新人教版九年級上冊初三數學 22.1.4二次函數圖像和性質 課件

1、22.1 二次函數圖象和性質22.1.4 二次函數y=ax2+bx+c的圖象和性質22.1.4 二次函數y=ax2+bx+c的圖象和性質（1）y=a(x-h)2 +k(a0)a0a0開口方向頂點坐標對稱軸增減性極值向上向下(h ,k)(h ,k)x=hx=h當xh時，y隨著x的增大而增大. 當xh時，y隨著x的增大而減小. x=h時,y最小值=kx=h時,y最大值=k拋物線y=a(x-h)2+k(a0)的圖象可由y=ax2的圖象通過上下和左右平移得到.回顧舊知二次函數y=a(x-h)2+k的性質 我們已經知道二次函數y=a(x-h)2+k的圖象和性質，能否利用這些知識來討論二次函數y=ax2+

2、bx+c 圖象和性質?導入新知畫出二次函數y=ax2+bx+c的圖象 我們已經知道y=a(x-h)2+k的圖象和性質，能否利用這些知識來討論 的圖象和性質？【思考1】怎樣將 化成y=a(x-h)2+k的形式？探究新知知識點 1配方可得想一想：配方的方法及步驟是什么？探究新知怎樣將 化成y=a(x-h)2+k的形式？配方你知道是怎樣配方的嗎？ (1)“提”：提出二次項系數；(2)“配”：括號內配成完全平方；(3)“化”：化成頂點式.【提示】配方后的表達式通常稱為配方式或頂點式.探究新知【思考2】你能說出 的對稱軸及頂點坐標嗎？答：對稱軸是直線x=6,頂點坐標是（6，3）.【思考3】二次函數 可以

3、看作是由 怎樣平移得到的？答：平移方法1： 先向上平移3個單位，再向右平移6個單位得到的； 平移方法2： 先向右平移6個單位，再向上平移3個單位得到的.探究新知【思考4】 如何畫二次函數 的圖象？9876543x1. 利用圖形的對稱性列表7.553.533.557.5510 xy5102.然后描點畫圖，得到圖象如右圖.O方法一：描點法探究新知方法二：平移法268y4O-22x4-468探究新知268y4O-22x4-468方法二：描點法先利用對稱性列表:開口方向：對稱軸：頂點：向上x=6(6,3)探究新知【思考4】 結合二次函數 的圖象，說出其性質.510 xy510 x=6當x6時，y隨x的

4、增大而增大.O探究新知開口方向：對稱軸：頂點：向上x=6(6,3)例1 畫出函數 的圖象，并說明這個函數具有哪些性質. x-2-101234y-6.5-4-2.5-2-2.5-4-6.5解: 函數 通過配方可得 ， 先列表：畫二次函數y=ax2+bx+c的圖象并且說出它的性質素養(yǎng)考點 1探究新知2xy-204-2-4-4-6-8然后描點、連線，得到圖象如下圖：由圖象可知，這個函數具有如下性質：開口方向：向下頂點坐標：（1，-2）對稱軸：x=1最值：x=1時，y最大值=-2當x1時，函數值y隨x的增大而增大；當x1時，函數值y隨x的增大而減??；當x=1時，函數取得最大值，最大值y=-2.探究新知

5、 求二次函數y=2x2-8x+7圖象的對稱軸和頂點坐標.因此，二次函數y=2x2-8x+7圖象的對稱軸是直線x=2，頂點坐標為(2,-1).解：鞏固練習變式題1 二次函數y=ax2+bx+c 的圖象與性質 根據下列關系你能發(fā)現(xiàn)二次函數y=ax2+bx+c的圖象和性質嗎？y=ax2+bx+c探究新知知識點 2y=ax2+bx+c二次函數的頂點式對稱軸為 .二次函數的一般表達式因此，拋物線的對稱軸是 ，頂點是 .探究新知yOx（a0）yOx（a1可得2ab0，故正確；利用二次函數y=ax2+bx+c的圖象確定字母的值素養(yǎng)考點 3探究新知變式題3 二次函數y=ax+bx+c的圖象如圖所示，下列選項中

6、正確的是（ ）Aa0 Bb0 Cc0 D ac0鞏固練習解析 根據開口方向、對稱軸、拋物線與y軸的交點，確定a、b、c的符號，根據對稱軸和圖象確定y0或y0時，x的范圍，確定代數式的符號開口向下，a0，A錯誤；對稱軸在y軸的右側和a0，可知b0，B正確；拋物線與y軸交于正半軸，c0，C錯誤；因為a0，所以ac0，D錯誤B （2018中考）如圖是二次函數y=ax2+bx+c（a，b，c是常數，a0）圖象的一部分，與x軸的交點A在點（2，0）和（3，0）之間，對稱軸是x=1對于下列說法：ab0；2a+b=0；3a+c0；a+bm（am+b）（m為實數）；當1x3時，y0，其中正確的是（）A B C

