2021-2022學(xué)年吉林省長春市朝陽區(qū)吉林省高考數(shù)學(xué)押題試卷含解析

1、2021-2022高考數(shù)學(xué)模擬試卷考生請注意：1答題前請將考場、試室號、座位號、考生號、姓名寫在試卷密封線內(nèi)，不得在試卷上作任何標記。2第一部分選擇題每小題選出答案后，需將答案寫在試卷指定的括號內(nèi)，第二部分非選擇題答案寫在試卷題目指定的位置上。3考生必須保證答題卡的整潔?？荚嚱Y(jié)束后，請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1已知復(fù)數(shù)滿足，其中為虛數(shù)單位，則（ ）ABCD2已知集合則（ ）ABCD3已知函數(shù)若關(guān)于的方程有六個不相等的實數(shù)根，則實數(shù)的取值范圍為（ ）ABCD4函數(shù)的圖象大致是（）ABCD5下列

2、說法正確的是（ ）A命題“，”的否定形式是“，”B若平面，滿足，則C隨機變量服從正態(tài)分布（），若，則D設(shè)是實數(shù)，“”是“”的充分不必要條件6函數(shù)的定義域為（ ）ABCD7下列命題中，真命題的個數(shù)為（ ）命題“若，則”的否命題；命題“若，則或”；命題“若，則直線與直線平行”的逆命題.A0B1C2D38若，則函數(shù)在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增的概率是（ ）A B C D9某四棱錐的三視圖如圖所示，則該四棱錐的表面積為（ ）A8BCD10已知正四面體外接球的體積為，則這個四面體的表面積為（ ）ABCD11已知定義在上的函數(shù)滿足，且當時，.設(shè)在上的最大值為（），且數(shù)列的前項的和為.若對于任意正整數(shù)不等式恒成立，則實

3、數(shù)的取值范圍為（ ）ABCD12設(shè)為虛數(shù)單位，為復(fù)數(shù)，若為實數(shù)，則（ ）ABCD二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13成都市某次高三統(tǒng)考，成績X經(jīng)統(tǒng)計分析，近似服從正態(tài)分布，且，若該市有人參考，則估計成都市該次統(tǒng)考中成績大于分的人數(shù)為_14如圖是由3個全等的三角形與中間的一個小等邊三角形拼成的一個大等邊三角形，設(shè)， ，則的面積為_.15從2、3、5、7、11、13這六個質(zhì)數(shù)中任取兩個數(shù)，這兩個數(shù)的和仍是質(zhì)數(shù)的概率是_（結(jié)果用最簡分數(shù)表示）16在中，內(nèi)角A，B，C的對邊分別是a，b，c，且，則_.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17（12分）某學(xué)校為了

4、解全校學(xué)生的體重情況，從全校學(xué)生中隨機抽取了100 人的體重數(shù)據(jù)，得到如下頻率分布直方圖，以樣本的頻率作為總體的概率.（1）估計這100人體重數(shù)據(jù)的平均值和樣本方差；(結(jié)果取整數(shù)，同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值作代表)（2）從全校學(xué)生中隨機抽取3名學(xué)生，記為體重在的人數(shù)，求的分布列和數(shù)學(xué)期望；（3）由頻率分布直方圖可以認為，該校學(xué)生的體重近似服從正態(tài)分布.若，則認為該校學(xué)生的體重是正常的.試判斷該校學(xué)生的體重是否正常?并說明理由.18（12分）設(shè)前項積為的數(shù)列，（為常數(shù)），且是等差數(shù)列.（）求的值及數(shù)列的通項公式；（）設(shè)是數(shù)列的前項和，且，求的最小值.19（12分）如圖，已知三棱柱中，與是全

5、等的等邊三角形.（1）求證：；（2）若，求二面角的余弦值20（12分）已知函數(shù)().（1）討論的單調(diào)性；（2）若對，恒成立，求的取值范圍.21（12分）根據(jù)國家統(tǒng)計局數(shù)據(jù)，1978年至2018年我國GDP總量從0.37萬億元躍升至90萬億元，實際增長了242倍多，綜合國力大幅提升.將年份1978，1988，1998，2008，2018分別用1，2，3，4，5代替，并表示為；表示全國GDP總量，表中，.326.4741.90310209.7614.05（1）根據(jù)數(shù)據(jù)及統(tǒng)計圖表，判斷與（其中為自然對數(shù)的底數(shù)）哪一個更適宜作為全國GDP總量關(guān)于的回歸方程類型？（給出判斷即可，不必說明理由），并求出關(guān)

