北師大版九年級(jí)上冊(cè)數(shù)學(xué)課件（第1章 特殊平行四邊形）

1、第一章 特殊平行四邊形 1.1 菱形的性質(zhì)與判定第1課時(shí) 菱形及其性質(zhì)1課堂講解2課時(shí)流程逐點(diǎn)導(dǎo)講練課堂小結(jié)作業(yè)提升菱形的定義菱形邊的性質(zhì)菱形對(duì)角線的性質(zhì) 下面幾幅圖片中都含有一些平行四邊形.觀察這些平行四邊形，你能發(fā)現(xiàn)它們有什么樣的共同特征？1知識(shí)點(diǎn)菱形的定義菱形的定義：有一組鄰邊相等的平行四邊形叫做菱形 要點(diǎn)精析： (1)菱形必須滿足兩個(gè)條件：一是平行四邊形；二是一組 鄰邊相等二者必須同時(shí)具備，缺一不可 (2)菱形的定義既是菱形的基本性質(zhì)，也是菱形的基本判 定方法知1講如圖，若要使平行四邊形ABCD成為菱形，則需 要添加的條件是() AABCD BADBC CABBC DACBD知1練 C

2、如圖，在ABC中，ABAC，D是BC上一點(diǎn)， DEAC交AB于點(diǎn)E，DFAB交AC于點(diǎn)F， 要使四邊形AEDF是菱形，只需添加的條件是 () AADBC BBADCAD CBDDC DADBD知1練 B2知識(shí)點(diǎn)菱形邊的性質(zhì)知2導(dǎo) 菱形具有平行四邊形的所有性質(zhì)此外，菱形還具有哪些特殊性質(zhì)呢? 根據(jù)菱形的軸對(duì)稱性，你發(fā)現(xiàn)菱形的四條邊具有什么大小關(guān)系?問(wèn) 題菱形的四條邊都相等.知2講例1 如圖所示，菱形ABCD中，B60，AB2， E、F分別是BC、CD的中點(diǎn)，連接AE、EF、 AF，則AEF的周長(zhǎng)為( ) A B C D3 在菱形ABCD中，因?yàn)锽60，連接AC，則ABC是等邊三角形，又因?yàn)镋分別

3、是BC的中點(diǎn)，所以AE垂直于BC，因此AE ，所以AEF的周長(zhǎng)為 ，故選B.B分析：總 結(jié)知2講 在菱形中作輔助線經(jīng)常連接對(duì)角線，構(gòu)造三角形來(lái)做題，能夠迎刃而解.1 邊長(zhǎng)為3 cm的菱形的周長(zhǎng)是() A6 cm B9 cm C12 cm D15 cm知2練 C知2練如圖，在菱形ABCD中，AB4，B60， AEBC，AFCD，垂足分別為E，F(xiàn)，連接 EF，則AEF的面積是() A4 B3 C2 D. B3知識(shí)點(diǎn)菱形對(duì)角線的性質(zhì)知3導(dǎo) 因?yàn)榱庑问瞧叫兴倪呅?，所以它具有平行四邊形的所有性質(zhì).由于它的一組鄰邊相等，它是否具有一般平行四邊形不具有的一些特殊性質(zhì)呢？思考菱形的兩條對(duì)角線AC與BD之間具有

4、什么位置關(guān)系?知3導(dǎo)已知：如圖，在菱形ABCD中，ABAD，對(duì)角線AC與BD相交于點(diǎn)O.求證（1）ABBCCDAD，（2）ACBD.證明：(1)四邊形ABCD是菱形， ABCD，ADBC(菱形的對(duì)邊相等) 又ABAD，ABBCCDAD.(2)ABAD，ABD是等腰三角形 又四邊形ABCD是菱形，OBOD(菱形的對(duì)角線互相平分) 在等腰三角形ABD中，OBOD，AOBD， 即 ACBD.歸 納知3導(dǎo)定理菱形的對(duì)角線互相垂直知3導(dǎo)問(wèn) 題菱形的面積如何計(jì)算呢？菱形的面積有兩種計(jì)算方法：一種是底乘以高的積；另一種是對(duì)角線乘積的一半.所以在求菱形的面積時(shí)，要靈活運(yùn)用使計(jì)算簡(jiǎn)單.由于菱形的四條邊都相等，所

5、以要求其周長(zhǎng)就要先求出其邊長(zhǎng)由菱形的性質(zhì)可知，其對(duì)角線互相垂直平分，因此可以在直角三角形中利用勾股定理來(lái)進(jìn)行計(jì)算知3講例2 如圖，在菱形ABCD中，對(duì)角線AC與BD相交于 點(diǎn)O，BD12 cm，AC6 cm.求菱形的周長(zhǎng) 導(dǎo)引：四邊形ABCD是菱形，ACBD，AO AC，BO BD.AC6 cm，BD12 cm，AO3 cm，BO6 cm. 在RtABO中，由勾股定理， 得AB 菱形的周長(zhǎng)4AB知3講 解：總 結(jié)知3講 菱形的對(duì)角線將菱形分成四個(gè)全等的直角三角形，我們通常將菱形問(wèn)題中求相關(guān)線段的長(zhǎng)轉(zhuǎn)化為求直角三角形中相關(guān)線段的長(zhǎng)，再利用勾股定理來(lái)計(jì)算 1 如圖，四邊形ABCD是菱形，BEAD，

