最新高中數(shù)學(xué)必修五教案

1、高中數(shù)學(xué)必修五教案【篇一：人教a版高中數(shù)學(xué)必修五全冊(cè)教案】 2023年人教版數(shù)學(xué)必修五教案 姓 名： 沈金鵬 學(xué) 號(hào)： 134080303 院 、 系：數(shù)學(xué)學(xué)院 專 業(yè): 數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué) 2023年1月22日 人教a版高中數(shù)學(xué)必修五全冊(cè)教案 111正弦定理 教學(xué)目標(biāo) 知識(shí)與技能：通過(guò)對(duì)任意三角形邊長(zhǎng)和角度關(guān)系的探索，掌握正弦定理的內(nèi)容及其證明方法； 會(huì)運(yùn)用正弦定理與三角形內(nèi)角和定理解斜三角形的兩類根本問(wèn)題。 過(guò)程與方法：讓學(xué)生從已有的幾何知識(shí)出發(fā),共同探究在任意三角形中，邊與其對(duì)角的關(guān)系， 引導(dǎo)學(xué)生通過(guò)觀察，推導(dǎo)，比擬，由特殊到一般歸納出正弦定理，并進(jìn)行定理根本應(yīng)用的實(shí)踐操作。 情感態(tài)度與價(jià)值

2、觀：培養(yǎng)學(xué)生在方程思想指導(dǎo)下處理解三角形問(wèn)題的運(yùn)算能力；培養(yǎng)學(xué)生合 情推理探索數(shù)學(xué)規(guī)律的數(shù)學(xué)思思想能力，通過(guò)三角形函數(shù)、正弦定理、向量的數(shù)量積等知識(shí)間的聯(lián)系來(lái)表達(dá)事物之間的普遍聯(lián)系與辯證統(tǒng)一。 教學(xué)重點(diǎn) 正弦定理的探索和證明及其根本應(yīng)用。 教學(xué)難點(diǎn) 兩邊和其中一邊的對(duì)角解三角形時(shí)判斷解的個(gè)數(shù)。 教學(xué)過(guò)程 一.課題導(dǎo)入 如圖11-1，固定?abc的邊cb及?b，使邊ac繞著頂點(diǎn)c轉(zhuǎn)動(dòng)。 a 思考：?c的大小與它的對(duì)邊ab的長(zhǎng)度之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系？ 顯然，邊ab的長(zhǎng)度隨著其對(duì)角?c的大小的增大而增大。 能否用一個(gè)等式把這種關(guān)系精確地表示出來(lái)？c b 二.講授新課 探索研究 abc?sina，?s

3、inb，又sinc?1?cccabc那么?csinsinsinc abc 從而在直角三角形abc中，? sinsinsin有 思考1：那么對(duì)于任意的三角形，以上關(guān)系式是否仍然成立？由學(xué)生討論、分析 可分為銳角三角形和鈍角三角形兩種情況： 如圖11-3，1當(dāng)?abc是銳角三角形時(shí)，設(shè)邊ab上的高是cd，根據(jù)任意角三角函數(shù)的定義， 有cd=asinb?bsina,那么同理可得從而 a sina ? b sinb ，c sinc? ? b sinb? ， ac b a sinb sinc sin2當(dāng)?abc是鈍角三角形時(shí)，以上關(guān)系式仍然成立。由學(xué)生課后自己推導(dǎo)思考2：還有其方法嗎？ 由于涉及邊長(zhǎng)問(wèn)題

4、，從而可以考慮用向量來(lái)研究這問(wèn)題。 ? 證法二：過(guò)點(diǎn)a作單位向量j?ac， 由向量的加法可得 ab?ac?cb ? ? 那么 j?ab?j?(ac?cb) ? j?ab?j?ac?j?cb ? jabcos?900?a?0?jcbcos?900?c? csina?asinc，即 ac ? ?bcabc 同理，過(guò)點(diǎn)c作j?bc，可得 從而 ? sinasinbsinc 從上面的研探過(guò)程，可得以下定理 正弦定理：在一個(gè)三角形中，各邊和它所對(duì)角的正弦的比相等，即 a sina ? b sinb ? c sinc 理解定理 1正弦定理說(shuō)明同一三角形中，邊與其對(duì)角的正弦成正比，且比例系數(shù)為同一正數(shù)， 即

