初中數(shù)學(xué)北師大九年級(jí)上冊(cè)（2023年修訂） 圖形的相似黃金分割教學(xué)設(shè)計(jì)

1、黃金分割教學(xué)設(shè)計(jì) 成都列五中學(xué) 徐莉 一、教材分析 本節(jié)課是在相似圖形的基礎(chǔ)上，從一個(gè)嶄新的角度加深對(duì)比例線段和線段的比的認(rèn)識(shí)和拓展，在實(shí)際的教學(xué)過程中部分教師淡化了該知識(shí)點(diǎn)的教學(xué)，而實(shí)際上該內(nèi)容是與現(xiàn)實(shí)世界背景緊密聯(lián)系，是學(xué)生在具體活動(dòng)中體驗(yàn)數(shù)學(xué)知識(shí)，建構(gòu)數(shù)學(xué)知識(shí)體系的非常重要的過程?！包S金分割”能有效的激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，培養(yǎng)學(xué)生思維能力。黃金分割是現(xiàn)實(shí)生活中存在的一種現(xiàn)象，廣泛的應(yīng)用在建筑設(shè)計(jì)，藝術(shù)，甚至大自然中處處都有黃金分割。如黃金矩形，就是黃金分割在設(shè)計(jì)中的一個(gè)主要應(yīng)用。在設(shè)計(jì)建筑物、工藝品、日常用品涉及矩形時(shí)，如果設(shè)計(jì)成黃金矩形，容易引起美感。讓學(xué)生體會(huì)數(shù)學(xué)與自然及人類社會(huì)的

2、密切關(guān)系，豐富學(xué)生的數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，促進(jìn)了學(xué)生觀察、分析、歸納、概括的能力和審美意識(shí)的發(fā)展。二、學(xué)情分析1、學(xué)生已有基礎(chǔ)：本節(jié)課的教學(xué)對(duì)象是初三的學(xué)生，他們的參與意識(shí)強(qiáng)，思維活躍，對(duì)于真實(shí)情境以及現(xiàn)實(shí)生活中的數(shù)學(xué)問題具有極大的學(xué)習(xí)興趣。而且，在前面已經(jīng)學(xué)過相似形的基本知識(shí)以及一元二次方程，所以對(duì)于黃金比的計(jì)算也不存在太大的困難。 學(xué)生面臨問題：初三年級(jí)學(xué)生思維能力處于發(fā)展階段，動(dòng)手能力較弱，建模的能力不強(qiáng)。三、教學(xué)目標(biāo) 1、知識(shí)技能目標(biāo)：通過測量，計(jì)算，觀察讓學(xué)生理解黃金分割的概念，培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)建模和多維度思考的能力（發(fā)散思維能力）；通過概念引出黃金比的計(jì)算，培養(yǎng)學(xué)生用方程的思想解決數(shù)學(xué)問題的能

3、力2、思維目標(biāo)：培養(yǎng)學(xué)生在理解概念中多角度思維能力（發(fā)散思維能力）；運(yùn)用思維工具訓(xùn)練學(xué)生的歸納思維能力；通過設(shè)計(jì)高跟鞋培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)新思維能力3、情感目標(biāo)：培養(yǎng)學(xué)生對(duì)“數(shù)學(xué)美”的欣賞能力四、教學(xué)重難點(diǎn)： 教學(xué)重點(diǎn)：探究黃金分割，計(jì)算黃金比教學(xué)難點(diǎn)：探究計(jì)算黃金比的值五、教學(xué)過程分析： 活動(dòng)一：創(chuàng)設(shè)問題情境,引發(fā)認(rèn)知沖突師：出示圖片， B B C為什么這么多國家的國旗上都用了五角星 C C CBCA為什么五角星這么有魅力，從而引出主題 A A A生：觀察并思考【設(shè)計(jì)意圖】讓學(xué)生形象、直觀地感受數(shù)學(xué)美，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣和求知欲，引起學(xué)生思維上的認(rèn)知沖突，讓教師獲得思維教學(xué)的起點(diǎn)，以問題自然引入新課活

4、動(dòng)二：思考實(shí)踐，解決疑惑師：每個(gè)小組分別準(zhǔn)備兩個(gè)大小不一樣的五角星，通過小組合作測量，計(jì)算，交流等活動(dòng)，指導(dǎo)學(xué)生主動(dòng)調(diào)試已有知識(shí)經(jīng)驗(yàn)建立新的知識(shí)結(jié)構(gòu)。ACBACB生：測量并填寫下表：（結(jié)果精確到）BC(厘米)AC（厘米）AB（厘米）大五角星小五角星師：1、指導(dǎo)學(xué)生操作，學(xué)生分組活動(dòng)，由于迫切希望探知美的奧秘，他們進(jìn)行地積極而細(xì)致。2、請(qǐng)同學(xué)們觀察表思考：是否有比值為常數(shù)；是否存在一個(gè)比例式。3、引導(dǎo)學(xué)生觀察所填表格，尋找數(shù)據(jù)之間的特殊關(guān)系。4、如果我們用上述比例式作為一個(gè)屬性來定義黃金分割，你能給黃金分割下個(gè)定義嗎？ （如果，那么。）5、歸納總結(jié)，形成概念如圖，點(diǎn)C把線段AB分成兩條線段 AC

