2021-2022學(xué)年山西省晉中市祁縣高三第五次模擬考試數(shù)學(xué)試卷含解析

1、2021-2022高考數(shù)學(xué)模擬試卷考生請注意：1答題前請將考場、試室號、座位號、考生號、姓名寫在試卷密封線內(nèi)，不得在試卷上作任何標(biāo)記。2第一部分選擇題每小題選出答案后，需將答案寫在試卷指定的括號內(nèi)，第二部分非選擇題答案寫在試卷題目指定的位置上。3考生必須保證答題卡的整潔?？荚嚱Y(jié)束后，請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1已知非零向量，滿足，則“”是“”的（ ）A充分不必要條件B必要不充分條件C充要條件D既不充分也不必要條件解:2設(shè)Py |yx21，xR，Qy |y2x，xR，則AP QBQ PCQDQ

2、 3下列函數(shù)中，在區(qū)間上單調(diào)遞減的是（ ）ABC D4學(xué)業(yè)水平測試成績按照考生原始成績從高到低分為、五個(gè)等級某班共有名學(xué)生且全部選考物理、化學(xué)兩科，這兩科的學(xué)業(yè)水平測試成績?nèi)鐖D所示該班學(xué)生中，這兩科等級均為的學(xué)生有人，這兩科中僅有一科等級為的學(xué)生，其另外一科等級為，則該班（ ）A物理化學(xué)等級都是的學(xué)生至多有人B物理化學(xué)等級都是的學(xué)生至少有人C這兩科只有一科等級為且最高等級為的學(xué)生至多有人D這兩科只有一科等級為且最高等級為的學(xué)生至少有人5如圖所示，矩形的對角線相交于點(diǎn)，為的中點(diǎn)，若，則等于（ ）ABCD6復(fù)數(shù)，若復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)關(guān)于虛軸對稱，則等于（ ）ABCD7如圖，在中， ，是上的一點(diǎn)

3、，若，則實(shí)數(shù)的值為（ ）ABCD8已知函數(shù)在上都存在導(dǎo)函數(shù)，對于任意的實(shí)數(shù)都有，當(dāng)時(shí)，若，則實(shí)數(shù)的取值范圍是( )ABCD9若復(fù)數(shù)滿足，則( )ABCD10根據(jù)黨中央關(guān)于“精準(zhǔn)”脫貧的要求，我市某農(nóng)業(yè)經(jīng)濟(jì)部門派四位專家對三個(gè)縣區(qū)進(jìn)行調(diào)研，每個(gè)縣區(qū)至少派一位專家，則甲，乙兩位專家派遣至同一縣區(qū)的概率為（）ABCD11波羅尼斯（古希臘數(shù)學(xué)家，的公元前262-190年）的著作圓錐曲線論是古代世界光輝的科學(xué)成果，它將圓錐曲線的性質(zhì)網(wǎng)羅殆盡，幾乎使后人沒有插足的余地他證明過這樣一個(gè)命題：平面內(nèi)與兩定點(diǎn)距離的比為常數(shù)k（k0，且k1）的點(diǎn)的軌跡是圓，后人將這個(gè)圓稱為阿波羅尼斯圓現(xiàn)有橢圓=1（ab0），A，

4、B為橢圓的長軸端點(diǎn)，C，D為橢圓的短軸端點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)M滿足=2，MAB面積的最大值為8，MCD面積的最小值為1，則橢圓的離心率為（）ABCD12雙曲線：（，）的一個(gè)焦點(diǎn)為（），且雙曲線的兩條漸近線與圓：均相切，則雙曲線的漸近線方程為（ ）ABCD二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13在一次體育水平測試中，甲、乙兩校均有100名學(xué)生參加，其中:甲校男生成績的優(yōu)秀率為70%，女生成績的優(yōu)秀率為50%;乙校男生成績的優(yōu)秀率為60%，女生成績的優(yōu)秀率為40%.對于此次測試，給出下列三個(gè)結(jié)論:甲校學(xué)生成績的優(yōu)秀率大于乙校學(xué)生成績的優(yōu)秀率;甲、乙兩校所有男生成績的優(yōu)秀率大于甲、乙兩校所有女生成績

