桌面的半徑，O 表示圓形桌面的圓心在正視圖上的投影點(diǎn)，Di 表示第i 根桌腿的鉸鏈安裝位置在正視圖上的投影點(diǎn)，m1i 表示第i 根桌腿與圓形桌面的連接位置到鋼筋在該根桌腿位置的線段，m2i 表示第i 根桌腿所段，要得到 x、y、z 之間的關(guān)系就需要得到若干等式。首先由圖 5.1.5 得到線段OD 的長度為 r2 y2 ，根據(jù)線段m 和m 的斜率i1i2i相等，可以得到等式r2 y2 xx r2 y2A zAz此外，線段m2i 的長度加上線段ODi 的長度應(yīng)等于長方形平板長的一半，即8 L(xr2 y2 )2 z2 r2 y22最終希

25、望得到的是桌腳邊緣曲線的參數(shù)表達(dá)式，考慮到桌腳的 y 值是等間距變化的，這里就令 y 值等于參數(shù)t 。綜上得到桌腳邊緣曲線的方程組如下所示：l xA x 2 sinlzA cos2r 2 y2 xx r 2 y2AzAz L2(xr 2 y2 )2 z2r 2 y2 y t 從90 減小到最小值，在每一個(gè)確定的張min在折疊桌變化的過程中，角 的位置，鋼筋在正視圖上的投影點(diǎn)坐標(biāo)為(xA , zA ) 則左側(cè)桌腳邊緣線的參數(shù)表達(dá)式為x r2 t 2 xL r 2 t 2r 2 t 2 AzA r 2 t 2 x1 (A )zA2 y tL r 2 t 2z r 2 t 2 x1 (A )2zA其

26、中t 的取值范圍為： r t r ，右側(cè)桌腳邊緣曲線與左側(cè)曲線關(guān)于 yoz 面對稱。折疊桌的動(dòng)態(tài)變化過程示意圖如下圖所示：(a)(b)9(c)(d)圖 5.1.7 折疊桌動(dòng)態(tài)變化過程示意圖桌子折疊完成后桌腳的邊緣線（即題目中所給圖 4 中紅色曲線）的表達(dá)式就是當(dāng) min 時(shí)的參數(shù)表達(dá)式。已經(jīng)得到最外側(cè)桌腿的長度為 52.19cm ， 地面到桌面下表面的高度hh H e 50cm ，因此 arccos 16.7 ，此時(shí)鋼筋在正視圖上的投影點(diǎn)坐minl20標(biāo)為(15.3, 25) ，則左側(cè)桌腳邊緣曲線方程為x 252 t 2 15.3120 252 t 225 t 22 25252 t 2 15.

27、31 (2)25 y t120 252 t 2z 252 t 2 15.3251 ()2其中t 的取值范圍為： 25 t 25。右側(cè)桌腳邊緣曲線與左側(cè)曲線關(guān)于 yoz 面對稱，如圖 5.1.8 所示：圖 5.1.8 桌腳邊緣曲線圖105.1.3 確定桌腿木條開槽長度根據(jù)題意，鋼筋固定在桌腿最外側(cè)木條的中心位置，為了在桌子折疊過程中使鋼筋能夠在內(nèi)側(cè)的木條上移動(dòng)，就需要在內(nèi)側(cè)木條上開空槽，至于每根桌腿空槽的長度就決定于鋼筋在該根桌腿上移動(dòng)的最大距離。圖 5.1.9 鋼筋運(yùn)動(dòng)方向示意圖上圖表示在桌子折疊過程中鋼筋在內(nèi)側(cè)桌腿上的運(yùn)動(dòng)，其中 Di 表示第i 根桌腿鉸鏈的位置，曲線 A0 A 為鋼筋的運(yùn)動(dòng)

