2015年上海高考數(shù)學(xué)真題（文科）試卷（解析版）

1、絕密啟用前 2015年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試（上海卷）數(shù)學(xué)試卷(文史類)（滿分150分，考試時間120分鐘）考生注意1.本場考試時間120分鐘，試卷共4頁，滿分150分，答題紙共2頁.2.作答前，在答題紙正面填寫姓名、準(zhǔn)考證號，反面填寫姓名，將核對后的條形碼貼在答題紙指定位置.3.所有作答務(wù)必填涂或書寫在答題紙上與試卷題號對應(yīng)的區(qū)域，不得錯位.在試卷上作答一律不得分.4.用2B鉛筆作答選擇題，用黑色字跡鋼筆、水筆或圓珠筆作答非選擇題.一填空題（本大題共14小題，滿分56分）考生應(yīng)在答題紙相應(yīng)編號的空格內(nèi)直接填寫結(jié)果，每個空格填對得4分，否則一律零分）1.函數(shù)的最小正周期為 .2.設(shè)全集.

2、若集合，則 .3.若復(fù)數(shù)滿足，其中是虛數(shù)單位，則 .4.設(shè)為的反函數(shù)，則 .5.若線性方程組的增廣矩陣為 解為，則 . 6.若正三棱柱的所有棱長均為，且其體積為，則 .7.拋物線上的動點到焦點的距離的最小值為1，則 .8. 方程的解為 .9.若滿足，則目標(biāo)函數(shù)的最大值為 .10. 在報名的3名男教師和6名女教師中，選取5人參加義務(wù)獻(xiàn)血，要求男、女教師都有，則不同的選取方式的種數(shù)為 （結(jié)果用數(shù)值表示）.11.在的二項式中，常數(shù)項等于 （結(jié)果用數(shù)值表示）. 12.已知雙曲線、的頂點重合，的方程為，若的一條漸近線的斜率是的一條漸近線的斜率的2倍，則的方程為 .13.已知平面向量、滿足，且，則的最大值

3、是 .14.已知函數(shù).若存在，滿足，且，則的最小值為 .二選擇題（本大題共4小題，滿分20分）每題有且只有一個正確答案案，考生應(yīng)在答題紙的相應(yīng)編號上，將代表答案的小方格涂黑，選對得5分，否則一律零分.15. 設(shè)、，則“、均為實數(shù)”是“是實數(shù)”的（ ）. A. 充分非必要條件 B.必要非充分條件 C.充要條件 D.既非充分又非必要條件16. 下列不等式中，與不等式解集相同的是（ ）. A. B. C. D. 17. 已知點 的坐標(biāo)為，將繞坐標(biāo)原點逆時針旋轉(zhuǎn)至，則點的縱坐標(biāo)為（ ）.A. B. C. D. 18. 設(shè)是直線與圓在第一象限的交點，則極限( ).A. B. C. D. 三解答題（本大題

4、共5題，滿分74分）解答下列各題必須在答題紙相應(yīng)編號的規(guī)定區(qū)域內(nèi)寫出必要的步驟.19.（本題滿分12分） 如圖，圓錐的頂點為，底面的一條直徑為，為半圓弧的中點，為劣弧的中點.已知，求三棱錐的體積，并求異面直線與所成角的大小.（本題滿分14分）本題共2小題，第1小題6分，第2小題8分. 已知函數(shù)，其中為實數(shù).（1）根據(jù)的不同取值，判斷函數(shù)的奇偶性，并說明理由；（2）若，判斷函數(shù)在上的單調(diào)性，并說明理由.21.（本小題14分）本題共2小題，第1小題6分，第2小題8分. 如圖，三地有直道相通，千米，千米，千米.現(xiàn)甲、乙兩警員同時從地出發(fā)勻速前往地，經(jīng)過小時，他們之間的距離為（單位：千米）.甲的路線是