5、存在正數(shù)k使a?ksina，b?ksinb，c?ksinc； 2 a sina ? b sinb ? c sinc 等價(jià)于 a sina ? b sinb ， c sinc ? b sinb ， a sina ? c sinc 思考：正弦定理的根本作用是什么？ 三角形的任意兩角及其一邊可以求其他邊，如a? bsina ； sinb 三角形的任意兩邊與其中一邊的對(duì)角可以求其他角的正弦值，如 sina?sinb。 一般地，三角形的某些邊和角，求其他的邊和角的過(guò)程叫作解三角形。 例題分析 例1在?abc中，a?32.00，b?81.80，a?42.9cm，解三角形。 解：根據(jù)三角形內(nèi)角和定理， ?8

6、0.1(cm)； 根據(jù)正弦定理， b? ?74.1(cm). 根據(jù)正弦定理， c? sin32.00 評(píng)述：對(duì)于解三角形中的復(fù)雜運(yùn)算可使用計(jì)算器。 練習(xí)：在?abc中，以下條件解三角形。 ? 1a?45，c?30，c?10cm， 2a?60，b?45，c?20cm 例2 在?abc中，a?20cm，b?28cm，a?400，解三角形角度精確到10，邊長(zhǎng)精確到1cm。解：根據(jù)正弦定理， bsina28sin400 sinb?0.8999.因?yàn)?0b1800，所以b?640，或 b?116. 當(dāng) b?640 時(shí)， c?108?0a(?b ?)10?800?，(4?064 asinc20sin760

7、c?30(cm). sin400 當(dāng) b?1160 時(shí)，c?1 8?0a?(b ?) 1?8，0?(4?01 asinc20sin240c?13(cm). sin40應(yīng)注意兩邊和其中一邊的對(duì)角解三角形時(shí)，可能有兩解的情形。 課堂練習(xí) 第4頁(yè)練習(xí)第2題。 思考題：在?abc中， a sina ? b sinb? ? c sinc? ?k(ko)，這個(gè)k與?abc有什么關(guān)系？ 三.課時(shí)小結(jié)由學(xué)生歸納總結(jié) 1定理的表示形式： a?b?c ?k?k?0?； sinasinbsincsina?sinb?sinc或a?ksina，b?ksinb，c?ksinc(k?0) a b c ? 2正弦定理的應(yīng)用范

8、圍： 兩角和任一邊，求其它兩邊及一角； 兩邊和其中一邊對(duì)角，求另一邊的對(duì)角。 四.課后作業(yè)：p10面1、2題。 1.2解三角形應(yīng)用舉例 第一課時(shí) 一、教學(xué)目標(biāo) 1、能夠運(yùn)用正弦定理、余弦定理等知識(shí)和方法解決一些有關(guān)測(cè)量距離的實(shí)際問(wèn)題，了解常用的測(cè)量相關(guān)術(shù)語(yǔ) 2、激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣,并體會(huì)數(shù)學(xué)的應(yīng)用價(jià)值；同時(shí)培養(yǎng)學(xué)生運(yùn)用圖形、數(shù)學(xué)符號(hào)表達(dá)題意和應(yīng)用轉(zhuǎn)化思想解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的能力 二、教學(xué)重點(diǎn)、難點(diǎn) 教學(xué)重點(diǎn)：由實(shí)際問(wèn)題中抽象出一個(gè)或幾個(gè)三角形，然后逐個(gè)解決三角形，得到實(shí)際問(wèn)題的解 教學(xué)難點(diǎn)：根據(jù)題意建立數(shù)學(xué)模型，畫出示意圖 三、教學(xué)設(shè)想 1、復(fù)習(xí)舊知 復(fù)習(xí)提問(wèn)什么是正弦定理、余弦定理以及它們可以

9、解決哪些類型的三角形？ 2、設(shè)置情境 請(qǐng)學(xué)生答復(fù)完后再提問(wèn)：前面引言第一章“解三角形中，我們遇到這么一個(gè)問(wèn)題，“遙不可及的月亮離我們地球究竟有多遠(yuǎn)呢？在古代，天文學(xué)家沒(méi)有先進(jìn)的儀器就已經(jīng)估算出了兩者的距離，是什么神奇的方法探索到這個(gè)奧秘的呢？我們知道，對(duì)于未知的距離、高度等，存在著許多可供選擇的測(cè)量方案，比方可以應(yīng)用全等三角形、相似三角形的方法，或借助解直角三角形等等不同的方法，但由于在實(shí)際測(cè)量問(wèn)題的真實(shí)背景下，某些方法會(huì)不能實(shí)施。如因?yàn)闆](méi)有足夠的空間，不能用全等三角形的方法來(lái)測(cè)量，所以，有些方法會(huì)有局限性。于是上面介紹的問(wèn)題是用以前的方法所不能解決的。今天我們開始學(xué)習(xí)正弦定理、余弦定理在科學(xué)