28、軌跡。在實(shí)際折疊過程中，外側(cè)和內(nèi)側(cè)桌腿是同時(shí)運(yùn)動(dòng)的，當(dāng)旋轉(zhuǎn)角為1 時(shí)，鋼筋在第i 根桌腿上的位置為 A 1 ，當(dāng)旋轉(zhuǎn)角為2（2 1 ）時(shí)，鋼筋在第i 根桌腿上的位置為 A 2 ，從圖中可以明顯看出線段 Di A 2 的長度大于線段 Di A 1 的長度，也就是在這過程中線段 Di A 的長度是不斷增大的，所以桌子折疊時(shí)，鋼筋相對內(nèi)側(cè)桌腿的運(yùn)動(dòng)方向是不變的，一直都是從起始位置朝桌腳方向運(yùn)動(dòng)。所以內(nèi)側(cè)桌腿空槽的長度就等于鋼筋在該根桌腿上運(yùn)動(dòng)的距離，即鋼筋初始位置距該根桌腿桌腳的距離減去桌子折疊完成后鋼筋的位置距桌腳的距離，表達(dá)式如下所示： l20 (x x )2 (z zl)2槽iiAiA2其中l(wèi)

29、槽i 表示第i 根桌腿上的空槽長度， (xi , zi ) 是桌子折疊后第i 根桌腿的桌腳在正視圖上投影點(diǎn)的坐標(biāo)， (xA , zA ) 表示桌子折疊后鋼筋在正視圖上投影點(diǎn)的坐標(biāo)。根據(jù)上式用長度為：編程求解（具體程序請見附錄），得出桌腿木條開槽的表 5.1.2 桌腿木條開槽長度：cm注：右側(cè) 21 至 40 號桌腿木條開槽長度依次與 1 至 20 號桌腿木條的開槽長度相等。5.1.4 模型改進(jìn)實(shí)際上當(dāng)桌子平攤成平板時(shí)，桌腿與桌腿之間肯定有縫隙，這樣才能使桌腿在折疊過程中能夠轉(zhuǎn)動(dòng)，因此在實(shí)際制作時(shí)各組桌腿最多只有 19 根，也就是最11桌腿號12345678910開槽長度0.004.367.66

30、10.3712.5914.3915.8016.8417.5317.87桌腿號11121314151617181920開槽長度17.8717.5316.8415.8014.3912.5910.377.664.360.00中間的一根桌腿最短，在其兩側(cè)對稱安裝 9 根桌腿，桌腿長度和桌腿木條的開槽長度的計(jì)算方法與 20 根時(shí)的計(jì)算方法相同。5.2 問題二的建模與求解5.2.1 模型建立問題二要求在穩(wěn)固性好、加工方便和用材最少的要求下，對于任意給定的折疊桌高度和圓形桌面直徑，給出設(shè)計(jì)加工參數(shù)。這也就是在折疊桌設(shè)計(jì)的基本參數(shù)之間數(shù)量關(guān)系的約束下，尋求使得折疊桌穩(wěn)固性最好、加工最方便、用材最少的設(shè)計(jì)方案。

31、下面1、目標(biāo)函數(shù)分別來探尋這個(gè)優(yōu)化問題的目標(biāo)函數(shù)和約束條件。對設(shè)計(jì)要求逐個(gè)進(jìn)行分析：1）加工的方便程度折疊桌需要加工的地方主要是桌腿，加工方便程度就決定于桌腿的多少以及桌腿上開槽長度的大小，若仍然以長方形平板的寬度作為圓形桌面的直徑，那么桌腿的根數(shù)就決定于桌腿的寬度，但是桌腿的寬度是一個(gè)比較難以確定的量，而且對于折疊桌的其他性能并沒有本質(zhì)的影響，因此這里仍然保持問題一中的桌腿寬度不變，那么桌子每組桌腿的根數(shù)n 就等于平板的寬度除以桌腿的寬度。這里仍然按照問題一的方式對桌腿進(jìn)行。加工的方便程度就只取決于桌腿開槽的長度，問題就轉(zhuǎn)換為所有桌腿的開槽總長度最小，即l槽iimin2）穩(wěn)固性影響折疊桌穩(wěn)固