5、，速度為5千米/小時，乙的路線是，速度為8千米/小時.乙到達(dá)地后原地等待.設(shè)時乙到達(dá)地；時，乙到達(dá)地. （1）求與的值；（2）已知警員的對講機(jī)的有效通話距離是3千米.當(dāng)時，求的表達(dá)式，并判斷在上得最大值是否超過3？說明理由.22.（本題滿分14分）本題共3個小題，第1小題4分，第2小題6分，第3小題6分. 已知橢圓，過原點的兩條直線和分別于橢圓交于、和、，設(shè)的面積為. （1）設(shè)，用、的坐標(biāo)表示點到直線的距離，并證明； （2）設(shè)，求的值；（3）設(shè)與的斜率之積為，求的值，使得無論與如何變動，面積保持不變.23.（本題滿分16分）本題共3小題.第1小題4分，第2小題6分，第3小題6分. 已知數(shù)列與滿

6、足，. （1）若，且，求數(shù)列的通項公式； （2）設(shè)的第項是最大項，即，求證：數(shù)列的第項是最大項；（3）設(shè)，求的取值范圍，使得對任意，且 .2015年上海市文科試題一填空題（本大題共14小題，滿分56分）考生應(yīng)在答題紙相應(yīng)編號的空格內(nèi)直接填寫結(jié)果，每個空格填對得4分，否則一律零分）1.函數(shù)的最小正周期為 .【答案】【解析】因為，所以，所以函數(shù)的最小正周期為.【考點定位】函數(shù)的周期，二倍角的余弦公式.2.設(shè)全集.若集合，則 .【答案】【考點定位】集合的運(yùn)算.3.若復(fù)數(shù)滿足，其中是虛數(shù)單位，則 . 【答案】【考點定位】復(fù)數(shù)的概念，復(fù)數(shù)的運(yùn)算.4.設(shè)為的反函數(shù)，則 .【答案】【解析】因為為的反函數(shù)，解

7、得，所以.【考點定位】反函數(shù)，函數(shù)的值.5.若線性方程組的增廣矩陣為 解為，則 .【答案】16【解析】由題意，是方程組的解，所以，所以.【考點定位】增廣矩陣，線性方程組的解法.6.若正三棱柱的所有棱長均為，且其體積為，則 .【答案】4【解析】依題意，解得.【考點定位】等邊三角形的性質(zhì)，正三棱柱的性質(zhì).7.拋物線上的動點到焦點的距離的最小值為1，則 .【答案】2【解析】依題意，點為坐標(biāo)原點，所以，即.【考點定位】拋物線的性質(zhì)，最值.8. 方程的解為 .【答案】2【考點定位】對數(shù)方程.9.若滿足，則目標(biāo)函數(shù)的最大值為 .【答案】3【考點定位】不等式組表示的平面區(qū)域，簡單的線性規(guī)劃.10. 在報名的

8、3名男教師和6名女教師中，選取5人參加義務(wù)獻(xiàn)血，要求男、女教師都有，則不同的選取方式的種數(shù)為 （結(jié)果用數(shù)值表示）.【答案】120【考點定位】組合，分類計數(shù)原理.11.在的二項式中，常數(shù)項等于 （結(jié)果用數(shù)值表示）.【答案】240【解析】由，令，所以，所以常數(shù)項為.【考點定位】二項式定理. 12.已知雙曲線、的頂點重合，的方程為，若的一條漸近線的斜率是的一條漸近線的斜率的2倍，則的方程為 .【答案】【考點定位】雙曲線的性質(zhì)，直線的斜率.13.已知平面向量、滿足，且，則的最大值是 .【答案】【考點定位】平向量的模，向量垂直.14.已知函數(shù).若存在，滿足，且，則的最小值為 .【答案】8【解析】因為函數(shù)

9、對任意，欲使取得最小值，盡可能多的讓取得最高點，考慮，按下圖取值滿足條件，所以的最小值為8.【考點定位】正弦函數(shù)的性質(zhì)，最值.二選擇題（本大題共4小題，滿分20分）每題有且只有一個正確答案案，考生應(yīng)在答題紙的相應(yīng)編號上，將代表答案的小方格涂黑，選對得5分，否則一律零分.15. 設(shè)、，則“、均為實數(shù)”是“是實數(shù)”的（ ）. A. 充分非必要條件 B.必要非充分條件 C.充要條件 D.既非充分又非必要條件【答案】A【考點定位】復(fù)數(shù)的概念，充分條件、必要條件的判定.16. 下列不等式中，與不等式解集相同的是（ ）. A. B. C. D. 【答案】B【解析】因為，可能是正數(shù)、負(fù)數(shù)或零，所以由可得，所