10、實(shí)踐中的重要應(yīng)用，首先研究如何測(cè)量距離。 3、 新課講授 1解決實(shí)際測(cè)量問(wèn)題的過(guò)程一般要充分認(rèn)真理解題意，正確做出圖形，把實(shí)際問(wèn)題里的 條件和所求轉(zhuǎn)換成三角形中的和未知的邊、角，通過(guò)建立數(shù)學(xué)模型來(lái)求解 (2)例1、如圖，設(shè)a、b兩點(diǎn)在河的兩岸，要測(cè)量?jī)牲c(diǎn)之間的距離，測(cè)量者在a的同側(cè)，在所在的河岸邊選定一點(diǎn)c，測(cè)出ac的距離是55m，?bac=51?，?acb=75?。求a、b兩點(diǎn)的距離(精確到0.1m) 提問(wèn)1：?abc中，根據(jù)的邊和對(duì)應(yīng)角，運(yùn)用哪個(gè)定理比擬適當(dāng)？ 提問(wèn)2：運(yùn)用該定理解題還需要那些邊和角呢？請(qǐng)學(xué)生答復(fù)。 分析：這是一道關(guān)于測(cè)量從一個(gè)可到達(dá)的點(diǎn)到一個(gè)不可到達(dá)的點(diǎn)之間的距離的問(wèn)題，

11、題目條件告訴了邊ab的對(duì)角，ac為邊，再根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理很容易根據(jù)兩個(gè)角算出ac的對(duì)角，應(yīng)用正弦定理算出ab邊。 解：根據(jù)正弦定理，得 ab=acsin?acbsin?abc sin?abc 55sin75? = 55sin75? 65.7(m) sin(180?51?75?)sin54? ab =acsin?acb=55sin?acb= sin?abc 答:a、b兩點(diǎn)間的距離為65.7米 變式練習(xí)：兩燈塔a、b與海洋觀察站c的距離都等于a km,燈塔a在觀察站c的北偏東30?，燈塔b在觀察站c南偏東60?，那么a、b之間的距離為多少？ 老師指導(dǎo)學(xué)生畫圖，建立數(shù)學(xué)模型。 解略：2a km

12、 例2、如圖，a、b兩點(diǎn)都在河的對(duì)岸不可到達(dá)，設(shè)計(jì)一種測(cè)量a、b兩點(diǎn)間距離的方法。 分析：這是例1的變式題，研究的是兩個(gè)不可到達(dá)的點(diǎn)之間的距離測(cè)量問(wèn)題。首先需要構(gòu)造三角形，所以需要確定c、d兩點(diǎn)。根據(jù)正弦定理中三角形的任意兩個(gè)內(nèi)角與一邊既可求出另兩邊的方法，分別求出ac和bc，再利用余弦定理可以計(jì)算出ab的距離?！酒喝私贪娓咧袛?shù)學(xué)必修5教案】 數(shù)學(xué)5 第一章 解三角形 章節(jié)總體設(shè)計(jì) 一課標(biāo)要求 本章的中心內(nèi)容是如何解三角形，正弦定理和余弦定理是解三角形的工具，最后落實(shí)在解三角形的應(yīng)用上。通過(guò)本章學(xué)習(xí)，學(xué)生應(yīng)當(dāng)?shù)竭_(dá)以下學(xué)習(xí)目標(biāo)： 1通過(guò)對(duì)任意三角形邊長(zhǎng)和角度關(guān)系的探索，掌握正弦定理、余弦定理

13、，并能解決一些簡(jiǎn)單的三角形度量問(wèn)題。 2能夠熟練運(yùn)用正弦定理、余弦定理等知識(shí)和方法解決一些與測(cè)量和幾何計(jì)算有關(guān)的生活實(shí)際問(wèn)題。 二編寫意圖與特色 1數(shù)學(xué)思想方法的重要性 數(shù)學(xué)思想方法的教學(xué)是中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中的重要組成局部，有利于學(xué)生加深數(shù)學(xué)知識(shí)的理解和掌握。 本章重視與內(nèi)容密切相關(guān)的數(shù)學(xué)思想方法的教學(xué)，并且在提出問(wèn)題、思考解決問(wèn)題的策略等方面對(duì)學(xué)生進(jìn)行具體示范、引導(dǎo)。本章的兩個(gè)主要數(shù)學(xué)結(jié)論是正弦定理和余弦定理，它們都是關(guān)于三角形的邊角關(guān)系的結(jié)論。在初中，學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)了相關(guān)邊角關(guān)系的定性的知識(shí)，就是“在任意三角形中有大邊對(duì)大角，小邊對(duì)小角，“如果兩個(gè)三角形的兩條對(duì)應(yīng)邊及其所夾的角相等,那么這兩個(gè)三

