10客觀難題(教師版)

1、圍是2020年一模匯編一一客觀難題一、填空題【浦東11】已知數(shù)列 同中，ai =1,nay =(n+1居+1,若對(duì)于彳i意的a 一2,2、nw N*，不等式 芻也3-a 2t恒成立，則實(shí)數(shù)t的取值范圍為 . n 1【答案】：，】_.一a a 11 【解析】a=1,nan. =(n+1心+1 ,則=一十一，則利用累加法可得到n 1 n n n 1-an- =2 ,由-an- 滿足：a =1自書 an亡Q , jan M n三N), 記數(shù)列Ln得前n項(xiàng)和為Sn,若對(duì)所有滿足條件的數(shù)列 an, S10的最大值為M.最小值為 m,貝U M+m=.【答案】1078【解析】a2a=a =a?=2 ,可知a

2、n)一定是單調(diào)遞增數(shù)列，則 aMan由an = an,即1an Wan由E2an ,當(dāng)an4=an+1時(shí)，an = n, Sn取最小值此時(shí)c (1+10)10 二二 m=S10= =55 n 1 當(dāng)an+ =2an時(shí)，an 2, S * *n取取大值此時(shí) 2 -1,得 tw(g,_1 n 1 n 1 n 12 2 1【寶山11】已知以、Ln 均是等差數(shù)列，Cn = an bn ,若Ln 前三項(xiàng)是7、9、9 ,則C10 = .1【徐匯11】 已知數(shù)列an的前他和為Sn,對(duì)任意nW N* , Sn =(1)nan + j + n3且 (ai p)(a2 p) 1 一1 （門為奇數(shù)）2 n 2 n2

3、 n一 1 一一 1當(dāng)門為前數(shù)時(shí)，an = an + an j, -2 +1，即an=3 2 n,所以a n = 3 萬(wàn)n （ n為偶數(shù)）口一 一一 1331-11 ） ,一于是可知奇數(shù)項(xiàng)an = FT1W -1,-,偶數(shù)項(xiàng)an =3- I , 3 ,所以可知14214 J3 I114,4【楊浦11已知函數(shù)f (x) =11(x A0),若關(guān)于x的方程If (x)2 +mf(x) + 2m + 3 = 0 x有三個(gè)不相等的實(shí)數(shù)解，則實(shí)數(shù)m的取值范圍為 、3 4【答案】m (-3,-3【解析】設(shè)f(x) =t，則當(dāng)xW (0,1)時(shí)，t有兩個(gè)解，當(dāng)xw1=1,y)時(shí)，t有一個(gè)解，2因?yàn)閠 +mt

4、+2m+3=0有三個(gè)解，而一個(gè)一元二次方程最多兩個(gè)解，因此這兩個(gè)解一定3一個(gè)在(0,1),另一個(gè)在“=1,),當(dāng)另一個(gè)為x = 1時(shí)，兩根之積為0,此時(shí)m =,23f(0) 02m 3 0而兩根之和不可能為一，矛盾，因此另一個(gè)在 1,+8),因此 () ，即2f (1) 0時(shí)必有4aw1= 0a-4當(dāng)a 0,a =1 )： .【答案】y =log3(4x2 +7x +10 )(答案不唯一)【解析】 A C =2B,y =log2 2x2 6x 10【黃浦11】設(shè)函數(shù)y = f (x)的定義域?yàn)镈 ,若對(duì)任意的Xi w D ,總存在x?w D ,使得 f(x1)f (x2) =1,則稱函數(shù)f(x