6、于的回歸方程.（2）使用參考數(shù)據(jù)，估計2020年的全國GDP總量.線性回歸方程中斜率和截距的最小二乘法估計公式分別為：，.參考數(shù)據(jù)：45678的近似值551484031097298122（10分）已知曲線：和：（為參數(shù)）.以原點為極點，軸的正半軸為極軸，建立極坐標系，且兩種坐標系中取相同的長度單位.（1）求曲線的直角坐標方程和的方程化為極坐標方程；（2）設(shè)與，軸交于，兩點，且線段的中點為.若射線與，交于，兩點，求，兩點間的距離.參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1A【解析】先化簡求出，即可求得答案.【詳解】因為，所以所

7、以故選：A【點睛】此題考查復(fù)數(shù)的基本運算，注意計算的準確度，屬于簡單題目.2B【解析】解對數(shù)不等式可得集合A，由交集運算即可求解.【詳解】集合解得由集合交集運算可得，故選：B.【點睛】本題考查了集合交集的簡單運算，對數(shù)不等式解法，屬于基礎(chǔ)題.3B【解析】令，則，由圖象分析可知在上有兩個不同的根，再利用一元二次方程根的分布即可解決.【詳解】令，則，如圖與頂多只有3個不同交點，要使關(guān)于的方程有六個不相等的實數(shù)根，則有兩個不同的根，設(shè)由根的分布可知，解得.故選：B.【點睛】本題考查復(fù)合方程根的個數(shù)問題，涉及到一元二次方程根的分布，考查學(xué)生轉(zhuǎn)化與化歸和數(shù)形結(jié)合的思想，是一道中檔題.4C【解析】根據(jù)函數(shù)

8、奇偶性可排除AB選項；結(jié)合特殊值，即可排除D選項.【詳解】，函數(shù)為奇函數(shù)，排除選項A，B；又當時，故選：C.【點睛】本題考查了依據(jù)函數(shù)解析式選擇函數(shù)圖象，注意奇偶性及特殊值的用法，屬于基礎(chǔ)題.5D【解析】由特稱命題的否定是全稱命題可判斷選項A；可能相交，可判斷B選項；利用正態(tài)分布的性質(zhì)可判斷選項C；或，利用集合間的包含關(guān)系可判斷選項D.【詳解】命題“，”的否定形式是“，”，故A錯誤；，則可能相交，故B錯誤；若，則，所以，故，所以C錯誤；由，得或，故“”是“”的充分不必要條件，D正確.故選：D.【點睛】本題考查命題的真假判斷，涉及到特稱命題的否定、面面相關(guān)的命題、正態(tài)分布、充分條件與必要條件等，

9、是一道容易題.6C【解析】函數(shù)的定義域應(yīng)滿足 故選C.7C【解析】否命題與逆命題是等價命題，寫出的逆命題，舉反例排除；原命題與逆否命題是等價命題，寫出的逆否命題后，利用指數(shù)函數(shù)單調(diào)性驗證正確；寫出的逆命題判，利用兩直線平行的條件容易判斷正確.【詳解】的逆命題為“若，則”，令，可知該命題為假命題，故否命題也為假命題；的逆否命題為“若且，則”，該命題為真命題，故為真命題；的逆命題為“若直線與直線平行，則”，該命題為真命題.故選：C.【點睛】本題考查判斷命題真假. 判斷命題真假的思路：(1)判斷一個命題的真假時，首先要弄清命題的結(jié)構(gòu)，即它的條件和結(jié)論分別是什么，然后聯(lián)系其他相關(guān)的知識進行判斷(2)當

