電動力學(xué)必考題

1、人挪活樹挪死電動力學(xué)必考題第一章電磁現(xiàn)象的普遍規(guī)律例題（課本P7）電荷Q均勻分布于半徑為a的球體內(nèi)，求各點(diǎn)的電場強(qiáng)度，并由此直接計算電場的散度。解：作半徑為r的球（與電荷球體同心）。由對稱性，在球面上各點(diǎn)的電場強(qiáng)度有相同的數(shù)值E,并沿徑向。1）當(dāng)ra時，球面所圍的總電荷為Q，由高斯定理得4ker302)若ra,則球面所圍電荷為4兀r3p=兀r3334兀a3/3Qr3應(yīng)用高斯定理得(ra)EQr4兀8a30(ra時480rVr3V-E=QV-r當(dāng)rva時4兀8a3根據(jù)算符V的微分性與向量性，推導(dǎo)下列公式：V(A-B)=Bx(VxA)+(B-V)A+Ax(VxB)+(A-V)BAx(VxA)=+V

2、A2-(AV)A2解：(1)V(A-B)=V(A-B)+V(B-A)cc=Bx(VxA)+(B-V)A+Ax(VxB)+(A-V)Bcccc=Bx(VxA)+(B-V)A+Ax(VxB)+(A-V)B(2)在(1)中令A(yù)=B得：V(A-A)=2Ax(VxA)+2(A-V)A，所以Ax(VxA)=十V(A-A)-(A-V)A2即Ax(VxA)=十VA2-(A-V)A2設(shè)u是空間坐標(biāo)x,y,z的函數(shù)，證明：dAVxA(u)=VuxduVf(u)=dfVu,V-A(u)=Vu-dudu證明:df(u)df(u)(1)Vf(u)=e+-dxxdf/du=(edudxxdA(u)(2)V-A(u)=xd

3、xdAxedux=dfduezdudxdf(u)+edzduvV+e)=Vudzzedyydu+e一,dyydzzdudA(u)dA(u)dAdu+idydA+aeduy+笑包e+df屯edudyydudzz+z-dz+ze)-(e+eduzdxxdyyx+-dudxdududAdudAduy+zdudydudzdudA+e)=Vu-dzzduVux=dueydu/dydA/duydAxzdudzxdudzdudxdA(u)dA(u)dA(u)_,rye+xze+dzxdzdxydxexdu/dxdA/duxdAdu、.y)e+(dudzxezdu/dzdA/duzdudAdu、/z)e+(:

4、ydAdudAdu.yx)edudxdudyzdA(u)dA(u)_,yxedyz=VxA(u)第二章靜電場1.一個半徑為R的電介質(zhì)球，極化強(qiáng)度為P=Kr/r2，電容率為e計算束縛電荷的體密度和面密度：計算自由電荷體密度；計算球外和球內(nèi)的電勢；求該帶電介質(zhì)球產(chǎn)生的靜電場總能量解：(1)P=V-P=KV-(r/r2)=K(1/r2)V-r+r-V(1/r2)=K/r2pb=n-(PP)=e-P|=K/RP21rr=RD=eE+P=Pe/(ee)TOC o 1-5 h z內(nèi)00P=V-D=eV-P/(ee)=eK/(ee)r2f內(nèi)00E=D/e=P/(ee)內(nèi)內(nèi)0PdVE=fe夕卜e4兀er2r0

5、0申=jsE-dr=夕卜r夕卜e(ee)r申=JRE-dr+內(nèi)r內(nèi)Re(e0eKR外-dr=eKRee)r2r0KcRe(In+)ere0018K2R4Kr2dr182K2R2-EdV=JR+2(8-8)20r228(88)200亠卜4兀r2drrr4=2ksR(1+)()288-80011.在接地的導(dǎo)體平面上有一半徑為a的半球凸部(如圖)，半球的球心在導(dǎo)體平面上，點(diǎn)電荷Q位于系統(tǒng)的對稱軸上，并與平面相距為b(ba)，試用電象法求空間電勢。解：如圖，根據(jù)一點(diǎn)電荷附近置一無限大接地導(dǎo)體平板和一點(diǎn)電荷附近置一接地導(dǎo)體球兩個模型，可確定三個鏡像電荷的電量和位置。q=-q,1bQ3=-Q申=1Ta2r

6、=e1b=-be，所以z1；Q=Jq，r=-牛e；z2b2bzQ-QOaQbabQ4兀80vR2+b2一2Rbcos0-.+汝2+b2+2Rbcos0b；R2+a4a2_+2Rcos0b2bbR2+聖-2聖Rcos0b2b這說明兩者之差是無旋場第四章(00a)例一、有一平面電磁波，其電場強(qiáng)度為E(x,t)=100兀eei(兀x102z2兀x1061)x(1)判斷電場強(qiáng)度的方向和波傳播的方向;(2)(3)確定頻率、波長和波速；若介質(zhì)的磁導(dǎo)率卩=4kx10-7(，求磁場強(qiáng)度;(4)求在位時間內(nèi)從一個與xy平面平行的單位面積通過的電磁場能量。解：(1)(2)E沿x軸方向振蕩，kx=kz，k=2兀x1

7、0-2，沿z方向傳播。=2kx106，f=106(Hz)，九=102(m)，2kk(3)100兀EEB=V，B=噸，所以H=喬，從而H0=4kx10-7x108=2.5所以H=2.5eeiCnx10-2z-2kx106t)y-*(H與E同位相同頻率，與k垂直且與E垂直，故它在y軸方向)。(4)考慮S:單位時間垂直通過單位橫向截面的能量，S=vwB2w=sE2=pH2=2510（J）。第六章狹義相對論設(shè)有兩根互相平行的尺，在各自靜止的參考系中的長度均為，它們以相同速率v相對于某一參考系運(yùn)動，但運(yùn)動方向相反,且平行于尺子。求站在一根尺上測量另一根尺的長度。解：根據(jù)相對論速度交換公式可得Z系相對于2

8、的速度大小是21TOC o 1-5 h zV=2v/（1+V2/C2）（1）在2系中測量2系中靜長為0L的尺子的長度為12（I=LH-V2/C2（2）0將（1）代入（2）即得：/=/（1-V2/C2）/（1+V2/C2）（3）0此即是在2系中觀測到的相對于2靜止的尺子的長度。12靜止長度為10的車廂，以速度v相對于地面S運(yùn)行，車廂的后壁以速度u0向前推出一個小球，求地面觀察者看到小球從后壁到前壁的運(yùn)動時間。解：根據(jù)題意取地面為參考系S，車廂為參考系S,于是相對于地面參考系S,車長為/=/1-V2/c2，（1）0車速為V，球速為U=（u+V）/（1+UV/C2）（2）00所以在地面參考系S中觀察小球由車后壁到車前壁uAt=vAt+/所以At=I/（u-v）（3）將（1）（2）代入（3）得：At=L0（1U0v/c2）（4）U1V2/c206.在坐標(biāo)系E中，有兩個物體都以速度u沿x軸運(yùn)動，在E系看來，它們一直保持距離/不變，今有一觀察者以速度V沿x軸運(yùn)動，他看到這兩個物體的距離是多少？解：根據(jù)題意，取固著于觀察者上的參考系為E系，又取固著于AB兩物體的參考系為E系在E中,AB以速度u沿x軸運(yùn)動，相