14、角形全等。 教科書在引入正弦定理內(nèi)容時(shí)，讓學(xué)生從已有的幾何知識(shí)出發(fā)，提出探究性問(wèn)題：“在任意三角形中有大邊對(duì)大角，小邊對(duì)小角的邊角關(guān)系.我們是否能得到這個(gè)邊、角的關(guān)系準(zhǔn)確量化的表示呢?，在引入余弦定理內(nèi)容時(shí)，提出探究性問(wèn)題“如果三角形的兩條邊及其所夾的角,根據(jù)三角形全等的判定方法，這個(gè)三角形是大小、形狀完全確定的三角形.我們?nèi)匀粡牧炕慕嵌葋?lái)研究這個(gè)問(wèn)題，也就是研究如何從的兩邊和它們的夾角計(jì)算出三角形的另一邊和兩個(gè)角的問(wèn)題。設(shè)置這些問(wèn)題，都是為了加強(qiáng)數(shù)學(xué)思想方法的教學(xué)。 2注意加強(qiáng)前后知識(shí)的聯(lián)系 加強(qiáng)與前后各章教學(xué)內(nèi)容的聯(lián)系，注意復(fù)習(xí)和應(yīng)用已學(xué)內(nèi)容，并為后續(xù)章節(jié)教學(xué)內(nèi)容做好準(zhǔn)備，能使整套教科書

15、成為一個(gè)有機(jī)整體，提高教學(xué)效益，并有利于學(xué)生對(duì)于數(shù)學(xué)知識(shí)的學(xué)習(xí)和穩(wěn)固。 本章內(nèi)容處理三角形中的邊角關(guān)系，與初中學(xué)習(xí)的三角形的邊與角的根本關(guān)系，三角形的邊和角相等判定三角形全等的知識(shí)有著密切聯(lián)系。教科書在引入正弦定理內(nèi)容時(shí)，讓學(xué)生從已有的幾何知識(shí)出發(fā)，提出探究性問(wèn)題“在任意三角形中有大邊對(duì)大角，小邊對(duì)小角的邊角關(guān)系.我們是否能得到這個(gè)邊、角的關(guān)系準(zhǔn)確量化的表示呢?，在引入余弦定理內(nèi)容時(shí)，提出探究性問(wèn)題“如果三角形的兩條邊及其所夾的角,根據(jù)三角形全等的判定方法，這個(gè)三角形是大小、形狀完全確定的三角形.我們?nèi)匀粡牧炕慕嵌葋?lái)研究這個(gè)問(wèn)題，也就是研究如何從的兩邊和它們的夾角計(jì)算出三角形的另一邊和兩個(gè)角

16、的問(wèn)題。這樣，從聯(lián)系的觀點(diǎn)，從新的角度看過(guò)去的問(wèn)題，使學(xué)生對(duì)于過(guò)去的知識(shí)有了新的認(rèn)識(shí)，同時(shí)使新知識(shí)建立在已有知識(shí)的堅(jiān)實(shí)根底上，形成良好的知識(shí)結(jié)構(gòu)。 ?課程標(biāo)準(zhǔn)?和教科書把“解三角形這局部?jī)?nèi)容安排在數(shù)學(xué)五的第一局部?jī)?nèi)容，位置相對(duì)靠后，在此內(nèi)容之前學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)了三角函數(shù)、平面向量、直線和圓的方程等與本章知識(shí)聯(lián)系密切的內(nèi)容，這使這局部?jī)?nèi)容的處理有了比擬多的工具，某些內(nèi)容可以處理得更加簡(jiǎn)潔。比方對(duì)于余弦定理的證明，常用的方法是借助于三角的方法，需要對(duì)于三角形進(jìn)行討論，方法不夠簡(jiǎn)潔，教科書那么用了向量的方法，發(fā)揮了向量方法在解決問(wèn)題中的威力。 在證明了余弦定理及其推論以后，教科書從余弦定理與勾股定理的比