10、一個命題改寫成“若，則”的形式之后，判斷這個命題真假的方法：若由“”經(jīng)過邏輯推理，得出“”，則可判定“若，則”是真命題；判定“若，則”是假命題，只需舉一反例即可8B【解析】函數(shù)在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增， ，在恒成立， 在恒成立， ， 函數(shù)在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增的概率是，故選B.9D【解析】根據(jù)三視圖還原幾何體為四棱錐，即可求出幾何體的表面積【詳解】由三視圖知幾何體是四棱錐，如圖，且四棱錐的一條側(cè)棱與底面垂直，四棱錐的底面是正方形,邊長為2,棱錐的高為2，所以，故選：【點睛】本題主要考查了由三視圖還原幾何體，棱錐表面積的計算，考查了學(xué)生的運算能力，屬于中檔題.10B【解析】設(shè)正四面體ABCD的外接球的半徑R，

11、將該正四面體放入一個正方體內(nèi)，使得每條棱恰好為正方體的面對角線，根據(jù)正方體和正四面體的外接球為同一個球計算出正方體的棱長，從而得出正四面體的棱長，最后可求出正四面體的表面積【詳解】將正四面體ABCD放在一個正方體內(nèi)，設(shè)正方體的棱長為a，如圖所示，設(shè)正四面體ABCD的外接球的半徑為R，則，得因為正四面體ABCD的外接球和正方體的外接球是同一個球，則有， 而正四面體ABCD的每條棱長均為正方體的面對角線長，所以，正四面體ABCD的棱長為，因此，這個正四面體的表面積為故選：B【點睛】本題考查球的內(nèi)接多面體，解決這類問題就是找出合適的模型將球體的半徑與幾何體的一些幾何量聯(lián)系起來，考查計算能力，屬于中檔

12、題11C【解析】由已知先求出，即，進一步可得，再將所求問題轉(zhuǎn)化為對于任意正整數(shù)恒成立，設(shè)，只需找到數(shù)列的最大值即可.【詳解】當時，則，所以，顯然當時，故，若對于任意正整數(shù)不等式恒成立，即對于任意正整數(shù)恒成立，即對于任意正整數(shù)恒成立，設(shè)，令，解得，令，解得，考慮到，故有當時，單調(diào)遞增，當時，有單調(diào)遞減，故數(shù)列的最大值為，所以.故選：C.【點睛】本題考查數(shù)列中的不等式恒成立問題，涉及到求函數(shù)解析、等比數(shù)列前n項和、數(shù)列單調(diào)性的判斷等知識，是一道較為綜合的數(shù)列題.12B【解析】可設(shè)，將化簡，得到，由復(fù)數(shù)為實數(shù)，可得，解方程即可求解【詳解】設(shè)，則.由題意有，所以.故選：B【點睛】本題考查復(fù)數(shù)的模長、除

13、法運算，由復(fù)數(shù)的類型求解對應(yīng)參數(shù)，屬于基礎(chǔ)題二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13.【解析】根據(jù)正態(tài)分布密度曲線性質(zhì)，結(jié)合求得，即可得解.【詳解】根據(jù)正態(tài)分布，且，所以故該市有人參考，則估計成都市該次統(tǒng)考中成績大于分的人數(shù)為故答案為：【點睛】此題考查正態(tài)分布密度曲線性質(zhì)的理解辨析，根據(jù)曲線的對稱性求解概率，根據(jù)總?cè)藬?shù)求解成績大于114的人數(shù).14【解析】根據(jù)個全等的三角形，得到，設(shè)，求得，利用余弦定理求得，再利用三角形的面積公式，求得三角形的面積.【詳解】由于三角形是由個全等的三角形與中間的一個小等邊三角形拼成的一個大等邊三角形，所以.在三角形中，.設(shè)，則.由余弦定理得，解得.所

14、以三角形邊長為，面積為.故答案為：【點睛】本題考查了等邊三角形的面積計算公式、余弦定理、全等三角形的性質(zhì)，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題15【解析】依據(jù)古典概型的計算公式，分別求“任取兩個數(shù)”和“任取兩個數(shù)，和是質(zhì)數(shù)”的事件數(shù)，計算即可?！驹斀狻俊叭稳蓚€數(shù)”的事件數(shù)為，“任取兩個數(shù)，和是質(zhì)數(shù)”的事件有（2,3），（2,5），（2,11）共3個，所以任取兩個數(shù)，這兩個數(shù)的和仍是質(zhì)數(shù)的概率是?！军c睛】本題主要考查古典概型的概率求法。169【解析】已知由余弦定理即可求得,由可求得,即可求得,利用正弦定理即可求得結(jié)果.【詳解】由余弦定理和，可得，得，由，由正弦定理，得.故答案為:.【點睛】本題

