新人教版九年級上冊初三數(shù)學(xué) 22.1.4二次函數(shù)圖像和性質(zhì) 課件

1、22.1 二次函數(shù)圖象和性質(zhì)22.1.4 二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象和性質(zhì)22.1.4 二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象和性質(zhì)（1）y=a(x-h)2 +k(a0)a0a0開口方向頂點(diǎn)坐標(biāo)對稱軸增減性極值向上向下(h ,k)(h ,k)x=hx=h當(dāng)xh時(shí)，y隨著x的增大而增大. 當(dāng)xh時(shí)，y隨著x的增大而減小. x=h時(shí),y最小值=kx=h時(shí),y最大值=k拋物線y=a(x-h)2+k(a0)的圖象可由y=ax2的圖象通過上下和左右平移得到.回顧舊知二次函數(shù)y=a(x-h)2+k的性質(zhì) 我們已經(jīng)知道二次函數(shù)y=a(x-h)2+k的圖象和性質(zhì)，能否利用這些知識來討論二次函數(shù)y=ax2+

2、bx+c 圖象和性質(zhì)?導(dǎo)入新知畫出二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象 我們已經(jīng)知道y=a(x-h)2+k的圖象和性質(zhì)，能否利用這些知識來討論 的圖象和性質(zhì)？【思考1】怎樣將 化成y=a(x-h)2+k的形式？探究新知知識點(diǎn) 1配方可得想一想：配方的方法及步驟是什么？探究新知怎樣將 化成y=a(x-h)2+k的形式？配方你知道是怎樣配方的嗎？ (1)“提”：提出二次項(xiàng)系數(shù)；(2)“配”：括號內(nèi)配成完全平方；(3)“化”：化成頂點(diǎn)式.【提示】配方后的表達(dá)式通常稱為配方式或頂點(diǎn)式.探究新知【思考2】你能說出 的對稱軸及頂點(diǎn)坐標(biāo)嗎？答：對稱軸是直線x=6,頂點(diǎn)坐標(biāo)是（6，3）.【思考3】二次函數(shù) 可以

3、看作是由 怎樣平移得到的？答：平移方法1： 先向上平移3個(gè)單位，再向右平移6個(gè)單位得到的； 平移方法2： 先向右平移6個(gè)單位，再向上平移3個(gè)單位得到的.探究新知【思考4】 如何畫二次函數(shù) 的圖象？9876543x1. 利用圖形的對稱性列表7.553.533.557.5510 xy5102.然后描點(diǎn)畫圖，得到圖象如右圖.O方法一：描點(diǎn)法探究新知方法二：平移法268y4O-22x4-468探究新知268y4O-22x4-468方法二：描點(diǎn)法先利用對稱性列表:開口方向：對稱軸：頂點(diǎn)：向上x=6(6,3)探究新知【思考4】 結(jié)合二次函數(shù) 的圖象，說出其性質(zhì).510 xy510 x=6當(dāng)x6時(shí)，y隨x的

4、增大而增大.O探究新知開口方向：對稱軸：頂點(diǎn)：向上x=6(6,3)例1 畫出函數(shù) 的圖象，并說明這個(gè)函數(shù)具有哪些性質(zhì). x-2-101234y-6.5-4-2.5-2-2.5-4-6.5解: 函數(shù) 通過配方可得 ， 先列表：畫二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象并且說出它的性質(zhì)素養(yǎng)考點(diǎn) 1探究新知2xy-204-2-4-4-6-8然后描點(diǎn)、連線，得到圖象如下圖：由圖象可知，這個(gè)函數(shù)具有如下性質(zhì)：開口方向：向下頂點(diǎn)坐標(biāo)：（1，-2）對稱軸：x=1最值：x=1時(shí)，y最大值=-2當(dāng)x1時(shí)，函數(shù)值y隨x的增大而增大；當(dāng)x1時(shí)，函數(shù)值y隨x的增大而減?。划?dāng)x=1時(shí)，函數(shù)取得最大值，最大值y=-2.探究新知

