初中數學人教八年級上冊（2023年更新）第十二章 全等三角形角平分線的性質杜藺

1、學科數學年級八年級上冊（人教版）課題角的平分線的性質（第一課時）教學目標知識與技能1.掌握用直尺和圓規(guī)作已知角的平分線的方法。2.利用邏輯推理的方法證明角平分線的性質，理解并能初步應用。過程與方法經歷探究作已知角的平分線的方法，形成圖形的幾何直覺。通過動手操作，觀察演示，合作交流，猜想并證明角平分線的性質的過程，掌握證明幾何命題的基本步驟，提高分析問題和解決問題的能力。情感態(tài)度與價值觀1.在探索角平分線的性質的過程中，經歷畫圖、觀察、推理、交流等環(huán)節(jié)，提高探求問題的能力，增強探求問題的信心，體驗數學活動的趣味性。重點1、利用尺規(guī)作圖作已知角的平分線。2、理解角的平分線的性質定理及其應用。難點1

2、、根據角的平分儀器提煉出角的尺規(guī)畫法。2、對角平分線性質定理中點到角兩邊的距離的正確理解。教法猜想驗證證明歸納應用教具一張三角形紙片，角平分儀， 希沃白板，尺規(guī)作圖工具教學過程設計問題與情景師生行為設計意圖活動1欣賞圖片，觀察角平分線在生活中的應用?；顒?溫故知新：1. 判定三角形全等的定理有哪些？2. 從直線外一點到這條直線 的 的長度，叫做點到直線的距離。3. 從一個角的頂點出發(fā)，把角分為 的兩個角的 線叫做角的平分線?；顒?對于紙片上的角，如何作出它的平分線？對于不能折疊的角（畫在黑板上），又該如何作出一個角的角平分線？學生實驗：通過折紙的方法作角的平分線 學生獨立思考，教師隨機抽同學作

3、答。（SSS SAS ASA AAS HL、垂直距離、相等、射線）教師拿出畫有角的紙片，提示學生用折疊的方法作出角的平分線，學生操作后進行展示。并說明折疊的痕跡就是角的角平分線。學生回答可用量角器進行度量。 感受生活中的數學，提高學生學習的趣味性。為學習角平分線的性質做出鋪墊。回顧本節(jié)課探究中需要用到的證明角平分線的畫法以及性質所需的三角形判定定理、理解角平分線的性質中“點到角兩邊的距離”為“垂線段長度”等知識，并引出角的平分線的定義，為下一步探求如何作角的平分線奠定基礎。體驗角平分線的簡易作法，通過設置問題串，當折疊和度量不具備操作性和所需精確性時，需要尋求新的方法作出一個角的角平分線。為下

4、一步用尺規(guī)作圖畫出一個角的角平分線設置鋪墊。探究新知師生行為設計意圖探究1下圖為一個平分角的儀器，其中AB=AD,BC=DC,將A點放在角的頂點，AB和AD沿著角的兩邊放下，沿AC畫一條射線AE,AE就是這個角的平分線，你能說明它的原理嗎？教師拿出角平分儀并介紹其特點，并展示操作過程學生將實物圖抽象出數學圖形學生獨立運用三角形全等的方法證明AE是BAD的平分線。本次活動中，教師重點關注：學生是否能從簡易角平分儀中抽象出兩個三角形；(2)學生能否運用三角形全等的條件證明兩個三角形全等，從而說明線段AE是BAD的平分線。說明用其他方法可以做一個角的平分線。培養(yǎng)學生的抽象思維能力和運用三角形全等的知

5、識解決問題的能力。這個提問為探求如何用直尺和圓規(guī)做一個角的平分線做好鋪墊，同時為利用尺規(guī)作圖作出一個角的平分線后證明提供基礎，。通過說明角平分儀的原理，培養(yǎng)學生將實際問題轉化為數學問題的能力活動4 問題(1)從上面的探究中，可以得出作已知角的平分線的方法。已知什么？求作什么？(2)把簡易平分角的儀器放在角的兩邊.且平分角的儀器兩邊相等,如何用圓規(guī)刻畫這兩條邊的相等關系?圓規(guī)截取的長度要和角平分儀中AB相等嗎？(3) 如何確定射線OC中的C點？(4)如何用圓規(guī)刻畫角平分儀中BC=DC這兩條邊的相等關系？此時以任意長為半徑可以嗎？(5)OC與簡易平分角的儀器中AE是同一條射線嗎?(6)為什么OC是