10、以不等式解集相同的是，選B.【考點定位】同解不等式的判斷.17. 已知點 的坐標(biāo)為，將繞坐標(biāo)原點逆時針旋轉(zhuǎn)至，則點的縱坐標(biāo)為（ ）.A. B. C. D. 【答案】D【考點定位】三角函數(shù)的定義，和角的正切公式，兩點間距離公式.18. 設(shè)是直線與圓在第一象限的交點，則極限( ).A. B. C. D. 【答案】A【解析】因為是直線與圓在第一象限的交點，而是經(jīng)過點與的直線的斜率，由于點在圓上. 網(wǎng)因為，所以.【考點定位】圓的切線，極限.三解答題（本大題共5題，滿分74分）解答下列各題必須在答題紙相應(yīng)編號的規(guī)定區(qū)域內(nèi)寫出必要的步驟.19.（本題滿分12分）如圖，圓錐的頂點為，底面的一條直徑為，為半圓

11、弧的中點，為劣弧的中點.已知，求三棱錐的體積，并求異面直線與所成角的大小.【答案】【考點定位】圓錐的性質(zhì)，異面直線的夾角.（本題滿分14分）本題共2小題，第1小題6分，第2小題8分. 已知函數(shù)，其中為實數(shù).（1）根據(jù)的不同取值，判斷函數(shù)的奇偶性，并說明理由；（2）若，判斷函數(shù)在上的單調(diào)性，并說明理由.【答案】（1）是非奇非偶函數(shù)；（2）函數(shù)在上單調(diào)遞增.【考點定位】函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性.21.（本小題14分）本題共2小題，第1小題6分，第2小題8分. 如圖，三地有直道相通，千米，千米，千米.現(xiàn)甲、乙兩警員同時從地出發(fā)勻速前往地，經(jīng)過小時，他們之間的距離為（單位：千米）.甲的路線是，速度為5千米

12、/小時，乙的路線是，速度為8千米/小時.乙到達(dá)地后原地等待.設(shè)時乙到達(dá)地；時，乙到達(dá)地. （1）求與的值；（2）已知警員的對講機(jī)的有效通話距離是3千米.當(dāng)時，求的表達(dá)式，并判斷在上得最大值是否超過3？說明理由.【答案】（1），千米；（2）不超過了3千米.【解析】（1）根據(jù)條件知，設(shè)此時甲到達(dá)A點，并連接，如圖所示，則，所以在中，由余弦定理得（千米）.（2）可求得，設(shè)小時后，且，甲到達(dá)了B點，乙到達(dá)了C點，如圖所示，所以，所以在中，由余弦定理，所以，設(shè)，因為函數(shù)的對稱軸為，且，所以得最大值為，此時的最大值為，所以在上得最大值不超過3.【考點定位】余弦定理的實際運(yùn)用，函數(shù)的值域.22.（本題滿分1

13、4分）本題共3個小題，第1小題4分，第2小題6分，第3小題6分. 已知橢圓，過原點的兩條直線和分別于橢圓交于、和、，設(shè)的面積為. （1）設(shè)，用、的坐標(biāo)表示點到直線的距離，并證明； （2）設(shè)，求的值；（3）設(shè)與的斜率之積為，求的值，使得無論與如何變動，面積保持不變.【答案】（1）詳見解析；（2）或；（3）.（3）設(shè)，則，設(shè)，由，的，同理，由（1）知， ，整理得，由題意知與無關(guān)，則，解得.所以.【考點定位】橢圓的性質(zhì)，直線與橢圓的位置關(guān)系.23.（本題滿分16分）本題共3小題.第1小題4分，第2小題6分，第3小題6分. 已知數(shù)列與滿足，. （1）若，且，求數(shù)列的通項公式； （2）設(shè)的第項是最大項，