5、 和 BC，如果=，那么稱線段AB被點(diǎn)C黃金分割，點(diǎn)C叫做線段AB的黃金分割點(diǎn)，AC與AB的比叫做黃金比【設(shè)計(jì)意圖】第一個(gè)環(huán)節(jié)“選美”產(chǎn)生的認(rèn)知沖突，讓學(xué)生通過小組討論、測量、計(jì)算等過程培養(yǎng)學(xué)生觀察能力、動(dòng)手能力和總結(jié)概括能力。通過下定義訓(xùn)練，讓學(xué)生用自己的語言歸納黃金分割的概念，通過4個(gè)追問，激活了學(xué)生的思維，活躍了課堂氛圍，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣同時(shí)滲透數(shù)學(xué)建模的思想。整個(gè)過程由具體到抽象，提高了學(xué)生思維概括能力和準(zhǔn)確規(guī)范運(yùn)用數(shù)學(xué)語言的能力?；顒?dòng)三：合作探究，突破難點(diǎn)黃金比究竟是多少呢？如圖，點(diǎn)C在線段AB上且滿足=，則這個(gè)比值是多少？（先獨(dú)立思考再小組討論，最后展示。）圖（1）學(xué)生計(jì)算黃金比

6、的過程師：（分小組討論展示）當(dāng)AB不等于1的時(shí)候，AC的長度怎么變化的？AC與AB的比值變了嗎？師：通過上面的計(jì)算你得到了什么啟示？生：（歸納總結(jié)）黃金比不受線段AB長度的影響，無論AB是多少，AC與AB之比始終是定值。師：繼續(xù)探討“線段AB上除了C點(diǎn)外還有黃金分割點(diǎn)嗎？”生：（小組合作，交流探討，最后下結(jié)論）師：（強(qiáng)調(diào)）一條線段上有兩個(gè)黃金分割點(diǎn)（五角星就是利用這一點(diǎn)）圖（2）一條線段上有兩個(gè)黃金分割點(diǎn)【設(shè)計(jì)意圖】依據(jù)黃金分割的定義，運(yùn)用方程思想，引導(dǎo)學(xué)生求出了黃金比及其近似值，增強(qiáng)學(xué)生對(duì)比例式和比值這兩個(gè)黃金分割的本質(zhì)屬性及其關(guān)系的理解。特別指出，學(xué)生在進(jìn)行運(yùn)算時(shí)，第一次設(shè)線段AB的長是1

7、，這種特殊值法降低了計(jì)算難度，但在實(shí)際生活中線段AB的長度往往都不是1，進(jìn)一步設(shè)線段AB的長是a，這樣在以后的學(xué)習(xí)過程中無論怎么變式，學(xué)生都能應(yīng)對(duì)自如，增加了計(jì)算和思維的難度，進(jìn)一步讓學(xué)生去突破這個(gè)難點(diǎn)，感受數(shù)學(xué)抽象美?；顒?dòng)四：變式應(yīng)用，拓展思維例題1：如圖，點(diǎn)C是線段AB的黃金分割點(diǎn)，ACBC，如果AB=4，求線段AC的長度例題2：東方明珠塔，塔高463米在設(shè)計(jì)的最初，設(shè)計(jì)師將塔身設(shè)計(jì)為直線型，后來，為了使平直單調(diào)的塔身變得豐富多彩，更協(xié)調(diào)、美觀，設(shè)計(jì)師決定在靠近塔尖的黃金分割點(diǎn)處設(shè)計(jì)一個(gè)球體，請(qǐng)你計(jì)算這個(gè)球體距離地面的高度（精確到百分位）1.點(diǎn)C是線段AB的黃金分割點(diǎn)，如果AB=4，則AC

