固體物理第五章晶體中電子能帶理論1課件

1、固體物理第五章晶體中電子能帶理論1固體物理第五章晶體中電子能帶理論1能帶理論是一個近似理論，固體中存在大量電子及離子實，對這種多粒子系統(tǒng)嚴(yán)格求解是不可能的。晶體中原子的價電子主要影響晶體性質(zhì)，關(guān)注價電子原子 價電子 + 離子實離子實 原子核 + 內(nèi)層電子能帶理論是一個近似理論，固體中存在大量電子及離子實，對這種多引言:晶體最大的特點就是具有周期性結(jié)構(gòu)，滿足平移對稱性。在考慮價電子間及與離子實之間的相互作用的前提下，給出周期性結(jié)構(gòu)系統(tǒng)的哈密頓量，并考慮對哈密頓的近似處理 -模型的建立 假定晶體體積 ， 含有N個帶正電荷Ze的離子實， Z為單原子的價電子數(shù)目，晶體中有NZ個價電子。即： N個離子實

2、，每個離子實帶正電荷Ze，其位矢用 表示；NZ個價電子，簡稱為電子，其位矢用 表示。模型的建立引言:晶體最大的特點就是具有周期性結(jié)構(gòu)，滿足平移對稱性。在考系統(tǒng)的哈密頓為：NZ個電子的動能和庫侖勢 N個離子實的動能和庫侖勢 電子和離子實之間的庫侖勢 式中 表示求和時 i j, 源于考慮了兩次相互作用 系統(tǒng)的哈密頓為：NZ個電子的動能和庫侖勢 N個離子實的動能和描寫體系的薛定諤方程為：（其中 代表 ， 代表 ） 上述問題是一個NZ+N的多體問題，無法直接求解薛定諤方程，為此進行如下假設(shè)和近似：1、絕熱近似（玻恩奧本海默近似） 認(rèn)為離子實固定在其瞬時位置上，只關(guān)注電子體系的運動。此時，離子實的動能項

3、和離子實之間的庫侖勢可不考慮。電子體系的哈密頓量： 為離子實的瞬時位置，是其中的一個參量。一般情況下，離子實是圍繞其平衡位置作小振動（晶格振動）。絕熱近似忽略晶格振動的影響，認(rèn)為 即是平衡位置的描寫體系的薛定諤方程為：（其中 代表 2、單電子近似(平均場近似) 哈密頓中的 項，使電子的運動彼此關(guān)聯(lián)，難于處理。為此，用一個平均場來代替 項。(每個電子處于其他電子的平均場中)則電子體系的哈密頓進一步簡化為：此式表明，晶體中總的 是NZ個單電子的哈密頓之和，即多體問題簡化為單體問題。單電子勢能2、單電子近似(平均場近似) 哈密頓中的 項3、周期場近似單電子勢能:周期場近似的內(nèi)容是：假定 具有和晶格同

4、樣的平移對稱性，即：成立單電子勢能單電子3、周期場近似單電子勢能:周期場近似的內(nèi)容是：假定 絕熱近似單電子近似周期場近似將復(fù)雜的多粒子體系問題簡化為周期場中單電子的運動周期場中單電子薛定諤方程絕熱近似單電子近似周期場近似將復(fù)雜的多粒子體系問題簡化為周期邊長為 L 的立方體金屬, 金屬的體積V=L3,自由電子數(shù)目為N, 若忽略電子和離子實以及電子與電子之間的相互作用，則 N 個電子的多體問題可轉(zhuǎn)化為單電子問題波函數(shù)：準(zhǔn)連續(xù)的分立能級考慮電子間及與離子實間的相互作用后準(zhǔn)連續(xù)的分立能級能帶邊長為 L 的立方體金屬, 金屬的體積V=L3,自由電子數(shù)目周期場中單電子薛定諤方程的本征函數(shù)（布洛赫波函數(shù)）。

5、從兩個極端情況出發(fā)（價電子受原子核束縛強弱），近自由電子近似和緊束縛近似，了解晶體中電子能帶結(jié)構(gòu)的起源。周期場中電子的動力學(xué)行為。從能帶論的角度講述何以有導(dǎo)體、半導(dǎo)體和絕緣體之分。本章主要內(nèi)容：周期場中單電子薛定諤方程的本征函數(shù)（布洛赫波函數(shù)）。本章主要5.1 布洛赫波函數(shù)一、 布洛赫定理及證明 （有關(guān)周期場中單電子薛定諤方程的本征函數(shù)）二、 波矢k的取值與物理意義本節(jié)主要內(nèi)容:5.1 布洛赫波函數(shù)一、 布洛赫定理及證明二、 波矢k的取費利克斯布洛赫(Felix Bloch) (19051983),瑞士物理學(xué)家 因為核磁共振方面的開創(chuàng)性工作，與愛德華珀塞爾（Edward Mills Purce

6、ll, 美，1912-2019）共同分享1952年的諾貝爾物理學(xué)獎。 1928年，研究金屬中電子行為時，得到晶體電子的普遍性定理Bloch定理-能帶論的基礎(chǔ)費利克斯布洛赫(Felix Bloch) (19051布洛赫定理(Bloch theorem)及證明布洛赫定理： 對于周期性勢場，即 其中 取布拉菲格子的所有格矢，則單電子薛定諤方程: 的本征函數(shù)是按布拉菲格子周期性調(diào)幅的平面波，即且對 取布拉菲格子的所有格矢成立。布洛赫定理(Bloch theorem)及證明布洛赫定理： 具有此形式的波函數(shù)稱為布洛赫波函數(shù)。且布洛赫定理也可以表述為：對前述定理中薛定諤方程的每一本征解，存在一波矢 ，使得：