14、即，求證：數(shù)列的第項是最大項；（3）設(shè)，求的取值范圍，使得對任意，且 .【答案】（1）；（2）詳見解析；（3）.【解析】（1）因為，所以，所以是等差數(shù)列，首項為，公差為6，即.（2）由，得，所以為常數(shù)列，即，因為，所以，即，所以的第項是最大項.【考點定位】數(shù)列的遞推公式，等差數(shù)列的性質(zhì)，常數(shù)列，數(shù)列的最大項，指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性.一.集合與函數(shù)1.進(jìn)行集合的交、并、補(bǔ)運(yùn)算時，不要忘了全集和空集的特殊情況，不要忘記了借助數(shù)軸和文氏圖進(jìn)行求解.2.在應(yīng)用條件時，易A忽略是空集的情況3.你會用補(bǔ)集的思想解決有關(guān)問題嗎?4.簡單命題與復(fù)合命題有什么區(qū)別?四種命題之間的相互關(guān)系是什么?如何判斷充分與必要條件

15、?5.你知道“否命題”與“命題的否定形式”的區(qū)別.6.求解與函數(shù)有關(guān)的問題易忽略定義域優(yōu)先的原則.7.判斷函數(shù)奇偶性時，易忽略檢驗函數(shù)定義域是否關(guān)于原點對稱.8.求一個函數(shù)的解析式和一個函數(shù)的反函數(shù)時，易忽略標(biāo)注該函數(shù)的定義域.9.原函數(shù)在區(qū)間-a,a上單調(diào)遞增，則一定存在反函數(shù)，且反函數(shù)也單調(diào)遞增;但一個函數(shù)存在反函數(shù)，此函數(shù)不一定單調(diào).例如：.10.你熟練地掌握了函數(shù)單調(diào)性的證明方法嗎?定義法(取值,作差,判正負(fù))和導(dǎo)數(shù)法11.求函數(shù)單調(diào)性時，易錯誤地在多個單調(diào)區(qū)間之間添加符號“”和“或”;單調(diào)區(qū)間不能用集合或不等式表示.12.求函數(shù)的值域必須先求函數(shù)的定義域。13.如何應(yīng)用函數(shù)的單調(diào)性與

16、奇偶性解題?比較函數(shù)值的大小;解抽象函數(shù)不等式;求參數(shù)的范圍(恒成立問題).這幾種基本應(yīng)用你掌握了嗎?14.解對數(shù)函數(shù)問題時，你注意到真數(shù)與底數(shù)的限制條件了嗎?(真數(shù)大于零，底數(shù)大于零且不等于1)字母底數(shù)還需討論15.三個二次(哪三個二次?)的關(guān)系及應(yīng)用掌握了嗎?如何利用二次函數(shù)求最值?16.用換元法解題時易忽略換元前后的等價性，易忽略參數(shù)的范圍。17.“實系數(shù)一元二次方程有實數(shù)解”轉(zhuǎn)化時，你是否注意到：當(dāng)時，“方程有解”不能轉(zhuǎn)化為。若原題中沒有指出是二次方程，二次函數(shù)或二次不等式，你是否考慮到二次項系數(shù)可能為的零的情形?二.不等式18.利用均值不等式求最值時，你是否注意到：“一正;二定;三等

17、”.19.絕對值不等式的解法及其幾何意義是什么?20.解分式不等式應(yīng)注意什么問題?用“根軸法”解整式(分式)不等式的注意事項是什么?21.解含參數(shù)不等式的通法是“定義域為前提，函數(shù)的單調(diào)性為基礎(chǔ)，分類討論是關(guān)鍵”，注意解完之后要寫上：“綜上，原不等式的解集是”.22.在求不等式的解集、定義域及值域時，其結(jié)果一定要用集合或區(qū)間表示;不能用不等式表示.23.兩個不等式相乘時,必須注意同向同正時才能相乘,即同向同正可乘;同時要注意“同號可倒”即ab0，a0.三.數(shù)列24.解決一些等比數(shù)列的前項和問題，你注意到要對公比及兩種情況進(jìn)行討論了嗎?25.在“已知，求”的問題中,你在利用公式時注意到了嗎?(時

