清華大學(xué)2021年自主招生數(shù)學(xué)試題(掃描版)

1、2019年清華大學(xué)自主招生數(shù)學(xué)試題3己知F為單位圓上一動(dòng)點(diǎn)，4(0,2).3(0,-1).APXBP2的最大值解*設(shè)P(cosa,sina)在S=APX|BP2=/cos2a+(sina2)2cos2a+(l+sina)2整理可得由三元均值不等式可知由三元均值不等式可知當(dāng)且僅當(dāng)slna=|時(shí).竽號(hào)成立，則APXBP2的最大值為4.AB為圓0的直徑，CO丄AB.M為AC中點(diǎn).謝丄MB、則下列選項(xiàng)正確的是()A.AM=2OHB.AH=2OHC.BOHBMAD.忘記解：設(shè)圓A.AM=2OHB.AH=2OHC.BOHBMAD.忘記解：設(shè)圓O的半徑為2,易知=BH=,AM=CM=y/2,BC=2y/l在

2、OBE與中，由余弦定理可知cosZABAf=16+10-2cosZABAf=16+10-28阿4+鈴-血Vio解得OH=AM豐2OH.選項(xiàng)4錯(cuò)誤在HAHC中.由中線定理可知如+蠱=壽+4解得則AH=2OH,選項(xiàng)3正確而鴿=欝=鋁=齋所TRs&MA.選項(xiàng)C正確綜上所述：選為B,C5.A=1,2,3,-,15),B=(x)=/(!/).5組f)=/)，則此時(shí)“好對(duì)”有02+62+2對(duì).且血+b+C2=15則由柯西不等式可知成+磧+昭S+7+*=75依次可得，易知當(dāng)對(duì)應(yīng)占中有5個(gè)元素時(shí)，此時(shí)“好對(duì)”的最小值為45,當(dāng)且僅當(dāng)4中每3個(gè)元素対應(yīng)E中一個(gè)元素時(shí)，等號(hào)咸立則“好對(duì)”的個(gè)數(shù)的最小值為45氐若對(duì)

3、VceJ?,m隔詆使得半三伴=丁)成立，則稱函數(shù)g滿足性質(zhì)下列函數(shù)不滿足性庾于的是0時(shí).則由四元均值不尊式可知當(dāng)HKcosict-時(shí)，等號(hào)成立+所以閡為乳時(shí)為奇函數(shù)。選項(xiàng):f(x)=cl+SFQwR.不禍足題意Q選項(xiàng).=3cdfl(2t+l),f(x)e-1,1,f(r)e-2,2，不満足題意綜上所述：選乩B9.圓滬十護(hù)=4上一點(diǎn)跖魯處的切線交拋物踐護(hù)=血于厶B兩點(diǎn),且滿足ZAOB=a.其中0為坐標(biāo)原點(diǎn).求航解：因?yàn)閆AOB=90T所以直線恒過定點(diǎn)(8,0)，而切線方程為則解得1G.設(shè)a為須創(chuàng)加各位數(shù)字和，b是血的各位數(shù)字之和卩(:為b的各位數(shù)字之科L求疋的値解】固為1000444441110M04.則3X4444Ig444444444x4444則a0時(shí)此時(shí)f=24L易Snef+g）i令=亡眈務(wù)吃務(wù)專）*則尸=亦卜+春）（歯悄形三：當(dāng)z0時(shí),此時(shí)”占劇知