17、擬中，提出了一個(gè)思考問(wèn)題“勾股定理指出了直角三角形中三邊平方之間的關(guān)系，余弦定理那么指出了一般三角形中三邊平方之間的關(guān)系，如何看這兩個(gè)定理之間的關(guān)系？，并進(jìn)而指出，“從余弦定理以及余弦函數(shù)的性質(zhì)可知，如果一個(gè)三角形兩邊的平方和等于第三邊的平方，那么第三邊所對(duì)的角是直角；如果小于第三邊的平方，那么第三邊所對(duì)的角是鈍角；如果大于第三邊的平方，那么第三邊所對(duì)的角是銳角.從上可知，余弦定理是勾股定理的推廣. 3重視加強(qiáng)意識(shí)和數(shù)學(xué)實(shí)踐能力 學(xué)數(shù)學(xué)的最終目的是應(yīng)用數(shù)學(xué)，而如今比擬突出的兩個(gè)問(wèn)題是，學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)的意識(shí)不強(qiáng)，創(chuàng)造能力較弱。學(xué)生往往不能把實(shí)際問(wèn)題抽象成數(shù)學(xué)問(wèn)題，不能把所學(xué)的數(shù)學(xué)知識(shí)應(yīng)用到實(shí)際問(wèn)題

18、中去，對(duì)所學(xué)數(shù)學(xué)知識(shí)的實(shí)際背景了解不多，雖然學(xué)生機(jī)械地模仿一些常見(jiàn)數(shù)學(xué)問(wèn)題解法的能力較強(qiáng)，但當(dāng)面臨一種新的問(wèn)題時(shí)卻方法不多，對(duì)于諸如觀察、分析、歸納、類比、抽象、概括、猜測(cè)等發(fā)現(xiàn)問(wèn)題、解決問(wèn)題的科學(xué)思維方法了解不夠。針對(duì)這些實(shí)際情況，本章重視從實(shí)際問(wèn)題出發(fā)，引入數(shù)學(xué)課題，最后把數(shù)學(xué)知識(shí)應(yīng)用于實(shí)際問(wèn)題。 三教學(xué)內(nèi)容及課時(shí)安排建議 1.1正弦定理和余弦定理約3課時(shí) 1.2應(yīng)用舉例約4課時(shí) 1.3實(shí)習(xí)作業(yè)約1課時(shí) 四評(píng)價(jià)建議 1要在本章的教學(xué)中，應(yīng)該根據(jù)教學(xué)實(shí)際，啟發(fā)學(xué)生不斷提出問(wèn)題，研究問(wèn)題。在對(duì)于正弦定理和余弦定理的證明的探究過(guò)程中，應(yīng)該因勢(shì)利導(dǎo)，根據(jù)具體教學(xué)過(guò)程中學(xué)生思考問(wèn)題的方向來(lái)啟發(fā)學(xué)生得

19、到自己對(duì)于定理的證明。如對(duì)于正弦定理，可以啟發(fā)得到有應(yīng)用向量方法的證明，對(duì)于余弦定理那么可以啟發(fā)得到三角方法和解析的方法。在應(yīng)用兩個(gè)定理解決有關(guān)的解三角形和測(cè)量問(wèn)題的過(guò)程中，一個(gè)問(wèn)題也常常有多種不同的解決方案，應(yīng)該鼓勵(lì)學(xué)生提出自己的解決方法，并對(duì)于不同的方法進(jìn)行必要的分析和比擬。對(duì)于一些常見(jiàn)的測(cè)量問(wèn)題甚至可以鼓勵(lì)學(xué)生設(shè)計(jì)應(yīng)用的程序，得到在實(shí)際中可以直接應(yīng)用的算法。 2適當(dāng)安排一些實(shí)習(xí)作業(yè)，目的是讓學(xué)生進(jìn)一步穩(wěn)固所學(xué)的知識(shí)，提高學(xué)生分析問(wèn)題的解決實(shí)際問(wèn)題的能力、動(dòng)手操作的能力以及用數(shù)學(xué)語(yǔ)言表達(dá)實(shí)習(xí)過(guò)程和實(shí)習(xí)結(jié)果能力，增強(qiáng)學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)的意識(shí)和數(shù)學(xué)實(shí)踐能力。教師要注意對(duì)于學(xué)生實(shí)習(xí)作業(yè)的指導(dǎo)，包括對(duì)于

