北師大版數(shù)學(xué)(中考沖刺：幾何綜合問(wèn)題-知識(shí)點(diǎn)整理及重點(diǎn)題型梳理)（提高）

1、北師大版數(shù)學(xué)中考總復(fù)習(xí)重難點(diǎn)突破知識(shí)點(diǎn)梳理及重點(diǎn)題型鞏固練習(xí)中考沖刺：幾何綜合問(wèn)題知識(shí)講解（提高）【中考展望】 幾何綜合題是中考試卷中常見(jiàn)的題型，大致可分為幾何計(jì)算型綜合題與幾何論證型綜合題，它主要考查學(xué)生綜合運(yùn)用幾何知識(shí)的能力.這類題型在近幾年全國(guó)各地中考試卷中占有相當(dāng)?shù)姆至浚粌H有選擇題、填空題、幾何推理計(jì)算題以及代數(shù)與幾何的綜合計(jì)算題,還有更注重考查學(xué)生分析問(wèn)題和解決問(wèn)題能力的探究性的問(wèn)題、方案設(shè)計(jì)的問(wèn)題等等.主要特點(diǎn)是圖形較復(fù)雜，覆蓋面廣、涉及的知識(shí)點(diǎn)較多，題設(shè)和結(jié)論之間的關(guān)系較隱蔽，常常需要添加輔助線來(lái)解答.幾何綜合題的呈現(xiàn)形式多樣，如折疊類型、探究型、開(kāi)放型、運(yùn)動(dòng)型、情景型等，背景

2、鮮活，具有實(shí)用性和創(chuàng)造性，考查方式偏重于考查考生分析問(wèn)題、探究問(wèn)題、綜合應(yīng)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題的能力.以幾何為主的綜合題常常在一定的圖形背景下研究以下幾個(gè)方面的問(wèn)題：1、證明線段、角的數(shù)量關(guān)系（包括相等、和、差、倍、分及比例關(guān)系等）；2、證明圖形的位置關(guān)系（如點(diǎn)與線、線與線、線與圓、圓與圓的位置關(guān)系等）；3、幾何計(jì)算問(wèn)題；4、動(dòng)態(tài)幾何問(wèn)題等.【方法點(diǎn)撥】一、幾何計(jì)算型綜合問(wèn)題，常常涉及到以下各部分的知識(shí)：1、與三角形有關(guān)的知識(shí)；2、等腰三角形，等腰梯形的性質(zhì)；3、直角三角形的性質(zhì)與三角函數(shù)；4、平行四邊形的性質(zhì)；5、全等三角形，相似三角形的性質(zhì)；6、垂徑定理，切線的性質(zhì)，與正多邊形有關(guān)的計(jì)算

3、；7、弧長(zhǎng)公式與扇形面積公式.二、幾何論證型綜合題的解答過(guò)程，要注意以下幾個(gè)方面：1、注意圖形的直觀提示，注意觀察、分析圖形，把復(fù)雜的圖形分解成幾個(gè)基本圖形，通過(guò)添加輔助線補(bǔ)全或構(gòu)造基本圖形；2、注意分析挖掘題目的隱含條件、發(fā)展條件，為解題創(chuàng)造條件打好基礎(chǔ)，要由已知聯(lián)想經(jīng)驗(yàn)，由未知聯(lián)想需要，不斷轉(zhuǎn)化條件和結(jié)論來(lái)探求思路，找到解決問(wèn)題的突破點(diǎn)；3、要運(yùn)用轉(zhuǎn)化的思想解決幾何證明問(wèn)題，運(yùn)用方程的思想解決幾何計(jì)算問(wèn)題，還要靈活運(yùn)用數(shù)學(xué)思想方法如數(shù)形結(jié)合、分類討論、轉(zhuǎn)化、方程等思想來(lái)解決問(wèn)題.【典型例題】類型一、動(dòng)態(tài)幾何型問(wèn)題1（2016太原校級(jí)自主招生）如圖1，在正方形ABCD中，點(diǎn)E、F分別是邊BC

