二元一次不等式（組）與簡單的線性規(guī)劃問題（五） 完整版課件

1、湖南學(xué)海文化傳播有限責(zé)任公司高中新課標(biāo)同步攻略 數(shù)學(xué)(必修5)可與人民教育出版社實(shí)驗(yàn)教科書同步使用二元一次不等式（組）與簡單的線性規(guī)劃問題（五）解線性規(guī)劃應(yīng)用問題的一般步驟：2）設(shè)好變?cè)⒘谐霾坏仁浇M和目標(biāo)函數(shù)3）由二元一次不等式表示的平面區(qū)域作出可行域；4）在可行域內(nèi)求目標(biāo)函數(shù)的最優(yōu)解（注意整數(shù)解的調(diào)整）1）理清題意，列出表格：5)還原成實(shí)際問題(準(zhǔn)確作圖，準(zhǔn)確計(jì)算)畫出線性約束條件所表示的可行域，畫圖力保準(zhǔn)確；法1：移在線性目標(biāo)函數(shù)所表示的一組平行線中，利用平移的方法找出與可行域有公共點(diǎn)且縱截距最大或最小的直線； 法2：算線性目標(biāo)函數(shù)的最大（小）值一般在可行域的頂點(diǎn)處取得，也可能在邊界處取

2、得（當(dāng)兩頂點(diǎn)的目標(biāo)函數(shù)值相等時(shí)最優(yōu)解落在一條邊界線段上）。此法可彌補(bǔ)作圖不準(zhǔn)的局限。應(yīng)用1有關(guān)二元一次代數(shù)式取值范圍解：由、同向相加可得： 求2x+y的取值范圍。例1.若實(shí)數(shù)x,y滿足 由得 將上式與同向相加得 +得以上解法正確嗎？為什么？首先：我們畫出表示的平面區(qū)域 當(dāng)x=3,y=0時(shí),得出2x+y的最小值為6,但此時(shí)x+y=3,點(diǎn)(3,0)不在不等式組的所表示的平面區(qū)域內(nèi),所以上述解答明顯錯(cuò)了1234567x6543210-1-1-2y-2-3-4ADCB但不等式與不等式所表示的平面區(qū)域卻不同？（擴(kuò)大了多?。膱D中我們可以看出沒錯(cuò)解得通過分析，我們知道上述解法中，是對(duì)的，但用x的最大(小)

3、值及y的最大(小)值來確定2x+y的最大(小)值卻是不合理的。 怎么來解決這個(gè)問題和這一類問題呢？這就是我們今天要學(xué)習(xí)的線性規(guī)劃問題。求2x+y的取值范圍。例1.若實(shí)數(shù)x,y滿足 y1234567x6543210-1-1-2-2-3-4ADCB我們?cè)O(shè)我們?cè)O(shè)z=2x+y方程變形為y=-2x+z,等式表示斜率為-2,縱截距為z的直線,把z看成參數(shù),方程表示的是一組平行線要求z的范圍，現(xiàn)在就轉(zhuǎn)化為求這一組平行線中,與陰影區(qū)域有交點(diǎn),且在y軸上的截距達(dá)到最大和最小的直線. 由圖，我們不難看出，這種直線的縱截距的最小值為過A(3,1)的直線，縱截距最大為過C(5,1)的直線。所以過A(3,1)時(shí)，因?yàn)閦

4、=2x+y，所以同理，過B(5,1)時(shí)，因?yàn)閦=2x+y，所以y1234567x6543210-1-1-2-2-3-4ADCB解：作線形約束條件所表示的平面區(qū)域，即如圖所示四邊形ABCD。作直線所以，求得 A(3,1) B(4,0) C(5,1) D(4,2)可使達(dá)到最小值，將直線平移，平移到過A點(diǎn)的平行線與重合時(shí)，達(dá)到最大值?？墒巩?dāng)平移過C點(diǎn)時(shí)，與的平行線重合時(shí)，例1.若實(shí)數(shù)x,y滿足 求2x+y的取值范圍解法2：由待定系數(shù)法: 設(shè) 2x+y=m(x+y)+n(x-y) =(m+n)x+(m-n)ym+n=2，m-n=1 m=3/2 ，n=1/2 2x+y=3/2(x+y)+ 1/2 (x-

5、y)4x+y6，2x-y472x+y11例1.若實(shí)數(shù)x,y滿足 求2x+y的取值范圍例1:某工廠生產(chǎn)甲、乙兩種產(chǎn)品.已知生產(chǎn)甲種產(chǎn)品1t需消耗A種礦石10t、B種礦石5t、煤4t；生產(chǎn)乙種產(chǎn)品1噸需消耗A種礦石4t、B種礦石4t、煤9t.每1t甲種產(chǎn)品的利潤是600元,每1t乙種產(chǎn)品的利潤是1000元.工廠在生產(chǎn)這兩種產(chǎn)品的計(jì)劃中要求消耗A種礦石不超過300t、消耗B種礦石不超過200t、消耗煤不超過360t.甲、乙兩種產(chǎn)品應(yīng)各生產(chǎn)多少(精確到0.1t),能使利潤總額達(dá)到最大? 甲產(chǎn)品 （1t） 乙產(chǎn)品 （1t） 資源限額 （t）A種礦石（t） B種礦石（t） 煤（t） 利潤（元） 產(chǎn)品消耗量