6、BFCD， 垂足分別為E，F(xiàn). (1)求證：BEBF； (2)當(dāng)菱形ABCD的對(duì)角線AC8，BD6時(shí)， 求BE的長(zhǎng)知3練 知3練(1)證明：四邊形ABCD是菱形，ABCB，BADBCD.BEAD,BFCD，AEBCFB90.知3練(2)解：對(duì)角線AC8，BD8，AO4，OD3.易求得AD5.又菱形ABCD的面積ADBE ACBD，5BE如圖，四邊形ABCD是菱形，AC8，DB6， DHAB于H，則DH等于() A. B. C5 D4知3練 A第一章 特殊平行四邊形 1.1 菱形的性質(zhì)與判定第2課時(shí) 菱形的判定1課堂講解由對(duì)角線的位置關(guān)系判定菱形由邊的數(shù)量關(guān)系判定菱形 2課時(shí)流程逐點(diǎn)導(dǎo)講練課堂小

7、結(jié)作業(yè)提升1.菱形的定義?2.如圖,已知四邊形ABCD是一個(gè)平行四邊形, 則只需補(bǔ)充 就可以判定它是一個(gè)菱形.3.如圖,已知菱形ABCD的對(duì)角線AC、BD 相交于點(diǎn)O,并且AC=6cm,BD=8cm, 則菱形ABCD的周長(zhǎng)為 cm. 根據(jù)菱形的定義，有一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形除此之外，你認(rèn)為還有什么條件可以判斷一個(gè)平行四邊形是菱形？先想一想，再與同伴交流 1知識(shí)點(diǎn)由對(duì)角線的位置關(guān)系判定菱形可以發(fā)現(xiàn)，對(duì)角線互相垂直的平行四邊形是菱形下面我們證明這個(gè)結(jié)論知1導(dǎo) 已知：如圖，在 ABCD中，對(duì)角線AC與BD相交于點(diǎn)O，ACBD. 求證： ABCD是菱形四邊形ABCD是平行四邊形，OAOC.又A

8、CBD，BD是線段AC的垂直平分線BABC.四邊形ABCD是菱形(菱形的定義)知1講 證明：知1講總 結(jié)1. 判定定理：對(duì)角線互相垂直的平行四邊形是菱 形.2. 規(guī)律導(dǎo)引：若用對(duì)角線進(jìn)行判定：先證明四邊 形是平行四邊形，再證明對(duì)角線互相垂直，或 直接證明四邊形的對(duì)角線互相垂直平分. 如圖，ABCD的對(duì)角線AC，BD相交于點(diǎn)O，請(qǐng)你添加一個(gè)適當(dāng)?shù)臈l件_使其成為菱形(只填一個(gè)即可)知1練 ACBD（答案不唯一）2 下列命題中正確的是() A對(duì)角線相等的四邊形是菱形 B對(duì)角線互相垂直的四邊形是菱形 C對(duì)角線相等的平行四邊形是菱形 D對(duì)角線互相垂直平分的四邊形是菱形知1練 D2知識(shí)點(diǎn)由邊的數(shù)量關(guān)系判定

9、菱形 知2導(dǎo)議一議已知線段AC，你能用尺規(guī)作圖的方法作一個(gè)菱形ABCD，使AC為菱形的一條對(duì)角線嗎？如圖，分別以A，C為圓心，以大于 AC的長(zhǎng)為半徑作弧，兩條弧分別相交于點(diǎn)B，D，依次連接A，B，C，D，四邊形ABCD看上去是菱形你是怎么做的？你認(rèn)為小剛的做法正確嗎？與同伴交流定理：四邊相等的四邊形是菱形.請(qǐng)你完成這個(gè)定理的證明. 知2講例1 已知：如圖，在 ABCD中，對(duì)角線AC與BD相交 于點(diǎn)O，AB ，OA2，OB1. 求證： ABCD 是菱形 在AOB中， AB ，OA2，OB1， AB2AO2OB2. AOB是直角三角形，AOB是直角 ACBD. ABCD是菱形(對(duì)角線垂直的平行四邊

10、形是菱形) 證明：總 結(jié)知2講 1.判定定理2：四邊相等的四邊形是菱形.2.規(guī)律導(dǎo)引：若用邊進(jìn)行判定：先證明四邊形是平 行四邊形，再證明一組鄰邊相等，或直接證明四 邊形的四條邊都相等1 做一做 你能用折紙等辦法得到一個(gè)菱形嗎？動(dòng)手試一試！ 先將一張長(zhǎng)方形的紙對(duì)折、再對(duì)折，然后沿圖中的虛線剪下， 將紙展開(kāi)，就得到了一個(gè)菱形 你能說(shuō)說(shuō)小穎這樣做的道理嗎？知2練 如圖，在ABCD中，對(duì)角線AC與BD交于點(diǎn)O， 若增加一個(gè)條件，使ABCD成為菱形，下列給 出的條件不正確的是() AABAD BACBD CACBD DBACDAC知2練 C1.菱形的判定方法： (1)(定義法)：一組鄰邊相等的平行四邊形