18、，應(yīng)有)需要驗證，有些題目通項是分段函數(shù)。26.你知道存在的條件嗎?(你理解數(shù)列、有窮數(shù)列、無窮數(shù)列的概念嗎?你知道無窮數(shù)列的前項和與所有項的和的不同嗎?什么樣的無窮等比數(shù)列的所有項的和必定存在?27.數(shù)列單調(diào)性問題能否等同于對應(yīng)函數(shù)的單調(diào)性問題?(數(shù)列是特殊函數(shù)，但其定義域中的值不是連續(xù)的。)28.應(yīng)用數(shù)學(xué)歸納法一要注意步驟齊全，二要注意從到過程中，先假設(shè)時成立，再結(jié)合一些數(shù)學(xué)方法用來證明時也成立。四. HYPERLINK /search.aspx t /content/19/1226/14/_blank 三角函數(shù)29.正角、負(fù)角、零角、象限角的概念你清楚嗎?，若角的終邊在坐標(biāo)軸上，那它歸哪

19、個象限呢?你知道銳角與第一象限的角;終邊相同的角和相等的角的區(qū)別嗎?30.三角函數(shù)的定義及單位圓內(nèi)的三角函數(shù)線(正弦線、余弦線、正切線)的定義你知道嗎?31.在解三角問題時，你注意到正切函數(shù)、余切函數(shù)的定義域了嗎?你注意到正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的有界性了嗎?32.你還記得三角化簡的通性通法嗎?(切割化弦、降冪公式、用三角公式轉(zhuǎn)化出現(xiàn)特殊角.異角化同角，異名化同名，高次化低次)33.反正弦、反余弦、反正切函數(shù)的取值范圍分別是34.你還記得某些特殊角的三角函數(shù)值嗎?35.掌握正弦函數(shù)、余弦函數(shù)及正切函數(shù)的圖象和性質(zhì).你會寫三角函數(shù)的單調(diào)區(qū)間嗎?會寫簡單的三角不等式的解集嗎?(要注意數(shù)形結(jié)合與書寫規(guī)范,

20、可別忘了)，你是否清楚函數(shù)的圖象可以由函數(shù)經(jīng)過怎樣的變換得到嗎?36.函數(shù)的圖象的平移，方程的平移以及點的平移公式易混：(1)函數(shù)的圖象的平移為“左+右-，上+下-”;如函數(shù)的圖象左移2個單位且下移3個單位得到的圖象的解析式為，即.(2)方程表示的圖形的平移為“左+右-，上-下+”;如直線左移2個個單位且下移3個單位得到的圖象的解析式為，即.(3)點的平移公式：點按向量平移到點，則.37.在三角函數(shù)中求一個角時，注意考慮兩方面了嗎?(先求出某一個三角函數(shù)值，再判定角的范圍)38.形如的周期都是，但的周期為。39.正弦定理時易忘比值還等于2R.五.平面向量40.數(shù)0有區(qū)別，的模為數(shù)0，它不是沒有

21、方向，而是方向不定?？梢钥闯膳c任意向量平行，但與任意向量都不垂直。41.數(shù)量積與兩個實數(shù)乘積的區(qū)別：在實數(shù)中：若，且ab=0,則b=0,但在向量的數(shù)量積中，若，且，不能推出.已知實數(shù)，且，則a=c,但在向量的數(shù)量積中沒有.在實數(shù)中有，但是在向量的數(shù)量積中，這是因為左邊是與共線的向量，而右邊是與共線的向量.42.是向量與平行的充分而不必要條件，是向量和向量夾角為鈍角的必要而不充分條件。六.解析幾何43.在用點斜式、斜截式求直線的方程時，你是否注意到不存在的情況?44.用到角公式時，易將直線l1、l2的斜率k1、k2的順序弄顛倒。45.直線的傾斜角、到的角、與的夾角的取值范圍依次是。46.定比分點