6、資源列表：51046004491000300200360設(shè)生產(chǎn)甲、乙兩種產(chǎn)品.分別為x t、yt,利潤總額為z元應(yīng)用2有關(guān)利潤最高、效益最大等問題 甲產(chǎn)品 （1t） 乙產(chǎn)品 （1t） 資源限額 （t）A種礦石（t） B種礦石（t） 煤（t） 利潤（元） 產(chǎn)品消耗量資源列表：51046004491000300200360把題中限制條件進(jìn)行轉(zhuǎn)化：約束條件10 x+4y3005x+4y2004x+9y360 x0y 0z=600 x+1000y. 目標(biāo)函數(shù)：設(shè)生產(chǎn)甲、乙兩種產(chǎn)品.分別為x t、yt,利潤總額為z元xtyt解:設(shè)生產(chǎn)甲、乙兩種產(chǎn)品.分別為x t、yt,利潤總額為z=600 x+1000

7、y. 元,那么10 x+4y3005x+4y2004x+9y360 x0y 0z=600 x+1000y.作出以上不等式組所表示的可行域作出一組平行直線 600 x+1000y=t，解得交點(diǎn)M的坐標(biāo)為(12.4,34.4)5x+4y=2004x+9y=360由10 x+4y=3005x+4y=2004x+9y=360600 x+1000y=0M答:應(yīng)生產(chǎn)甲產(chǎn)品約12.4噸，乙產(chǎn)品34.4噸，能使利潤總額達(dá)到最大。(12.4,34.4)經(jīng)過可行域上的點(diǎn)M時(shí),目標(biāo)函數(shù)在y軸上截距最大.9030 0 xy10201075405040此時(shí)z=600 x+1000y取得最大值.【例2】營養(yǎng)學(xué)家指出,成人

8、良好的日常飲食應(yīng)該至少提供0.075kg的碳水化合物,0.06kg的蛋白質(zhì),0.06kg的脂肪.1kg食物A含有0.105kg碳水化合物,0.07kg蛋白質(zhì),0.14kg脂肪,花費(fèi)28元;而1kg食物B含有0.105kg碳水化合物,0.14kg蛋白質(zhì),0.07kg脂肪,花費(fèi)21元.為了滿足營養(yǎng)專家指出的日常飲食要求,同時(shí)使花費(fèi)最低,需要同時(shí)食用食物A和食物B多少kg？ 應(yīng)用3有關(guān)成本最低、運(yùn)費(fèi)最少等問題得點(diǎn)M的坐標(biāo)為 答：每天需要同時(shí)食用食物A約0.143 kg，食物B約0.571 kg，能夠滿足日常飲食要求，且花費(fèi)最低16元.解：設(shè)每天食用xkg食物A, ykg食物B,總花費(fèi)為z元,則目標(biāo)函

9、數(shù)為z=28x+21y且x、y滿足約束條件 ,整理為 作出約束條件所表示的可行域，如右圖所示目標(biāo)函數(shù)可變形為如圖，作直線,當(dāng)直線平移經(jīng)過可行域時(shí)，在 點(diǎn)M處達(dá)到軸上截距的最小值，即此時(shí)有最小值.解方程組 ，煤礦 車站甲煤礦（元/噸）乙煤礦（元/噸）運(yùn)量（萬噸）東車站10.8280西車站1.51.6360產(chǎn)量（萬噸）200300例2.已知甲、乙兩煤礦每年的產(chǎn)量分別為200萬噸和300萬噸，需經(jīng)過東車站和西車站兩個(gè)車站運(yùn)往外地.東車站每年最多能運(yùn)280萬噸煤，西車站每年最多能運(yùn)360萬噸煤，甲煤礦運(yùn)往東車站和西車站的運(yùn)費(fèi)價(jià)格分別為1元/噸和1.5元/噸，乙煤礦運(yùn)往東車站和西車站的運(yùn)費(fèi)價(jià)格分別為0.8元/噸和1.6元/噸.煤礦應(yīng)怎樣編制調(diào)運(yùn)方案，能使總運(yùn)費(fèi)最少?解：設(shè)甲煤礦運(yùn)往東車站x萬噸，乙煤礦運(yùn)往東車站y萬噸，則約束條件為：目標(biāo)函數(shù)為:z=x+1.5(200-x)+0.8y+1.6(300-y) =780-0.5x-0.8y