11、是菱形； (2)(對(duì)角線)：對(duì)角線互相垂直的平行四邊形是菱形； (3)(邊)：四邊相等的四邊形是菱形平行四邊形四邊形菱形2、判定菱形的常見(jiàn)思路：四條邊都相等判定條件對(duì)角線互相垂直一組鄰邊相等第一章 特殊平行四邊形1.1 菱形的性質(zhì)與判定第3課時(shí) 菱形性質(zhì)與判定 的綜合應(yīng)用名師點(diǎn)金菱形具有一般平行四邊形的所有性質(zhì)，同時(shí)又具有一些特性，可以歸納為三個(gè)方面：(1)從邊看：對(duì)邊平行，四邊相等；(2)從角看：對(duì)角相等，鄰角互補(bǔ)；(3)從對(duì)角線看：對(duì)角線互相垂直平分，并且每一條對(duì) 角線平分一組對(duì)角 判定一個(gè)四邊形是菱形，可先判定這個(gè)四邊形是平 行四邊形，再判定一組鄰邊相等或?qū)蔷€互相垂直， 也可直接判定四

12、邊相等1訓(xùn)練角度利用菱形的性質(zhì)與判定判斷圖形的形狀如圖，在四邊形ABCD中，ABCD，AC平分BAD，CEAD交AB于E. (1)求證：四邊形AECD是菱形； (2)若點(diǎn)E是AB的中點(diǎn)，試判斷 ABC的形狀，并說(shuō)明理由(1) ABCD，CEAD， 四邊形AECD是平行四邊形， DACACE. AC平分BAD， EACDAC. EACACE. AECE. 四邊形AECD是菱形證明：(2)ABC是直角三角形，理由如下： 點(diǎn)E是AB的中點(diǎn)，AEBE. AECE，CEBE. EBCECB. EBCBCABAC180， EACACE， BCEECA90，即BCA90. ABC是直角三角形解：2訓(xùn)練角度利

13、用菱形的性質(zhì)與判定證明線段的關(guān)系2如圖，在四邊形ABCD中，ABCD，ABCD， BDAC. (1)求證：ADBC； (2)若E，F(xiàn)，G，H分別是 AB，CD，AC，BD的 中點(diǎn)，求證：線段EF 與線段GH互相垂直平分(1)如圖，過(guò)點(diǎn)B作BMAC交DC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)M， 則ACDM. ABCD， 四邊形ABMC為平行四邊形 ACBM. ACBD，BDBM. BDCMACD. 又CDDC， ACDBDC. ADBC.證明：(2)如圖，連接EH，HF，F(xiàn)G，GE， E，F(xiàn)，G，H分別是AB，CD，AC，BD的中點(diǎn)， HEAD，且HE AD，F(xiàn)GAD， 且FG AD，EG BC. HEFG，HEFG.

14、 四邊形HFGE為平行四邊形 由(1)知，ADBC，HEEG. HFGE為菱形 線段EF與線段GH互相垂直平分3訓(xùn)練角度利用菱形的性質(zhì)與判定求線段長(zhǎng)3如圖，在四邊形ABCF中，ACB90，點(diǎn)E 是AB的中點(diǎn)，點(diǎn)F恰是點(diǎn)E關(guān)于AC所在直線的 對(duì)稱點(diǎn) (1)證明：四邊形AECF為菱形； (2)設(shè)EF交AC于點(diǎn)O，若BC10， 求線段OF的長(zhǎng)(1) 因?yàn)辄c(diǎn)F恰是點(diǎn)E關(guān)于AC所在直線的對(duì)稱點(diǎn)， 所以AC應(yīng)是EF的中垂線 所以CECF，AEAF. 又點(diǎn)E是直角三角形ABC斜邊上的中點(diǎn)， 所以AECE. 所以AEAFCECF. 所以四邊形AECF是菱形證明：(2)因?yàn)樗倪呅蜛ECF是菱形， 所以O(shè)AOC，

15、OEOF. 因?yàn)辄c(diǎn)E是AB的中點(diǎn)， 所以EO是ACB的中位線 所以EO BC5. 所以O(shè)F5.解：4訓(xùn)練角度利用菱形的性質(zhì)與判定解決面積問(wèn)題4如圖，在等腰三角形ABC中，ABAC，AD平分 BAC，交BC于點(diǎn)D，在線段AD上任取一點(diǎn)P(點(diǎn)A除外)， 過(guò)點(diǎn)P作EFAB，分別交AC，BC于點(diǎn)E，F(xiàn)，作PMAC， 交AB于點(diǎn)M，連接ME. (1)求證：四邊形AEPM為菱形 (2)當(dāng)點(diǎn)P在何處時(shí)，菱形AEPM 的面積為四邊形EFBM面積的 一半？請(qǐng)說(shuō)明理由(1)EFAB，PMAC， 四邊形AEPM為平行四邊形 AD平分BAC， CADBAD. EPAB， BADEPA. CADEPA. EAEP. 四