32、性的是桌子內(nèi)側(cè)桌腿與外側(cè)最長的桌腿在鋼筋軸上的相互作用力。從圖 5.2.1（a）可以清楚的看出，隨著最短桌腿逐漸向內(nèi)靠攏直至延長線過桌面中心在地面的投影，最短桌腿延長線和地面及桌面圍成的圖形由梯形逐漸變化為三角形，由三角形的穩(wěn)定性可知當(dāng)最短桌腿的延長線經(jīng)過桌面中心在地面上的投影點(diǎn)時(shí)，折疊桌最穩(wěn)固。(a)(b)圖 5.2.1 穩(wěn)固性示意圖12圖 5.2.1（b）畫出了折疊桌左半面最外側(cè)桌腿和最中間的桌腿的正視圖，其中s1和s2 分別表示外側(cè)最長桌腿和內(nèi)側(cè)最短桌腿的鉸鏈到桌面圓心正投影點(diǎn)的距離，當(dāng)桌面直徑和和桌腿寬度確定之后這兩個(gè)值就可以通過問題一中的方法求解得到。令正視圖中折疊桌最中間桌腿的鉸鏈

33、安裝點(diǎn)與鋼筋投影點(diǎn)的連線與豎直線的銳角夾角為 角。圖中畫出了最短桌腿延長線經(jīng)過桌面圓心在地面上的投影點(diǎn)的情形，也就是折疊桌最穩(wěn)固的時(shí)候，此時(shí) 角達(dá)到最佳值best ，那么要想使折疊桌的穩(wěn)固性達(dá)到最佳，就要使設(shè)計(jì)得到的 角實(shí)際值與最佳值best 之間的差距盡量小，即 bestmin3）用材最少在用材最少方面由于仍然以長方形平板的寬度作為圓形桌面的直徑，那么給定桌面圓的直徑之后，長方形平板的寬就確定了，用材的多少就取決于桌腿的長度，根本上決定于最外側(cè)桌腿的長度，那么對于任意給定的桌子高度，最外側(cè)桌腿的長度與桌腿有關(guān)，越小，桌腿長度就越短，因此的另外一個(gè)目標(biāo)就是尋找滿足約束條件的最小的 值，即min

34、2、約束條件圖 5.2.2 折疊桌左側(cè)正視圖圖 5.2.3 示意圖當(dāng)桌子放在地面上時(shí)，地面到桌面下表面的距離 h 等于折疊桌的高度減去平板的厚度，即h H e其中 H 表示桌子高度， e 表示平板厚度。從圖 5.2.2 正視圖來看，每根桌腿的長度加上該根桌腿鉸鏈位置正投影點(diǎn)到桌面圓心正投影點(diǎn)的距離應(yīng)相等。這里需明的是在最理想的情況下最短桌腿的桌腳正投影點(diǎn) M 2 應(yīng)恰好在鋼筋的正投影點(diǎn)位置，即圖中點(diǎn) M 2 與點(diǎn) A 重合，因?yàn)槿舨恢睾?，點(diǎn) M 2段D2 A 的延長線上，如圖 5.2.3 所示，由示意圖可知，只要lextra 0 ，那么就說明最13外側(cè)桌腿仍然可以向內(nèi)靠攏來減小 值使用料量減少

35、，因此有l(wèi)extra 0 ，但是在實(shí)際加工時(shí)， lextra 應(yīng)略大于 0。從最外側(cè)和最內(nèi)側(cè)桌腳來看，要求二者滿足上述關(guān)系，也就是圖中線段D2 M2 的長度加上線段OD2 的長度等于線段 D1M1 的長度加上線段OD1 的長度，即| OD1 | | D1M1 | OD2 | | D2M2 |這里引入一個(gè)比例系數(shù)k ，其值等于點(diǎn) A 到桌面所在平面的距離與地面到桌面下表面距離h 的比值。因此上述等式可表示為khcos khcoss s21在三角形 AD1D2 中，邊 AD1 在邊 D1D2 上的投影長度加上邊 AD2 在邊D1D2上的投影長度應(yīng)等于邊 D1D2 的長度，即 s2 s1鋼筋軸是用來