4、、AB上的點(diǎn)，且CE=BF，連接DE，過(guò)點(diǎn)E作EGDE，使EG=DE，連接FG，F(xiàn)C（1）請(qǐng)判斷：FG與CE的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系；（不要求證明）（2）如圖2，若點(diǎn)E、F分別是CB、BA延長(zhǎng)線上的點(diǎn)，其它條件不變，（1）中結(jié)論是否仍然成立？請(qǐng)出判斷判斷予以證明；（3）如圖3，若點(diǎn)E、F分別是BC、AB延長(zhǎng)線上的點(diǎn)，其它條件不變，（1）中結(jié)論是否仍然成立？請(qǐng)直接寫(xiě)出你的判斷【思路點(diǎn)撥】（1）結(jié)論：FG=CE，F(xiàn)GCE如圖1中，設(shè)DE與CF交于點(diǎn)M，首先證明CBFDCE，推出DECF，再證明四邊形EGFC是平行四邊形即可（2）結(jié)論仍然成立如圖2中，設(shè)DE與CF交于點(diǎn)M，首先證明CBFDCE，推出DE

5、CF，再證明四邊形EGFC是平行四邊形即可（3）結(jié)論仍然成立如圖3中，設(shè)DE與FC的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)M，證明方法類似【答案與解析】解：（1）結(jié)論：FG=CE，F(xiàn)GCE理由：如圖1中，設(shè)DE與CF交于點(diǎn)M四邊形ABCD是正方形，BC=CD，ABC=DCE=90，在CBF和DCE中，CBFDCE，BCF=CDE，CF=DE，BCF+DCM=90，CDE+DCM=90，CMD=90，CFDE，GEDE，EGCF，EG=DE，CF=DE，EG=CF，四邊形EGFC是平行四邊形GF=EC，GF=EC，GFEC（2）結(jié)論仍然成立理由：如圖2中，設(shè)DE與CF交于點(diǎn)M四邊形ABCD是正方形，BC=CD，ABC=D

6、CE=90，在CBF和DCE中，CBFDCE，BCF=CDE，CF=DE，BCF+DCM=90，CDE+DCM=90，CMD=90，CFDE，GEDE，EGCF，EG=DE，CF=DE，EG=CF，四邊形EGFC是平行四邊形GF=EC，GF=EC，GFEC（3）結(jié)論仍然成立理由：如圖3中，設(shè)DE與FC的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)M四邊形ABCD是正方形，BC=CD，ABC=DCE=90，CBF=DCE=90在CBF和DCE中，CBFDCE，BCF=CDE，CF=DEBCF+DCM=90，CDE+DCM=90，CMD=90，CFDE，GEDE，EGCF，EG=DE，CF=DE，EG=CF，四邊形EGFC是平行

7、四邊形GF=EC，GF=EC，GFEC【總結(jié)升華】本題考查四邊形綜合題、正方形的性質(zhì)、平行四邊形的判定和性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是正確尋找全等三角形，注意這類題目的解題規(guī)律，圖形變了，條件不變，證明的方法思路完全一樣，屬于中考?？碱}型舉一反三：【變式】已知：如圖（1），射線射線，是它們的公垂線，點(diǎn)、分別在、上運(yùn)動(dòng)（點(diǎn)與點(diǎn)不重合、點(diǎn)與點(diǎn)不重合），是邊上的動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)與、不重合），在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中始終保持，且（1）求證：；（2）如圖（2），當(dāng)點(diǎn)為邊的中點(diǎn)時(shí)，求證：；（3）設(shè)，請(qǐng)?zhí)骄浚旱闹荛L(zhǎng)是否與值有關(guān)？若有關(guān)，請(qǐng)用含有的代數(shù)式表示的周長(zhǎng)；若無(wú)關(guān)，請(qǐng)說(shuō)明理由 【答案】（1）證明：， 又