7、對屬于布拉菲格子的所有格矢 成立。具有此形式的波函數(shù)稱為布洛赫波函數(shù)。且布洛赫定理也可以表述為布洛赫定理的證明(1)引入平移對稱算符(2)證明:布洛赫電子(Bloch electron) 把遵從周期勢單電子薛定諤方程的電子，或用布洛赫波函數(shù)描述的電子稱為布洛赫電子，相應(yīng)的描述晶體電子行為的這種波稱為布洛赫波。對屬于布拉菲格子的所有格矢 ,只要證得即可。(3)證明思路（對易算符有共同的本征函數(shù)）（證明算符 的本征函數(shù)為Bloch波函數(shù)）布洛赫定理的證明(1)引入平移對稱算符(2)證明:布洛赫電子(1)引入平移對稱算符定義：性質(zhì)：(1)引入平移對稱算符定義：性質(zhì)：(2)證明：即平移對稱算符與晶體中

8、布洛赫電子的哈密頓算符對易所以晶體中單電子哈密頓算符 具有晶格周期性。微分算符與坐標(biāo)原點的平移無關(guān)，比如在直角坐標(biāo)系中：(2)證明：即平移對稱算符與晶體中布洛赫電子的哈密頓算符對易所以平移對稱操作算符與哈密頓算符是對易的。 由于對易的算符有共同的本征函數(shù)，所以如果波函數(shù) 是 的本征函數(shù)，那么 也一定是算符 的本征函數(shù)。所以平移對稱操作算符與哈密頓算符是對易的。 由于對易的根據(jù)平移算符的性質(zhì)：(3) 證明：其中根據(jù)平移算符的性質(zhì)：(3) 證明：其中可得到：即周期性邊界條件：可得到：即周期性邊界條件：同理可得：這樣 的本征值取下列形式為整數(shù)則：同理可得：這樣 的本征值取下列形式為整數(shù)引入矢量：為整

9、數(shù)式中 為晶格三個倒格基矢，由于 ,-布洛赫定理得證。引入矢量：為整數(shù)式中 為晶格三 可以看出平面波 能滿足上式：因此矢量 具有波矢的意義。討論 的意義 可以看出平面波 能滿足上式：取分立值 為使 與本征值一一對應(yīng)，必須把波矢 的取值限制在 一個倒格子原胞區(qū)間內(nèi)（第一布里淵區(qū)）為整數(shù)波矢k的取值與物理意義取分立值 為使 與本征值一一對應(yīng)，必須把波矢 證明：根據(jù)布洛赫定理下面證明k態(tài)和k+Kh態(tài)是同一電子態(tài),具有相同能量。令：電子的波函數(shù)可以表示為平面波的線性疊加且為了使波矢k與能量一一對應(yīng)，限制k的取值在一個倒格子原胞區(qū)間-第一布里淵區(qū)。(限制k的取值在第一布里淵區(qū))證明：根據(jù)布洛赫定理下面證

10、明k態(tài)和k+Kh態(tài)是同一電子態(tài),具波矢 具有倒格矢的量綱，得出:三維格波的波矢不是連續(xù)的而是分立的，其中為波矢的基矢，波矢的點陣亦具有周期性。(二維圖示)每個波矢代表點占有的體積為：正格子原胞體積晶體體積晶格振動波矢 具有倒格矢的量綱，得出:三維格波的波矢不是連續(xù)的波矢密度：波矢空間中單位體積的波矢數(shù)目。 將 的取值限制在一個倒格子原胞范圍內(nèi) -第一布里淵區(qū)（簡約布里淵區(qū)） 波矢可取的數(shù)目為倒格子原胞的體積乘以波矢密度：每個波矢代表點占有的體積為：-原胞的個數(shù)晶格振動波矢密度：波矢空間中單位體積的波矢數(shù)目。 將 在第一布里淵區(qū)內(nèi)，電子的波矢數(shù)目等于晶體的原胞數(shù)目N=N1N2N3。在波矢空間內(nèi)，由于N的數(shù)目很大，波矢點的分布是準(zhǔn)連續(xù)的。電子的波矢密度為： 取值是量子化的，在 空間均勻分布，一個 值平均占據(jù)體積：為晶體的體積 在第一布里淵區(qū)內(nèi)，電子的波矢數(shù)目等于晶體的原胞電子的波矢說明：自由電子情形，由于波函數(shù)：對自由電子情形，動量算符有確定的本征值， 代表電子的動量。 但是，對于布洛赫電子，由于布洛赫波函數(shù)： 所以，布洛赫波函數(shù)不再是動量算符的本征函數(shù)， 不再代表布洛赫電子的動量。一般把 稱為晶體動量,而把 理解為標(biāo)志電子在具有平移對稱性的周期場中不同狀態(tài)的量子數(shù)。說明：自由電子情形，由于波函數(shù)：對自由電子情形，動量算符有確 例：