5、)具有性質(zhì)m，下列結(jié)論： 函數(shù)y=x3-x具有性質(zhì)M ； 函數(shù)y=3x+5x具有性質(zhì)M ；若函數(shù)y = logg(x+2) , xW0,t具有性質(zhì)M ,則3sin x - at =510；若y -3s x a具有性質(zhì)M ,則a =5；其中正確結(jié)論的序號(hào)是4【答案】【解析】函數(shù)y =x3 x ,由于f (0) = 0 ,故不成立函數(shù)y =3x +5x值域(0,y),所以具有性質(zhì)M1_函數(shù) y =log8(x+2) , x0,t單調(diào)遞增，f (0)=,故 f (t) =3= t =5103若y =3sinx*a具有，f質(zhì)m ,則a=5,故不成立4【松江11若實(shí)數(shù)a,b a0 ,滿足abc = a

6、+ b+c, a2+b2 =1 ,則實(shí)數(shù)C的最小值為 _A_r【解析】法1 （三角換兀），令a = cose,b=sine,e w 0, |2代入得 c = cos +sin ,再設(shè) t = sinH + cose ,可知 t w f 1 J2 sin 1 cos1-1, .t所以c一一一122tt2-3 3tt上單調(diào)遞減，故t=J2時(shí)c最小，最小為法2.根據(jù)對(duì)稱式的形式，大膽猜測(cè)當(dāng)、工小a = b = 時(shí)照小，弋入得 c = -272 22【虹口 11】如圖，F(xiàn)1、F2分別是雙曲線C :與y2 =1的左、右焦點(diǎn)，過(guò) F2的直線與雙曲線C的兩條漸近線分別交于 A、B兩點(diǎn),a uuu um 若

7、F2 A = AB ,uuu uuuF1B F2B = 0,則雙曲線C的焦距uuu uuuuuu uuu|舊為4 3【答案】33 uuu uur uuu uuu【解析】由 F2A = AB, FiBF2B=0 可知 |F2AH AB|,F2 A _L AB得A為F2B的中點(diǎn)，。為F1F2的中點(diǎn)，所以O(shè)A為三角形F1F2BJ./OAF2 =/FiBF2 =；,Q|OB|=|OF2|,二 OA平分/BOF214. / 3漸近線為 y = x = - 3x= 2c = TOC o 1-5 h z HYPERLINK l bookmark10 o Current Document a322【靜安11】

8、設(shè)雙曲線 與一一y=1的兩個(gè)焦點(diǎn)為F r F2，點(diǎn)P在雙曲線上，若PF_LPF2, a a -則點(diǎn)P到坐標(biāo)原點(diǎn)O的距離的最小值為 【解析】c2 = a2 a -：-.i, a13_ 2 時(shí)，可知 cmin = -2【普陀11】設(shè)P是邊長(zhǎng)為2J2的正六邊形A1A2A3A4的任意一點(diǎn)，長(zhǎng)度為 4的線段MN的取值范圍為【答案】6 -4 ,6,8 8.2【解析】構(gòu)建平面直角坐標(biāo)系，取uuurMN 中點(diǎn) C , PMuuuuuu uuur uuu uuuPN =( PC CM) ( PC CN)uuu2 uuu2 uuu uuu _=PC -CM =PC 4 | PC|max = 2j2+OC = 2V

9、2+2 ,uur一|PC |min=OBOC =V62 ,uuu2_ uuu uuu _PC w104強(qiáng),12+8J2,即 PM PN e6 -4/6,8+8/2,另外，本題也可利用參數(shù)方程轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)求最值問(wèn)題得思路解題。另兩個(gè)頂點(diǎn)C、D在函數(shù)f(x)方,x0的圖像上，則此矩形繞1 xx軸旋轉(zhuǎn)而成的幾何體的體積的最大值是一1x一【解析】: f (x) = f (一): D .x, -2 0 x 0)x4.V回什=二_ 一=二t2 +4 t +4 2c 4當(dāng)且僅當(dāng)t =2, x = J2 -1時(shí)等號(hào)成立【崇明11】某組委會(huì)要從五名志愿者中選派四人分別從事翻譯、導(dǎo)游、禮儀、司機(jī)四項(xiàng)不同工作，若