6、AOB的平分線?如何證明？(7)歸納角平分線的作法教師提問,學生與老師一起完成探究過程. 從實驗中抽象出幾何模型,明確幾何作圖的基本思路和方法.培養(yǎng)學生運用直尺和圓規(guī)作已知角的平分線的能力.學生獨立說明,學生相互討論,交流,歸納后教師歸納展示作法.探究2在已畫好的角的平分線OC上任意找一點P,過P點分別作OA、OB的垂線交OA、O于D、E。PE、PD的長度是AOB的平分線上一點到AOB兩邊的距離。量出它們的長度，你發(fā)現了什么？在OC上多取幾個點試一試.2.你能猜想角的平分線的性質嗎?學生實驗，分組討論。教師引導并在幾何畫板中通過P點的任意性，幫助學生大膽猜想角平分線的性質。引導學生用自己的語言

7、歸納出猜想：角平分線上的點到角的兩邊的距離相等。本次活動中,教師重點關注(1)學生能否從實驗中探索、發(fā)現角的平分線的性質;(2)學生能否獨立運用三角形全等的條件證明兩個三角形全等;(3)說明射線OP是AOB的平分線嗎?學生自己動手畫圖，操作測量，為學生創(chuàng)造猜想的機會。鼓勵學生大膽想象，大膽質疑，引導學生合理地進行猜想，可以培養(yǎng)培養(yǎng)學生創(chuàng)新意識。通過幾何畫板，幫助學生驗證猜想，讓學生體驗成功的喜悅，培養(yǎng)學生對數學學習的趣味性。通過讓學生自己總結概括發(fā)現的規(guī)律，培養(yǎng)數學抽象能力和語言概括能力。探究3猜想：角平分線上的點到角的兩邊的距離相等。如何證明？對比之前碰到的證明題，有何不同？對于幾何命題的證

8、明，要先找到命題的已知和所求，那此處的已知條件是什么？要證明的又是什么？如何將文字語言的已知和求證用符號語言描述？如何根據題意作圖？用符號語言寫出已知和求證后，如何證明？教師幫助學生分析找出已知條件為：一點在一個角的平分線上；求證：這個點到這個角的兩邊的距離相等。教師引導學生思考，對比以往碰到的證明題，根據題意做出圖形，將文字類型的已知條件和求證轉化為符號語言。（該活動對學生有難度，有教師演示講解完成） 學生獨立思考后小組交流討論，選出一名發(fā)言人談談證明方法。（利用AAS證明兩個三角形全等，從而通過全等三角形的性質得到距離相等）學生發(fā)言后教師梳理并板書證明過程。通過設計問題1，幫助學生尋找證明

9、純文字命題的方法；問題2的設計可以幫助學生順理成章的得出下一步驟為尋找命題的已知和求證；問題3的作用為強調數學中語言的多重描述的重要性，可以加深學生在今后學習中對“數形結合”思想的理解和應用。讓學生自己先獨立思考證明，再說思路，可以培養(yǎng)學生的邏輯推理能力；教師幫助梳理后板書過程，幫助學生掌握證明幾何命題的基本步驟，提高分析問題和解決問題的能力。新知剖析師生行為設計意圖活動5定理剖析角的平分線的性質：角的平分線上的點到角的兩邊的距離相等。如何用圖形語言描述這個定理？如何用符號語言描述這個定理？定理的應用條件是什么？定理的作用是什么？教師板書：角的平分線上的點到角的兩邊的距離相等。教師引導學生根據

10、定理做出對應的圖形，并從定理的證明過程中提煉出符號語言的描述：符號語言為：學生獨立思考問題4、問題5并在組內交流后發(fā)言。這是本節(jié)課的重點。通過強調文字語言、圖形語言、符號語言之間的聯系，可以幫助學生在今后學習中，在特定的圖形和條件下能想到用這個定理，知道應用定理可以添加哪些條件，做到解答過程中能有清晰的思路尋找條件并準確寫出步驟。 強調定理的作用為證明線段相等，是為了幫助學生總結方法，將其與“通過證明全等三角形來證明線段相等”放在同一層次，解決學生在今后使用性質時還要證明全等這一難點。方法歸納師生行為設計意圖活動61.證明幾何命題的一般步驟是什么？教師引導學生回顧證明命題的步驟后，學生與同伴交