16、邊形AEPM為菱形證明：解：(2)當(dāng)點(diǎn)P為EF的中點(diǎn)時(shí)，S菱形AEPM S四邊形EFBM. 理由如下：四邊形AEPM為菱形， APEM. ABAC，CADBAD， ADBC. EMBC. 又EFAB， 四邊形EFBM為平行四邊形 過(guò)點(diǎn)E作ENAB于點(diǎn)N，如圖， EP EF， S菱形AEPMAMENEPEN EFEN S四邊形EFBM .第一章 特殊平行四邊形 1.2 矩形的性質(zhì)與判定第1課時(shí) 矩形及其性質(zhì)1課堂講解2課時(shí)流程矩形的定義矩形的邊角性質(zhì)矩形的對(duì)角線性質(zhì)直角三角形斜邊上中線的性質(zhì)逐點(diǎn)導(dǎo)講練課堂小結(jié)作業(yè)提升下面圖片中都含有一些特殊的平行四邊形觀察這些特殊的平行四邊形，你能發(fā)現(xiàn)它們有什么

17、樣的共同特征？ 1知識(shí)點(diǎn)矩形的定義矩形的定義：有一個(gè)角是直角的平行四邊形叫做矩形.注意：(1)由矩形的定義知，矩形一定是平行四邊形，但平行 四邊形不一定是矩形(2)矩形必須具備兩個(gè)條件：它是一個(gè)平行四邊形； 它有一個(gè)角是直角這兩個(gè)條件缺一不可知1講 例1 如圖所示，l1l2，A、B是l1上的兩點(diǎn)，過(guò)A、B分 別作l2的垂線，垂足分別為D、C四 邊形ABCD是矩形嗎? 簡(jiǎn)述你的理由知1講很容易發(fā)現(xiàn)ABCD為平行四邊形只需有一個(gè)角為直角即可，因?yàn)锳Dl2有直角，問(wèn)題得證 四邊形ABCD是矩形，理由：ADl2，BCl2，ADBCl1l2，四邊形ABCD是平行四邊形又ADC=90，平行四邊形ABCD為

18、矩形分析：解：總 結(jié)知1講 利用定義識(shí)別一個(gè)四邊形是矩形，首先要證明四邊形是平行四邊形，然后證明平行四邊形有一個(gè)角是直角.1下列說(shuō)法正確的是()A平行四邊形是矩形 B矩形不一定是平行四邊形C有一個(gè)角是直角的四邊形是矩形D平行四邊形具有的性質(zhì)矩形都具有 知1練 B2知識(shí)點(diǎn)矩形的邊角性質(zhì)知2導(dǎo)想一想(1)矩形是特殊的平行四邊形，它具有一般平行四邊形的所有性 質(zhì)你能列舉一些這樣的性質(zhì)嗎？(2)矩形是軸對(duì)稱圖形嗎？ 如果是，它有幾條對(duì)稱軸？(3)你認(rèn)為矩形還具有哪些 特殊的性質(zhì)？與同伴交流 矩形是軸對(duì)稱圖形.知2導(dǎo)已知：如圖，四邊形ABCD是矩形，ABC90，對(duì)角線AC與DB相交于點(diǎn)O.求證：ABCB

19、CDCDADAB90； 證明：四邊形ABCD是矩形， ABCCDA，BCDDAB(矩形的 對(duì)角相等)，ABDC(矩形的對(duì)邊平行) ABCBCD180. 又ABC90，BCD90. ABCBCDCDADAB90.歸 納知2導(dǎo) 矩形的性質(zhì)：(1)矩形的四個(gè)角都是直角(2)矩形具有平行四邊形的所有性質(zhì)(3)矩形是軸對(duì)稱圖形，如圖所示， 鄰邊不相等的矩形有兩條對(duì)稱軸如圖，點(diǎn)E是矩形ABCD的邊AD延長(zhǎng)線上的一點(diǎn)，且ADDE，連接BE交CD于點(diǎn)O，連接AO，下列結(jié)論中不正確的是()AAOBBOC BBOCEODCAODEOD DAODBOC知2練 13知識(shí)點(diǎn)矩形的對(duì)角線性質(zhì)知3導(dǎo) 任意畫(huà)一個(gè)矩形，作出它

20、的兩條對(duì)角線，并比較它們的長(zhǎng)你有什么發(fā)現(xiàn)? 已知：如圖所示，四邊形ABCD是矩形 求證：AC=DB 四邊形ABCD是矩形， ABC=DCB=90(矩形的性質(zhì)定理1) AB=CD(平行四邊形的對(duì)邊相等)，BC=CB ABCDCB(SAS). AC=DB 于是，就得到矩形的性質(zhì)：矩形的對(duì)角線相等.證明：矩形具有而一般平行四邊形不具有的性質(zhì)是()A對(duì)角相等 B對(duì)角線相等C對(duì)邊相等 D對(duì)角線互相平分知3練 1B知4導(dǎo)4知識(shí)點(diǎn)直角三角形斜邊上中線的性質(zhì)議一議如圖，矩形ABCD的對(duì)角線AC與BD交于點(diǎn)E，那么BE是RtABC中一條怎樣的特殊線段？它與AC有什么大小關(guān)系？由此你能得到怎樣的結(jié)論？1、結(jié)論：定