8、， （2）證明：如圖，過(guò)點(diǎn)作，交于點(diǎn)， 是的中點(diǎn)，容易證明 在中， ， （3）解：的周長(zhǎng)， 設(shè)，則 ， 即 由（1）知， 的周長(zhǎng)的周長(zhǎng) 的周長(zhǎng)與值無(wú)關(guān) 2在ABC中，ACB=45點(diǎn)D（與點(diǎn)B、C不重合）為射線BC上一動(dòng)點(diǎn)，連接AD，以AD為一邊且在AD的右側(cè)作正方形ADEF（1）如果AB=AC如圖，且點(diǎn)D在線段BC上運(yùn)動(dòng)試判斷線段CF與BD之間的位置關(guān)系，并證明你的結(jié)論（2）如果ABAC，如圖，且點(diǎn)D在線段BC上運(yùn)動(dòng)（1）中結(jié)論是否成立，為什么？（3）若正方形ADEF的邊DE所在直線與線段CF所在直線相交于點(diǎn)P，設(shè)AC，CD=，求線段CP的長(zhǎng)（用含的式子表示） 【思路點(diǎn)撥】(1)由題干可以發(fā)現(xiàn)

9、，正方形中四條邊的垂直關(guān)系是不動(dòng)的，于是利用角度的互余關(guān)系進(jìn)行傳遞，就可以得解.(2)是典型的從特殊到一般的問(wèn)法，那么思路很簡(jiǎn)單，就是從一般中構(gòu)筑一個(gè)特殊的條件就行，和上題一樣找AC的垂線，就可以變成第一問(wèn)的條件，然后一樣求解.(3)D在BC之間運(yùn)動(dòng)和它在BC延長(zhǎng)線上運(yùn)動(dòng)時(shí)的位置是不一樣的，所以已給的線段長(zhǎng)度就需要分情況去考慮到底是4+X還是4-X.分類討論之后利用相似三角形的比例關(guān)系即可求出CP.【答案與解析】（1）結(jié)論：CFBD； 證明如下：AB=AC ，ACB=45，ABC=45由正方形ADEF得 AD=AF ，DAF=BAC =90， DAB=FAC，DABFAC ， ACF=ABDB

10、CF=ACB+ACF= 90即 CFBD（2）CFBD(1)中結(jié)論仍成立 理由是：過(guò)點(diǎn)A作AGAC交BC于點(diǎn)G，AC=AG可證：GADCAF ACF=AGD=45 BCF=ACB+ACF= 90 即CFBD （3）過(guò)點(diǎn)A作AQBC交CB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)Q， 點(diǎn)D在線段BC上運(yùn)動(dòng)時(shí)，BCA=45，可求出AQ= CQ=4DQ=4-x，易證AQDDCP， ， 點(diǎn)D在線段BC延長(zhǎng)線上運(yùn)動(dòng)時(shí)，BCA=45，AQ=CQ=4，DQ=4+x過(guò)A作AQBC，Q=FQC=90，ADQ=AFC，則AQDACFCFBD，AQDDCP，, ,【總結(jié)升華】此題綜合性強(qiáng)，需要綜合運(yùn)用全等、相似、正方形等知識(shí)點(diǎn)，屬能力拔高性的題

11、目3（2015河南模擬）如圖，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為6，點(diǎn)E是射線BC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接AE并延長(zhǎng)，交射線DC于點(diǎn)F，將ABE沿直線AE翻折，點(diǎn)B坐在點(diǎn)B處自主探究：（1）當(dāng)=1時(shí)，如圖1，延長(zhǎng)AB，交CD于點(diǎn)MCF的長(zhǎng)為 ；判斷AM與FM的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論（2）當(dāng)點(diǎn)B恰好落在對(duì)角線AC上時(shí)，如圖2，此時(shí)CF的長(zhǎng)為 ，= 拓展運(yùn)用：（3）當(dāng)=2時(shí)，求sinDAB的值【思路點(diǎn)撥】（1）利用相似三角形的判定與性質(zhì)得出FC=AB即可得出答案；利用翻折變換的性質(zhì)得出BAF=MAF，進(jìn)而得出AM=FM；（2）根據(jù)翻折變換的性質(zhì)得出BAE=MAF，進(jìn)而得出AM=MF，利用ABEFCE得出答案即可；