11、流結論后發(fā)言，教師總結歸納：1.明確命題中的已知和求證；2.根據題意，畫出圖形，并用符號表示已知和求證。3.經過分析，找出由已知推出要證的結論的途徑，寫出證明過程。 這是學生第一次碰到純文字的幾何證明題，對證明步驟的總結可以為后續(xù)學習線段的垂直平分線的性質等幾何命題提供方法，奠定基礎。應用新知師生行為設計意圖活動6判斷：1.例1、如圖,OC是AOB的平分線,點P在OC上,PEOA,PFOB,垂足分別是E、F,PE=4cm,則PF=_cm.例2:如圖，在ABC中，C900，AD平分BAC交BC于點D，若BC8,BD5，則點D到邊AB的距離為？學生獨立思考并做出判斷，教師抽學生展示分析過程和答案，

12、教師給予鼓勵和肯定。答案：1.錯誤，理由為：缺少了AD是BAC的平分線這一條件。2.錯誤，理由為：此時點D并沒有在BAC的平分線上。3.錯誤，理由為：此時缺少條件DBAB,DCAC，不能使用角平分線的性質。4.正確，此時三個條件都滿足。（在本活動中，教師重點關注學生能否找齊使用角的平分線的性質的三個條件：角的平分線、點在角的平分線上、點到角兩邊的距離）學生獨立練習，同組同學交流，抽學生上來展示分析過程。并形成知識結論。（根據角平分線的性質，直接可得 PF=PE=4cm）學生獨立練習，同組同學交流，老師根據學生的學習情況適當加以指導，獲得正確的結論。(幫助分析出點D到邊AB的距離實為點到直線的距

13、離，可通過過點D做直線AB的垂線得到所求為垂線段DE的長度。再使用角的平分線的性質定理解決問題)抽學生上來展示分析過程。通過學生對使用角的平分線性質時必須滿足的三個條件針對練習，為學生加深印象。 前三個判斷題依次考察了當缺乏角的平分線、點在角的平分線上、點到角兩邊的距離這三個條件中的任意一個時，都不能直接使用角的平分線的性質證明線段相等。第一個例題的作用時讓學生直接通過利用角的平分線的性質進行解題，讓學生體會使用定理找線段相等時，比利用證明三角形全等更簡捷。第二個例題的設計較第一個例題難度較大，主要是必須通過添加輔助線，作點D到邊AB的距離才能想到使用角的平分線的性質，通過有梯度的訓練提高學生

14、使用角的平分線的性質解題的能力。拓展提高師生行為設計意圖1.在OAB中，OE是AOB的角平分線，EC、ED分別垂直O(jiān)A、OB，垂足為C、D，且CA=DB。求證：AE=BE。教師進行思路點撥：此時AE=BE是否為垂線段相等？能直接利用角平分線性質得到嗎？應當證明哪兩個三角形全等？（分析思路：要證AE=BE,需先證明ACEBDE,由題可得到ACE=BDE=90，且CA=DB，還需利用角的平分線的性質證明CE=DE,便可用AAS的判斷證明全等）學生理清證明思路后，限時三分鐘獨立完成，在通過多媒體展示學生證明過程。此題目的設計主要考察學生利用角的平分線的性質定理解決幾何問題的能力，讓學生在已有成功經驗

15、的基礎上，繼續(xù)探究與應用，提升分析解決問題的能力。通過展示多少有點問題的證明過程，在分析的過程中讓學生學會嚴密的證明方法?？偨Y反思師生行為設計意圖活動7小結：（1）本節(jié)學習了哪些內容？（2）本節(jié)我們是利用什么方法探究角的平分線的性質的？（3）角的平分線的性質為我們提供了證明什么的方法？在應用該性質時要注意什么？作業(yè)：教科書習題第4，5題教師和學生一起回顧本節(jié)課所學的內容，并請學生回答問題。了解學生對本節(jié)課所學知識的掌握情況，并引導學生從知識內容和方法上總結自己的收獲。 教學反思 本節(jié)知識含量多，難度大，主要包含的知識點有：用尺規(guī)作出角的平分線、角平分線的性質探究及簡單應用。故在設計活動時，難度不宜過大。本節(jié)教學設計的思路為：通過角平分儀的原理提煉出