10、其中甲不能從事翻譯工作， 乙不能從事導(dǎo)游工作，其余三人均能從事這四項(xiàng)工作,則不同的選派方案共有 種.【答案】782【解析】1o甲乙都選中，還需抽兩人出來(lái)：C3,接著安排甲乙工作:若甲從事導(dǎo)游，則乙和其他人等同，共有P33種選擇安排;若甲不從事導(dǎo)游，則甲乙安排一共有：c2c2,再安排其他兩人，一共：c2c2P22；則一【青浦11如圖，一矩形 ABCD的一邊AB在x軸上,概率概率23112共有：C3(P3 C2c2P2 )=3 14=422o甲乙二人有一個(gè)未被選出來(lái)，則還需選其他三人出來(lái)：C；,甲乙二人選一人有： C2,再安排工作：C2c2,再安排其他三人，一共有：C；C3P33 ,由10和20兩

11、種情況可得：一共有42 +36 =78 種方案?！境缑?2正方形ABCD勺邊長(zhǎng)為4 , O是正方形ABCD勺中心，過(guò)中心 O的直線l與邊AB交于點(diǎn)M與邊CD交于點(diǎn)N, P為平面上一點(diǎn)，滿足2OP = OB+ (1-?.)OC ,則甫內(nèi)的最小值為【解析】如圖，C 2,2 D -2,2 A -2,-2 B 2,-2設(shè)直線 l : y=kx, kw (-箋，-1 L fi, +笛 H k2N -,2 ,M2二 i 設(shè)P(x, y)2OPKOB +1 九OC，所以x =1y =1-2 九Xr1，貝U PM PN =2 九一一i -3 ;2jD2時(shí),k =： 14-2 ，KPM PN取到最小值，為-3-

12、4=-722【青浦12】已知點(diǎn)P在雙曲線 -y- 916uiruuu=1 上，點(diǎn) A滿足 PA = (t1)OP (tw R),且uur uuuOA OP =60 ，uuuuuu uurOB =(0,1),則|OB OA|的最大值為uir uuu uiruur 一 uur uuux2 v2uur【解析】PA = PO+OA = (t1)OP= OA=tOP,設(shè) P(x,y)且=1，則 oa = (tx,ty),916uu uur22y2225y2由 OA OP =60可得 t(x2 +y2)=t(9(1+l)+y2)=t(9 + )=60.161616/602 2(9), t y25 t當(dāng)甘時(shí)

13、，（t2y2）max以t2座t二一出(t.為2 64,255253uur uur= 64,OBgOA =ty 8.【松江12】記邊長(zhǎng)為1的正六邊形的六個(gè)頂點(diǎn)分別為A1,a2,a3,a4,a5, A6 ,集合m=：;=Ax a=1,2,3,4,5,切立在m中任取兩個(gè)元素m,n,則m 1=0的【答案】51【解析】由集合的互異性，可枚舉法數(shù)出M中共18個(gè)元素一 34+34 8 TOC o 1-5 h z 分兩種情況分析：邊和對(duì)角線，對(duì)角線和對(duì)角線。P =2一 =C2851 4T -【楊浦12】向量集合S = aa = (x, y), x, y w R,對(duì)于任意” ,B w S ,以及任意九w (0,

14、1), 4都有九a +(1-Z)P w S,則稱S為“ C類集”?，F(xiàn)有四個(gè)命題：(1)若S為“ C類集”，則集合S=Na aw S,NW R也是“ C類集”；(2)若S,T都是“ C類集”，則集合S = a+bawS,bwT也是“ C類集”；若A,A2都是“ C類集”，則A1 U A也是“ C類集”；(4)若A,A2都是“ C類集”，且交集非空，則 Al! A2也是“ C類集”；其中正確的命題有【答案】(2)(4)【解析】這是本次一模被討論最多的題目，(2)和(4)的正確性是很容易驗(yàn)證的，討論的焦點(diǎn)是(1)是否正確。利用三點(diǎn)共線的充要條件可以得到，“C類集”是平面上的凸的區(qū)域(線性規(guī)劃中由不等