20、實(shí)際測(cè)量問(wèn)題的選擇，及時(shí)糾正實(shí)際操作中的錯(cuò)誤，解決測(cè)量中出現(xiàn)的一些問(wèn)題。課題: 111正弦定理 教學(xué)目標(biāo) 知識(shí)與技能：通過(guò)對(duì)任意三角形邊長(zhǎng)和角度關(guān)系的探索，掌握正弦定理的內(nèi)容及其證明方法；會(huì)運(yùn)用正弦定理與三角形內(nèi)角和定理解斜三角形的兩類根本問(wèn)題。 過(guò)程與方法：讓學(xué)生從已有的幾何知識(shí)出發(fā),共同探究在任意三角形中，邊與其對(duì)角的關(guān)系，引導(dǎo)學(xué)生通過(guò)觀察，推導(dǎo)，比擬，由特殊到一般歸納出正弦定理，并進(jìn)行定理根本應(yīng)用的實(shí)踐操作。 情感態(tài)度與價(jià)值觀：培養(yǎng)學(xué)生在方程思想指導(dǎo)下處理解三角形問(wèn)題的運(yùn)算能力；培養(yǎng)學(xué)生合情推理探索數(shù)學(xué)規(guī)律的數(shù)學(xué)思思想能力，通過(guò)三角形函數(shù)、正弦定理、向量的數(shù)量積等知識(shí)間的聯(lián)系來(lái)表達(dá)事物之

21、間的普遍聯(lián)系與辯證統(tǒng)一。 教學(xué)重點(diǎn) 正弦定理的探索和證明及其根本應(yīng)用。 教學(xué)難點(diǎn) 兩邊和其中一邊的對(duì)角解三角形時(shí)判斷解的個(gè)數(shù)。 教學(xué)過(guò)程 .課題導(dǎo)入 如圖11-1，固定?abc的邊cb及?b，使邊ac繞著頂點(diǎn)c思考：?c的大小與它的對(duì)邊ab的長(zhǎng)度之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系？ 顯然，邊ab的長(zhǎng)度隨著其對(duì)角?c的大小的增大而增大。能否 用一個(gè)等式把這種關(guān)系精確地表示出來(lái)？.講授新課 探索研究(圖11-1) 在初中，我們已學(xué)過(guò)如何解直角三角形，下面就首先來(lái)探討直角三角形中，角與邊的等式關(guān)系。如圖11-2，在rt?abc中，設(shè)bc=a,ac=b,ab=c, 根據(jù)銳角三角函數(shù) abc中正弦函數(shù)的定義，有?si

22、na，?sinb，又sic?n?1, ccc a abc那么?csinasinbsinc abc從而在直角三角形abc中，?sinasinbsinc (圖11-2) 思考：那么對(duì)于任意的三角形，以上關(guān)系式是否仍然成立？ 由學(xué)生討論、分析 可分為銳角三角形和鈍角三角形兩種情況： 如圖11-3，當(dāng)?abc是銳角三角形時(shí)，設(shè)邊ab上的高是cd，根據(jù)任意角三角函 ab數(shù)的定義，有cd=asinb?bsina,那么，?sinsincb同理可得，?sinsinabc從而?sinasinbsinc (圖11-3) 思考：是否可以用其它方法證明這一等式？由于涉及邊長(zhǎng)問(wèn)題，從而可以考慮用向量來(lái)研究這個(gè)問(wèn)題。證法

23、二：過(guò)點(diǎn)a作j?ac，由向量的加法可得 ab?ac?cb ?那么j?ab?j?(ac?cb) ?j?ab?j?ac?j?cb ? ?0jabcos?90?a?0?jcbcos?900?c? csina?asinc，即 同理，過(guò)點(diǎn)c作j?bc，可得 從而 a sin?ac ?bc ?b sin?c sin 類似可推出，當(dāng)?abc是鈍角三角形時(shí)，以上關(guān)系式仍然成立。由學(xué)生課后自己推導(dǎo) 從上面的研探過(guò)程，可得以下定理 正弦定理：在一個(gè)三角形中，各邊和它所對(duì)角的正弦的比相等，即 abc ?sinsinsin理解定理 1正弦定理說(shuō)明同一三角形中，邊與其對(duì)角的正弦成正比，且比例系數(shù)為同一正數(shù)，即存在正數(shù)k

24、使a?ksina，b?ksinb，c?ksinc； abcabcbac2等價(jià)于， ?sinsinsinsinsinsinsinsinasin從而知正弦定理的根本作用為： bsina三角形的任意兩角及其一邊可以求其他邊，如a?； sina三角形的任意兩邊與其中一邊的對(duì)角可以求其他角的正弦值，如sina?sinb。 一般地，三角形的某些邊和角，求其他的邊和角的過(guò)程叫作解三角形。 例題分析 例1在?abc中，a?32.00，b?81.80，a?42.9cm，解三角形。 解：根據(jù)三角形內(nèi)角和定理， c?1800?(a?b) ?1800?(32.00?81.80) ?66.20； 根據(jù)正弦定理， b?8