36、連接木條的，因此鋼筋固定的位置應(yīng)該在圓形桌面之外，在正視圖上看也就是線段 AD1 的長度加上線段OD1 的長度不能小于圓形桌面的半徑，即| AD1 | | OD1 | rkhcoss r15）內(nèi)側(cè)桌腿空槽的長度等于鋼筋在該根桌腿上運(yùn)動(dòng)的距離，即鋼筋初始位置距該根桌腿桌腳的距離減去桌子折疊完成后鋼筋的位置距桌腳的距離，在這里 l槽i 是關(guān)于和 的函數(shù)，由于具體表示過于復(fù)雜，這里就先用函數(shù) 表示，即l槽i =( , )i綜上，建立多目標(biāo)優(yōu)化模型如下： best目標(biāo)函數(shù)： minminl槽iimin h H ekhcos khcoss s21約束條件 kh tan kh tan s2 s1khcos

37、s1 r ( , )l槽i i14其中 H 表示桌子高度， e 表示平板厚度， s1和s2 分別表示最長桌腿和最短桌腿的鉸鏈位置在正視圖上的投影點(diǎn)到桌面圓心正投影點(diǎn)的距離。5.2.2 模型求解對于上面建立的多目標(biāo)優(yōu)化模型，直接求解比較，希望能將多個(gè)目標(biāo)綜合為單目標(biāo)來進(jìn)行求解，首先相對來說用材量和桌子穩(wěn)固程度更加重要，因此 對這兩個(gè)目標(biāo)優(yōu)先考慮，因?yàn)?和 都表示角度，數(shù)量級相同，因此可以兩個(gè)目標(biāo)函數(shù)合并為一個(gè)目標(biāo)函數(shù)，即： bestmin min + bestmin則原模型轉(zhuǎn)化為: + best目標(biāo)函數(shù)： min h H ekhkhcos s2 s1cos 約束條件 kh tan kh tan

38、s2 s1khcoss r1針對題目中給定桌高 70cm，桌面直徑 80cm 的情況，假設(shè)木板厚度不變?nèi)匀粸?3cm，利用 LINGO 編程計(jì)算（具體程序見附錄），得到最優(yōu)解為 =16 ， 30. ， 鋼筋在最外側(cè)桌腿上的固定點(diǎn)到鉸鏈的距離與該桌腿長度比值k 0.51，長方形平板的長為 159.2cm，寬為 80cm，平板的厚度還是沿用問題一中的厚度為 3cm，即長方形平板的尺寸為159.2cm80cm3cm ，鋼筋在最外側(cè)桌腿的固定位置與桌腳距離為 20.6cm，此時(shí)各桌腿長度和開槽長度如下表所示：表 5.2.1 桌腿長度和開槽長度：cm注：右側(cè) 33 至 64 號桌腿木條長度和開槽長度依次

39、與 1 至 32 號的相等。15桌腿12345678桌腿長度72.1765.1960.6357.1354.2951.9149.9148.21開槽長度0.008.0512.6715.9318.4920.6422.4824.07桌腿910111213141516桌腿長度46.7645.5544.5343.7143.0742.5942.2742.12開槽長度25.4326.5727.4928.2128.7529.1229.3529.46桌腿1718192021222324桌腿長度42.1242.2742.5943.0743.7144.5345.5546.76開槽長度29.4629.3529.1228

40、.7528.2127.4926.5725.43桌腿2526272829303132桌腿長度48.2149.9151.9154.2957.1360.6365.1972.17開槽長度24.0722.4820.6418.4915.9312.678.050.005.2.3 模型改進(jìn)在上面建立模型時(shí)對折疊桌桌腿的根數(shù)沒有多加考慮，在實(shí)際中為了簡化加工，可以減少桌腿的根數(shù)，方法之一就是使桌腿的寬度與平板的寬度等比例變化，也就是保持桌腿的根數(shù)為 20 根不變，此時(shí)桌腿寬度為 4cm，桌腿長度、桌腿開槽長度等其它設(shè)計(jì)加工參數(shù)的計(jì)算與上面相同。5.3 問題三的建模與求解5.3.1 模型建立問題三要求建立數(shù)學(xué)模型