8、=_2.據(jù)有關(guān)實(shí)驗(yàn)測定，當(dāng)氣溫處于人體正常體溫（37度）的黃金比值時(shí)，人體感到最舒適，這個(gè)氣溫約為_度( 精確到1度） 3.實(shí)數(shù)a，n，m，b滿足anmb，這四個(gè)數(shù)在數(shù)軸上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)分別為A，N，M，B（如圖），若，則稱m為a,b的“大黃金數(shù)”，n為a,b的“小黃金數(shù)”.當(dāng)b-a=2時(shí)，a,b的大黃金數(shù)與小黃金數(shù)之差m-n=_.【設(shè)計(jì)意圖】例題講解，由淺入深，完成了學(xué)生的思維遷移和思維拓展，對(duì)應(yīng)的變式練習(xí)也是在例題的基礎(chǔ)上加深提高了思維難度。在現(xiàn)實(shí)情境中應(yīng)用概念，既滲透了數(shù)學(xué)建模的思想，同時(shí)也發(fā)展學(xué)生遷移、演繹的能力?；顒?dòng)五：變式應(yīng)用，創(chuàng)新思維設(shè)計(jì)鞋跟高度1.提前讓學(xué)生測量了媽媽的身高和下半身高

9、度，讓學(xué)生在課堂上為自己的媽媽設(shè)計(jì)高跟鞋的高度。2.數(shù)學(xué)徐老師的身高是158厘米，而下半身長是95厘米，請(qǐng)你為徐老師設(shè)計(jì)一雙高跟鞋，讓老師穿上后的身材更勻稱，協(xié)調(diào)。 圖（3）學(xué)生計(jì)算鞋跟高過程【設(shè)計(jì)意圖】在設(shè)計(jì)鞋跟高度時(shí)，不同的學(xué)生會(huì)有不同的感受，不同的想象，不同的解釋，只要合理都予以肯定，但單純從數(shù)學(xué)美的角度來看的話，符合黃金比例是最好的。在這個(gè)過程中進(jìn)一步培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新意識(shí)，數(shù)學(xué)建模的思想，增強(qiáng)應(yīng)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問題的能力?；顒?dòng)六：回歸生活，拓展視野認(rèn)識(shí)黃金矩形 師：找一找：下列矩形中，哪個(gè)給我們以協(xié)調(diào)、勻稱的美感？ （2）（1）（3）生：觀察，討論師：引出黃金矩形的定義：寬與長的比是

10、（約）的矩形稱為黃金矩形。師：展示黃金矩形的應(yīng)用圖片： 生：觀察，欣賞，感受黃金矩形的美師：展示各類圖片（藝術(shù)，建筑，人體，大自然） 【設(shè)計(jì)意圖】學(xué)生通過欣賞，交流，不僅讓學(xué)生體會(huì)到數(shù)學(xué)與其他學(xué)科間的聯(lián)系，而且引導(dǎo)其領(lǐng)悟科學(xué)的數(shù)學(xué)知識(shí)所蘊(yùn)含的巨大人文內(nèi)涵。提高了他們的數(shù)學(xué)素養(yǎng)，人文素養(yǎng)，科學(xué)素養(yǎng)。 活動(dòng)七： 思維工具指引，課堂小結(jié)師：這節(jié)課你有哪些收獲，你印象最深刻的是什么？ 圖（4）學(xué)生概念圖的過程 圖（5）老師展示概念圖【設(shè)計(jì)意圖】在學(xué)生意猶未盡之時(shí)，教師引導(dǎo)學(xué)生用概念圖回眸課堂，總結(jié)收獲，培養(yǎng)學(xué)生歸納思維的能力。師：僅僅一個(gè)黃金分割就帶給我們?nèi)绱硕嗟恼鸷澈透形颍鴶?shù)學(xué)的王國里還有著數(shù)不清

11、的寶藏等待著我們。希望同學(xué)們?cè)谝院蟮膶W(xué)習(xí)過程中用心去發(fā)現(xiàn)、去探索、去創(chuàng)造，數(shù)學(xué)會(huì)把生活變得更美好! 活動(dòng)八： 布置作業(yè) 第1題；P113第1、3題。2.分組搜集黃金分割資料，制作剪貼報(bào)其中包含一幅利用黃金分割的構(gòu)圖方法攝制的攝影作品。3.黃金分割律也是一個(gè)飲食參數(shù)。利用數(shù)學(xué)知識(shí)，用自己喜歡的食物制定一份比較健康的食譜。堿性食物如：海帶、食用菌、蔬菜和水果進(jìn)食量應(yīng)占膳食總量的.酸性食物如：肉、蛋、油、糖、酒，進(jìn)食過多會(huì)使血液偏酸，導(dǎo)致酸性體質(zhì)，使免疫能力下降，容易患病.六：教學(xué)反思：1、課堂氛圍比較活躍，學(xué)生興趣濃厚，特別是在建筑，藝術(shù)上的應(yīng)用，豐富了學(xué)生的內(nèi)涵，提高了人為素養(yǎng)。2、重難點(diǎn)突破的比較好，尤其是在計(jì)算AB的長度不為1時(shí)，處理的比較好。3、學(xué)生在自主探究、合作交流中經(jīng)歷了概念形成的全過程，學(xué)生們主動(dòng)參與、積極思考