7、 D解析 由圖象開口向下，可知a0，有對稱軸在y軸右側，可知b0，即ab0,故正確，由對稱軸x=1得： =1，即2a+b=0，故正確，當x=3時，y0，即9a+3b+c0，b=-2a，3a+c0,故不正確，當x=1時，函數有最大值a+b+c，當x=m時，y=am2+bm+c，即a+b+cam2+bm+c,也就是a+bm(am+b),故正確，由圖象知：當-1x3時，y有可能小于0，故不正確.鞏固練習A連接中考1.已知二次函數y=ax2+bx+c的x、y的部分對應值如下表：x-10123y51-1-11A. y軸 B.直線x= C. 直線x=2 D.直線x= 則該二次函數圖象的對稱軸為( )D課堂

8、檢測基礎鞏固題Oyx1232. 已知二次函數y=ax2+bx+c(a0)的圖象如圖所示，則下列結論：（1）a、b同號；（2）當x=1和x=3時，函數值相等；（3） 4a+b=0； （4）當y=2時，x的值只能取0； 其中正確的是.（2）課堂檢測基礎鞏固題3. 如圖是二次函數y=ax2+bx+c(a0)圖象的一部分，x=-1是對稱軸，有下列判斷：b-2a=0；4a-2b+cy2.其中正確的是（ ）A B C DxyO2x=-1B課堂檢測基礎鞏固題 根據公式確定下列二次函數圖象的對稱軸和頂點坐標：直線x=3直線x=8直線x=1.25直線x= 0.5課堂檢測能力提升題1.已知函數y=-2x2+x-4

9、,當x= 時，y有最大值 .2.已知二次函數y=x2-2x+1，那么它的圖象大致為（ ）B課堂檢測拓廣探索題頂點：對稱軸：y=ax2+bx+c（a 0)(一般式)配方法公式法(頂點式)課堂小結22.1.4 二次函數y=ax2+bx+c的圖象和性質（2）用待定系數法求函數的解析式 已知一次函數經過點（1，3）和（-2，-12），求這個一次函數的解析式。 解：設這個一次函數的解析式為y=kx+b,因為一次函數經過點（1，3）和（-2，-12）， 所以 解得 k=3，b=-6一次函數的解析式為y=3x-6.【思考】如何用待定系數法求二次函數的解析式呢？回顧舊知【思考】回憶一下用待定系數法求一次函數的

10、解析式的一般步驟求二次函數y=ax2+bx+c的解析式的關鍵是什么？用三點式求二次函數的解析式 探究新知知識點 1 我們知道，由兩點（兩點的連線不與坐標軸平行）的坐標可以確定一次函數，即可以求出這個一次函數的解析式。對于二次函數，由幾個點的坐標可以確定二次函數？ 已知一個二次函數的圖象過點(-1,10)、(1,4)，求這個函數的解析式.解：設所求的二次函數為y=ax2+bx+c. 由已知得：a-b+c=10a+b+c=4三個未知數，兩個等量關系，這個方程組能解嗎？第一步:設出解析式的形式；第二步:代入已知點的坐標；第三步：解方程組。探究新知 已知一個二次函數的圖象過點(-1,10)、(1,4)

11、 、(2,7)，求這個函數的解析式.第一步:設出解析式的 形式；第二步:代入已知點的 坐標；第三步：解方程組。解：設所求的二次函數為y=ax2+bx+c. 由已知得：a-b+c=10a+b+c=44a+2b+c=7三個未知數，三個等量關系，這個方程組能解嗎？探究新知a-b+c=10a+b+c=44a+2b+c=7?由-可得：2b=-6b=-3由-可得：3a+3b=-3a+b=-1a=2將a=2，b=-3代入可得：2+3+c=10c=5解方程組得：a=2, b=-3, c=5.探究新知 例1 已知一個二次函數的圖象過點A(-1,0), B(4,5), C(0,-3). 三點，求這個函數的解析式.

