選修導(dǎo)數(shù)的幾何意義 完整版PPT

1、1.1.3導(dǎo)數(shù)的幾何意義自學(xué)教材p6-9學(xué)習(xí)目標(biāo)理解導(dǎo)數(shù)的幾何意義，會求曲線的切線方程重點：導(dǎo)數(shù)的幾何意義及曲線的切線方程難點：求曲線在某點處的切線方程回顧平均變化率函數(shù)y=f(x)的定義域為D,x1.x2D,f(x)從x1到x2平均變化率為:割線的斜率OABxyY=f(x)x1x2f(x1)f(x2)x2-x1=xf(x2)-f(x1)=y我們把物體在某一時刻的速度稱為瞬時速度.從函數(shù)y=f(x)在x=x0處的瞬時變化率是:y=f(x)PQMxyOxyPy=f(x)QMxyOxy如圖：PQ叫做曲線的割線 那么，它們的 橫坐標(biāo)相差（ ） 縱坐標(biāo)相差（ ） 導(dǎo)數(shù)的幾何意義: 斜率當(dāng)Q點沿曲線靠近

2、P時，割線PQ怎么變化？x呢？y呢？PQoxyy=f(x)割線切線T導(dǎo)數(shù)的幾何意義: 我們發(fā)現(xiàn),當(dāng)點Q沿著曲線無限接近點P即x0時,割線PQ如果有一個極限位置PT.則我們把直線PT稱為曲線在點P處的切線. 設(shè)切線的傾斜角為,那么當(dāng)x0時,割線PQ的斜率,稱為曲線在點P處的切線的斜率.即:這個概念: 提供了求曲線上某點切線的斜率的一種方法; 切線斜率的本質(zhì)函數(shù)在x=x0處的導(dǎo)數(shù).PQoxyy=f(x)割線切線T 圓的切線定義并不適用于一般的曲線。 通過逼近的方法，將割線趨于的確定位置的直線定義為切線（交點可能不惟一）適用于各種曲線。所以，這種定義才真正反映了切線的直觀本質(zhì)。 函數(shù) y=f(x)在

3、點x0處的導(dǎo)數(shù)的幾何意義，就是曲線 y=f(x)在點P(x0 ,f(x0)處的切線的斜率.即: 故曲線y=f(x)在點P(x0 ,f(x0)處的切線方程是:導(dǎo)數(shù)的幾何意義: 平均變化率 在上面的研究過程中，某點的割線斜率和切線斜率與某點附近的平均變化率和某點的瞬時變化率有何聯(lián)系？ 割線的斜率瞬時變化率切線的斜率在不致發(fā)生混淆時，導(dǎo)函數(shù)也簡稱導(dǎo)數(shù)函數(shù)導(dǎo)函數(shù)由函數(shù)f(x)在x=x0處求導(dǎo)數(shù)的過程可以看到,當(dāng)時,f(x0) 是一個確定的數(shù).那么,當(dāng)x變化時,便是x的一個函數(shù),我們叫它為f(x)的導(dǎo)函數(shù).即:思考題 1.曲線在某一點處的切線只能與曲線有唯一公共點嗎？下圖中，直線是否是曲線在點P處的切線

4、？xoyP鞏固提高例 根據(jù)已知條件，畫出函數(shù)圖象在該點附近的大致形狀練習(xí) 已知導(dǎo)函數(shù) 的下列信息： 【例2】 求曲線y=x2+1在點P(1,2)處的切線的方程。 k=解： y=f(1+ x)-f(1)= (1+ x)2+1-（1+1）=2 x+（ x）2 曲線在點P(1,2)處的切線的斜率為因此，切線方程為 y-2=2(x-1)即 y=2x k=【注】求曲線y=f(x)在點P(x0,y0)處的切線的斜率的方法： (1)求y=f(x0+ x)-f(x0)小結(jié):1.導(dǎo)數(shù)是從眾多實際問題中抽象出來的具有相同的數(shù) 學(xué)表達(dá)式的一個重要概念，要從它的幾何意義認(rèn)識這一概念的實質(zhì)，學(xué)會用事物在全過程中的發(fā)展變