5、的優(yōu)秀率;甲校學(xué)生成績的優(yōu)秀率與甲、乙兩校所有學(xué)生成績的優(yōu)秀率的大小關(guān)系不確定.其中，所有正確結(jié)論的序號是_.14在中，已知，則A的值是_.15在中，角的對邊分別為，且若為鈍角，則的面積為_16如圖，棱長為2的正方體中，點(diǎn)分別為棱的中點(diǎn)，以為圓心，1為半徑，分別在面和面內(nèi)作弧和，并將兩弧各五等分，分點(diǎn)依次為、以及、一只螞蟻欲從點(diǎn)出發(fā)，沿正方體的表面爬行至，則其爬行的最短距離為_參考數(shù)據(jù)：；）三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17（12分）已知函數(shù)，不等式的解集為.（1）求實(shí)數(shù)，的值；（2）若，求證：.18（12分）如圖為某大江的一段支流，岸線與近似滿足，寬度為圓為江

6、中的一個(gè)半徑為的小島，小鎮(zhèn)位于岸線上，且滿足岸線，現(xiàn)計(jì)劃建造一條自小鎮(zhèn)經(jīng)小島至對岸的水上通道（圖中粗線部分折線段，在右側(cè)），為保護(hù)小島，段設(shè)計(jì)成與圓相切設(shè) （1）試將通道的長表示成的函數(shù)，并指出定義域；（2）若建造通道的費(fèi)用是每公里100萬元，則建造此通道最少需要多少萬元？19（12分）在直角坐標(biāo)系中，曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)，為實(shí)數(shù)）以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線的極坐標(biāo)方程為，曲線與曲線交于，兩點(diǎn)，線段的中點(diǎn)為 （1）求線段長的最小值； （2）求點(diǎn)的軌跡方程20（12分）在開展學(xué)習(xí)強(qiáng)國的活動(dòng)中，某校高三數(shù)學(xué)教師成立了黨員和非黨員兩個(gè)學(xué)習(xí)組，其中黨員學(xué)習(xí)組有4名男教師、

7、1名女教師，非黨員學(xué)習(xí)組有2名男教師、2名女教師，高三數(shù)學(xué)組計(jì)劃從兩個(gè)學(xué)習(xí)組中隨機(jī)各選2名教師參加學(xué)校的挑戰(zhàn)答題比賽.（1）求選出的4名選手中恰好有一名女教師的選派方法數(shù)；（2）記X為選出的4名選手中女教師的人數(shù)，求X的概率分布和數(shù)學(xué)期望.21（12分）如圖，平面分別是上的動(dòng)點(diǎn)，且.（1）若平面與平面的交線為，求證：；（2）當(dāng)平面平面時(shí)，求平面與平面所成的二面角的余弦值.22（10分）已知，分別是三個(gè)內(nèi)角，的對邊，（1）求；（2）若，求，參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1C【解析】根據(jù)向量的數(shù)量積運(yùn)算，由向量的關(guān)系，

8、可得選項(xiàng).【詳解】，等價(jià)于，故選：C.【點(diǎn)睛】本題考查向量的數(shù)量積運(yùn)算和命題的充分、必要條件，屬于基礎(chǔ)題.2C【解析】解：因?yàn)镻 =y|y=-x2+1，xR=y|y1，Q =y| y=2x，xR =y|y0,因此選C3C【解析】由每個(gè)函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，即可得到本題答案.【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)和在遞增，而在遞減.故選：C【點(diǎn)睛】本題主要考查常見簡單函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，屬基礎(chǔ)題.4D【解析】根據(jù)題意分別計(jì)算出物理等級為，化學(xué)等級為的學(xué)生人數(shù)以及物理等級為，化學(xué)等級為的學(xué)生人數(shù)，結(jié)合表格中的數(shù)據(jù)進(jìn)行分析，可得出合適的選項(xiàng).【詳解】根據(jù)題意可知，名學(xué)生減去名全和一科為另一科為的學(xué)生人（其中物理化學(xué)的有人，物理化學(xué)