15、式確定的平面區(qū)域就是凸的區(qū)域，凸的確切定義請(qǐng)度娘)，因此，(1)是錯(cuò)誤的，舉個(gè)例子：設(shè) S=,(t,1 -t) 0t a2, AB=J2+2,則這樣的點(diǎn) A有個(gè).【答案】3【解析】設(shè)NAOB =日，則 2 oa-Oboa Ob- cos絲,則ZAOB=或24ZAOB J ； 4直線y =x+1截得ZAOB的線段長(zhǎng)為：AB =2 +J2；當(dāng)/AOB=2時(shí)，有2個(gè)點(diǎn)A 當(dāng)NAOB=時(shí)，恰好有一個(gè)點(diǎn) A 共3個(gè)點(diǎn)A.JT【閔行 12】設(shè)函數(shù) f (x) =Asinx二)(co0, A0) , xW0,2n,若 f(x)恰有 46個(gè)零點(diǎn)，則下述結(jié)論中： 若f (x0)之f (x)恒成立，則x0的值有且

16、僅有2個(gè)；f (x)在IO,8,上單調(diào)遞增； 存在和x1,使得f(x1)M f (x) M f(x+)對(duì)任意x70,2n恒1成立；“ A至1”是“萬(wàn)程f(x)=-萬(wàn)在0,2 n內(nèi)恰有五個(gè)解”的必要條件；所有正確結(jié)論的編號(hào)是 【答案】6k 1 二【斛析】f (x) = Asin(6x )=0= x =kn,kZ 口 x =-,k = Z ,由 f (x) TOC o 1-5 h z 666 .咆空_12, 126 4 1 二6 3 1 二恰有4個(gè)零點(diǎn)，知x =-2 且x = =10,一，矛196 IL 6 196 . IL 2 2. 12盾，所以錯(cuò)誤;f(Xi) f(x) f(Xi +-)對(duì)任意

17、 xw0,2n恒成立，則 2T5二一一=2, o=2,sin 2xi 1= -1 = x1 = kn ,k = Z,當(dāng) k=1 時(shí)，X =付合題 TOC o 1-5 h z 22666意，所以正確；1二111f(x) = - = sin , xx - = ,如圖，充要條件為 一一 一 sin 2no I,即262A22A6T E2n且A之1,也就是 Z 匕，至i且A21,所以正確一 12ffi j； sin (- V fisinx +sinx2 + +sinxn =0,，【浦東12】如果方程組有實(shí)數(shù)解，則正整數(shù) n的最sin x1 +2sinx2 +nsinxn =2019小值是.【答案】90

18、【解析】根據(jù)合理性安排，sinxi-1,0,1? 1i 0,r w R)的關(guān)鍵步驟”為【答案】log a M r = r log a M【解析】Q(alogaM)r =arlogaM =M r ,. loga M r =rloga M .【普陀12】若M、N兩點(diǎn)分別在函數(shù) y= f(x)與y = g(x)的圖像上，且關(guān)于直線x=1對(duì)稱，則稱M、N是y= f(x)與y =g(x)的一對(duì)“伴點(diǎn)” (M、N與N、M視為相同的一一-,2x(x2)“伴點(diǎn)”，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為 .【答案】(3 -2 2,1 2.2)【解析】數(shù)形結(jié)合，畫出y = f (x)的圖像，并作出y= f (x)關(guān)于x=1對(duì)稱的圖

19、像22f (x)=( x+ 2 + y = 4又由題意，即f (x)與g(x)有兩個(gè)交點(diǎn)，a取值范圍的界值在g(x)與半圓y =也_ (x + 22)相切時(shí)取到，即點(diǎn)(一2,0)到直線y = x+ a41和直線_ 15x= R,均有f (x + 2) =2f(x),若不等式f (x) 在x=(,a上恒成立，則實(shí)數(shù) a的最大值為【解析】丁 xw(0,2時(shí)，f(x)=x(2 x)= f(x)w0,1又丁 f(x+2)=2f (x)可知 xw(2,4= f (x)0,215xw(4,6= f(x)wQ4, xw(6,8= f (x) w 0,8此時(shí)包含 x (6,8, f(x)= 2f (x -2)