25、0.1(cm)； sin32.0根據(jù)正弦定理， c?74.1(cm). sin32.00評(píng)述：對(duì)于解三角形中的復(fù)雜運(yùn)算可使用計(jì)算器。 例2在?abc中，a?20cm，b?28cm，a?400，解三角形角度精確到10，邊長(zhǎng)精確到1cm。 解：根據(jù)正弦定理， bsina28sin400 sinb?0.8999. 因?yàn)?0b1800，所以b?640，或b?1160. 當(dāng)b?640時(shí)， c?1800?(a?b)?1800?(400?640)?760， asinc20sin760 c?30(cm). sin400 當(dāng)b?1160時(shí)， c?1800?(a?b)?1800?(400?1160)?240， a

26、sinc20sin240 c?13(cm). sin400 評(píng)述：應(yīng)注意兩邊和其中一邊的對(duì)角解三角形時(shí)，可能有兩解的情形。 .課堂練習(xí) 第4頁(yè)練習(xí)第11、21題。 補(bǔ)充練習(xí)?abc中，sina:sinb:sinc?1:2:3，求a:b:c 答案：1：2：3 .課時(shí)小結(jié)由學(xué)生歸納總結(jié) abca?b?c1定理的表示形式：?k?k?0?； sinasinbsincsina?sinb?sinc 或a?ksina，b?ksinb，c?ksinc(k?0) 2正弦定理的應(yīng)用范圍： 兩角和任一邊，求其它兩邊及一角； 兩邊和其中一邊對(duì)角，求另一邊的對(duì)角。 .課后作業(yè) 第10頁(yè)習(xí)題1.1a組第11、21題。 教

27、后記： 課題: 教學(xué)目標(biāo) 知識(shí)與技能：掌握余弦定理的兩種表示形式及證明余弦定理的向量方法，并會(huì)運(yùn)用余弦定理解決兩類根本的解三角形問(wèn)題。 過(guò)程與方法：利用向量的數(shù)量積推出余弦定理及其推論，并通過(guò)實(shí)踐演算掌握運(yùn)用余弦定理解決兩類根本的解三角形問(wèn)題 情感態(tài)度與價(jià)值觀：培養(yǎng)學(xué)生在方程思想指導(dǎo)下處理解三角形問(wèn)題的運(yùn)算能力；通過(guò)三角函數(shù)、余弦定理、向量的數(shù)量積等知識(shí)間的關(guān)系，來(lái)理解事物之間的普遍聯(lián)系與辯證統(tǒng)一。 教學(xué)重點(diǎn)【篇三：高中數(shù)學(xué)必修五全套教案】 探索研究 在初中，我們已學(xué)過(guò)如何解直角三角形，下面就首先來(lái)探討直角三角形中，角與邊的等式關(guān)系。如圖11-2，在rt?abc中，設(shè)bc=a,ac=b,ab=

28、c, 根據(jù)銳角三角函數(shù)中正弦函數(shù)的定義，有 abc ?sina，?sinb，又sinc?1?, ccc 那么 a sina ? b sinb ? c sinc ?c? 從而在直角三角形abc中， a sina b sinb ? c sinc (圖11-2) 思考：那么對(duì)于任意的三角形，以上關(guān)系式是否仍然成立？ 由學(xué)生討論、分析 可分為銳角三角形和鈍角三角形兩種情況： 如圖11-3，當(dāng)?abc是銳角三角形時(shí)，設(shè)邊ab上的高是cd，根據(jù)任意角三角函數(shù)的定義，有cd=asinb?bsina,那么同理可得從而 a sina a sina ? b sinb ，c sinc? ? b sinb? ，c b

29、 sinb sinc ac b (圖11-3) 正弦定理：在一個(gè)三角形中，各邊和它所對(duì)角的正弦的比相等，即 a sina ? b sinb ? c sinc 理解定理 1正弦定理說(shuō)明同一三角形中，邊與其對(duì)角的正弦成正比，且比例系數(shù)為同一正數(shù)，即存在正數(shù)k使a?ksina，b?ksinb，c?ksinc； 2 a sina ? b sinb ? c sinc 等價(jià)于 a sina ? b sinb ， c sinc ? b sinb ， a sina ? c sinc 從而知正弦定理的根本作用為： 三角形的任意兩角及其一邊可以求其他邊，如a? bsina ； sinb 三角形的任意兩邊與其中一邊