9、的有人），表格變?yōu)椋何锢砘瘜W(xué)對于A選項(xiàng)，物理化學(xué)等級都是的學(xué)生至多有人，A選項(xiàng)錯(cuò)誤；對于B選項(xiàng)，當(dāng)物理和，化學(xué)都是時(shí)，或化學(xué)和，物理都是時(shí)，物理、化學(xué)都是的人數(shù)最少，至少為（人），B選項(xiàng)錯(cuò)誤；對于C選項(xiàng)，在表格中，除去物理化學(xué)都是的學(xué)生，剩下的都是一科為且最高等級為的學(xué)生，因?yàn)槎际堑膶W(xué)生最少人，所以一科為且最高等級為的學(xué)生最多為（人），C選項(xiàng)錯(cuò)誤；對于D選項(xiàng)，物理化學(xué)都是的最多人，所以兩科只有一科等級為且最高等級為的學(xué)生最少（人），D選項(xiàng)正確.故選：D.【點(diǎn)睛】本題考查合情推理，考查推理能力，屬于中等題.5A【解析】由平面向量基本定理，化簡得，所以，即可求解，得到答案【詳解】由平面向量基本定理

10、，化簡，所以，即，故選A【點(diǎn)睛】本題主要考查了平面向量基本定理的應(yīng)用，其中解答熟記平面向量的基本定理，化簡得到是解答的關(guān)鍵，著重考查了運(yùn)算與求解能力，數(shù)基礎(chǔ)題6A【解析】先通過復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)關(guān)于虛軸對稱，得到，再利用復(fù)數(shù)的除法求解.【詳解】因?yàn)閺?fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)關(guān)于虛軸對稱，且復(fù)數(shù)，所以所以故選：A【點(diǎn)睛】本題主要考查復(fù)數(shù)的基本運(yùn)算和幾何意義，屬于基礎(chǔ)題.7B【解析】變形為，由得，轉(zhuǎn)化在中，利用三點(diǎn)共線可得.【詳解】解：依題： ，又三點(diǎn)共線，解得故選：【點(diǎn)睛】本題考查平面向量基本定理及用向量共線定理求參數(shù). 思路是(1)先選擇一組基底，并運(yùn)用該基底將條件和結(jié)論表示成向量的形式，再通

11、過向量的運(yùn)算來解決.利用向量共線定理及向量相等的條件列方程(組)求參數(shù)的值. (2)直線的向量式參數(shù)方程： 三點(diǎn)共線 (為平面內(nèi)任一點(diǎn),)8B【解析】先構(gòu)造函數(shù)，再利用函數(shù)奇偶性與單調(diào)性化簡不等式，解得結(jié)果.【詳解】令，則當(dāng)時(shí)，又，所以為偶函數(shù)， 從而等價(jià)于，因此選B.【點(diǎn)睛】本題考查利用函數(shù)奇偶性與單調(diào)性求解不等式，考查綜合分析求解能力，屬中檔題.9C【解析】化簡得到，再計(jì)算復(fù)數(shù)模得到答案.【詳解】，故，故，.故選：.【點(diǎn)睛】本題考查了復(fù)數(shù)的化簡，共軛復(fù)數(shù)，復(fù)數(shù)模，意在考查學(xué)生的計(jì)算能力.10A【解析】每個(gè)縣區(qū)至少派一位專家，基本事件總數(shù)，甲，乙兩位專家派遣至同一縣區(qū)包含的基本事件個(gè)數(shù)，由此