5、 求二次函數(shù)y=2x2-8x+7圖象的對稱軸和頂點(diǎn)坐標(biāo).因此，二次函數(shù)y=2x2-8x+7圖象的對稱軸是直線x=2，頂點(diǎn)坐標(biāo)為(2,-1).解：鞏固練習(xí)變式題1 二次函數(shù)y=ax2+bx+c 的圖象與性質(zhì) 根據(jù)下列關(guān)系你能發(fā)現(xiàn)二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象和性質(zhì)嗎？y=ax2+bx+c探究新知知識點(diǎn) 2y=ax2+bx+c二次函數(shù)的頂點(diǎn)式對稱軸為 .二次函數(shù)的一般表達(dá)式因此，拋物線的對稱軸是 ，頂點(diǎn)是 .探究新知yOx（a0）yOx（a1可得2ab0，故正確；利用二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象確定字母的值素養(yǎng)考點(diǎn) 3探究新知變式題3 二次函數(shù)y=ax+bx+c的圖象如圖所示，下列選項(xiàng)中

6、正確的是（ ）Aa0 Bb0 Cc0 D ac0鞏固練習(xí)解析 根據(jù)開口方向、對稱軸、拋物線與y軸的交點(diǎn)，確定a、b、c的符號，根據(jù)對稱軸和圖象確定y0或y0時(shí)，x的范圍，確定代數(shù)式的符號開口向下，a0，A錯(cuò)誤；對稱軸在y軸的右側(cè)和a0，可知b0，B正確；拋物線與y軸交于正半軸，c0，C錯(cuò)誤；因?yàn)閍0，所以ac0，D錯(cuò)誤B （2018中考）如圖是二次函數(shù)y=ax2+bx+c（a，b，c是常數(shù)，a0）圖象的一部分，與x軸的交點(diǎn)A在點(diǎn)（2，0）和（3，0）之間，對稱軸是x=1對于下列說法：ab0；2a+b=0；3a+c0；a+bm（am+b）（m為實(shí)數(shù)）；當(dāng)1x3時(shí)，y0，其中正確的是（）A B C

7、 D解析 由圖象開口向下，可知a0，有對稱軸在y軸右側(cè)，可知b0，即ab0,故正確，由對稱軸x=1得： =1，即2a+b=0，故正確，當(dāng)x=3時(shí)，y0，即9a+3b+c0，b=-2a，3a+c0,故不正確，當(dāng)x=1時(shí)，函數(shù)有最大值a+b+c，當(dāng)x=m時(shí)，y=am2+bm+c，即a+b+cam2+bm+c,也就是a+bm(am+b),故正確，由圖象知：當(dāng)-1x3時(shí)，y有可能小于0，故不正確.鞏固練習(xí)A連接中考1.已知二次函數(shù)y=ax2+bx+c的x、y的部分對應(yīng)值如下表：x-10123y51-1-11A. y軸 B.直線x= C. 直線x=2 D.直線x= 則該二次函數(shù)圖象的對稱軸為( )D課堂

8、檢測基礎(chǔ)鞏固題Oyx1232. 已知二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a0)的圖象如圖所示，則下列結(jié)論：（1）a、b同號；（2）當(dāng)x=1和x=3時(shí)，函數(shù)值相等；（3） 4a+b=0； （4）當(dāng)y=2時(shí)，x的值只能取0； 其中正確的是.（2）課堂檢測基礎(chǔ)鞏固題3. 如圖是二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a0)圖象的一部分，x=-1是對稱軸，有下列判斷：b-2a=0；4a-2b+cy2.其中正確的是（ ）A B C DxyO2x=-1B課堂檢測基礎(chǔ)鞏固題 根據(jù)公式確定下列二次函數(shù)圖象的對稱軸和頂點(diǎn)坐標(biāo)：直線x=3直線x=8直線x=1.25直線x= 0.5課堂檢測能力提升題1.已知函數(shù)y=-2x2+x-4

9、,當(dāng)x= 時(shí)，y有最大值 .2.已知二次函數(shù)y=x2-2x+1，那么它的圖象大致為（ ）B課堂檢測拓廣探索題頂點(diǎn)：對稱軸：y=ax2+bx+c（a 0)(一般式)配方法公式法(頂點(diǎn)式)課堂小結(jié)22.1.4 二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象和性質(zhì)（2）用待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式 已知一次函數(shù)經(jīng)過點(diǎn)（1，3）和（-2，-12），求這個(gè)一次函數(shù)的解析式。 解：設(shè)這個(gè)一次函數(shù)的解析式為y=kx+b,因?yàn)橐淮魏瘮?shù)經(jīng)過點(diǎn)（1，3）和（-2，-12）， 所以 解得 k=3，b=-6一次函數(shù)的解析式為y=3x-6.【思考】如何用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式呢？回顧舊知【思考】回憶一下用待定系數(shù)法求一次函數(shù)的