21、理：直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半.2、請(qǐng)你完成這個(gè)定理的證明.3、總結(jié)： (1)此性質(zhì)與“含30角的直角三角形性質(zhì)”及“三角形中位線性質(zhì)” 是解決線段倍分問(wèn)題的重要依據(jù)； (2)“三角形中位線性質(zhì)”適用于任何三角形；“直角三角形斜邊上 的中線性質(zhì)”適用于任何直角三角形；“含30角的直角三角形 性質(zhì)”僅適用于含30角的特殊直角三角形； (3)直角三角形還具有以下性質(zhì)：兩銳角互余；兩直角邊的平 方和等于斜邊平方知4講例2如圖，在矩形ABCD中，兩條對(duì)角線相交于點(diǎn)O， AOD120，AB2.5，求這個(gè)矩形對(duì)角線的長(zhǎng)解：四邊形ABCD是矩形， ACBD(矩形的對(duì)角線相等)， OAOC AC，O

22、BOD BD(矩形的對(duì)角線互相平分) OAOD. AOD120， ODAOAD (180120)30. 又DAB90(矩形的四個(gè)角都是直角)， BD2AB22.55.知4講 你還有其他解法嗎？1如圖，P是矩形ABCD的對(duì)角線AC的中點(diǎn)，E是AD的中點(diǎn)若AB6，AD8，則四邊形ABPE的周長(zhǎng)為( )A14 B16 C17 D18知4練 D2如圖，在ABC中，點(diǎn)D，E分別是邊AB，AC的中點(diǎn)，AFBC，垂足為點(diǎn)F，ADE30，DF4，則BF的長(zhǎng)為()A4 B8 C2 D4知4練 D1矩形定義：有一個(gè)角是直角的平行四邊形叫做矩 形，因此，矩形是平行四邊形的特例，具有平行 四邊形所有性質(zhì)2性質(zhì)歸納：

23、(1)邊的性質(zhì)：對(duì)邊平行且相等 (2)對(duì)角線性質(zhì)：對(duì)角線互相平分且相 等 (3)對(duì)稱性：矩形是軸對(duì)稱圖形第一章 特殊平行四邊形 1.2 矩形的性質(zhì)與判定第2課時(shí) 矩形的判定1課堂講解由對(duì)角線關(guān)系判定矩形由直角的個(gè)數(shù)判定矩形2課時(shí)流程逐點(diǎn)導(dǎo)講練課堂小結(jié)作業(yè)提升做一做如圖是一個(gè)平行四邊形活動(dòng)框架，拉動(dòng)一對(duì)不相鄰的頂點(diǎn)時(shí)，平行四邊形的形狀會(huì)發(fā)生變化(1)隨著的變化，兩條對(duì)角線的長(zhǎng)度將發(fā)生怎樣的變化？(2)當(dāng)兩條對(duì)角線的長(zhǎng)度相等時(shí)，平行四邊形有什么特征？由此 你能得到一個(gè)怎樣的猜想？1知識(shí)點(diǎn)由對(duì)角線關(guān)系判定矩形判定定理1：對(duì)角線相等的平行四邊形是矩形.請(qǐng)完成該定理的證明： 知1講知識(shí)點(diǎn)知1講例1如圖，

24、在 ABCD中，對(duì)角線AC與BD相交于點(diǎn)O， ABO是等邊三角形，AB4，求 ABCD是矩形. 知識(shí)點(diǎn)知1講四邊形ABCD是平行四邊形，OAOC，OBOD.又ABO是等邊三角形，OAOBAB4，BAC60.OAOBOCOD4.ACBD2OA248. ABCD是矩形(對(duì)角線相等的平行四邊形是矩形) 解：1如圖，在ABCD中，延長(zhǎng)AD到點(diǎn)E，使DEAD，連接EB，EC，DB，請(qǐng)你添加一個(gè)條件_，使四邊形DBCE是矩形知1練 EBDC2下列關(guān)于矩形的說(shuō)法中正確的是()A對(duì)角線相等的四邊形是矩形B矩形的對(duì)角線相等且互相平分C對(duì)角線互相平分的四邊形是矩形D矩形的對(duì)角線互相垂直且平分知1練 B3已知四邊形

25、ABCD是平行四邊形，對(duì)角線AC與BD相交于點(diǎn)O，下列結(jié)論中不正確的是()A當(dāng)ABBC時(shí)，四邊形ABCD是菱形B當(dāng)ACBD時(shí)，四邊形ABCD是菱形C當(dāng)OAOB時(shí)，四邊形ABCD是矩形D當(dāng)ABDCBD時(shí)，四邊形ABCD是矩形知1練 D2知識(shí)點(diǎn)由直角的個(gè)數(shù)判定矩形知2導(dǎo)想一想我們知道，矩形的四個(gè)角都是直角反過(guò)來(lái)，一個(gè)四邊形至少有幾個(gè)角是直角時(shí)，這個(gè)四邊形就是矩形呢？請(qǐng)證明你的結(jié)論，并與同伴交流 知2講例2 已知：如圖，在ABC中，ABAC，AD是ABC 的一條角平分線，AN為ABC的外角CAM的平分 線，CEAN，垂足為E.求證：四邊形ADCE是矩形證明：AD平分BAC，AN平分CAM， CAD=