22、的坐標(biāo)公式是什么?(起點，中點，分點以及值可要搞清)，在利用定比分點解題時，你注意到了嗎?47.對不重合的兩條直線(建議在解題時，討論后利用斜率和截距)48.直線在兩坐標(biāo)軸上的截距相等，直線方程可以理解為，但不要忘記當(dāng)時，直線在兩坐標(biāo)軸上的截距都是0，亦為截距相等。49.解決線性規(guī)劃問題的基本步驟是什么?請你注意解題格式和完整的文字表達(dá).(設(shè)出變量，寫出目標(biāo)函數(shù)寫出線性約束條件畫出可行域作出目標(biāo)函數(shù)對應(yīng)的系列平行線，找到并求出最優(yōu)解應(yīng)用題一定要有答。)50.三種圓錐曲線的定義、圖形、標(biāo)準(zhǔn)方程、幾何性質(zhì)，橢圓與雙曲線中的兩個特征三角形你掌握了嗎?51.圓、和橢圓的參數(shù)方程是怎樣的?常用參數(shù)方程的

23、方法解決哪一些問題?52.利用圓錐曲線第二定義解題時，你是否注意到定義中的定比前后項的順序?如何利用第二定義推出圓錐曲線的焦半徑公式?如何應(yīng)用焦半徑公式?53.通徑是拋物線的所有焦點弦中最短的弦.(想一想在雙曲線中的結(jié)論?)54.在用圓錐曲線與直線聯(lián)立求解時，消元后得到的方程中要注意：二次項的系數(shù)是否為零?橢圓，雙曲線二次項系數(shù)為零時直線與其只有一個交點，判別式的限制.(求交點，弦長，中點，斜率，對稱，存在性問題都在下進(jìn)行).55.解析幾何問題的求解中，平面幾何知識利用了嗎?題目中是否已經(jīng)有坐標(biāo)系了，是否需要建立直角坐標(biāo)系?七.立體幾何56.你掌握了空間圖形在平面上的直觀畫法嗎?(斜二測畫法)

24、。57.線面平行和面面平行的定義、判定和性質(zhì)定理你掌握了嗎?線線平行、線面平行、面面平行這三者之間的聯(lián)系和轉(zhuǎn)化在解決立幾問題中的應(yīng)用是怎樣的?每種平行之間轉(zhuǎn)換的條件是什么?58.三垂線定理及其逆定理你記住了嗎?你知道三垂線定理的關(guān)鍵是什么嗎?(一面、四線、三垂直、立柱即面的垂線是關(guān)鍵)一面四直線，立柱是關(guān)鍵，垂直三處見59.線面平行的判定定理和性質(zhì)定理在應(yīng)用時都是三個條件，但這三個條件易混為一談;面面平行的判定定理易把條件錯誤地記為”一個平面內(nèi)的兩條相交直線與另一個平面內(nèi)的兩條相交直線分別平行”而導(dǎo)致證明過程跨步太大.60.求兩條異面直線所成的角、直線與平面所成的角和二面角時，如果所求的角為9

25、0，那么就不要忘了還有一種求角的方法即用證明它們垂直的方法.61.異面直線所成角利用“平移法”求解時，一定要注意平移后所得角等于所求角(或其補(bǔ)角)，特別是題目告訴異面直線所成角，應(yīng)用時一定要從題意出發(fā)，是用銳角還是其補(bǔ)角，還是兩種情況都有可能。62.你知道公式：和中每一字母的意思嗎?能夠熟練地應(yīng)用它們解題嗎?63.兩條異面直線所成的角的范圍：090直線與平面所成的角的范圍：0o90二面角的平面角的取值范圍：018064.你知道異面直線上兩點間的距離公式如何運(yùn)用嗎?65.平面圖形的翻折，立體圖形的展開等一類問題，要注意翻折，展開前后有關(guān)幾何元素的“不變量”與“不變性”。66.立幾問題的求解分為“作”，“證”，“算”三