41、，根據(jù)客戶任意給定的折疊桌高度、桌面邊緣線形狀和尺寸以及桌腳邊緣線的大致形狀設(shè)計(jì)折疊桌。對折疊桌的設(shè)計(jì)工作分以下步驟進(jìn)行：Step 1：確定平板寬度對于桌面邊緣線形狀，要求客戶給出的圖形是對稱的，然后就以穩(wěn)定性為前提，以平板寬度作為圖形對稱軸長度，以正方形為例，理論上可以將平板寬度作為正方形邊長長度或者對角線長度理論上若將平板寬度作為正方形邊長長度，那么在折疊過程中，桌子每側(cè)的所有桌腿都在一個(gè)平面上，鋼筋起不到固定的作用，因此這種設(shè)計(jì)方案是不可行的，只能將平板的寬度作為正方形對角線的長度。這樣根據(jù)客戶給定的桌面邊緣線形狀和尺寸就能確定平板的寬度。Step 2：確定桌腿寬度和鉸鏈安裝位置在確定桌

42、腿寬度時(shí)，采用比例分配法，也就是桌腿寬度和平板寬度等比例變化，即假定桌腿根數(shù)不變?yōu)?20 根，那么根據(jù)平板的寬度就能求出桌腿的寬度，接著根據(jù)具體的桌面形狀可以決定鉸鏈的安裝位置。Step 3：確定各桌腿長度和鋼筋安裝位置（以桌腳邊緣線為拋物線為例）（a）左視圖圖 5.3.1折疊桌左視圖和正視圖（b）正視圖為了使客戶設(shè)計(jì)的折疊桌具有實(shí)用性，桌子必須滿足一定的穩(wěn)固性要求，我16們在設(shè)計(jì)時(shí)，就讓桌子達(dá)到最穩(wěn)固的狀態(tài)，即桌子最短的那根桌腿的延長線經(jīng)過桌面在地面上的投影的中心，在鉸鏈位置和桌子高度一定后，那么折疊桌最短的那根桌腿的方向就唯一確定了，如圖 5.3.1（b）中OD 所示，其中 D為中間最短最

43、短最短的桌腳上鉸鏈安裝位置的正投影點(diǎn)。接著需要客戶給出桌腳邊緣線的形狀，由于桌腳的邊緣線是一條三維曲線，一般的客戶不可能給出這三維曲線的確切表達(dá)式，那么就讓客戶給出折疊桌左視圖中桌腳邊緣線的大致形狀以及最基本的參數(shù)，假設(shè)指定左視圖中桌腳邊緣線為拋物線，并給出拋物線最高點(diǎn)T 距離地面的高度，將左視圖中的點(diǎn)T 對應(yīng)到正視圖中的點(diǎn)T ，這樣中間最短的那根桌腿的長度就可以求得，即為線段 TD最短 的長度。同時(shí)還需要客戶給出正視圖中桌子兩側(cè)最長桌腿的桌腳之間的距離，那么外側(cè)最長桌腿的桌腳位置也就隨之確定了，如圖中點(diǎn) M最長 所示，這樣最外側(cè)桌腿的長度就可以求解， 即為圖中線段 OM最長 的長度，同時(shí)線段

44、 TD最短 和線段 M最長D最長 的交點(diǎn) A 就是鋼筋軸的正投影點(diǎn)，于是鋼筋位置一定。由于在此之前各桌腿鉸鏈位置 D 確定，則線段 D A 的延長線和左視圖中點(diǎn)M 對應(yīng)到正視圖中iii的水平線的交點(diǎn)Mi 就是第i 條桌腿的桌腳位置，然后連接桌腿鉸鏈位置和桌腳位置，就得到了各個(gè)桌腿的長度和折疊后的位置。Step 4：確定桌腿開槽長度通過以上的步驟得到了各桌腿鉸鏈安裝位置、各桌腿長度以及折疊后的位置、鋼筋位置之后，根據(jù)問題一中的方法，就可以方便地求得桌腿開槽的長度，折疊桌的設(shè)計(jì)工作也就基本完成了。下面給出設(shè)計(jì)折疊桌的數(shù)學(xué)模型：圖 5.3.2模型圖解假設(shè)客戶給定折疊桌高度為 H ，正視圖中兩最外側(cè)桌