26、 BAC，CAN CAM. DAECADCAN (BACCAM) 18090 在ABC中，ABAC，AD為BAC的平分線， ADBC.ADC90. 又CEAN，CEA90. 四邊形ADCE是矩形(有三個(gè)角是直角的四邊形是矩形)1數(shù)學(xué)課上，老師要同學(xué)們判斷一個(gè)四邊形門(mén)框是否為矩形下面是某合作小組的4位同學(xué)擬訂的方案，其中正確的是()A測(cè)量對(duì)角線是否互相平分B測(cè)量?jī)山M對(duì)邊是否分別相等C測(cè)量一組對(duì)角是否都為直角D測(cè)量三個(gè)角是否都為直角知2練 D3議一議你有什么方法檢查你家(或教室)剛安裝的門(mén)框是不是矩形？如果僅有一根較長(zhǎng)的繩子，你怎樣檢查？請(qǐng)說(shuō)明檢查方法的合理性，并與同伴交流知2練 1.矩形的判定方

27、法：（1）矩形的判定與性質(zhì)是互逆定理；（2）判定矩形的常見(jiàn)思路如下：平行四邊形四邊形矩形對(duì)角線互相平分有三個(gè)角是直角有一個(gè)角是直角對(duì)角線相等第一章 特殊平行四邊形1.2 矩形的性質(zhì)與判定第3課時(shí) 矩形的性質(zhì)與判定 的綜合應(yīng)用1題型利用矩形的判定和性質(zhì)解和差問(wèn)題如圖，在ABC中，ABAC，點(diǎn)P是BC上任意一點(diǎn)，PEAB，PFAC，BDAC，垂足分別為E，F(xiàn)，D. (1)求證：BDPEPF. (2)當(dāng)點(diǎn)P在BC的延長(zhǎng)線 上時(shí)，其他條件不變 如圖，BD，PE，PF之間的上述關(guān)系還成立 嗎？若不成立，請(qǐng)說(shuō)明理由(1)如圖，作BHFP交FP的延長(zhǎng)線于點(diǎn)H. BDAC，PFAC，BHPF， 四邊形BDFH

28、是矩形 BDHF. ABAC， ABCC. PEAB，PFAC， PEBPFC90. EPBFPC.證明：又HPBFPC，EPBHPB.PEAB，PHBH，PEBPHB90.又PBPB，PEBPHB. 則PEPH.BDHFPFPHPFPE. 即BDPEPF.(2)不成立，PEBDPF. 理由：作BHPF交PF的延長(zhǎng)線于點(diǎn)H. 與(1)同理可得PEPH，BDHF. PEFHFPBDPF.解：2如圖，已知點(diǎn)E是ABCD中BC邊的中點(diǎn)，連接 AE并延長(zhǎng)交DC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F. (1)連接AC，BF，若AEC2ABC，求證： 四邊形ABFC為矩形； (2)在(1)的條件下，若AFD 是等邊三角形，且邊長(zhǎng)

29、為4， 求四邊形ABFC的面積2題型利用矩形的判定和性質(zhì)解面積問(wèn)題(1)四邊形ABCD為平行四邊形， ABDC. ABEECF. 又點(diǎn)E為BC的中點(diǎn)， BECE. 又AEBFEC， ABEFCE. ABCF.證明：又ABCF，四邊形ABFC為平行四邊形AEEF.AEC為ABE的外角，AECABCEAB.又AEC2ABC，ABCEAB.AEBE.AEEFBECE，即AFBC.四邊形ABFC為矩形(2)四邊形ABFC是矩形， ACDF. 又AFD是等邊三角形，且邊長(zhǎng)為4， CFCD 2. AC S矩形ABFC解：3如圖，菱形ABCD的對(duì)角線AC，BD相交于點(diǎn) O，且DEAC，AEBD. 求證：四邊

30、形AODE是矩形3題型利用矩形的定義判定與菱形有關(guān)的矩形DEAC，AEBD，四邊形AODE是平行四邊形四邊形ABCD是菱形，ACBD.AOD90.四邊形AODE是矩形證明：4如圖，已知ACBADB90，N，M分別 是AB，CD的中點(diǎn)，判斷MN與CD的位置關(guān)系， 并說(shuō)明理由4題型利用直角三角形斜邊上中線性質(zhì)判斷直線位置關(guān)系MNCD. 理由如下：如圖，連接ND，NC.在RtABD中，ADB90，N是AB的中點(diǎn)，ND AB.同理可證NC AB.NDNC. NDC是等腰三角形 在等腰三角形NDC中，M是CD的中點(diǎn)，MNCD.解：5閱讀下面材料： 在數(shù)學(xué)課上，老師請(qǐng)同學(xué)思考如下問(wèn)題：如圖， 我們把一個(gè)四