10、解析式的一般步驟求二次函數(shù)y=ax2+bx+c的解析式的關(guān)鍵是什么？用三點(diǎn)式求二次函數(shù)的解析式 探究新知知識點(diǎn) 1 我們知道，由兩點(diǎn)（兩點(diǎn)的連線不與坐標(biāo)軸平行）的坐標(biāo)可以確定一次函數(shù)，即可以求出這個(gè)一次函數(shù)的解析式。對于二次函數(shù)，由幾個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)可以確定二次函數(shù)？ 已知一個(gè)二次函數(shù)的圖象過點(diǎn)(-1,10)、(1,4)，求這個(gè)函數(shù)的解析式.解：設(shè)所求的二次函數(shù)為y=ax2+bx+c. 由已知得：a-b+c=10a+b+c=4三個(gè)未知數(shù)，兩個(gè)等量關(guān)系，這個(gè)方程組能解嗎？第一步:設(shè)出解析式的形式；第二步:代入已知點(diǎn)的坐標(biāo)；第三步：解方程組。探究新知 已知一個(gè)二次函數(shù)的圖象過點(diǎn)(-1,10)、(1,4)

11、 、(2,7)，求這個(gè)函數(shù)的解析式.第一步:設(shè)出解析式的 形式；第二步:代入已知點(diǎn)的 坐標(biāo)；第三步：解方程組。解：設(shè)所求的二次函數(shù)為y=ax2+bx+c. 由已知得：a-b+c=10a+b+c=44a+2b+c=7三個(gè)未知數(shù)，三個(gè)等量關(guān)系，這個(gè)方程組能解嗎？探究新知a-b+c=10a+b+c=44a+2b+c=7?由-可得：2b=-6b=-3由-可得：3a+3b=-3a+b=-1a=2將a=2，b=-3代入可得：2+3+c=10c=5解方程組得：a=2, b=-3, c=5.探究新知 例1 已知一個(gè)二次函數(shù)的圖象過點(diǎn)A(-1,0), B(4,5), C(0,-3). 三點(diǎn)，求這個(gè)函數(shù)的解析式.

12、解：設(shè)所求拋物線的解析式為yax2+bx+c.拋物線經(jīng)過點(diǎn)A(-1，0), B(4，5), C(0，-3). 解得a1，b-2，c-3.拋物線的解析式為yx2-2x-3.利用三點(diǎn)式求二次函數(shù)的解析式素養(yǎng)考點(diǎn) 1探究新知 求二次函數(shù)y=ax2+bx+c的解析式，關(guān)鍵是求出待定系數(shù)a，b，c的值。 若已知條件是二次函數(shù)圖像上三個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)，可設(shè)解析式為y=ax2+bx+c,列出關(guān)于a，b，c的方程組，并求出a，b，c，就可以寫出二次函數(shù)的解析式。歸納任意兩點(diǎn)的連線不與y軸平行三點(diǎn)式求二次函數(shù)的解析式探究新知 已知一個(gè)二次函數(shù)的圖象過點(diǎn)A(0,0), B(-1,-1), C(1,9)三點(diǎn)，求這個(gè)函數(shù)的

13、解析式.第一步:設(shè)出解析式的形式；第二步:代入已知點(diǎn)的坐標(biāo)；第三步:解方程組。解：設(shè)所求拋物線的解析式為yax2+bx+c.拋物線經(jīng)過點(diǎn)A(0,0), B(-1,-1), C(1,9). 解得a4，b5，c0.拋物線的解析式為y4x2+5x.0=c-1=a-b+c9=a+b+c鞏固練習(xí)變式題1 用交點(diǎn)式y(tǒng)=a(x-x1) (x-x2) 求二次函數(shù)解析式 一個(gè)二次函數(shù)，當(dāng)自變量x0時(shí)，函數(shù)值y-1，當(dāng)x-2與 時(shí)，y0，求這個(gè)二次函數(shù)的解析式.探究新知知識點(diǎn) 2兩種方法的結(jié)果一樣嗎？兩種方法哪一個(gè)更簡捷？交點(diǎn)式求二次函數(shù)的解析式：若已知拋物線與x軸的兩交點(diǎn)坐標(biāo)，可設(shè)解析式為y=a（x-x1）（x