45、腿的桌腳之間的距離為2 ，同時(shí)通過客戶給出的桌面邊緣線形狀大小和桌腳邊緣曲線在左視圖上投17影曲線的形狀和基本參數(shù)，可以得到桌面邊緣曲線為 x f ( y) ，桌腳邊緣曲線在 xOz 面內(nèi)的投影曲線為 z g( y)。令平板厚度e 仍然為 3cm，則地面到桌面下表面的距離h H e 。根據(jù)圖 5.3.2 上點(diǎn) Di、A、Mi 共線，由坐標(biāo)關(guān)系得到如下關(guān)系式： xAzA h max 0 zhA g( yi )zMix iMi 0 zMi 0 zAx f ( y )ii求解上述方程組，得到設(shè)計(jì)加工參數(shù)的表達(dá)式為：（1）第i 根桌腿的長度l f ( y ) x 2 g( y )2 ；iiMii（2）

46、鋼筋在最外側(cè)桌腿上的固定點(diǎn)到鉸鏈的距離與該桌腿長度比值k zA ；h（3）第i 根桌腿上的開槽長度l l (x x )2 z g( y )2 ；槽iiAMiAif ( y ) f ( yi ) xA g( yi ) 。hxmax 其中ax ， zmax， xA xMiizmaxA5.3.2 具體設(shè)計(jì)方案1、方桌客戶要求：折疊桌高度為 53cm，桌面邊緣線形狀為對角線長度是 50cm 的正方形，桌腳邊緣線在左視圖上的投影曲線為拋物線，且最高點(diǎn)距地面高度為 20cm，正視圖中最外側(cè)桌腿的桌腳之間的距離為 36cm。設(shè)計(jì)方案：桌腿寬度為 2.5cm，鋼筋在最外側(cè)桌腿上的固定點(diǎn)到鉸鏈的距離與該桌腿長度

47、比值k 0.625 ，桌子平攤時(shí)平板形狀如圖 5.3.3 所示，可以用尺寸為57cm50cm3cm 的長方形平板加工制成。圖 5.3.3 方桌平攤圖（注：圖中的水平線段表示各桌腿的中位線）桌腿長度和桌腿上開槽長度如下表所示：18表 5.3.1 方桌桌腿長度和桌腿開槽長度：cm折疊桌的動(dòng)態(tài)變化過程示意圖如下：（1）（2）（3）（4）（5）（6）19桌腿12345678910桌腿長度50.4145.6241.6838.5236.0634.2733.0932.4932.4833.04開槽長度0.001.843.886.128.5811.2614.1417.2320.5123.97桌腿11121314

48、151617181920桌腿長度33.0432.4832.4933.0934.2736.0638.5241.6845.6250.41開槽長度23.9720.5117.2314.1411.268.586.123.881.840.00（7）（8）圖 5.3.4 方桌動(dòng)態(tài)變化過程示意圖2、橢圓桌x2y2402 1 ，桌腳客戶要求：折疊桌高度為 73cm，桌面邊緣線表達(dá)式為352邊緣線在左視圖上的投影曲線為等腰三角形，且最高點(diǎn)距地面高度為 20cm，正視圖中最外側(cè)桌腿的桌腳之間的距離為 60cm。設(shè)計(jì)方案：桌腿寬度為 4cm，鋼筋在最外側(cè)桌腿上的固定點(diǎn)到鉸鏈的距離與該桌腿長度比值k 0.546 ，桌子