12、（3）根據(jù)如圖1，當(dāng)點(diǎn)E在線段BC上時(shí)，延長(zhǎng)AB交DC邊于點(diǎn)M，如圖3，當(dāng)點(diǎn)E在線段BC的延長(zhǎng)線上時(shí)，延長(zhǎng)AD交BE于點(diǎn)N，分別利用勾股定理求出即可【答案與解析】解：（1）當(dāng)=1時(shí)，ABFC，ABEFCE，=1，F(xiàn)C=AB=6，AM=FM，理由如下：四邊形ABCD是正方形，ABDC，BAF=AFC，ABE沿直線AE翻折得到ABE，BAF=MAF，MAF=AFC，AM=FM；（2）如圖2，當(dāng)點(diǎn)B恰好落在對(duì)角線AC上時(shí)，1=2，ABFC，1=F，2=F，AC=FC，AB=BC=6，AC=FC=6，ABFC，ABEFCE，=，（3）如圖1，當(dāng)點(diǎn)E在線段BC上時(shí)，延長(zhǎng)AB交DC邊于點(diǎn)M，ABCF，AB

13、EFCE，=2，AB=6，CF=3，DF=CD+CF=9，由（1）知：AM=FM，AM=FM=9DM，在RtADM中，由勾股定理得：DM2=（9DM）262，解得：DM=，則MA=，sinDAB=，如圖3，當(dāng)點(diǎn)E在線段BC的延長(zhǎng)線上時(shí)，延長(zhǎng)AD交BE于點(diǎn)N，由（1）知：AN=EN，又BE=BE=12，NA=NE=12BN，在RtABN中，由勾股定理得：BN2=（12BN）262，解得：BN=，AN=，sinDAB=故答案為：6；6，【總結(jié)升華】此題主要考查了翻折變換的性質(zhì)以及相似三角形的判定與性質(zhì)和勾股定理等知識(shí)，熟練利用相關(guān)性質(zhì)和進(jìn)行分類討論得出是解題關(guān)鍵類型二、幾何計(jì)算型問(wèn)題4已知如圖，在

14、梯形中，點(diǎn)是的中點(diǎn)，是等邊三角形（1）求證：梯形是等腰梯形；（2）動(dòng)點(diǎn)、分別在線段和上運(yùn)動(dòng)，且保持不變?cè)O(shè)求與的函數(shù)關(guān)系式；（3）在（2）中，當(dāng)取最小值時(shí)，判斷的形狀，并說(shuō)明理由 【思路點(diǎn)撥】（1）屬于純靜態(tài)問(wèn)題，只要證兩邊的三角形全等就可以了.(2)是雙動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題，所以就需要研究在P,Q運(yùn)動(dòng)過(guò)程中什么東西是不變的.題目給定MPQ=60，其實(shí)就是將靜態(tài)的那個(gè)等邊三角形與動(dòng)態(tài)條件聯(lián)系了起來(lái).因?yàn)樽罱K求兩條線段的關(guān)系,所以很自然想到要通過(guò)相似三角形找比例關(guān)系.(3)條件又回歸了當(dāng)動(dòng)點(diǎn)靜止時(shí)的問(wèn)題，由第二問(wèn)所得的二次函數(shù)，很輕易就可以求出當(dāng)x取對(duì)稱軸的值時(shí)y有最小值，接下來(lái)就變成了“給定PC=2，求PQ

15、C形狀”的問(wèn)題了，由已知的BC=4，自然看出P是中點(diǎn)，于是問(wèn)題輕松求解.【答案與解析】（1）證明：是等邊三角形是中點(diǎn) 梯形是等腰梯形（2）解：在等邊中， （3）解：為直角三角形，當(dāng)取最小值時(shí)，是的中點(diǎn)，而為直角三角形.【總結(jié)升華】以上題目是動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題，這一類問(wèn)題的關(guān)鍵就在于當(dāng)動(dòng)點(diǎn)移動(dòng)中出現(xiàn)特殊條件，例如某邊相等，某角固定時(shí)，將動(dòng)態(tài)問(wèn)題化為靜態(tài)問(wèn)題去求解.如果沒(méi)有特殊條件，那么就需要研究在動(dòng)點(diǎn)移動(dòng)中哪些條件是保持不變的.舉一反三：【變式】已知：如圖，N、M是以O(shè)為圓心，1為半徑的圓上的兩點(diǎn)，B是上一動(dòng)點(diǎn)（B不與點(diǎn)M、N重合），MON=90，BAOM于點(diǎn)A，BCON于點(diǎn)C，點(diǎn)D、E、F、G分別是線段