20、 -4f (x-4) -8f(x-6)可知當(dāng) x (6,8, x-6 (Q2f(x-6) =(x-6)(2-x 6) =(x-6)(8-x)15f(x) =8f (x-6) =8(x-6)(8-x)二22729- x1 , x2 二4_ 一 27所以a的最大值 4【徐匯12已知函數(shù)Yx 1 x -1f(x)=2x 6x 10 x - -1關(guān)于x的不等式f (x) -mx -2m -2 0 ,則x1 +x2 +x3的取值范圍是【答案】2-12, +oc )【解析】此題轉(zhuǎn)化為數(shù)形結(jié)合，即f (x)cm(x + 2)+2,畫出大致圖像，如下圖：因?yàn)橹本€y = m(x+2)+2恒過(guò)定點(diǎn)(-2,2),顯

21、然x2 = -2。3Ey = m x 222則聯(lián)立，得 x2+(6m)x + 8 2m=0 ,y = x2 6x 10有 x1 +x2 =m -6 ,則 x1 = m -4。同理：y = m x 2 2 /日-1 -2m聯(lián)乂 i，得 x3 =。y - -4x 1m 41m二 一一。2又因XiX2X3 0,故只需過(guò)D(0,1)為m的臨界值，帶入求得 TOC o 1-5 h z 要符合題意，故 m.-4 _1,212m，7=m + 4 +2V7 -12，故為+為+x122J712，當(dāng)且僅當(dāng)m = J74時(shí)，等號(hào)成立【長(zhǎng)寧，嘉定，金山1 .一12】已知函數(shù)f (x )= x+ + a ,若對(duì)任意實(shí)數(shù)

22、a ,關(guān)于x的不等式 xf (x)m在區(qū)間|1,3 上總有解，則實(shí)數(shù) m的取值范圍為_ 2一二-, 一.,3【解析】x -.1,3 時(shí)，令 t=x+ 1,t w J2, _2x即：f (t )= t +a二m在tw |2,101上總有一 3解，即 m E f (t maxf t = t a=10f(t)min = +am 在3一口 r10 c 4at2上恒成立，即：m b 0,那么,當(dāng)代數(shù)式a23 b(a -b)取最小值時(shí)，點(diǎn)P(a,b)的坐標(biāo)【答案】(2、.2,.2)【解析】Qb(ab)M()2216a b( a - b)”一16 ab = a - b2 即 a2 =8a 2二時(shí)取等號(hào)，可求

23、得點(diǎn) P坐標(biāo)b =72【黃浦12】已知正六邊形 AAA3A4AA6的邊長(zhǎng)為2,點(diǎn)是P該正六邊形上的動(dòng)點(diǎn)， uuuuuu uuiruur uuuruuir uuruuir uuiruuur uuiruuir記 b=APA2P+%pA3P+A3PA4P+A4PAP+A5PA6P + A6PAP，則仃的取值范圍是.【答案】30,36【解析】以正六邊形的中心為坐標(biāo)原點(diǎn)建立坐標(biāo)系，A(-1,J3), A(1,V3),A3(2,0),A(1,Q)A(1,73),A(2,0),設(shè) P(xJ3),(-1xa2 ,則數(shù)列an是遞增數(shù)列； 數(shù)列an奇數(shù)項(xiàng)是遞增數(shù)列；則()A.對(duì)錯(cuò)B.錯(cuò)對(duì)C.均錯(cuò)誤D.均正確【答案

