電動力學必考題

1、人挪活樹挪死電動力學必考題第一章電磁現象的普遍規(guī)律例題（課本P7）電荷Q均勻分布于半徑為a的球體內，求各點的電場強度，并由此直接計算電場的散度。解：作半徑為r的球（與電荷球體同心）。由對稱性，在球面上各點的電場強度有相同的數值E,并沿徑向。1）當ra時，球面所圍的總電荷為Q，由高斯定理得4ker302)若ra,則球面所圍電荷為4兀r3p=兀r3334兀a3/3Qr3應用高斯定理得(ra)EQr4兀8a30(ra時480rVr3V-E=QV-r當rva時4兀8a3根據算符V的微分性與向量性，推導下列公式：V(A-B)=Bx(VxA)+(B-V)A+Ax(VxB)+(A-V)BAx(VxA)=+V

2、A2-(AV)A2解：(1)V(A-B)=V(A-B)+V(B-A)cc=Bx(VxA)+(B-V)A+Ax(VxB)+(A-V)Bcccc=Bx(VxA)+(B-V)A+Ax(VxB)+(A-V)B(2)在(1)中令A=B得：V(A-A)=2Ax(VxA)+2(A-V)A，所以Ax(VxA)=十V(A-A)-(A-V)A2即Ax(VxA)=十VA2-(A-V)A2設u是空間坐標x,y,z的函數，證明：dAVxA(u)=VuxduVf(u)=dfVu,V-A(u)=Vu-dudu證明:df(u)df(u)(1)Vf(u)=e+-dxxdf/du=(edudxxdA(u)(2)V-A(u)=xd

3、xdAxedux=dfduezdudxdf(u)+edzduvV+e)=Vudzzedyydu+e一,dyydzzdudA(u)dA(u)dAdu+idydA+aeduy+笑包e+df屯edudyydudzz+z-dz+ze)-(e+eduzdxxdyyx+-dudxdududAdudAduy+zdudydudzdudA+e)=Vu-dzzduVux=dueydu/dydA/duydAxzdudzxdudzdudxdA(u)dA(u)dA(u)_,rye+xze+dzxdzdxydxexdu/dxdA/duxdAdu、.y)e+(dudzxezdu/dzdA/duzdudAdu、/z)e+(:

4、ydAdudAdu.yx)edudxdudyzdA(u)dA(u)_,yxedyz=VxA(u)第二章靜電場1.一個半徑為R的電介質球，極化強度為P=Kr/r2，電容率為e計算束縛電荷的體密度和面密度：計算自由電荷體密度；計算球外和球內的電勢；求該帶電介質球產生的靜電場總能量解：(1)P=V-P=KV-(r/r2)=K(1/r2)V-r+r-V(1/r2)=K/r2pb=n-(PP)=e-P|=K/RP21rr=RD=eE+P=Pe/(ee)TOC o 1-5 h z內00P=V-D=eV-P/(ee)=eK/(ee)r2f內00E=D/e=P/(ee)內內0PdVE=fe夕卜e4兀er2r0

5、0申=jsE-dr=夕卜r夕卜e(ee)r申=JRE-dr+內r內Re(e0eKR外-dr=eKRee)r2r0KcRe(In+)ere0018K2R4Kr2dr182K2R2-EdV=JR+2(8-8)20r228(88)200亠卜4兀r2drrr4=2ksR(1+)()288-80011.在接地的導體平面上有一半徑為a的半球凸部(如圖)，半球的球心在導體平面上，點電荷Q位于系統(tǒng)的對稱軸上，并與平面相距為b(ba)，試用電象法求空間電勢。解：如圖，根據一點電荷附近置一無限大接地導體平板和一點電荷附近置一接地導體球兩個模型，可確定三個鏡像電荷的電量和位置。q=-q,1bQ3=-Q申=1Ta2r

6、=e1b=-be，所以z1；Q=Jq，r=-牛e；z2b2bzQ-QOaQbabQ4兀80vR2+b2一2Rbcos0-.+汝2+b2+2Rbcos0b；R2+a4a2_+2Rcos0b2bbR2+聖-2聖Rcos0b2b這說明兩者之差是無旋場第四章(00a)例一、有一平面電磁波，其電場強度為E(x,t)=100兀eei(兀x102z2兀x1061)x(1)判斷電場強度的方向和波傳播的方向;(2)(3)確定頻率、波長和波速；若介質的磁導率卩=4kx10-7(，求磁場強度;(4)求在位時間內從一個與xy平面平行的單位面積通過的電磁場能量。解：(1)(2)E沿x軸方向振蕩，kx=kz，k=2兀x1

7、0-2，沿z方向傳播。=2kx106，f=106(Hz)，九=102(m)，2kk(3)100兀EEB=V，B=噸，所以H=喬，從而H0=4kx10-7x108=2.5所以H=2.5eeiCnx10-2z-2kx106t)y-*(H與E同位相同頻率，與k垂直且與E垂直，故它在y軸方向)。(4)考慮S:單位時間垂直通過單位橫向截面的能量，S=vwB2w=sE2=pH2=2510（J）。第六章狹義相對論設有兩根互相平行的尺，在各自靜止的參考系中的長度均為，它們以相同速率v相對于某一參考系運動，但運動方向相反,且平行于尺子。求站在一根尺上測量另一根尺的長度。解：根據相對論速度交換公式可得Z系相對于2

8、的速度大小是21TOC o 1-5 h zV=2v/（1+V2/C2）（1）在2系中測量2系中靜長為0L的尺子的長度為12（I=LH-V2/C2（2）0將（1）代入（2）即得：/=/（1-V2/C2）/（1+V2/C2）（3）0此即是在2系中觀測到的相對于2靜止的尺子的長度。12靜止長度為10的車廂，以速度v相對于地面S運行，車廂的后壁以速度u0向前推出一個小球，求地面觀察者看到小球從后壁到前壁的運動時間。解：根據題意取地面為參考系S，車廂為參考系S,于是相對于地面參考系S,車長為/=/1-V2/c2，（1）0車速為V，球速為U=（u+V）/（1+UV/C2）（2）00所以在地面參考系S中觀察小球由車后壁到車前壁uAt=vAt+/所以At=I/（u-v）（3）將（1）（2）代入（3）得：At=L0（1U0v/c2）（4）U1V2/c206.在坐標系E中，有兩個物體都以速度u沿x軸運動，在E系看來，它們一直保持距離/不變，今有一觀察者以速度V沿x軸運動，他看到這兩個物體的距離是多少？解：根據題意，取固著于觀察者上的參考系為E系，又取固著于AB兩物體的參考系為E系在E中,AB以速度u沿x軸運動，相