16、OA、AB、BC、CO的中點(diǎn)，GF與CE相交于點(diǎn)P，DE與AG相交于點(diǎn)Q（1）四邊形EPGQ （填“是”或者“不是”）平行四邊形；（2）若四邊形EPGQ是矩形，求OA的值. 【答案】（1）是證明：連接OB，如圖，BAOM，BCON，BAO=BCO=90，AOC=90，四邊形OABC是矩形ABOC，AB=OC，E、G分別是AB、CO的中點(diǎn)，AEGC，AE=GC，四邊形AECG為平行四邊形CEAG，點(diǎn)D、E、F、G分別是線段OA、AB、BC、CO的中點(diǎn)，GFOB，DEOB，PGEQ，四邊形EPGQ是平行四邊形；（2）解：如圖， 口EPGQ是矩形 AED+CEB=90 又DAE=EBC=90， AE

17、D=BCE AEDBCE， ， 設(shè)OA=x，AB=y，則 得y2=2x2， 又OA2+AB2=OB2， 即x2+y2=12 x2+2x2=1， 解得：x= 即當(dāng)四邊形EPGQ是矩形時(shí)，OA的長(zhǎng)度為5在中，過(guò)點(diǎn)C作CECD交AD于點(diǎn)E,將線段EC繞點(diǎn)E逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到線段EF(如圖1)（1）在圖1中畫(huà)圖探究：當(dāng)P為射線CD上任意一點(diǎn)（P1不與C重合）時(shí)，連結(jié)EP1繞點(diǎn)E逆時(shí)針旋轉(zhuǎn) 得到線段EC1.判斷直線FC1與直線CD的位置關(guān)系，并加以證明；當(dāng)P2為線段DC的延長(zhǎng)線上任意一點(diǎn)時(shí)，連結(jié)EP2,將線段EP2繞點(diǎn)E 逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到線段EC2.判斷直線C1C2與直線CD的位置關(guān)系，畫(huà)出圖形并直接寫(xiě)出你的

18、結(jié)論.（2）若AD=6,tanB=,AE=1,在的條件下，設(shè)CP1=，S=，求與之間的函數(shù)關(guān)系式，并寫(xiě)出自變量的取值范圍. 圖1 備用圖【思路點(diǎn)撥】(1)本題在于如何把握這個(gè)旋轉(zhuǎn)90的條件.旋轉(zhuǎn)90自然就是垂直關(guān)系，于是出現(xiàn)了一系列直角三角形，于是證角、證線就手到擒來(lái)了.(2)是利用平行關(guān)系建立函數(shù)式，但是不要忘記分類討論.【答案與解析】（1）直線與直線的位置關(guān)系為互相垂直證明：如圖1，設(shè)直線與直線的交點(diǎn)為FDFDCBAE圖1G2G1P1HP2線段分別繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90依次得到線段，按題目要求所畫(huà)圖形見(jiàn)圖1，直線與直線的位置關(guān)系為互相垂直（2）四邊形是平行四邊形，可得由（1）可得四邊形為正方形如圖2，當(dāng)點(diǎn)在線段的延長(zhǎng)線上時(shí)， DDG1P1HCBAEF圖2，如圖3，當(dāng)點(diǎn)在線段上（不與兩點(diǎn)重合）時(shí)，F(xiàn)FG1P1CABEDH圖3，當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí)，即時(shí)，不存在綜上所述，與之間的函數(shù)關(guān)系式及自變量的取值范圍是或【總結(jié)升華】本題著重考查了二次函數(shù)的解析式、圖形的旋轉(zhuǎn)變換、三角形全等、探究垂直的構(gòu)成情況等重要知識(shí)點(diǎn)，綜合性強(qiáng)，能力要求較高考查學(xué)生分類