49、平攤時(shí)平板形狀如圖 5.3.5 所示，可以用尺寸為 95.1cm80cm3cm 的長方形平板加工制成。圖 5.3.5 橢圓桌平攤圖（注：圖中的水平線段表示各桌腿的中位線）桌腿長度和桌腿上開槽長度如下表所示：表 5.3.2 橢圓桌桌腿長度和桌腿開槽長度：cm折疊桌的動(dòng)態(tài)變化過程示意圖如下：20桌腿12345678910桌腿長度69.6667.1266.1165.3764.5763.5662.3060.7859.0156.99開槽長度0.007.2212.5016.7320.1522.8825.0026.5627.5928.10桌腿11121314151617181920桌腿長度56.9959.0

50、160.7862.3063.5664.5765.3766.1167.1269.66開槽長度28.1027.5926.5625.0022.8820.1516.7312.507.220.00（1）（2）（3）（4）（5）（6）圖 5.3.6 橢圓桌動(dòng)態(tài)變化示意圖（7）（8）21六、 模型評價(jià)與改進(jìn)6.1 模型評價(jià)6.1.1 模型優(yōu)點(diǎn)（1）在對桌腳邊緣線的中，首先以桌面下表面為原點(diǎn)建立了空間直角坐標(biāo)系，通過將邊緣線投影到 xOz 和 yOz 平面內(nèi)找到了桌腳三個(gè)坐標(biāo)之間的關(guān)系，進(jìn)而得到了桌腳坐標(biāo)的參數(shù)方程，而參數(shù)方程又很好的表示了桌腳坐標(biāo)與是最外側(cè)桌腿與豎直方向的夾角 的關(guān)系，通過改變 角就可以很好

51、的表示出桌腿折疊的動(dòng)態(tài)變化過程。（2）問題二中適當(dāng)?shù)睾雎粤思庸し奖阈詫庸?shù)的影響，建立了穩(wěn)固性與用料最少的雙目標(biāo)函數(shù)，得到的最優(yōu)解對應(yīng)的折疊桌不僅外形美觀，并且與符合的很好，同時(shí)也反過來驗(yàn)證了模型的正確性。（3）問題三中圖的描述。6.1.2模型缺點(diǎn)同樣采用了投影的，簡化了客戶對桌腳邊緣線這一空間（1）對于多目標(biāo)的求解考慮的約束不夠全面，結(jié)果可能有一定誤差；（2）在涉及桌腿的計(jì)算中都將桌腿簡化為寬度與厚度不計(jì)的線段，可能會(huì)對結(jié)果的精確性造成一定影響6.2 模型推廣問題三中建立的模型適用于絕大多數(shù)的對稱桌面的情形，只要客戶給出桌高，桌面形狀大小，以及桌腳邊緣線相關(guān)參數(shù)，該模型就能求得相應(yīng)平板材

52、料的加工參數(shù)，具有一般性。七、參考文獻(xiàn).數(shù)學(xué)模型.：高等教育，200312.數(shù)學(xué)建模算法與應(yīng)用.：國防工業(yè)，201422附錄問題 1：%計(jì)算邊緣線的函數(shù)方程以及圖像%clc,clear t=0:0.01:50; y=t-25;m,n=size(t);x=(252-y.2).0.5;lt=60-x;%桌腿長 waice=lt(find(y=23.75);%最長腿長度 waice1=x(find(y=23.75);k=25;%點(diǎn)A的高p=(waice.2-(2*k).2).0.5)/2+waice1;%點(diǎn)A的長 xishu=1+(p-x).2./252;z=-(lt.2)./xishu).0.5;

53、 x1=-(p-x)./25.*z+x; a=find(y=23.75); b=find(y=-23.75); y2=y(b:a);x2=x1(b:a);z2=z(b:a);plot3(x2,y2,z2) %畫桌腳邊緣線 xlabel(x),ylabel(y),zlabel(z) hold onplot3(-x2,y2,z2) hold oncao=(waice/2-(z+k).2+(x1-p).2).0.5); cao2=cao(b:a);cao3=cao2(1:2.5/0.01:end);%畫出動(dòng)態(tài)圖%clc,clear t=0:0.01:50; y=t-25;a=find(y=23.75