5、化規(guī)律來確定它在某一時刻的狀態(tài)。 2.求切線方程的步驟：（1）求出函數(shù)在點x0處的變化率 ，得到曲 線在點(x0,f(x0)的切線的斜率。（2）根據(jù)直線方程的點斜式寫出切線方程，即 無限逼近的極限思想是建立導(dǎo)數(shù)概念、用導(dǎo)數(shù)定義求 函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的基本思想，丟掉極限思想就無法理解導(dǎo) 數(shù)概念。例3:證明:(1)可導(dǎo)的偶函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為奇函數(shù); (2)可導(dǎo)的奇函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為偶函數(shù).證:(1)設(shè)偶函數(shù)f(x),則有f(-x)=f(x).(2)仿(1)可證命題成立,在此略去,供同學(xué)們在課后練 習(xí)用.導(dǎo)數(shù)的幾何意義 函數(shù) y=f(x)在點x0處的導(dǎo)數(shù)的幾何意義，就是曲線 y=f(x)在點P(x0 ,f(x0)處

6、的切線的斜率. 故曲線y=f(x)在點P(x0 ,f(x0)處的切線方程是:即:1.曲線y=x3-3x2+1在點（1，-1）處的切線方程為（） A.y=3x-4B.y=-3x+2 C.y=-4x+3D.y=4x-5 解析 由y=3x2-6x在點（1，-1）的值為-3，故切線方程為y+1=-3(x-1)，即y=-3x+2.B基礎(chǔ)自測2.設(shè)P為曲線C：y=x2+2x+3上的點，且曲線C在點P處切線傾斜角的取值范圍是0， ，則點P橫坐標(biāo)的取值范圍為（） A. B.-1，0 C.0，1D. 解析 y=x2+2x+3，y=2x+2. 曲線在點P(x0,y0)處切線傾斜角的取值范圍是 0, , 曲線在點P

7、處的切線斜率0k1. 02x0+21,-1x0 .A3.（2009福建理，14）若曲線f(x)=ax5+ln x存在垂直于y軸的切線，則實數(shù)a的取值范圍是 . 解析 f(x)=5ax4+ ,x(0,+), 由題知5ax4+ =0在（0，+）上有解. 即a=- 在（0，+）上有解. x(0,+), (-,0). a(-,0).(-,0)4.求曲線f(x)=x3-3x2+2x過原點的切線方程. 解 f(x)=3x2-6x+2.設(shè)切線的斜率為k. （1）當(dāng)切點是原點時k=f(0)=2, 所以所求曲線的切線方程為y=2x. （2）當(dāng)切點不是原點時，設(shè)切點是（x0,y0）則有y0= k= 由得 所求曲線

8、的切線方程為探究提高 （1）解決此類問題一定要分清“在某點處的切線”，還是“過某點的切線”的問法.（2）解決“過某點的切線”問題，一般是設(shè)出切點坐標(biāo)為P（x0，y0），然后求其切線斜率k=f(x0),寫出其切線方程.而“在某點處的切線”就是指“某點”為切點.（3）曲線與直線相切并不一定只有一個公共點，當(dāng)曲線是二次曲線時，我們知道直線與曲線相切，有且只有一個公共點，這種觀點對一般曲線不一定正確.作業(yè)： 已知曲線方程為y=x2, （1）求過A（2，4）點且與曲線相切的直線方程； （2）求過B（3，5）點且與曲線相切的直線方程. （1）A在曲線上,即求在A點的切線方程. （2）B不在曲線上，設(shè)出切點

9、求切線方程. 解 （1）A在曲線y=x2上, 過A與曲線y=x2相切的直線只有一條，且A為切點. 由y=x2,得y=2x,y|x=2=4, 因此所求直線的方程為y-4=4(x-2), 即4x-y-4=0.思維啟迪（2）方法一 設(shè)過B（3，5）與曲線y=x2相切的直線方程為y-5=k(x-3),即y=kx+5-3k, y=kx+5-3k, y=x2得x2-kx+3k-5=0,=k2-4(3k-5)=0.整理得:(k-2)(k-10)=0,k=2或k=10.所求的直線方程為2x-y-1=0,10 x-y-25=0.由方法二 設(shè)切點P的坐標(biāo)為(x0,y0),由y=x2得y=2x, x=x0=2x0,由已知kPA=2x0,即 =2x0.又y0= 代入上式整理得:x0=1或x0=5,切點坐標(biāo)為(1,1),(5,25),所求直線方程為2x-y-1=0,10 x-y-25=0.3.（2009全國理