30、的對(duì)角可以求其他角的正弦值，如sina? a sinb。 b 一般地，三角形的某些邊和角，求其他的邊和角的過(guò)程叫作解三角形。 例題分析 例1在?abc中，a?32.00，b?81.80，a?42.9cm，解三角形。 解：根據(jù)三角形內(nèi)角和定理， c?180?(a?b) ?180?(32.0?81.8) 000 ?66.2； 根據(jù)正弦定理，asinb42.9sin81.8b?80.1(cm)； 0 sinasin32.0 根據(jù)正弦定理， asinc42.9sin66.2c?74.1(cm). 0 sinasin32.0 評(píng)述：對(duì)于解三角形中的復(fù)雜運(yùn)算可使用計(jì)算器。 例2在?abc中，a?20cm，

31、b?28cm，a?400，解三角形角度精確到10，邊 長(zhǎng)精確到1cm。 解：根據(jù)正弦定理， bsina28sin40 sinb?0.8999. a20 因?yàn)?0b1800，所以b?640，或b?1160. 當(dāng)b?640時(shí)， c?1800?(a?b)?1800?(400?640)?760， asinc20sin76c?30(cm). 0 sinasin40 當(dāng)b?1160時(shí)， c?1800?(a?b)?1800?(400?1160)?240， asinc20sin24c?13(cm). 0 sinasin40 補(bǔ)充練習(xí)?abc中，sina:sinb:sinc?1:2:3，求a:b:c 答案：1：

32、2：3 2正弦定理的應(yīng)用范圍： 兩角和任一邊，求其它兩邊及一角； 兩邊和其中一邊對(duì)角，求另一邊的對(duì)角。 聯(lián)系已經(jīng)學(xué)過(guò)的知識(shí)和方法，可用什么途徑來(lái)解決這個(gè)問(wèn)題？ 用正弦定理試求，發(fā)現(xiàn)因a、b均未知，所以較難求邊c。 由于涉及邊長(zhǎng)問(wèn)題，從而可以考慮用向量來(lái)研究這個(gè)問(wèn)題。a 如圖11-5，設(shè)cb?a，ca?b，ab?c，那么c?a?b，那么 c ?c?c?a?ba?b ? ?a?a?b?b?2a?b c ab ?2?2? ?a?2a?b 2 ? ? ? 從而 c2?a2?b2?2abcosc (圖11-5) 同理可證 a2?b2?c2?2bccosa 222 b?a?c?2accosb 于是得到以下

33、定理 余弦定理：三角形中任何一邊的平方等于其他兩邊的平方的和減去這兩邊與它們的夾角的余弦的積的兩倍。即 a2?b2?c2?2bccosa222 b?a?c?2accosb 222 c?a?b?2abcosc 思考：這個(gè)式子中有幾個(gè)量？從方程的角度看其中三個(gè)量，可以求出第四個(gè)量，能否由三邊求出一角？ 由學(xué)生推出從余弦定理，又可得到以下推論： b?c?a cosa? 2bca?c?b cosb? 2acb?a?c cosc? 2ba 2 2 2 2 2 2 2 2 2 理解定理 從而知余弦定理及其推論的根本作用為： 三角形的任意兩邊及它們的夾角就可以求出第三邊； 三角形的三條邊就可以求出其它角。

34、思考：勾股定理指出了直角三角形中三邊平方之間的關(guān)系，余弦定理那么指出了一般三角形中三邊平方之間的關(guān)系，如何看這兩個(gè)定理之間的關(guān)系？ 由學(xué)生總結(jié)假設(shè)?abc中，c=900，那么cosc?0，這時(shí)c2?a2?b2 由此可知余弦定理是勾股定理的推廣，勾股定理是余弦定理的特例。 例題分析 例1在?abc中，a ?cb?600，求b及a 解：b2?a2?c2?2accosb =2?2?2?cos450=12?2?1) =8b? 求a可以利用余弦定理，也可以利用正弦定理： b?c?a1 , 解法一：cosa? 2bc22 2 2 a?600. 例2在?abc中，a?134.6cm，b?87.8cm，c?1

35、61.7cm，解三角形 解：由余弦定理的推論得： b?c?a cosa? 2bc 2 2 2 87.8?161.7?134.6? 2?87.8?161.7?0.5543, 222 a?5620?； c?a?b cosb? 2ca 222 134.6?161.7?87.8 ? 2?134.6?161.7?0.8398, b?3253?； 222 0000 c?180?(a?b)?180?(5620?3253?) 補(bǔ)充練習(xí)在?abc中，假設(shè)a2?b2?c2?bc，求角a答案：a=1200 .課時(shí)小結(jié) 1余弦定理是任何三角形邊角之間存在的共同規(guī)律，勾股定理是余弦定理的特例； 2余弦定理的應(yīng)用范圍：三邊求三角；兩邊及它們的夾角，求第三邊。 隨堂練習(xí)1 1在?abc中，a?80，b?100，?a?450