54、); b=find(y=-23.75); yt=y(b:2.5/0.01:end);m,n=size(t);x=(252-y.2).0.5;xtm=x(b:2.5/0.01:end); lt=60-x;%桌腿長waice=lt(find(y=23.75);%最長腿長度23waice1=x(find(y=23.75); sita=0:0.1:(90-16.7);sita=90-sita; k=waice.*cos(sita*pi/180)./2;%點(diǎn)A的高p=(waice.2-(2*k).2).0.5)/2+waice1;%點(diǎn)A的長z0=zeros(size(x); xm=ones(size(x

55、); for i=1:length(sita)xishu(i,:)=1+(p(i)-x).2./(k(i).2;z(i,:)=-(lt.2)./xishu(i,:).0.5;x1(i,:)=-(p(i)-x)./(k(i).*z(i,:)+x;plot3(x1(i,b:a),y(b:a),z(i,b:a) axis(-50 50 -50 50 -50 5)hold onplot3(-x1(i,b:a),y(b:a),z(i,b:a) hold onplot3(x,y,z0) hold onplot3(-x,y,z0) hold on%畫鐵棒x4=xm.*p(i); z4=xm.*(-(k(i)

56、; plot3(x4,y,z4) hold onplot3(-x4,y,z4) hold on%畫木棍zt(i,:)=z(i,b:2.5/0.01:end);xt(i,:)=x1(i,b:2.5/0.01:end); for tw=1:20 xh=xtm(tw):(xt(i,tw)-xtm(tw)/100:xt(i,tw); zh=0:zt(i,tw)/100:zt(i,tw); yh=ones(1,length(xh).*yt(tw); plot3(xh,yh,zh)hold onplot3(-xh,yh,zh) hold onend pause(0.01) hold offend24問題2

57、：m:min=sita+abs(beta-30.8/180*3.1415926); x=30.06;h=67; beta=3.1415926/2;!beta=x; bnd(0,k,1);%-計(jì)算槽長和腿長%clc,clear sita=0.2792360; beta=0.5375614; xx=30.06000; h=67; k=0.5081931;lth=9.92+h/cos(sita);%尺寸：木板長的一半 t=1.25:2.5:80-1.25;y=t-40;m,n=size(t);x=(402-y.2).0.5;lt=lth-x;waice=lt(find(y=38.75);%最長腿長度

58、 ak=h*k;%點(diǎn)A的高 ap=9.92+k*h*tan(sita);%點(diǎn)A的長 xishu=1+(ap-x).2./ak2;z=-(lt.2)./xishu).0.5; x1=-(ap-x)./25.*z+x;wai=(z(1)+ak).2+(x1(1)-ap).2).0.5;cao=wai-(z+ak).2+(x1-ap).2).0.5;問題3：clc,clear%方桌設(shè)計(jì)% n=20;t=0:0.01:50; y=t-25;xzhuo=25-abs(y);z=-4/125*y.2-30;25xa=(25*18)/(25+18);za=-(50/18)*xa;x=(xa-xzhuo)./

59、za.*z+xzhuo; plot3(x,y,z)lt=(z.2+(x-xzhuo).2).0.5;%腿長； l=lt+xzhuo;%形狀plot(y,l) mo=find(y=(25-1.25); sho=find(y=-23.75); zt=z(sho:250:end); xt=x(sho:250:end); yt=y(sho:250:end);xzhuot=xzhuo(sho:250:mo);wei=l(sho)-(x(sho)-xa).2+(z(sho)-za).2)0.5;%外側(cè)桌腿到A的長度 kaicao=xzhuot+(za.2+(xa-xzhuot).2).0.5-wei;lt

60、t=lt(sho:250:end); lzhuang=l(sho:250:end); plot(yt,lzhuang);k=za/z(sho);%方桌變化圖%clc,clear n=20; t=0:0.01:50; y=t-25;xzhuo=25-abs(y); z=-4/125*y.2-30;xa=(25*18)/(25+18);za=-(50/18)*xa;x=(xa-xzhuo)./za.*z+xzhuo; lt=(z.2+(x-xzhuo).2).0.5;%腿長； l=lt+xzhuo;%形狀mo=find(y=(25-1.25); sho=find(y=-23.75); zt=z(s