31、邊形ABCD 的四邊中點(diǎn)E，F(xiàn)，G， H依次連接起來(lái)得到的四邊形EFGH是平行四邊 形嗎？5題型利用矩形、菱形的判定探究條件小敏在思考問(wèn)題時(shí)，有如下思路：連接AC.點(diǎn)E，F(xiàn)分別是AB，BC的中點(diǎn)EFGHEF AC點(diǎn)G，H分別是CD，AD的中點(diǎn)GHACGH ACEFGHEFGH四邊形EFGH是平行四邊形參考小敏思考問(wèn)題的方法，解決以下問(wèn)題：(1)若只改變圖中四邊形ABCD的形狀(如圖)，則 四邊形EFGH還是平行四邊形嗎？請(qǐng)說(shuō)明理由(2)如圖，在(1)的條件下，若連接AC，BD. 當(dāng)AC與BD滿足什么條件時(shí)，四邊形EFGH是菱 形？寫(xiě)出結(jié)論并說(shuō)明理由 當(dāng)AC與BD滿足什么條件時(shí)，四邊形EFGH是

32、矩 形直接寫(xiě)出結(jié)論(1)四邊形EFGH還是平行四邊形理由如下： 連接AC. E，F(xiàn)分別是AB，BC的中點(diǎn)， EFAC，EF AC. G，H分別是CD，AD的中點(diǎn)， GHAC, GH AC. EFGH，EFGH. 四邊形EFGH是平行四邊形解：(2)當(dāng)ACBD時(shí)，四邊形EFGH是菱形 理由如下： 由(1)可知四邊形EFGH是平行四邊形， 當(dāng)ACBD時(shí)，F(xiàn)G BD，EF AC， FGEF. 四邊形EFGH是菱形 當(dāng)ACBD時(shí)，四邊形EFGH是矩形 ：(2)中由(1)可知四邊形EFGH是平行 四邊形，E，F(xiàn)分別是AB，BC的中點(diǎn)，EFAC.ACBD，EFBD.G，F(xiàn)分別是CD，BC的中點(diǎn)，F(xiàn)GBD.

33、EFBD，EFFG.即EFG90.四邊形EFGH是矩形6已知點(diǎn)E是矩形ABCD的對(duì)角線BD上的一點(diǎn)，且 BEBC，AB3，BC4，點(diǎn)P是EC上的一動(dòng)點(diǎn)， 且PQBC于點(diǎn)Q，PRBD于點(diǎn)R.6題型利用矩形的性質(zhì)探究動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題(1)如圖，當(dāng)點(diǎn)P為線段EC的中點(diǎn)時(shí)， 求證：PRPQ(2)如圖，當(dāng)點(diǎn)P為線段EC上任意一點(diǎn)(不與點(diǎn)E，點(diǎn) C重合)時(shí)，其他條件不變，則(1)中的結(jié)論是否仍成 立？若成立，請(qǐng)給予證明；若不成立，請(qǐng)說(shuō)明理由(3)如圖，當(dāng)點(diǎn)P為線段EC延長(zhǎng)線上任意一點(diǎn)時(shí)，其 他條件不變，則PR與PQ之間又具有怎樣的數(shù)量關(guān)系？ 請(qǐng)直接寫(xiě)出你的猜想(1)連接BP，作CHBD于點(diǎn)H. BEBC，點(diǎn)P為C

34、E的中點(diǎn)， BP是EBC的平分線 PRBE，PQBC， PRPQ. 在矩形ABCD中，BCD90， BC4，CDAB3， 證明：由SBCD BCCD BDCH，得CH SPBESPBCSBCE， 又BEBC，PRPQ(2)(1)中結(jié)論P(yáng)RPQ 仍成立 證明：連接BP，作CHBD于H. SPBESPBCSBCE， 又BEBC， PRPQCH. 而CH PRPQ (1)中結(jié)論成立(3)猜想：PRPQ解：解：第一章 特殊平行四邊形 1.3 正方形的性質(zhì)與判定第1課時(shí) 正方形及其性質(zhì)1課堂講解正方形的定義正方形的性質(zhì)2課時(shí)流程逐點(diǎn)導(dǎo)講練課堂小結(jié)作業(yè)提升 圖中的四邊形都是特殊的平行四邊形觀察這些特殊的平

35、行四邊形，你能發(fā)現(xiàn)它們有什么樣的共同特征？1知識(shí)點(diǎn)正方形的定義正方形的定義： 有一組鄰邊相等，并且有一個(gè)角是直角的平行四邊形叫做正方形.知1講1下面四個(gè)定義中不正確的是()A有一個(gè)角是直角的平行四邊形叫做矩形B有一組鄰邊相等的四邊形叫做菱形C有一組鄰邊相等，并且有一個(gè)角是直角的 平行四邊形叫做正方形D有一組鄰邊相等的平行四邊形叫做菱形知1練 B2知識(shí)點(diǎn)正方形的性質(zhì)知2導(dǎo)議一議(1)正方形是矩形嗎？是菱形嗎？(2)你認(rèn)為正方形的邊具有哪些性質(zhì)？與同伴交流 正方形既是矩形，又是菱形，它具有矩形與菱形 的所有性質(zhì) （正方形邊的性質(zhì)）知識(shí)點(diǎn)知2講正方形的性質(zhì)： 具有矩形、菱形、平行四邊形的一切性質(zhì)，即