12、能求出甲，乙兩位專家派遣至同一縣區(qū)的概率.【詳解】派四位專家對三個(gè)縣區(qū)進(jìn)行調(diào)研，每個(gè)縣區(qū)至少派一位專家基本事件總數(shù)：甲，乙兩位專家派遣至同一縣區(qū)包含的基本事件個(gè)數(shù)：甲，乙兩位專家派遣至同一縣區(qū)的概率為：本題正確選項(xiàng)：【點(diǎn)睛】本題考查概率的求法，考查古典概型等基礎(chǔ)知識，考查運(yùn)算求解能力，是基礎(chǔ)題.11D【解析】求得定點(diǎn)M的軌跡方程可得，解得a，b即可.【詳解】設(shè)A（-a，0），B（a，0），M（x，y）動(dòng)點(diǎn)M滿足=2，則 =2，化簡得.MAB面積的最大值為8，MCD面積的最小值為1， ，解得，橢圓的離心率為故選D【點(diǎn)睛】本題考查了橢圓離心率，動(dòng)點(diǎn)軌跡，屬于中檔題12A【解析】根據(jù)題意得到，化簡得

13、到，得到答案.【詳解】根據(jù)題意知：焦點(diǎn)到漸近線的距離為，故，故漸近線為.故選：.【點(diǎn)睛】本題考查了直線和圓的位置關(guān)系，雙曲線的漸近線，意在考查學(xué)生的計(jì)算能力和轉(zhuǎn)化能力.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13【解析】根據(jù)局部頻率和整體頻率的關(guān)系，依次判斷每個(gè)選項(xiàng)得到答案.【詳解】不能確定甲乙兩校的男女比例，故不正確；因?yàn)榧滓覂尚５哪猩膬?yōu)秀率均大于女生成績的優(yōu)秀率，故甲、乙兩校所有男生成績的優(yōu)秀率大于甲、乙兩校所有女生成績的優(yōu)秀率，故正確；因?yàn)椴荒艽_定甲乙兩校的男女比例，故不能確定甲校學(xué)生成績的優(yōu)秀率與甲、乙兩校所有學(xué)生成績的優(yōu)秀率的大小關(guān)系，故正確.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查局

14、部頻率和整體頻率的關(guān)系，意在考查學(xué)生的理解能力和應(yīng)用能力.14【解析】根據(jù)正弦定理，由可得，由可得，將代入求解即得.【詳解】，即，則，則.故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查正弦定理和二倍角的正弦公式，是基礎(chǔ)題.15【解析】轉(zhuǎn)化為，利用二倍角公式可求解得，結(jié)合余弦定理可得b，再利用面積公式可得解.【詳解】因?yàn)?，所以又因?yàn)椋覟殇J角，所以由余弦定理得，即，解得，所以故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查了正弦定理和余弦定理的綜合應(yīng)用，考查了學(xué)生綜合分析，轉(zhuǎn)化劃歸，數(shù)學(xué)運(yùn)算的能力，屬于中檔題.16【解析】根據(jù)空間位置關(guān)系，將平面旋轉(zhuǎn)后使得各點(diǎn)在同一平面內(nèi)，結(jié)合角的關(guān)系即可求得兩點(diǎn)間距離的三角函數(shù)表達(dá)式.根據(jù)所給參考數(shù)據(jù)

15、即可得解.【詳解】棱長為2的正方體中，點(diǎn)分別為棱的中點(diǎn)，以為圓心，1為半徑，分別在面和面內(nèi)作弧和.將平面繞旋轉(zhuǎn)至與平面共面的位置，如下圖所示：則，所以；將平面繞旋轉(zhuǎn)至與平面共面的位置，將繞旋轉(zhuǎn)至與平面共面的位置，如下圖所示：則，所以；因?yàn)?，且由誘導(dǎo)公式可得，所以最短距離為，故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查了空間幾何體中最短距離的求法，注意將空間幾何體展開至同一平面內(nèi)求解的方法，三角函數(shù)誘導(dǎo)公式的應(yīng)用，綜合性強(qiáng)，屬于難題.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17（1），.（2）見解析【解析】（1）分三種情況討論即可（2）將，的值代入，然后利用均值定理即可.【詳解】解：（1）