12、解：設所求拋物線的解析式為yax2+bx+c.拋物線經過點A(-1，0), B(4，5), C(0，-3). 解得a1，b-2，c-3.拋物線的解析式為yx2-2x-3.利用三點式求二次函數的解析式素養(yǎng)考點 1探究新知 求二次函數y=ax2+bx+c的解析式，關鍵是求出待定系數a，b，c的值。 若已知條件是二次函數圖像上三個點的坐標，可設解析式為y=ax2+bx+c,列出關于a，b，c的方程組，并求出a，b，c，就可以寫出二次函數的解析式。歸納任意兩點的連線不與y軸平行三點式求二次函數的解析式探究新知 已知一個二次函數的圖象過點A(0,0), B(-1,-1), C(1,9)三點，求這個函數的

13、解析式.第一步:設出解析式的形式；第二步:代入已知點的坐標；第三步:解方程組。解：設所求拋物線的解析式為yax2+bx+c.拋物線經過點A(0,0), B(-1,-1), C(1,9). 解得a4，b5，c0.拋物線的解析式為y4x2+5x.0=c-1=a-b+c9=a+b+c鞏固練習變式題1 用交點式y(tǒng)=a(x-x1) (x-x2) 求二次函數解析式 一個二次函數，當自變量x0時，函數值y-1，當x-2與 時，y0，求這個二次函數的解析式.探究新知知識點 2兩種方法的結果一樣嗎？兩種方法哪一個更簡捷？交點式求二次函數的解析式：若已知拋物線與x軸的兩交點坐標，可設解析式為y=a（x-x1）（x

14、-x2），把另一點的坐標代入，解關于a的一元一次方程. 例2 已知二次函數y=ax2+bx+c的圖象與x軸交于A(1,0)，B(3,0)兩點(兩點的縱坐標都為0)，與y軸交于點C(0,3)，求這個二次函數的解析式.解: 圖象與x軸交于A(1,0)，B(3,0) 設函數解析式為ya(x-1)(x-3) 圖象過點C(0,3) 3=a(0-1)(0-3)，解得a=1. 二次函數解析式為y=(x-1)(x-3)=x2-4x+3利用交點式求二次函數的解析式素養(yǎng)考點 2探究新知 已知拋物線與x軸交于A（1，0），B（1,0）并經過點M（0,1），求拋物線的解析式.因此所求的拋物線解析式為 y=x2+1.解

15、: 圖象與x軸交于A(-1,0)，B(1,0) 設函數解析式為ya(x+1)(x-1) 圖象過點M(0,1) 1=a(0+1)(0-1)，解得a=-1. 二次函數解析式為y=-1(x+1)(x-1) 鞏固練習變式題 2 【思考】圖象頂點為(h, k)的二次函數的解析式是y=a(x-h)2+k，如果頂點坐標已知，那么求解析式的關鍵是什么？用二次函數頂點式y(tǒng)=a(x-h)2+k求函數解析式探究新知知識點 3利用頂點式求二次函數的解析式 例3 已知拋物線頂點為(1,-4)，且又過點(2,-3)，求其解析式.解：拋物線頂點為(1,-4) 設其解析式為y=a(x-1)2-4， 又拋物線過點(2,-3)，

16、 則-3=a(2-1)2-4，則a=1. 其解析式為y=(x-1)2-4x2-2x-3.探究新知素養(yǎng)考點 3 若已知頂點坐標和一點，可設解析式為y=a(x-h)2+k，將另一點坐標代入解關于a的一元一次方程.歸納頂點式求二次函數的解析式探究新知變式題3 鞏固練習 （2018中考）已知二次函數的圖象以A（1，4）為頂點，且過點B（2，5），求該函數的關系式.解：設拋物線頂點式y(tǒng)=a（x+1）2+4將B（2，5）代入得：a=1該函數的解析式為：y=（x+1）2+4 y=x22x+3連接中考鞏固練習連接中考1. 如圖所示,在平面直角坐標系中,二次函數y=ax2+bx+c的圖象頂點為A(-2,-2),

17、且過點B(0,2),則y與x的函數關系式為( ) A. y=x2+2 B. y=(x-2)2+2 C. y=(x-2)2-2 D. y=(x+2)2-22. 已知二次函數的圖象經過點(4,-3),并且當x=3時有最大值4,則其解析式為 .Dy=-7(x-3)2+4.課堂檢測基礎鞏固題 如圖所示,已知拋物線的對稱軸是直線x=3,它與x軸交于A、B兩點,與y軸交于C點,點A、C的坐標分別是(8,0)、(0,4),求這個拋物線的解析式.解：由拋物線過A(8,0)及對稱軸為x=3, 知拋物線一定過點(-2,0). 設這個拋物線的解析式為y=a(x+2)(x-8), 拋物線過點(0,4), 4=a(0+2)(0-8),課堂檢測能力提升題 已知拋物線頂點(1,16)，且拋物線與x軸