09講-1226第9周講義課堂筆記

1、2016 初中數(shù)學(xué)競(jìng)賽班講義-08組合數(shù)學(xué)-3主講教師:Update on 2015 年 12 月 26 日目錄1基本例題2課后練2711基本例題1.在 1, 2, 3, , 100 這 100 個(gè)正整數(shù)中任取 11 個(gè)數(shù), 證明其中一定有兩個(gè)數(shù)的比值不超過(guò) 3 .222. 從 1, 2, 3, , 20 中, 至少任取多少個(gè)數(shù), 才能使得其中一定有兩個(gè)數(shù), 大的數(shù)是小的數(shù)的倍數(shù).33. 證明: 在任意的 52 個(gè)正整數(shù)中, 一定可以找到兩個(gè)數(shù) a, b, 使得 a +b 或 a b 能被100 整除.44. 某校初三年級(jí)學(xué)生要從 8 名候選人中投票三好學(xué)生, 規(guī)定每人必須從這 8 名候選人中

2、任意選兩名, 那么至少有多少人參加投票, 才能保證必有不少于 5 名同學(xué)投了相同兩個(gè)候選人的票?55. 把圓周分成 12 段, 將 1, 2, 3, , 11, 12 這 12 個(gè)數(shù)任意寫(xiě)在每一段內(nèi), 使每一段恰好有一個(gè)數(shù)字. 證明: 一定存在連續(xù)的三段, 它們的數(shù)字和至少是 20.66. 空間有 6 點(diǎn), 任何 3 點(diǎn)都是一個(gè)不等邊三角形的頂點(diǎn), 求證: 這些三角形中的一個(gè)三角形的最短邊同時(shí)是另一個(gè)三角形的最大邊.77. 證明在任意 11 個(gè)無(wú)窮小數(shù)中, 一定可以找到兩個(gè)小數(shù), 它們的差或者含有無(wú)窮多個(gè)數(shù)字 0, 或者含有無(wú)窮多個(gè)數(shù)字 9.88. 一個(gè)書(shū)架有五層, 從下到上依次稱(chēng)為第 1 層

3、, 第 2 層, , 第 5 層. 今把 15 冊(cè)分放到書(shū)架的各層上, 有些層可不放. 證明: 無(wú)論怎樣放法, 書(shū)架每層上的冊(cè)數(shù), 以及相鄰兩層上冊(cè)數(shù)之和, 這些數(shù)中至少有兩個(gè)是相等的.99. 男生 m 人和n 人排成一列橫隊(duì). 問(wèn):共有多少種排法?(a)(b)若必須排在一起, 共有多少種排法?(c)若男生和分別都要在一起, 共有多少種排法?若法?必須按照身材高矮排列 (假定 n 個(gè)身高各不相同), 共有多少種排(d)1010. 從 1, 2, 3, , 16 這 16 個(gè)數(shù)中, 最多能選出多少個(gè)數(shù), 使得被選出的數(shù)中, 任意三個(gè)數(shù)都不是兩兩互質(zhì)的.1122211. 已知 x , x , ,

4、x都是正整數(shù), 且 x + x + + x= 58, 若 x + x + + x的最大124012401240值為 A, 最小值為 B , 求 A +B 的值.1212. 從 1, 2, 3, , 1995 中最多能挑出多少個(gè)數(shù), 使其中的任何兩數(shù)之和不被其差所整除.1313. 證明不定方程 x3 + 2y 3 = 4z3 沒(méi)有正整數(shù)解 (x, y, z).1414. 若干個(gè)人聚會(huì), 其中有些人彼此認(rèn)識(shí), 已知如果某兩人在聚會(huì)者中有相同數(shù)目的熟人, 那么他倆便沒(méi)有共同的熟人. 證明: 若聚會(huì)者中有人至少有 2008 個(gè)熟人, 則必然也有人恰好有 2008 個(gè)熟人.1515. 在平面上任給 2n

5、 個(gè)點(diǎn), 其中任意三點(diǎn)不共線(xiàn), 并把其中 n 個(gè)點(diǎn)染成紅色, n 個(gè)點(diǎn)染成藍(lán)色. 求證: 可以一紅一藍(lán)的把它們連成 n 條線(xiàn)段, 使這些線(xiàn)段互不相交.162課后練習(xí)利用數(shù)字 1, 2, 3, 4, 5 共可組成1.多少個(gè)數(shù)字不重復(fù)的三位數(shù)?多少個(gè)數(shù)字不重復(fù)的三位偶數(shù)?多少個(gè)數(shù)字不重復(fù)的偶數(shù)?一個(gè)班級(jí)有 30 名學(xué)生.2.(a)從中選出 2 人, 一個(gè)擔(dān)任班長(zhǎng), 一個(gè)擔(dān)任副班長(zhǎng), 共有多少種不同的選法?從中選出 2 個(gè)人去參加數(shù)學(xué)競(jìng)賽, 有多少種不同的選法?(b)在 1, 11, 111, , 11 1, 中, 是否有 2007 的倍數(shù)? 請(qǐng)證明之3. n個(gè)14.從任意給定的 1999 個(gè)自然數(shù)

6、中總可以找到 k 個(gè)數(shù), 使得它們的和能被 1999 整除.在 2n 個(gè)連續(xù)自然數(shù) 1, 2, 3, , 2n 中, 任取出 n + 1 個(gè)數(shù). 證明: 在這 n + 1 個(gè)數(shù)中, 一定有兩個(gè)數(shù), 其中一個(gè)是另一個(gè)的倍數(shù).5.6.某個(gè)籃球運(yùn)動(dòng)員共參加了 10賽, 他在第 6, 7, 8, 9賽中分別得了 23, 14, 11和 20 分, 他的前 9賽的平均分比前 5賽的平均分要高, 如果他的 10賽的平均分超過(guò) 18 分, 問(wèn): 他在第 10賽中至少得了多少分?設(shè) a1, a2, , a10 為正整數(shù), a1 a2 b2 b10, 證明: a10 500.求所有的正整數(shù) m, n, 使得 m2 + 1 是一個(gè)質(zhì)數(shù), 且100(m2 + 1) = n2 + 1設(shè) m 是一個(gè)小于 2006 的四位數(shù), 已知