24、】D【解析】若a1 =1,則an =1,nw N”不滿足題意，因此a w (0,1卜(1,+ 0 ), an 0aaa 1 a3 Aa2二 a12 Aa1 1 ,若 0ca1 1,則 a? hr 1,此時(shí)a1al Aa；=a1 1,成立。因此 a1 1。此時(shí) a2 =a1al a/ = a1ak 1假設(shè) ak + ak (k w N )，則=y=a；k - ak1a1kak+ -ak 0,，a1ak+a 1,即 a ak+因此an + A an (nW N* ),即匕口是遞增數(shù)列，對(duì)。若41,由知， 匕口是遞增數(shù)列，因此an的奇數(shù)項(xiàng)也是遞增數(shù)列。右 0Ma1 11,貝1=1i a2 = aj

25、a 二 a a91=a3 = a1- a1 = a1假設(shè)ak-2 ak ( k為正奇數(shù))，則a1a 1 , a2019 a2020 1 , a2019 一 10 ,給出下列結(jié)論：0q 0；T2019是數(shù)列Tn中a2020 一1的最大項(xiàng)； 使Tn 1成立的最大自然數(shù)等于 4039;其中正確結(jié)論的序號(hào)為(IA1B【C】【D】【答案】Ba【解析】由題意，0 a2020 1 a2oi9q =32 w (0,1)正確;a2019a2019a2021.21 = a2020 1 m 0,專日證；分析可得，0 - 32020 1 a2019 a2018 一4，二正確;018,1,T4038 = a1 a403

26、8 a ia2 a4037 1 ia2019 a2020 = a2019 a2020一,、4039T4039=a1a4038.1 l.a2a4038,12019a2021a2020 =(32020)25,當(dāng)且僅當(dāng)2 n =3 m時(shí)等號(hào)成立,-22-22r =Vm +n ,Smin =n(m +n min =25% 故正確【寶山16】提鞋公式也叫李善蘭輔助角公式，其正弦型如下asinx bcosx - a2 b2sin(x ),一一 ： 一一卜列判斷錯(cuò)誤的是()b【A】當(dāng)a0,bA0時(shí)，輔助角 邛=arctan a b【B】當(dāng)a 0,b 0時(shí)，輔助角 邛=arctan+冗 a b【C】當(dāng)a 0,

27、b a0時(shí)，輔助角 邛=arctan- +n a b【D】當(dāng)a 0,b 0,b0,sin中0,二9 w第四象限，所以B錯(cuò)。也可以舉反例排除【浦東16】動(dòng)點(diǎn)A(x,y)在圓X2 +y2 =1上繞坐標(biāo)原點(diǎn)作逆時(shí)針勻速圓周運(yùn)動(dòng)，旋轉(zhuǎn)一周的1時(shí)間恰好是12秒.已知時(shí)間t=0時(shí)，點(diǎn)A的坐標(biāo)是 丫3,.則動(dòng)點(diǎn)A的縱坐標(biāo)yI2 2)關(guān)于t (單位：秒)的函數(shù)在下列哪個(gè)區(qū)間上單調(diào)遞增()A 10,3】【B】13,6C 16,9 【D】9,12【答案】D【解析】由題意可得定點(diǎn) A的轉(zhuǎn)速為2- = rad / s,初相中=,易得y = sin( + t),126666單調(diào)增區(qū)間為 【Y+12k,2十12k】,kwZ ,故答案選D.【靜安16】某人駕駛一艘小游艇位于湖面A處，測(cè)得岸邊一座電視塔的塔底在北偏東210方向，且塔頂?shù)难鼋菫?8,此人駕駛游艇向正東方向行駛1000米后到達(dá)B處，此時(shí)測(cè)得塔北偏西 39 方向則該塔的高度約為A 265 米B 279 米C 292 米D 306 米【答案】CAIhA【解析】1000sin5 l，sin60Jcos69tan87“ % 292.728米.【長(zhǎng)寧，嘉定，金山 16】某港口某天0時(shí)至24時(shí)的水深y （米）隨時(shí)間X（時(shí)）變化曲線近似滿足如下函數(shù)模型：y = 0.5sin（onx+二）+3.24.若該港口在