15、考查正余弦定理在解三角形中的應(yīng)用,難度一般.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17（1）60；25（2）見解析，2.1（3）可以認為該校學(xué)生的體重是正常的.見解析【解析】（1）根據(jù)頻率分布直方圖可求出平均值和樣本方差；（2）由題意知服從二項分布，分別求出，進而可求出分布列以及數(shù)學(xué)期望；（3）由第一問可知服從正態(tài)分布，繼而可求出的值，從而可判斷.【詳解】解：（1）（2）由已知可得從全校學(xué)生中隨機抽取1人，體重在的概率為0.7. 隨機拍取3人，相當于3次獨立重復(fù)實驗，隨機交量服從二項分布，則，所以的分布列為：01230.0270.1890.4410.343數(shù)學(xué)期望（3）

16、由題意知服從正態(tài)分布，則，所以可以認為該校學(xué)生的體重是正常的.【點睛】本題考查了由頻率分布直方圖求進行數(shù)據(jù)估計，考查了二項分布，考查了正態(tài)分布.注意，統(tǒng)計類問題，如果題目中沒有特殊說明，則求出數(shù)據(jù)的精度和題目中數(shù)據(jù)的小數(shù)后位數(shù)相同.18（），；（）【解析】（）當時，由，得到，兩邊同除以，得到.再根據(jù)是等差數(shù)列.求解.（），根據(jù)前n項和的定義得到，令，研究其增減性即可.【詳解】（）當時，所以，即，所以.因為是等差數(shù)列.，所以， ，令，所以，即；（），所以，令，所以 ，即，所以數(shù)列是遞增數(shù)列，所以，即.【點睛】本題主要考查等差數(shù)列的定義，前n項和以及數(shù)列的增減性，還考查了轉(zhuǎn)化化歸的思想和運算求解的

17、能力，屬于中檔題.19（1）證明見解析；（2）【解析】（1）取BC的中點O，則，由是等邊三角形，得，從而得到平面，由此能證明（2）以，所在直線分別為x，y，z軸建立空間直角坐標系，利用向量法求得二面角的余弦值，得到結(jié)果.【詳解】（1）取BC的中點O，連接，由于與是等邊三角形，所以有，且，所以平面，平面，所以（2）設(shè)，是全等的等邊三角形，所以，又，由余弦定理可得，在中，有，所以以，所在直線分別為x，y，z軸建立空間直角坐標系，如圖所示，則，設(shè)平面的一個法向量為，則，令，則，又平面的一個法向量為，所以二面角的余弦值為,即二面角的余弦值為【點睛】該題考查的是有關(guān)立體幾何的問題，涉及到的知識點有利用線

18、面垂直證明線性垂直，利用向量法求二面角的余弦值，屬于中檔題目.20（1）當時，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；當時， 在上單調(diào)遞增；（2）.【解析】（1）求出函數(shù)的定義域和導(dǎo)函數(shù)， ，對討論，得導(dǎo)函數(shù)的正負，得原函數(shù)的單調(diào)性；（2）法一: 由得，分別運用導(dǎo)函數(shù)得出函數(shù)()，的單調(diào)性，和其函數(shù)的最值，可得 ，可得的范圍;法二:由得，化為令()，研究函數(shù)的單調(diào)性，可得的取值范圍.【詳解】（1）的定義域為，當時，由得，得， 在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；當時，恒成立,在上單調(diào)遞增；（2）法一: 由得，令()，則，在上單調(diào)遞減，即，令，則，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以，即， (*)當時，(*)式恒成立，即恒成立，滿足題意法二:由得，令()，則，在上單調(diào)遞減，即，當時，由()知在上單調(diào)遞增，恒成立，滿足題意當時，令，則，所以在上單調(diào)遞減，又，當時，使得，當時，即，又，不滿足題意，綜上所述，的取值范圍是【點睛】本題