36、四條邊相等，鄰邊垂直，對(duì)邊平行；知識(shí)點(diǎn)知2講例1 如圖，在正方形ABCD中，E為CD邊上一點(diǎn)，F(xiàn)為BC延 長(zhǎng)線上一點(diǎn)，且CECF . BE與DF之間有怎樣的關(guān)系？ 請(qǐng)說(shuō)明理由解：BEDF，且BEDF.理由如下： (1)四邊形ABCD是正方形， BCDC，BCE90(正方形的四條邊相等， 四個(gè)角都是直角) DCF180BCE1809090. BCEDCF. 又CECF，BCEDCF.BEDF.知識(shí)點(diǎn)知2講(2)延長(zhǎng)BE交DF于點(diǎn)M(如圖) BCEDCF， CBECDF. DCF90， CDFF90. CBEF90. BMF90. BEDF. 知2講例2 已知：如圖，在正方形ABCD中，對(duì)角線的交

37、 點(diǎn)為O，E是OB上的一點(diǎn)，DGAE于G，DG 交AO于F，求證：EFAB.要證EFAB，由于OBA45，EOF90，即需證OEF45，即要證明OEOF，而OEOF可通過(guò)證明AEODFO獲得 導(dǎo)引：知2講四邊形ABCD是正方形，AOEDOF90，AODO，OBA45.又DGAE，EAOAEOEDGGED90.AEOGED，EAOEDGFDO.AEODFO(ASA)OEOF.OEF45. OEFOBA.EFAB. 證明：總 結(jié)知2講 通過(guò)證明三角形全等得到邊和角相等，再進(jìn)一步得到平行或垂直，是有關(guān)正方形中證邊或角相等的最常用的方法，而正方形的四條邊相等，四個(gè)角都是直角為證明三角形全等提供了條件

38、知識(shí)點(diǎn)知2講議一議平行四邊形、菱形、矩形、正方形之間有什么關(guān)系？你能用一個(gè)圖直觀地表示它們之間的關(guān)系嗎？與同伴交流 平行四邊形矩形菱形正方形解：1 正方形具有而矩形不一定具有的性質(zhì)是() A四個(gè)角都相等 B四條邊相等 C對(duì)角線相等 D對(duì)角線互相平分知2練 B2如圖，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為9，將正方形折疊，使頂點(diǎn)D落在BC邊上的點(diǎn)E處，折痕為GH. 若BEEC21，則線段CH的長(zhǎng)是()A3 B4 C5 D6知2練 B知2講例3 如圖，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為1 cm，AC為對(duì)角線， AE平分BAC，EFAC，求BE的長(zhǎng)線段BE是RtABE的一邊，但由于AE未知，不能直接用勾股定理求BE，由條件可證

39、ABEAFE，問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求EF的長(zhǎng)，結(jié)合已知條件易獲解導(dǎo)引：（正方形角的性質(zhì)） 四邊形ABCD為正方形， B90，ACB45，ABBC1 cm. EFAC，EFAEFC90. 又ECF45， EFC是等腰直角三角形，EFFC. BAEFAE，BEFA90，AEAE， ABEAFE. ABAF1 cm，BEEF，F(xiàn)CBE. 在RtABC中，AC FCACAF( 1)(cm)，BE( 1) cm. 解：知2講總 結(jié) 解有關(guān)正方形的問(wèn)題，要充分利用正方形的四邊相等、四角相等、對(duì)角線垂直平分且相等等性質(zhì)，正方形的性質(zhì)、等腰直角三角形的特點(diǎn)、勾股定理是解決正方形的相關(guān)證明與計(jì)算問(wèn)題的三把鑰匙 知2講1

40、如圖，在正方形ABCD中，連接BD，點(diǎn)O是BD 的中點(diǎn)，若M，N是AD上的兩點(diǎn)，連接MO， NO，并分別延長(zhǎng)交邊BC于M，N兩點(diǎn)，則圖 中的全等三角形共有() A2對(duì) B3對(duì) C4對(duì) D5對(duì) 知2講C 正方形同時(shí)具備平行四邊形，矩形，菱形的所有性質(zhì)，因此，正方形的四個(gè)角都是直角，四條邊都相等，對(duì)角線互相垂直平分且相等，每一條對(duì)角線平分一組對(duì)角，正方形是軸對(duì)稱圖形，有四條對(duì)稱軸這些性質(zhì)為證明線段相等、垂直，角相等提供了重要的依據(jù)第一章 特殊平行四邊形 1.3 正方形的性質(zhì)與判定第2課時(shí) 正方形的判定1課堂講解正方形的對(duì)稱性正方形的判定2課時(shí)流程逐點(diǎn)導(dǎo)講練課堂小結(jié)作業(yè)提升如圖，將一張長(zhǎng)方形紙對(duì)折兩次，然后剪下一個(gè)角，打開(kāi)怎樣剪才能剪出一個(gè)正方形？1知識(shí)點(diǎn)正方形的對(duì)稱性正方形：既是中心對(duì)稱圖形，又是軸對(duì)稱圖形.它的中心是對(duì)稱中心，有4條對(duì)稱軸