14、-x2），把另一點(diǎn)的坐標(biāo)代入，解關(guān)于a的一元一次方程. 例2 已知二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象與x軸交于A(1,0)，B(3,0)兩點(diǎn)(兩點(diǎn)的縱坐標(biāo)都為0)，與y軸交于點(diǎn)C(0,3)，求這個(gè)二次函數(shù)的解析式.解: 圖象與x軸交于A(1,0)，B(3,0) 設(shè)函數(shù)解析式為ya(x-1)(x-3) 圖象過點(diǎn)C(0,3) 3=a(0-1)(0-3)，解得a=1. 二次函數(shù)解析式為y=(x-1)(x-3)=x2-4x+3利用交點(diǎn)式求二次函數(shù)的解析式素養(yǎng)考點(diǎn) 2探究新知 已知拋物線與x軸交于A（1，0），B（1,0）并經(jīng)過點(diǎn)M（0,1），求拋物線的解析式.因此所求的拋物線解析式為 y=x2+1.解

15、: 圖象與x軸交于A(-1,0)，B(1,0) 設(shè)函數(shù)解析式為ya(x+1)(x-1) 圖象過點(diǎn)M(0,1) 1=a(0+1)(0-1)，解得a=-1. 二次函數(shù)解析式為y=-1(x+1)(x-1) 鞏固練習(xí)變式題 2 【思考】圖象頂點(diǎn)為(h, k)的二次函數(shù)的解析式是y=a(x-h)2+k，如果頂點(diǎn)坐標(biāo)已知，那么求解析式的關(guān)鍵是什么？用二次函數(shù)頂點(diǎn)式y(tǒng)=a(x-h)2+k求函數(shù)解析式探究新知知識點(diǎn) 3利用頂點(diǎn)式求二次函數(shù)的解析式 例3 已知拋物線頂點(diǎn)為(1,-4)，且又過點(diǎn)(2,-3)，求其解析式.解：拋物線頂點(diǎn)為(1,-4) 設(shè)其解析式為y=a(x-1)2-4， 又拋物線過點(diǎn)(2,-3)，

16、 則-3=a(2-1)2-4，則a=1. 其解析式為y=(x-1)2-4x2-2x-3.探究新知素養(yǎng)考點(diǎn) 3 若已知頂點(diǎn)坐標(biāo)和一點(diǎn)，可設(shè)解析式為y=a(x-h)2+k，將另一點(diǎn)坐標(biāo)代入解關(guān)于a的一元一次方程.歸納頂點(diǎn)式求二次函數(shù)的解析式探究新知變式題3 鞏固練習(xí) （2018中考）已知二次函數(shù)的圖象以A（1，4）為頂點(diǎn)，且過點(diǎn)B（2，5），求該函數(shù)的關(guān)系式.解：設(shè)拋物線頂點(diǎn)式y(tǒng)=a（x+1）2+4將B（2，5）代入得：a=1該函數(shù)的解析式為：y=（x+1）2+4 y=x22x+3連接中考鞏固練習(xí)連接中考1. 如圖所示,在平面直角坐標(biāo)系中,二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象頂點(diǎn)為A(-2,-2),

17、且過點(diǎn)B(0,2),則y與x的函數(shù)關(guān)系式為( ) A. y=x2+2 B. y=(x-2)2+2 C. y=(x-2)2-2 D. y=(x+2)2-22. 已知二次函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)(4,-3),并且當(dāng)x=3時(shí)有最大值4,則其解析式為 .Dy=-7(x-3)2+4.課堂檢測基礎(chǔ)鞏固題 如圖所示,已知拋物線的對稱軸是直線x=3,它與x軸交于A、B兩點(diǎn),與y軸交于C點(diǎn),點(diǎn)A、C的坐標(biāo)分別是(8,0)、(0,4),求這個(gè)拋物線的解析式.解：由拋物線過A(8,0)及對稱軸為x=3, 知拋物線一定過點(diǎn)(-2,0). 設(shè)這個(gè)拋物線的解析式為y=a(x+2)(x-8), 拋物線過點(diǎn)(0,4), 4=a(0+2)(0-8),課堂檢測能力提升題 已知拋物線頂點(diǎn)(1,16)，且拋物線與x軸