16、不等式可化為.即有或或.解得，或或.所以不等式的解集為，故，.（2）由（1）知，即，由，得，當(dāng)且僅當(dāng)，即，時(shí)等號成立.故，即.【點(diǎn)睛】考查絕對值不等式的解法以及用均值定理證明不等式，中檔題.18（1），定義域是（2）百萬【解析】（1）以為原點(diǎn)，直線為軸建立如圖所示的直角坐標(biāo)系，設(shè)，利用直線與圓相切得到，再代入這一關(guān)系中，即可得答案；（2）利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最小值，即可得答案；【詳解】以為原點(diǎn)，直線為軸建立如圖所示的直角坐標(biāo)系 設(shè)，則，因?yàn)椋灾本€的方程為，即，因?yàn)閳A與相切，所以，即，從而得，在直線的方程中，令，得，所以，所以當(dāng)時(shí)，設(shè)銳角滿足，則，所以關(guān)于的函數(shù)是，定義域是（2）要使建造此通道費(fèi)

17、用最少，只要通道的長度即最小令，得，設(shè)銳角，滿足，得列表：0減極小值增所以時(shí)，所以建造此通道的最少費(fèi)用至少為百萬元【點(diǎn)睛】本題考查三角函數(shù)模型的實(shí)際應(yīng)用、利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最小值，考查函數(shù)與方程思想、轉(zhuǎn)化與化歸思想，考查邏輯推理能力、運(yùn)算求解能力.19（1）（2）【解析】（1）將曲線的方程化成直角坐標(biāo)方程為，當(dāng)時(shí)，線段取得最小值，利用幾何法求弦長即可.（2）當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)不重合時(shí)，設(shè)，由利用向量的數(shù)量積等于可求解，最后驗(yàn)證當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí)也滿足.【詳解】解曲線的方程化成直角坐標(biāo)方程為即圓心，半徑，曲線為過定點(diǎn)的直線，易知在圓內(nèi)，當(dāng)時(shí)，線段長最小為當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)不重合時(shí)，設(shè)， 化簡得當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí)，也滿足上式，

18、故點(diǎn)的軌跡方程為【點(diǎn)睛】本題考查了極坐標(biāo)與普通方程的互化、直線與圓的位置關(guān)系、列方程求動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程，屬于基礎(chǔ)題.20（1）28種；（2）分布見解析，.【解析】（1）分這名女教師分別來自黨員學(xué)習(xí)組與非黨員學(xué)習(xí)組，可得恰好有一名女教師的選派方法數(shù)；（2）X的可能取值為，再求出X的每個(gè)取值的概率，可得X的概率分布和數(shù)學(xué)期望.【詳解】解：（1）選出的4名選手中恰好有一名女生的選派方法數(shù)為種.（2）X的可能取值為0，1，2，3. ，.故X的概率分布為：X0123P所以.【點(diǎn)睛】本題主要考查組合數(shù)與組合公式及離散型隨機(jī)變量的期望和方差，相對不難，注意運(yùn)算的準(zhǔn)確性.21（1）見解析；（2）【解析】（1）首先由線面平行的判定定理可得平面，再由線面平行的性質(zhì)定理即可得證；（2）以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在的直線分別為軸，以過點(diǎn)且垂直于的直線為軸建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量法求出二面角的余弦值；【詳解】解：（1）由，又平面，平面，所以平面.又平面，且平面平面，故.（2）因?yàn)槠矫?，所以，又，所以平面，所以，又，所?若平面平面，則平面，所以，由且，又，所以.以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在的直線分別為軸，以過點(diǎn)且垂直于的直線為軸建立空間直角坐標(biāo)系，則 ，設(shè)則由，可得，即，所以可得，所以，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則，取，得所以易知平面